比例概念的相關研究

教育部 (2001) 在「國民中小學九年一貫課程綱要」中指出，期望學生達到 數學課程的第一項目為掌握數、量、形的概念與關係，比例即為數量關係的重點 之一；教育部於新修定的數學領域正式綱要中指出，比例是鍛練有理數數感的應 用課程之一，更在國小代數課題中，強調協助學童發展比例推理問題的解題策 略，亦有助於國中生理解相似圖形或伸縮圖形的比例關係 (教育部，2003) 。比 例概念備受重視，由此可見一斑。

壹、比例概念概述

用數學符號a :b來表示兩數量 a 和b之間的對等關係，稱為「比」 (陳竹村、

林淑君、陳俊瑜，2002；劉祥通，2004) ， a 稱為比的前項，b為比的後項；而

前項 a 除以不為零的後項b的結果，則稱為a :b的「比值」。比例則是兩個比或比 值的等價關係 (劉秋木，1996) 。

比例關係是兩個量間比的等價關係，Lamon (1995) 認為要了解比例關係的 意涵，要先明白比例概念所包含的三個重要的數學要素，茲分述如下：

一、相對和絕對的改變 (relative and absolute change)

比是表示一個數值對於另一個數值的相對大小 (Nohda, 1984) ，而「相對」

正是比例概念中最重要的成分 (鄭英豪，1990；Lamon, 1995) 。假設有 A、B 二 家公司，A 公司去年賺 50 萬元，B 公司今年賺 200 萬元，經過一年後進行結算，

A 公司今年賺 100 萬元，B 公司今年賺 250 萬元。上例中，若以總量來觀察二家 公司的成長率，A、B 二家公司今年各盈利各增加了 50 萬元，成長率看似相同，

這是以「絕對」 (absolute) 的角度來看；但若以「相對」 (relative) 的觀點來看，

A 公司盈利自去年 50 萬元上升為今年 100 萬元，今年是去年的 2 倍，而 B 公司 自去年 100 萬元上升為今年 150 萬元，今年僅是去年的 1.5 倍。也就是說，從相 對的觀點來看，這二家公司的成長率是不相同的。

從上述的範例得知，學生在進行比例推理的時候，應該先學會判別要以絕 對或相對的立場來思考問題。然而，這點並非所有的學生均能具備。比例是一個 比較性的指標，它總是說明了一個量和另一個量之間的關係。如果一個人僅以絕 對的角度來思考問題而忽略相對間的關係，則無法掌握比例的意義。

二、比感 (ratio sense)

「比感」是指對比的感知，兒童要能夠分辨哪些情境是由比組成，而哪些 不是。他們需瞭解到，存在於兩量之間的關係是什麼，而且這樣的關係應該是真 實的。同時，兒童應該藉由研究比例關係的實例及非實例來發現構成一個比例情 境的必要條件是什麼。例如，假設知道有兩個量存在著第二個量是第一個量的倍 數關係時，兒童若可以察覺到，只要知道第一個量是多少，就能透過倍數關係找

出第二個量是多少時，那我們可以說兒童已具備比感。

三、共變性和不變性 (covariance and invariance)

Lamon (1995) 認為，組成比例關係的兩個比之比值具有不變性，於是在某 些數量間便會存在「共變性」。例如，市場裡 3 公斤的橘子賣 120 元，12 公斤的 橘子賣 480 元，若以橘子的重量為前項，價格為後項，兩個比分別為 3：120 及 12：480，二個比的比值均為

