研究動機

本研究旨在應用潛在類別分析 (latent class analysis) 及混合 Rasch 模式 (mixed Rasch model) 分析國小四至六年級學童在比例理解及機率理解問題的 規則使用情形，經由觀察各潛在類別的反應組型並和文獻比較，藉以了解受試 者的解題規則。本章說明研究之動機與目的，並對本研究所提及之相關名詞加 以定義及解釋。

第一節 研究動機

九年一貫課程數學學習領域的正式綱要分為「數與量」、「幾何」、「代數」、「統 計與機率」、「連結」等五大主題，強調培養學生帶著走的數學知識，期能成為日 常生活及職場裡應具備的基本能力 (教育部，2003) 。本質而言，此立意良好，

但數學學習領域每週授課時數的減少，對教師而言，則是一大挑戰。因此，如何 進行有效的教學儼然成為一項研究重點。

教學前教師所進行的前測，可藉以了解學生所具備的經驗及知識，是否足以 繼續構築新的概念。而教學後所實施的測驗，目的則在了解學生所學習的概念及 理解情形，進而針對學生個別差異進行補救教學。依據前、後測的測驗結果可獲 得學生的學習成效，並可依其錯誤的題型了解學生個別差異，進行個別化的教 學；但就實務來說，目前現行體制下，國小普通班每個班級平均約有 32 位學生，

教師很難就每個學生學習情形進行個別化教學。而潛在類別分析和混合 Rasch 模 式可根據受試者反應資料，分析學生的潛在知識結構並加以分組，教師即可就各 組的知識結構特性需求進行教學。因此，若能自分析學生的解題情形進行潛在類 別分組，進而獲得各組學生解題規則，及就其解題規則了解其解題所採用的策略 及概念，將有助教師對各潛在類別之學生教學及補救進行準備，此為本研究的動 機之一。

日常生活中，我們經常會接觸到有關「比例」 (proportion) 及「機率」

(probability) 的問題。大致而言，凡事以濃、淡、深、淺…等相對性的字詞所形 容的都與比例有所相關，如以藍色為例，深藍色、淺藍色的差異性在於其中所混 合的白色比例多少為區分；果汁的濃淡，是以純果汁和其他液體液量之比例不同 而有所差異；經濟新聞內容所提及的投資比例，所指的亦是部份佔全體間的關係 及大小。上述範例，僅是生活中比例應用的一小部份，而 Lesh, Post and Behr (1988) 提出，在學生數學概念發展過程中，比例推理佔有相當關鍵的地位，是基礎數學 和高階數學的分水嶺。Lamon (1994) 也指出比例概念的建立是學習高等數學的 重要基石。美國「學校數學準則與標準」中提到，在數與計算、測量、機率等領 域，均強調比例概念是六至八年級學童應該學會的課題 (National Council of Teachers of Mathematics, 2000) 。教育部 (2001) 在「國民中小學九年一貫課程綱 要」中指出，期望學生達到數學課程的第一項目為「掌握數、量、形的概念與關 係」，比例即為數量關係的重點之一；教育部於新修定的數學領域正式綱要中指 出，比例是鍛練有理數數感的應用課程之一，更在國小代數課題中，強調協助學 童發展比例推理問題的解題策略，亦有助於國中生理解相似圖形或伸縮圖形的比 例關係 (教育部，2003) 。

「機率」存在於日常生活中的應用之廣也不遑多讓，教師上課時或於各項晚 會進行時的抽獎及摸彩活動，先抽還是後抽的獲獎機率是否有所差異？時下所熱 中的大樂透中獎機率如何與被雷打中的機率進行比較？氣象報告中的降雨情 形，為何不只區分「會下雨」和「不會下雨」兩種情形，而是以數字化的方式來 表示降雨可能性呢？若有興趣於博奕之人，則會自機率關係中理解如何於賽馬活 動中訂定適當的回饋報酬率。以上諸多範例，亦僅是生活應用中之一隅，機率的 重要性，也深受教育界的重視。美國數學教師協會 (National Council of Teachers

納為課程的一部份，因此在其所公佈的課程標準中，可發現每個階段中都有機率

位學童的思考邏輯架構不同，解題時對於各種解題規則的使用情形亦不相同，

Siegler (1976) 也指出，解題者受到本身已存在的知識結構的影響，在解題過程 中會依循某種方法進行解題，意即學童在決定解題策略時會產生一定的解題規 則。因此，學童在解題規則的應用亦可象徵其潛在知識狀態。往昔大多耗時地以 晤談方式來獲得學童個別的解題規則，而藉由潛在類別分析及混合 Rasch 模式規 則來獲得學童解題規則使用及潛在知識狀態，有其必要可行之處，此為本研究動 機之二。

