模型架構

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第三章 研究方法

此篇以 Allen and Gale (2000)架構的模型為核心，進而延伸分析加入資本適 足率後，銀行間整體架構的影響性，尤其觀察在有資本適足率及沒有資本適足率 下，銀行間的擴散效果(spillover effect)、緩衝(buffer)以及傳染現象(contagion)的 改變，藉此佐證資本適足率對於預防傳染現象的有效性。

第一節 模型架構

一、 流動性偏好 (Liquidity Preference)

沿用 Diamond and Dybvig (1983)及 Allen and Gale (1998)模型架構，描述因為 每位儲戶的流動性偏好是隨機決定，因此有銀行間風險分擔的情況。

模型假設總共有三期，即 t=0, 1, 2，且只有單一的消費品，而此消費品能因 投資資產來創造未來的消費量。又市場上只分成兩種資產，一類是流動性資產 (liquid asset)，另一類是非流動性資產(illiquid asset)。

流動性資產只會受儲存技術影響，即 t 期以一單位的消費品投資流動性資產，

在 t+1 期僅生產出一單位的消費品，又此資產的投資報酬在一期後就取得，稱之 為短期資產(short asset)；非流動性資產則是需要更長的時間來取得較高的報酬，

故稱為長期資產(long asset)。長期資產只能在第一期投資，在第一期時，如以一 單位的消費品投資長期資產，則在最後一期能獲得 R > 1 單位的產出。

此外長期資產並非嚴格的不流動，若是在最後一期前兌現，可得到比 R 小

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的報酬，即一單位的長期資產，在中間時期兌現的話，能有 0 < r <1 的報酬。

而一經濟體可分為 A, B, C, D 四個相同的區域，因為這些區域會受到不同的 流動性衝擊影響，故區分方式可能是銀行間不同部門、不同銀行、不同區域性銀 行、或是不同國家的銀行。

這 些 經 濟 區 域 都 會 面 對 事 前 擁 有 一 樣 條 件 的 消 費 者 ( 或 儲 戶 )(ex-ante identical consumers)，在 t=0 時，每位消費者都會有相當於一單位消費財的資源 稟賦，而在 t=1,2 時稟賦為 0。

有關於消費者偏好，ω代表成為早期消費者(early consumer)的機率，而這些 早期消費者只會在 t=1 時消費；又 1–ω代表晚期消費者(late consumer)的機率，

且他們只會在 t=2 時消費。因此消費者的效用可用以下式子呈現：

U(𝑐₁, 𝑐₂) = {𝑢(𝑐₁)， 機率為ω 𝑢(𝑐₂)，機率為 1– ω

，

𝑐_𝑡代表在t=1,2 時的消費，且𝑢()效用函數設為可二次微分，遞增且函數具有 嚴格凹性(strictly concave)。

各區域的ω不同，是由自然狀態(state of nature)決定，設ω

𝑖代表 𝑖區域成為 早期消費者的機率，並討論可能會有較高機率ω

H、較低機率ω

L兩種狀況，即有 一半的機會擁有ω

H，一半的機會擁有ω

L，且0 < ω

L< ω

H < 1。又一經濟體有 發生機率相同的狀態S₁、S₂，相關的流動性偏好衝擊表示在表 3.1。

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二、 最適風險分散(Optimal Risk Sharing)

由於假設消費者是事前相同(ex-ante identical)，因此很自然的就應該平等對

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(3.1.1)是根據會計恆等式訂定，左式的𝑥 + 𝑦為銀行的資產，𝑥為長期資產、𝑦 為短期資產；右式則是銀行的負債與權益，以 1 為銀行擁有的存款，而𝑘代表的 是資本適足率的規範。舉例而言，假設有家銀行的資本適足率為 8%，表示