40

1 ，為比例關係的不變性；但當重量由 3 公斤增為

12 公斤時，為了要維持比值的不變性，價格亦由 120 元變為 480 元，即是屬於 比例關係中的「共變性」。

面對比例問題時，受試者若要能成功解題，其所需具備五項相關基本能力 (林瑋詩，2007) ，分述如下：

一、乘除法概念

Vergnaud (1983) 提出概念體 (concept field) 的觀點，認為比例的理解建立 在乘除概念的結構上；而 Lo and Watanabe (1997) 指出其個案的比例概念深受本 身乘除法概念影響，也支持比和比例概念內嵌於乘法概念體的觀點。Vergnaud (1988) 更進一步提出乘除法問題是比例問題的特例，例如「15 顆糖賣 50 元，10 顆糖賣多少元？」是一個比例問題，而題目改為「1 顆糖賣 3 元，6 顆糖賣多少 元？」則為乘法問題，若改為「4 顆糖賣 8 元，1 顆糖賣多少元？」則是除法問 題。所以，比例概念可說是乘除法概念的上位概念 (劉祥通，2004) ，而對乘除 法的了解，對學生解比例問題有所幫助。

二、因數與倍數概念

「12 顆糖賣 30 元，8 顆糖賣多少元？」屬於比例問題，若受試者的解題過 程，是先將 12 顆糖分為 3 組，每組 4 顆，因此價格 30 元也分為 3 組，每組 10 元；取出其中 2 組，共計 8 顆，價格則為 20 元。這種解法的關鍵是找出價格和 糖數的公因數，進而決定組數為 3，再藉由分解、合成的過程進行解題。解比例

問題通常是先做除法做乘法，就是利用因數與倍數來解決問題 (劉祥通、周立 勳，1999) ，因此，因數與倍數概念的了解有助於比例問題的解題。

三、有理數的相關概念

兒童在進行比例問題的解題過程時通常會以乘除法進行解題，但解題時若 遇到類似「7 除以 3」除不盡的情況時，常會放棄解題 (楊錦連，1999) 。莊玉 如 (2005) 的研究則指出，未受過比例單元教學的學童，解題思維受整數基模影 響，其解題的特徵有避開分數、小數的計算；不熟悉分數概念的學童，在解比例 問題時常會遭遇困難，進而影響解題的成敗，因此，瞭解有理數概念，有助於學 童解比例問題時，用分數表示除法的結果和除不盡的數 (楊錦連，1999) 。 四、相對的 (relative) 思考能力

相 對 的 思 考 能 力 是 學 童 解 比 例 問 題 的 重 要 基 本 能 力 之 一 (Lamon, 1993a) ，具備相對思考能力的學童能了解問題情境中數量間的相對關係 (劉祥 通，2004) ；解比例問題時，亦能避免使用錯誤的加法策略，進而使用單價法、

倍數法等乘法策略來解題 (Lamon, 1993a) 。 五、單位化 (unitizing) 與基準化 (norming) 能力

Behr, Harel, Post, and Lesh (1992) 指出，把單一物體視為一個單位時，這種 單位稱為單項單位 (singleton unit) ；把幾個物體視為一個單位時，這種單位稱 為集聚單位 (composite unit) ；而單位化能力即是建立集聚單位的能力 (Lamon, 1993a, 1993b) 。例如，「4 個蛋糕賣 70 元，12 個蛋糕賣多少元？」的問題，能 把「4 個 70 元」視為一個單位，並以此單位來計數，利用 4 個 70 元、8 個 140 元的方式求得答案，便是具備單位化的能力。由此可知，受試者解比例問題使用 的是累加法策略，也是單位化能力的應用。

而「基準化」則是指以一個固定的單位或標準重新概念化一個系統 (Lamon,

「想像地球就像直徑 1 公厘的

針頭那麼大，則太陽就變成 10 公分的球體，且與地球的距離只有 10 公尺。」像 這樣利用「固定地球縮小為針頭的比例」，重新概念化「太陽的大小」及「與地 球的距離」，便是基準化的過程。Lamon (1994) 指出，解比例問題時所採取的單 價法策略和倍數法策略，都是運用基準化能力解題的好例子。

