溫度與偏壓 的一般理論

(Fermi-Dirac distribution)

 

Tran(E,Usd)。在有限偏壓的情形下，電流公式中有兩項需要討論：1. 費 米能量與偏壓位能分佈、2. 穿透係數。

在考慮有限偏壓時，定義汲極端導電帶的底端 (conduction band bottom) 為 Ud，源極端導電帶的底端為 Us，有限偏壓大小為 Usd，入 射電子能量為 Einc。其中入射電子能量 Einc為相對於源極端導電帶的 底端 U_s的電子能量，即 E_inc = E



1. 費米能量與偏壓位能分佈

源極端費米能量在有限偏壓的情形下會受到修正，這裡我們將費米能 量的變化寫成如下形式

l

U

    

   U

其中 Us (Ud)為源極(汲極)導電帶的底端。而源極與汲極兩端的電位能 差 Usd和電位差 Vds的關係為

sd s d ds

U  U  U  eV

示意如圖 2.15

圖 2.15 源極端和汲極端的費米能量示意圖。源極端費米能量為

μ

μ

因為電位差為相對量，所以在這篇論文裡假設汲極端的導電帶的底端 Ud = 0，則源極端導電帶的底端 Us 提升了 Usd，即 Us = Usd，如圖 2.15。，則源極端和汲極端的費米能量為

l

U

   



 

圖 2.15 顯示了兩個電極的費米能量。

在瞭解偏壓對電子庫裡的費米能量變化後，我們進一步討論在量 子元件中受到偏壓影響後的位能分佈情形。為了讓一維有限偏壓的理 論具有普遍的適用性，並在未來用例如 Poisson 方程式(參考附錄 C) 計算出位能的分佈情形後能適用 [30]，這裡我們不限制偏壓位能 Ubias(x,Usd)的形式。在目前的工作裡，先假設偏壓位能 Ubias(x,Usd)已

知，則我們可用一維轉移矩陣法計算考慮偏壓位能 Ubias(x,Usd) 的穿 透係數 Tran(E,Usd)。這個部分的詳細理論將在 2.3.5 小節做介紹。圖 2.16 為假設偏壓位能為線性分佈的情況下，源極端和汲極端以及量子 元件中的偏壓位能分佈關係。其中 xs 為源極和量子元件的邊界，xd

為汲極和量子元件的邊界。

圖 2.16 源極端和汲極端的費米能量以及偏壓位能分佈的示意圖。源極端費米能 量為

μ

μ

2. 穿透係數

考慮一維系統時，在有限偏壓的情形下，電子通過量子元件時，

穿隧效應除了考慮系統本身存在的散射位能 Usc(x)之外，還要考慮因

偏壓位能 Ubias(x,Usd)造成的影響，所以穿透係數 Tran(E,Usd)為入射電 子能量 E 和偏壓位能 Usd的函數。定義在量子元件中，總位能 U(x,Usd) 為散射位能 Usc(x)和偏壓位能 Ubias(x,Usd)的總和，則其關係為 U(x,Usd)

= Usc(x)+ Ubias(x,Usd)。也就是說電子的穿透係數 Tran(E,Usd)和總位能 U(x,Usd) 的 分 佈 有 關 。 而 其 中 受 外 加 偏 壓 影 響 的 為 偏 壓 位 能 Ubias(x,Usd)。

因為這裡的總位能 U(x,Usd)適用於任意情形的散射位能 Usc(x)和 偏壓位能 Ubias(x,Usd)，所以在這個工作裡，我們詴著利用 2.1.2 小節 介紹過的轉移矩陣法計算此位能的穿透係數。但我們發現有限偏壓位 能在源極端 x = xS為一步階函數分佈，而 2.1.2 小節的轉移矩陣法並 不適用於位能在無窮遠處有值的情形，因此我們在 2.3.5 小節修正了 2.1.2 小節的轉移矩陣法，並使其適用於計算有限偏壓的穿透係數。

一維系統考慮一步階函數在位能最左端的詳細理論請參考「2.3.5 源 極和汲極的偏壓效應」。接下來的三個小節，我們對不同溫度或偏壓 的極限條件做討論。