第三章 研究方法
第三節 機率理解測驗分析結果
壹、潛在類別分析結果
使用 Winmira 2001 執行 LCA 分析，依所設定之類別數執行 LCA 分析時所 傳回之 AIC、BIC 及 CAIC 值，如表 4-14 所示：
表 4-14 設定類別數下 LCA 分析機率理解受試者反應之 AIC、BIC 及 CAIC 值 LCA 分析下之各資訊參數值
設定類別數
AIC BIC CAIC 2 5831.18 5933.36 5954.36 3 4140.29 4296.00 4328.00 4 4143.61 4352.84 4395.84 5 4164.28 4427.04 4481.04 6 4174.02 4490.30 4555.30 7 4187.50 4557.31 4633.31 8 4209.23 4632.56 4719.56 9 4228.12 4704.97 4802.97
根據表 4-14 所示，AIC、BIC 及 CAIC 三者在設定類別數為 3 時，其值最 小，因此設定類別數 3 為此筆資料的最佳類別數，以下則以類別數 3 進行分析。
各類別受試群於各題的答對機率，並歸類其答題情形，如表 4-15 所示：
表 4-15 LCA 分析機率理解反應下 3 個類別在各題的答對機率及判定情形 PLCA1 PLCA 2 PLCA 3
題
表 4-15 中，「PLCA」表示以 LCA 分析機率理解 (probability reasoning) 試 題反應之結果，而「PLCA1」則表示以 LCA 分析機率理解試題反應的結果中第 1 個類別之代稱。分析各類別受試者答題情形判定，是取決於受試者於各題的答 題機率，答題機率大於等於 0.5 者，判定為答題正確，以 1 表示；反之，若答題 機率小於 0.5 者，則判定為答題錯誤，以 0 表示。各類別之受試者，其反應組型 即 為 判 定 情 下 中 於 各 題 的 反 應 情 形 ， 如 PLCA1 ， 以 向 量 方 式 表 之 為 (0,0,0,1,1,0,1,0,0,0) 。
以 Bart and Orton (1991) 的 4 個規則對於所編製的 10 題試題進行解題，其 結果如表 4-16 所示。其中，以 1 表示答案正確，0 表答案錯誤。
表 4-16 以 Bart and Orton (1991) 4 個解題規則解決各試題下的答題判定分析 題號 PRuleI PRuleII PRuleIII PRuleIV
1 0 0 0 1
2 0 0 0 1
3 1 1 0 1
4 0 1 1 1
5 0 1 1 1
6 0 0 0 1
7 0 1 1 1
8 0 0 0 1
9 0 0 0 1
10 0 0 0 1
表 4-16 中，「PRule」表示學童對機率理解概念試題的解題規則，以羅馬數 字 I、II、III 及 IV 分別表示數字 1~4，如「PRuleI」即為機率理解概念試題的解 題規則 1 的代稱。表 4-11 中，係以某種規則下進行解題時，各規則產生的反應 組型。將表 4-15 的結果與表 4-16 進行比對及比較，如表 4-17 所示：
表 4-17 LCA 分析機率試題反應下之各類別與 4 項規則符合度分析 題
號 PLCA1 PRuleIII PLCA 2 PRuleIV PLCA 3 PRuleI
1 0 0 1 1 0 0
2 0 0 1 1 0 0
3 0 0 1 1 1 1
4 1 1 1 1 0 0
5 1 1 1 1 0 0
6 0 0 1 1 0 0
7 1 1 1 1 0 0
8 0 0 1 1 0 0
9 0 0 1 1 0 0
10 0 0 1 1 0 0
符 合 度
10/10 10/10 10/10
在表 4-17 中，LCA 所建立的受試者反應組型，與根據 Bart and Orton (1991) 的 4 項解題規則解題的反應組型，PLCA1 與 PRuleIII、PLCA 2 與 PRuleIV、PLCA 3 與 PRuleI，10 題的反應組型皆相同，符合程度達 100%。由此可知，LCA 所 建立的受試者反應組型與 Bart and Orton 的 4 項解題規則的反應組型，其符合度 相當高。為觀察各類別下年級、性別人數分佈之情形，將 LCA 分析機率理解試 題受試者之各類別與年級、各類別與性別人數列聯表，分別列於表 4-18 及表 4-19：
表 4-18 LCA 分析機率理解反應下各類別與年級人數分配列聯表 類別 年級
四 五 六 總計
1 163 227 89 479
2 13 25 202 240
3 160 73 7 240
總計 336 325 298 959
表 4-19 LCA 分析機率理解反應下各類別與性別人數分配列聯表 類別 性別
男 女 總計
1 241 238 479
2 121 119 240
3 119 121 240
總計 481 478 959
由觀察表 4-18 可知，四年級受試者大多數落於類別 1 及類別 3，五年級受 試者則大多隸屬於類別 1，而六年級受試者則較多屬於類別 2。可知不同年級受 試者，呈現不同年級受試者解題規則的特色。以 SPSS 進行類別與年級間的卡方 檢定，得到 497.412 (p<.00) ，顯示各年級所屬類別具有顯著差異，亦即，2 受試者所屬類別因年級不同而有所差異。但在性別方面，根據表 4-19，以 SPSS 進行卡方檢定 (chi-square test) 分析男女性別在各類別中所佔的人數，可以得到
.043 (p=.979) ，顯示性別與其所屬類別並無顯著的差異；意即機率理解之2
解題規則因年級或年齡而異，與性別較無相關。
貳、混合 Rasch 模式分析結果