綜觀上述，具備乘除法觀念是解決比例問題的主要數學要素。林原宏 (2006) 所施測的對象是針對中部地區國小四至六年級學童，依據九年一貫數學課程綱要 (教育部，2003) ，學童在四年級時應能處理二位數乘以二位數及三位數除以一 位數的直式計算，因此在樣本的選擇上相當適當。而研究中所採用的試題為比較 濃度大小，並未要求計算數字，因此，有理數概念理解未必會造成學生解題上的 困難，而本研究以林原宏 (2006) 所施測的資料進行反應類型及解題規則分析有 其適切性。

貳、比例概念的發展

比和比例概念是分不開的概念 (Lo & Watanabe, 1997) ，比的概念可以說是 比例概念的基礎概念，但是要發展出成熟的比例概念，似乎除了對比的概念相當 了解之外，尚需對其他相關概念也要有相當的理解。因此，Lamon (1995) 提出 一個比例推理的數學發展結構圖，如圖 2-3 所示：

圖 2-3 比例推理的數學發展結構圖 (引自陳敏華，1999，p.24)

依據 Piaget and Inhelder (1975) 的說法，比例推理是一種二階 (second-order) 的關係，它包含著介於兩個比之間的等價關係 (Lo & Watanabe, 1997) 。而且比 例推理是以比和比例概念為基礎發展而來的一種數學推理能力，同時也是兒童 在解比和比例問題時，所外顯出來可以讓人觀察得到的解題行為之表現。因此，

當我們在探討比和比例概念時，比例推理也是不可忽略勢的一環 (陳敏華，

1999) 。

參、其它比例概念相關研究

林福來、郭汾派及林光賢 (1985) 以大量筆測方式，了解國中生解題策略的 使用情形；並以不同難易之數字關係問題的通過率代表比例推理能力的層次高

比例推理

(proportional reasoning)

絕對的和相對的思考 (absolute and relative

thinking)

共變性和不變性 (covariance and

invariance)

比的適當性 (ratio appropriateness)

關係 (relationships)

分割 (partitioning)

單位化 (unitizing)

其次為倍數法和單價法。研究結果之二顯示，年級愈高，則比例推理能力也隨之 成長；而數字關係的難易也影響比例推理能力的發展。

魏金財 (1987) 利用縱貫生長 (longitudinal growth) 研究法，探討國小五、

六年級學童處理比例問題的解題策略類型及解題策略隨生長而變遷的情形。其研 究結果顯示，從解題策略使用頻率較高的觀點，不同層次 (不同數字關係) 之比 例問題與解題策略間有交互作用現象；而對於相同的比例問題，除了六年級發展 出公式法外，其他各解題策略皆未隨年齡改變而有差異。

何意中 (1988) 也以筆測和晤談法了解國小三至五年級的 60 位學童在比例 問題上的解題策略與錯誤類型。其發現之一為學童最常使用單價法和倍數法，最 少使用公式法。這結果與林福來等人 (1985) 之結果不同，可見國中和國小學 童，其解題策略之使用次數多寡不同。研究發現之二為，三年級學童使用累加法 的次數最多，顯示年級愈低欲容易逃避乘法；而在錯誤的解題策略中，則屬任意 運算這一類的使用次數最多，顯示國小學童對加減乘除的運算意義不了解。

楊錦連 (1999) 探究不同城鄉和年級的國小高年級學童在不同數字關係和 語意類型之比例問題的解題表現。其研究採質性和量性並行的的方式，先大量施 測，以學童之答對通過率，作為探討不同數字關係和語意類型之比例問題的困難 度高低之依據，並分析各解題規則的使用率；再訪談 10 位不同解題層次的學童，

了解其解題策略並歸納對解比例問題有幫助的知識和能力。其研究結果顯示，部 分類型之語意問題有困難度高低的差異性，亦即在國小五、六年級學童的解題表

了解其解題策略並歸納對解比例問題有幫助的知識和能力。其研究結果顯示，部 分類型之語意問題有困難度高低的差異性，亦即在國小五、六年級學童的解題表