𝑘

1+𝑘 = 8%，因此𝑘 = ²

23。

由於每一時期的總消費量為一常數，所以用短期資產提供第一期消費、用長 期資產供應第二期消費最合適。並假設成為早期消費者的平均機率為

γ=^{(ω𝐻+ω𝐿)}

2 ，則 t=1 時的限制式為(3.1.2)，左式代表該期的消費量，右式是銀 行持有的短期資產，又在𝑘資本適足規定下，可將𝑘運用到短期資產上。

γ

𝑐₁ ≤ 𝑦 + 𝑘 (3.1.2)

t=2 時限制式為(3.1.3)，左式(1 − 𝛾)代表成為晚期消費者的機率，並乘上該 期的消費量，右式則是銀行持有的長期資產𝑥及報酬率𝑅，而資本適足規定運用 在短期資產，對於長期資產沒有影響。

(1 − 𝛾)𝑐₂ ≤ 𝑅𝑥 (3.1.3)

又 t=0 時，每位消費者有同樣成為早期或晚期消費者的機率，因此事先的預 期效用即為：

𝛾𝑢(𝑐₁) + (1 − 𝛾)𝑢(𝑐₂) (3.1.4)

(3.1.4)式為規劃者尋求極大化的目標，並受限於(3.1.1) 、(3.1.2)、 (3.1.3)式。

且可整理成下列式子，求得之解即為最適分配情況(first-best allocation)：

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max𝑐1,𝑐2

𝛾𝑢(𝑐₁ ) + (1 − 𝛾)𝑢(𝑐₂ ) 𝑠𝑢𝑏𝑗𝑒𝑐𝑡 𝑡𝑜 ∶

𝑥 + 𝑦 ≤ 1 + 𝑘

γ

𝑐₁ ≤ 𝑦 + 𝑘 (1 − 𝛾)𝑐₂ ≤ 𝑅𝑥

此最適分配情況會符合一階條件(first-order condition)，

𝑢^′(𝑐₁) ≥ 𝑢^′(𝑐₂) (3.1.5)

否則就有可能使早期消費量移轉至晚期消費。而式子(3.1.5)滿足動機限制 (incentive constraint) 𝑐₂ ≥ 𝑐₁，也就是最適分配情況會等於效率動機分配情況 (incentive-efficient allocation)，代表即使決策者無法分辨消費者類型，也能找到 最適分配情況，極大化消費者效用。

在此假設極大化公式(3.1.4)為符合齊序(homothetic)效用函數的 CRRA 模型，

即𝑢(𝑐₁ ) = log 𝑐₁；𝑢(𝑐₂ ) = log 𝑐₂，

並由上述最適分配情況可得出以下解¹，

x^∗ = 1 − 𝛾 − 2𝛾𝑘 + 2𝑘 (3.1.6) y^∗ = 𝛾 + 2𝛾𝑘 − 𝑘

𝑐₁^∗ = 1 + 2𝑘

1 見附錄一

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資源移轉至區域 A 與 C，使資源達到最大效用。在 t=2 時，同理可證，區域 B 與 D 也可因區域 A 與 C 的超額供給而充分使用市場上的資源。

三、 銀行同業存款市場(The Interbank Deposit Market)

Allen and Gale (2000)以模型說明每家銀行在彼此間進行存款交換的完整市 場結構下，能滿足任何消費者需求的自然狀態，同時也能符合預算限制式。

而此處將討論 Allen and Gale (2000)提出的不完整市場結構(incomplete market structure)。銀行間可能會因為距離等因素，而面臨過高的交易成本、資訊 成本，使每家銀行彼此間進行存款交換的完整市場結構，實際上很難達成，反而 比較多機會是與鄰近銀行彼此合作，也就是銀行間可能會將存款放至鄰近銀行，

但無法使全部銀行彼此持有各家存款，即為以下要討論的不完整市場結構，如圖 3.1 所示。

圖 3.1：不完整市場結構(incomplete market structure)

圖 3.1 代表銀行 A 將擁有銀行 B 的存款，銀行 B 將擁有銀行 C 的存款，以 此類推，並假設持有單方向的銀行同業存款Z = ω

𝐻− 𝛾，且Z為符合預算限制式

A B

D C

Z

Z

Z

Z

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四、 金融脆弱性(Financial Fragility)