使用 Winmira 2001 執行 MRM 分析，依所設定之類別數執行 MRM 分析時 所傳回之 AIC、BIC 及 CAIC 值，如表 4-20 所示：
表 4-20 設定類別數下 MRM 分析機率理解受試者反應之 AIC、BIC 及 CAIC 值 MRM 分析下之各資訊參數值
設定類別數
AIC BIC CAIC 2 4931.81 5043.73 5066.73 3 4408.74 4579.04 4614.04 4 4428.05 4656.75 4703.75 5 4446.75 4733.84 4792.84 6 4472.76 4818.24 4889.24 7 4505.15 4909.02 4992.02 8 4662.46 5124.72 5219.72 9 4542.24 5062.89 5169.89
根據表 4-20 所示，AIC、BIC 及 CAIC 三者在設定類別數為 3 時，其值最 小，因此設定類別數 3 為此筆資料的最佳類別數，以下則以類別數 3 進行分析。
各類別受試群於各題的答對機率，並歸類其答題情形，如表 4-21 所示：
表 4-21 MRM 分析機率理解反應下 3 個類別在各題的答對機率及判定情形 PMRM1 PMRM 2 PMRM 3
題
表 4-21 中，「PMRM」表示以 MRM 分析機率理解試題反應之結果，而
「PMRM1」則表示以 MRM 分析機率理解試題反應的結果中第 1 個類別之代稱。
分析各類別受試群答題情形判定，是取決於受試群於各題的答題機率，答題機率 大於等於 0.5 者，判定為答題正確，以 1 表示；反之，若答題機率小於 0.5 者，
則判定為答題錯誤，以 0 表示。各類別之受試群，其反應組型即為判定情下中於 各題的反應情形，如 PMRM1，以向量方式表之為 (0,0,0,1,1,0,1,0,0,0) 。
以 Bart and Orton (1991) 的 4 個規則，如表 4-10，對於所編製的 10 題試題 進行解題所產生的反應組型，與表 4-21 進行比對及比較，相似度高者將其放在 一起進行觀察，如表 4-22 所示：
表 4-22 MRM 分析機率試題反應下之各類別與 4 項規則符合度分析 題
號 PMRM1 PRuleIII PMRM 2 PRuleI PMRM 3 PRuleIV
1 0 0 0 0 1 1
2 0 0 0 0 1 1
3 0 0 1 1 1 1
4 1 1 0 0 1 1
5 1 1 0 0 1 1
6 0 0 0 0 1 1
7 1 1 0 0 1 1
8 0 0 0 0 1 1
9 0 0 0 0 1 1
10 0 0 0 0 1 1
符 合 度
10/10 10/10 10/10
在表 4-22 中，MRM 所建立的受試者反應組型，與根據 Bart and Orton (1991) 的 4 項解題規則解題的反應組型，PMRM1 與 PRuleIII、PMRM 2 與 PRuleI、
PMRM 3 與 PRuleIV，10 題的反應組型皆相同，符合程度達 100%。由此可知，
MRM 所建立的受試者反應組型與 Bart and Orton 的 4 項解題規則的反應組型，
其符合度相當高。為觀察各類別下年級、性別人數分佈之情形，將 MRM 分析 機率理解試題受試者之各類別與年級、各類別與性別人數列聯表，分別列於表 4-23 及表 4-24：
表 4-23 MRM 分析機率理解反應下各類別與年級人數分配列聯表 類別 年級
四 五 六 總計 受試者能
力值平均
1 163 227 89 479 -1.69
2 160 73 7 240 -4.04
3 13 25 202 240 2.89
總計 336 325 298 959 -1.13 受試者能
力值平均 -2.01 -2.21 1.03
表 4-24 MRM 分析機率理解反應下各類別與性別人數分配列聯表 類別 性別
男 女 總計 受試者能
力值平均
1 241 238 479 -1.69
2 119 121 240 -4.04
3 121 119 240 2.89
總計 481 478 959 -1.13
受試者能
力值平均 -1.06 -1.20
由觀察表 4-23 可知，四年級受試者大多數落於類別 1 及類別 2，五年級受 試者則大多隸屬於類別 1，而六年級受試者則較多屬於類別 3。可知不同年級受
試者，呈現不同年級受試者解題規則的特色。以 SPSS 進行類別與年級間的卡方 檢定，得到 497.412 (p<.00) ，顯示各年級所屬類別具有顯著差異，亦即，2 受試者所屬類別因年級不同而有所差異。但在性別方面，根據表 4-24，以 SPSS 進 行 卡 方 檢 定 分 析 男 女 性 別 在 各 類 別 中 所 佔 的 人 數 ， 可 以 得 到 .0432 (p=.979) ，顯示性別與其所屬類別並無顯著的差異；意即機率理解之解題規則因 年級或年齡而異，與性別較無相關。在受試者能力方面，類別 3 的受試者能力平 均值最高，類別 1 次之，類別 2 則為最低。由此可知，能以正確規則解題的類別 3，其受試者能力較高。在各年級受試者的能力差異中，以六年級能力值最高，
四年級與五年級則無明顯差異；在性別的差異中，解題能力亦無明顯的差異。
LCA 和 MRM 的分析結果中，根據參數皆以選擇 3 個類別為最佳類別數，
兩種分析方法所得之受試者反應組型亦相同，如 PLCA1 和 PMRM1、PLCA2 和 PMRM3、PLCA3 和 PMRM2 的反應組型相同，且各類別佔全體受試者之比例也 完全相同，因此，二種分析方法皆能有效地將受試者進行分群；而在二種分析結 果的差異中，MRM 分析除了能提供類別分析外，還能提供各受試者能力估計，
所能提供的訊息較 LCA 多，但也由於迭代估計的參數較多，因此在程式執行也 需要較長的時間。