知識結構分析屬心理計量所重視的範疇，以往研究中大多以質性晤談的方式 來獲得或以量化的方式進行 (Miller & Fey, 2000) ；而由於近來演算與方法論的 快速進步，藉以取代人工手算的複雜計算過程，因此，根據受試者試題反應情形 獲得受試者潛在知識型態，已有許多不同的方法被提出，其中，潛在類別分析 (latent class analysis, LCA) 及混合 Rasch 模式 (mixed Rasch model, MRM) 即是 廣受重視的分析方法。Siegler (1976) 指出，解題者受到本身已存在的知識結構 的影響，在解題過程中會依循某種方法進行解題，以本身已具備的經驗及知識結 構，擬定解題策略進行解題，並形成一種解題規則來解決同類型的問題；同一概 念的問題中會有不同類型的問題，受試者若採用同一種規則進行解題，正確的解 題規則會產生正確的結果，而不正確的解題規則會產生不正確的結果，亦可能產 生正確的結果。舉例來說，如「3+2+1」，其正確規則為以四則運算中的加法計 算，其正確結果為「6」，而四則運算之另外三種方法為「減法」、「除法」及「乘 法」，此三種方法在算式上為不正確的解題規則，其中的減法和除法所獲得的是 不正確的結果，但應用乘法規則所計算的結果是正確的。而一般傳統測驗之計 分，只能從測驗分數反應出受試者的總分、答對和答錯題數，或以絕對分數來表 示受試者的能力在團體中的相對位置，若欲以結果的正確來判定受試者所應用的 解題規則，則難以達其目的。潛在類別分析 (LCA) 是依據受試者在測驗中的反

應組型進行分析，根據事後機率將受試樣本進行分組，使得各組組內同質性高，

組間異質性高，因此，各組內受試樣本所形成的反應組型可代表各組潛在知識型 態或解題規則。而 Rost (1990) 結合 Rasch 模式與潛在類別分析，假設各組間對 同一試題有不同難度，再進行事後機率分析，進行受試樣本的潛在分組，稱為混 合 Rasch 模式 (mixed Rasch model, MRM) 。本研究即針對比例理解及機率理 解，分析受試樣本所得之反應組型，和文獻中解題規則所獲得的規則組型進行比 較，以獲得各組受試者的解題規則，相對於以晤談方式了解受試者解題規則所耗 費的時間，實有其必要及可行之處，此為本研究動機之三。

解題規則的應用與受試者已存在的知識結構相關，因此，分析現行國小數學 領域課程綱要，與比例和機率概念相關能力指標，如表 1-1 所示 (教育部，2003)：

表 1-1 國小數學課程與比例及機率理解概念相關能力指標 指標

代號 分年細目

2-n-03 能用<、=、>表示數量大小關係，並在具體情境中認識遞移律。

3-n-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減。

4-n-08 能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單分數 與小數的互換。

5-n-04 能用約分、擴分處理等值分數的換算。

5-n-05 能用用通分作簡單異分母分數的比較與加減。

5-n-12 能認識比率及其應用。

6-n-07 能認識比和比值，並解決生活中的問題。

6-n-09 能理解正比的現象，並發展正比的概念，解決生活中的問題。

6-a-04 能在比例的情境或幾何公式中，透過列表的方式認識變數。

表 1-1 顯示，比例推理及機率推理問題並未被直接編入課程綱要中進行教 學，而解題所需工具僅隱涵在能力指標中，而解題規則的應用是否因背景變項而 異，是頗受重視的主題，因此，年齡不同的受試者所採用的解題規則是否會有差

異？性別是否也會影響解題規則使用上的不同呢？林福來、郭汾派、林光賢 (1985) 的研究結果顯示，年級愈高則比例推理能力也隨之成長；Karplus, Pulos and Stage (1983) 的研究結果則顯示，在數值型態為整數之比例問題中，男、女 生之比例推理能力並無差異。因此，解題規則的應用是否因年級的不同而有所差 異，有待進一步的探討，因此，國小學童在比例及機率問題所採用的解題規則是 否會因年齡或性別的差異而有所不同，為本研究的研究動機之四。