此部分額外納入流動性需求干擾項 ϵ，使總流動性需求大於整個系統對於流

(一) 流動性順序(The Liquidation “Pecking Order”) t=1 時，各銀行會知道是屬於下列三者狀態之一：

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對存款而言：現在消費的機會成本是放棄未來的消費，即^𝑐2

𝑐1。

對長期資產而言：現在消費的機會成本是放棄未來的長期資產報酬，即^𝑅

𝑟。

由於一階條件式𝑢^′(𝑐₁) = 𝑅𝑢^′(𝑐₂)，可得到 1<^𝑐_𝑐²

1 ，且得出 1<^𝑐2

𝑐₁ <^𝑅

𝑟 的流動 性順序，也就是銀行會依序兌現短期資產、存款、長期資產來支付消費者需求。

而之前的討論皆是給定其他區域銀行沒有破產的情況，若一銀行破產，則需 要立即兌現所有資產，因此所有儲戶也會想要立即兌現其存款。以下將納入討論 破產的狀況。

(二) 清算價值(Liquidation Values)

在 t=1 時，一家未破產銀行的存款價值等於𝑐₁，同時也會等於若破產下的銀 行清算價值。令𝑞^𝑖代表 𝑖地區代表性銀行在 t=1 時的清算價值，若𝑞^𝑖 < 𝑐₁，則所 有儲戶會在 t=1 時大量提款，銀行也會去提領銀行間的同業存款，再加上不管是 一般儲戶或是其他地區銀行，都會受到相等對待，同樣給予𝑞^𝑖的價值，因而能夠 決定𝑞^𝑖。

假設對 A 區代表性銀行而言，在 t=1 時，若所有儲戶或其他地區銀行皆要求 提款，負債即為(1 + Z)𝑞^𝐴，其中 1 指的是 A 地區的所有儲戶提款需求，而Z代表 D 地區銀行也要求提領置放在 A 地區的存款。而資產在 t=1 時有𝑦短期資產、r 𝑥長 期資產，再加上Z𝑞^𝐵即存放在 B 地區的銀行同業存款，因此可得到下式，

𝑦 + r 𝑥 + Z𝑞^𝐵= (1 + Z)𝑞^𝐴

，則可求得𝑞^𝐴 = ^{𝑦+r 𝑥+Z𝑞𝐵}

1+Z (3.1.8)

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上式在 B 地區無破產的情況下，可將𝑞^𝐵 = 𝑐₁代入求得𝑞^𝐴。然若𝑞^𝐵< 𝑐₁，則 需要先以相同公式求得𝑞^𝐵，才能得到𝑞^𝐴。

將求得的最適分配解分別代入後，可發現𝑞^𝐴在有無資本適足率下的差別：

(1) 在無資本適足率下，將(3.1.7)的𝑥、𝑦和𝑐₁代入(3.1.8)式，可得

𝑞^𝐴 = 𝑦 + r 𝑥 + Z𝑐₁

1 + Z =𝛾 + 𝑟(1 − 𝛾) + 𝑍

1 + Z (3.1.9)

(2) 在有資本適足率下，將(3.1.6)的 𝑥、𝑦和𝑐₁代入(3.1.8)式，可得

𝑞^𝐴∗= (𝛾 + 2𝛾𝑘 − 𝑘) + 𝑟(1 − 𝛾 − 2𝛾𝑘 + 2𝑘) + 𝑍(1 + 2𝑘)

1 + Z (3.1.10)

𝑞^𝐴∗對𝑘微分：

∂𝑞^𝐴∗

∂𝑘 = 1

1 + Z(2𝛾 − 1 − 2𝛾𝑟 + 2𝑟 + 2𝑍)

若合理將𝛾 = ¹

2代入上式，

∂𝑞^𝐴∗

∂𝑘 = 1

1 + Z(𝑟 + 2𝑍) > 0

則可推論出隨著資本適足率的上升，𝑞^𝐴∗清算價值也會增加。

(三) 緩衝(Buffer)

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假設一銀行無償還能力(insolvent)，即必須兌現長期資產來償付消費者需求

