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的誤差仍然在所有的分類都勝過了 Whaley 模型。
4.4 模型在各期間表現
最後，我們將觀察模型在各個期間的表現，看看模型是否在某些期間表現得比較 好，而在其他期間表現得比較差。這裡我們觀察表現最好的兩個模型－Model 2R 和 Model 4－在各個年度的表現，表 15 是這兩個模型逐年的每日評價表現。可以看到兩 個模型都在 2006 年表現最佳，Model 2R 在 2007 年到 2010 年的平均絕對誤差大致都在
＄0.13，算是相當穩定；Model 4 則在 2010 年稍高，2007 年到 2009 年也是穩定維持 在＄0.13。這裡也看到，金融海嘯期間雖然 VIX 指數飆漲，但是誤差並沒有產生明顯 的變化，顯示 VIX 雖然大幅攀升，但是 VIX 波動度的型態並沒有什麼變動。
表 16 各年度評價誤差 年度 模型 平均 均方誤 平均絕對
誤差 標準差 最小值 最大值
2006
Model 2R 0.0124 0.1109 0.1068 0.3328 -0.8837 12.86 Model 4 0.0279 0.0410 0.1392 0.2007 -0.9237 1.956
2007
Model 2R -0.0070 0.0340 0.1373 0.1844 -2.312 1.593 Model 4 0.0078 0.0684 0.1715 0.2614 -2.469 2.556
2008
Model 2R -0.0123 0.0393 0.1319 0.1980 -1.537 2.871 Model 4 -0.0112 0.0648 0.1707 0.2543 -1.676 1.624
2009
Model 2R -0.0086 0.0323 0.1309 0.1795 -2.165 1.009 Model 4 0.0038 0.0603 0.1771 0.2456 -2.318 1.346
2010
Model 2R -0.0206 0.0426 0.1355 0.2055 -1.712 1.182 Model 4 0.0235 0.1023 0.2013 0.3190 -1.498 1.966
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第 5 章 結論
VIX 選擇權在市場上已經有相當熱絡的交易，因此交易者需要一個正確的工具來評 價此商品。一個好的模型可以使交易者和避險者都受惠，因為可以避免價格誤差帶來 的損失，經紀商也可以避免收取不足權利金的風險。
本論文利用 2006 年 2 月 24 日至 2010 年 6 月 30 日的 VIX 選擇權資料，計算出其 隱含波動度。針對隱含波動度，首先透過隱含波動度函數以及隱含波動度平面的配適，
觀察其表現出來的笑狀波幅，結果發現 VIX 選擇權的隱含波動度具有以下性質：(1)隱 含波動度隨著價內外程度的提高而上升，故其笑狀波幅大致呈現由左下至右上的型 態；(2)隱含波動度隨著到期時間的減少而上升，愈長期的合約平均來說隱含波動度愈 低；(3)隨著到期時間的減少，微笑波幅的斜率更為增加，即隨著到期日的接近，微笑 波幅更為陡峭，價內和價外選擇權的隱含波動度的差距加大；(4)VIX 和 VIX 的波動度 具有正向的不對稱關係，即 VIX 的上漲將使 VIX 波動度上升，且 VIX 上漲使 VIX 波動 度上升的幅度大於 VIX 下跌使 VIX 波動度下降的幅度。
而當欲透過預測隱含波動度來評價選擇權價格，一般投資者都會注意到價內外程 度或者履約價格對於隱含波動度的影響，但我們發現在 VIX 選擇權中，到期時間也扮 演著相當重要的角色。不論是從樣本內的配適度或是從評價結果來看，加入到期時間 因子後，誤差都有大幅的改善，顯示到期時間對於評價選擇權價格很重要，這點和 Whaley (1993) 在 S&P500 市場上得到的結論並不相同，Whaley 發現評價 S&P500 選擇 權時，加入到期時間因子雖然能使配適度提高，但是卻無助於提高評價的正確度。但 在 VIX 選擇權上，我們發現以價內外程度和到期時間因子的模型在預測上擁有最高的 準確度，而且模型誤差相當穩定，在各個年度當中並沒有明顯的落差。此外，比較模 型在評價一天到一週後的價格的表現時，誤差的幅度也隨著要評價愈長天數後的選擇 權而提高。最後，與 Wang (2011) 使用過去各個模型得到的評價誤差相比，我們得到
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的評價誤差即便和 Wang (2011)當中最佳的 Whaley 模型相比，誤差仍然明顯地勝過 Whaley 模型。
而從 Wang (2011)和本文的結果，可以得到如此的推測：儘管 B-S 模型有部分的假 設和市場上明顯不符，但是市場上的交易者或許仍然是採用這種較簡單的方式來評價 選擇權，而非透過類似 Lin ＆ Chang 此類複雜的模型。也就是以 B-S 公式推得的隱含 波動度為基礎，再利用價內外程度、到期時間或其他的因子針對不同的合約去對隱含 波動度作調整，藉此算出選擇權的價格。
而本文中，動態的隱含波動度模型表現則不如預期，在相對波動度的預測上，與 以價內外程度和到期時間直接預測隱含波動度的成效接近，但是在價平波動度的預測 效果並不甚理想，導致動態模型的預測效果稍微不如每週重新估計的靜態模型。加入 額外的狀態變數以更精準地捕捉價平隱含波動度的動態或許是未來可以繼續研究的方 向。
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