，且給定晚期消費者一定在最後一期才消費，則可討論銀行在 t=1 時，可兌現多 少長期資產來供給消費者需求，同時又不會面臨破產的情況，即為緩衝 b(ω)。

銀行需要在 t=2 時保留𝑐₁給晚期消費者，否則晚期消費者將在 t=1 時提款，

因此銀行必須至少持有^{(1−ω)𝑐1}

𝑅 的長期資產供應晚期消費者需求，也就是銀行在 t=1 時可兌現的長期資產為𝑥 − [(1 − 𝜔)𝑐₁/𝑅]，即緩衝 b(ω)為，

b(ω)≡ r [𝑥 −^{(1−𝜔)𝑐1}

𝑅 ] (3.1.11)

將求得的最適分配解分別代入後，可發現 b(ω)在有無資本適足率下的差別：

(1) 在無資本適足率下，將(3.1.7)的𝑥和𝑐₁代入(3.1.11)，可得

b(ω) ≡ r [(1 − 𝛾) −(1 − 𝜔) 𝑅 ]

(2) 在有資本適足率下，將(3.1.6)的𝑥和𝑐₁代入(3.1.11)，可得

𝑏^∗(ω)≡ r [(1 − 𝛾 − 2𝛾𝑘 + 2𝑘) −(1−𝜔)(1+2𝑘)

𝑅 ]

𝑏^∗(ω)對𝑘微分：

∂𝑏^∗(ω)

∂𝑘 = −2𝛾𝑟 + 2𝑟 −2𝑟

𝑅 +2𝜔𝑟 𝑅

若合理將𝛾 = ¹

2代入上式，

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∂𝑏^∗(ω)

∂𝑘 = 𝑟 [1 −2

𝑅(1 − ω)]

因𝑟 > 0，上式表示隨著資本適足率的上升，若ω越大或是𝑅 大於 2(1 − ω)，會使緩衝增加。

而地區 A，銀行有

γ

𝑐₁的短期資產𝑦，且在𝑆̅的自然狀態下，A 銀行面對γ+ϵ的 早期消費者，必須兌現長期資產來支付額外ϵ𝑐₁的消費需求，若ϵ𝑐₁ ≤ b(γ + ϵ)，

在沒有其他地區的幫助下，A 銀行能滿足所有消費需求。

若ϵ > 0很小且符合ϵ𝑐₁≤ b(γ + ϵ)，則 A 銀行會無償還能力，但其他地區的 銀行不會受到負面影響，且 A 地區的晚期消費者因 t=1 時已兌現部分長期資產，

在 t=2 時無法獲得𝑐₂，將面臨損失；又由於流動性順序，B,C,D 銀行也會去提領 存放至其他地區的存款。

(四) 擴散效果(Spillover Effect)

若ϵ > 0很大，違反ϵ𝑐₁ ≤ b(γ + ϵ)時，則 A 銀行會破產。起初若𝑞^𝐴 = 𝑐₁，面 對很大的ϵ，由於其他地區也會去提領銀行同業存款，彼此抵消後，A 銀行將無 法藉由同業存款、長期資產來提供消費者需求而破產，此時所有消費者都會要求 提款，區分早期與晚期消費者變為不再重要。且會藉由 D 地區存放在 A 地區的 存款影響 D 地區，因在 D 地區的存款價值𝑞^𝐷 = 𝑐₁，A 地區銀行破產後，D 地區 存放至 A 地區的存款價值變為𝑞^𝐴 < 𝑐₁，故 D 地區銀行將遭受損失，也就是擴散 效果(spillover effect)，

Z (𝑐₁− 𝑞^𝐴) (3.1.12) 將求得最適分配解分別代入，可發現擴散效果在有無資本適足率下的差別：

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(1) 在無資本適足率下，將(3.1.7)的𝑐₁和(3.1.9)代入(3.1.12)，可得

Z {1 − 1

1 + 𝑍[𝛾 + 𝑟(1 − 𝛾) + 𝑍]}

(2) 在有資本適足率下，將(3.1.6)的𝑐₁和(3.1.10)代入(3.1.12)，可得

Z {(1 + 2𝑘) − 1

1 + 𝑍[(𝛾 + 2𝛾𝑘 − 𝑘) + 𝑟(1 − 𝛾 − 2𝛾𝑘 + 2𝑘) + 𝑍(1 + 2𝑘)]}

上式對𝑘微分可得下式：

2Z − 𝑍

1 + 𝑍(2𝛾 − 1 − 2𝛾𝑟 + 2𝑟 + 2𝑍) 若將𝛾 = ¹

2代入上式，

2Z − 𝑍

1 + 𝑍(𝑟 + 2𝑍)

= 𝑍

1 + 𝑍(2𝑍 ×1 + 𝑍

𝑍 − 𝑟 − 2𝑍) = 𝑍

1 + 𝑍(2 − 𝑟) > 0

即代表隨著資本適足率的上升，擴散效果也會增加。

當 D 地區的擴散效果小於 D 地區的緩衝時，D 地區會損失部分的緩衝，但 不會將影響傳染至其他地區；若 D 地區的擴散效果大於 D 地區的緩衝時，D 地 區也會破產。

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ϵ ∙ (1 + 2k) − r [(1 − 𝛾)(1 + 2k) −(1 − 𝛾 − 𝜖)(1 + 2k) 𝑅 ] > 0 = (1 + 2k)𝑟

𝑅[(𝑅 − 𝑟

𝑟 ) 𝜖 + (1 − 𝛾)(1 − 𝑅)] > 0

因(1 + 2k) > 0，故能由[(^𝑅−𝑟

𝑟 ) 𝜖 + (1 − 𝛾)(1 − 𝑅)]判別上式正負號，

即不管有無納入資本適足率，若𝜖 > ^𝑟

𝑅−𝑟(𝑅 − 1)(1 − 𝛾)時，會滿足(3.1.13) 式條件。

2. 在 D 地區的擴散效果大於 D 地區的緩衝

Z (𝑐₁− 𝑞^𝐴) > 𝑏(𝛾) (3.1.14)

其中Z (𝑐₁− 𝑞^𝐴) 是擴散效果的下限，Z為銀行同業存款額，𝑞^𝐴是 A 地區破產下的存款價值上限，而𝑞^𝐴可用(3.1.8) 式且給定𝑞^𝐵 = 𝑐₁求得，

𝑞^𝐴 ≤ 𝑞^𝐴 = 𝑦 + r 𝑥 + Z𝑐₁

(1 + Z)

Z𝑐₁代表承諾給 C 地區的部分，而Z𝑞^𝐴是 D 地區持有的 A 地區存款，

故(3.1.14)左式即為 D 地區負債與持有同業存款之差額，若左式大於 D 地區的緩衝，或是 Z 越大，擴散效果就會促使 D 地區銀行倒閉。

在𝑆̅狀態下，由於認為 A 地區的超額流動性需求ϵ會傳至其他地區，

故其他地區也會提領銀行同業存款來避免損失，此時 D 地區銀行因為 面對γ的早期消費者，以及 C 銀行的同業存款，負債面為(γ + Z)𝑐₁；而

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流動性資產則為𝑦 + Z𝑞^𝐴，再加上緩衝b(γ)。D 地區銀行若要預防破產，

則需要滿足下式

(γ + Z)𝑐₁ ≤ 𝑦 + Z𝑞^𝐴+ b(γ) ≤ 𝑦 + Z𝑞^𝐴+ b(γ) (3.1.15)

又γ𝑐₁ = 𝑦，因此(3.1.15)式可整理成Z (𝑐₁− 𝑞^𝐴) ≤ 𝑏(𝛾)，與(3.1.14)

又γ𝑐₁ = 𝑦，因此(3.1.15)式可整理成Z (𝑐₁− 𝑞^𝐴) ≤ 𝑏(𝛾)，與(3.1.14)

在文檔中 資本適足率對銀行流動性風險傳遞效果之研究 - 政大學術集成 (頁 22-39)