國
立
交
通
大
學
電子物理學系
碩 士 論 文
在寬-窄-寬量子元件之時變性傳輸
Time-dependent Transport in Wide-
Narrow-Wide Quantum Devices
研 究 生：陳力瑋
指導教授：鄭舜仁 教授
唐志雄 教授
在寬-窄-寬量子元件之時變性傳輸
Time-dependent Transport in Wide-Narrow-Wide Quantum
Devices
研 究 生：陳力瑋 Student：Le-Wei Chen
指導教授：鄭舜仁 教授 Advisor：Prof. Shun-Jen Chen 唐志雄 教授 Advisor：Prof. Chi-Shung Tang
國 立 交 通 大 學 電 子 物 理 學 系
碩 士 論 文
A Thesis
Submitted to Department of Electrophysics College of Sciece
National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements
for the Degree of Master
in
Electrophysics September 2011
Hsihu, Taiwan, Republic of China
在寬-窄-寬量子元件之時變性傳輸 學生：陳力瑋 指導教授：鄭舜仁 教授 唐志雄 教授 國立交通大學電子物理研究所碩士班 摘要 我們考慮一偏壓跨接在源極和汲極間被分離閘極定義的準一維 量子通道。有限偏壓和有限溫度效應將被納入考慮。為了研究時變傳 輸的特性，我們考慮分離閘極上外加一頂閘極，用以提供具週期性時 變的位能。在導引和窄通道間的非緩變模態混合特性將被討論。 在這個工作裡，我們分析模態混合效應造成的子帶間躍遷和週期 性時變位能造成的邊帶間躍遷。光輔助和光壓抑的特性都可以在電導 對入射電子能量的函數中發現。除此之外，我們考慮了有限溫度和偏 壓效應，用以研究非線性量子傳輸和熱擴張性質。
Time-dependent Transport in Wide-Narrow-Wide Quantum Devices
Student：Le-Wei Chen Advisor：Prof. Shun-Jen Cheng Prof. Chi-Shung Tang
Department of Electrophysics National Chiao Tung University
ABSTRACT
We consider a semiconductor quantum device that is transversely confined by a pair of split-gate forming a quasi-one-dimensional narrow channel and is biased by the source and drain electrodes. Both the finite-bias and the finite-temperature effects are explicitly included in our calculation. In order to investigate the time-dependent transport behavior, we consider a top-gate in front of the split-gate for generating time-periodic potential. The nonadiabatic mode-mixing features between the narrow channel and the leads are included in the calculation.
In this work, we have analyzed the quantum transport properties involving the inter-subband transitions due to the mode-mixing effects and the inter-sideband transitions due to the time-periodic potential. Both the photon-assisted and the photon-suppressed features can be found in conductance as a funtion of the incident electron energy. Moreover, we explicitly include the finite-bias and finite-temperaure effects to investigate the nonlinear quantum transport and thermal broadening properties.
致謝
回想碩班這兩年半來的生活，要感謝的人太多。每個星期五的實 驗室 meeting，鄭舜仁老師總會指出我報告的重點缺失，用嚴謹且專 業的角度，從旁協助我瞭解工作的重點。唐志雄老師每個禮拜不辭辛 勞的到交大指導我，更讓我感激。感謝百忙之中抽空前來的口詴委 員，趙良君老師、陳煜璋老師以及簡紋濱老師在口詴時的寶貴意見。 除了兩位老師的耐心指導，學長們更是在研究上提供了重要的幫 忙。不管是程式部分的技術指導，或是物理觀念的重點釐清，對我來 說都是莫大的幫助。在這裡感謝盧書楷大學長、陳彥廷學長、趙虔震 學長、陳勇達學長、尤文廷學長、廖禹淮學長、徐燁學長、許克銘學 長、曾浤鈞學長。修課與研究都在一起奮鬥的同學們，林以理、張書 瑜、鄭丞偉、古志豪、廖建智、張語宸。感謝你們這兩年多來的倍伴， 課業上的學習，研究上的討論，這些都使我的碩班生活不孤單。還有 學弟妹們國榮、佩儀、家祥、智瑋、書睿。真的很開心有機會在這個 固態物理研究室完成我的碩班工作。 最後感謝我的朋友和家人，在受挫時有你們的倍伴是我持續前進 的最大動力。目錄： 中文摘要……… ii 英文摘要………... iv 致謝………... v 目錄……….. vi 表目錄………. viii 圖目錄……… viiii 第一章 緒論 ... - 1 - 1.1 量子元件簡介 ... -1- 1.2 研究動機 ... -9- 第 二 章 一維與準一維系統的量子傳輸 ... - 11 - 2.1 一維系統 ... -12- 2.1.1 模態匹配法 (Mode-matching method) ... - 12 -
2.1.2 轉移矩陣法 (Transfer matrix method) ... - 15 -
2.1.3 矩形位勢模型 (Square potential model) ... - 21 -
2.1.4 高斯位勢模型 (Gaussian potential model) ... - 26 -
2.2 準一維系統 ... -30-
2.2.1 準一維量子通道 ... - 31 -
2.3 溫度與偏壓效應 ... -35-
2.3.2 有限溫度與極小偏壓 ... - 41 -
2.3.3 零溫度與有限偏壓 ... - 42 -
2.3.4 零溫度與極小偏壓 ... - 45 -
2.3.5 源極和汲極的偏壓效應 ... - 45 -
2.3.6 共振穿隧效應 (resonance tunneling effect) ... - 66 -
2.3.7 準一維奈米線考慮有限偏壓效應 ... - 69 - 2.3.8 準一維奈米線考慮有限溫度與偏壓的效應 ... - 76 - 第三章 寬-窄-寬量子元件的靜態量子傳輸 ... - 80 - 3.1 理論模型與方法 ... -80- 3.2 數值結果與分析 ... -88- 第四章 寬-窄-寬元件的動態量子傳輸 ... - 95 - 4.1 理論模型與方法 ... -96- 4.1.1 量子通道的理論模型 ... - 97 - 4.1.2 寬-窄-寬元件的理論模型 ... - 106 - 4.2 量子通道的動態傳輸 ... -117- 4.2.1 邊帶的收斂性討論 ... - 117 - 4.2.2 量子通道的準束縛態結構 ... - 120 - 4.2.3 量子通道的 Fano 結構 ... - 127 -
4.3 寬-窄-寬元件的動態傳輸 ... -131-
4.3.1 光電耦合效應 ... - 133 -
第五章 總結與未來工作 ... - 145 -
表目錄：
表 1.1 不同長度對映的物理量 [4]。 ... 3
表 1.2 在 AlGaAsGaAs 或 Si 反轉層 (inversion layer) 的二維電子氣中電子特性[4]。 ... 8
表 2.1 無因次化的物理量及其 SI 單位下 AlGaAsGaAs 二維電子氣為基準的值。 ... 12 表 4.1 討論邊帶收斂性的參數。 ... 118 -表 4.2 寬窄比相同，改變交流電壓位能強度 V0之寬窄寬時變系統物理參數。黑體字為固定參數。 藍體字為主要討論的參數。 ... 120 -表 4.3 寬窄比相同，改變 ω 之寬窄寬時變系統物理參數。黑體字為固定參數。藍體字為主要討 論的參數。 ... 124 -表 4.4 寬窄比相同，改變 L 之寬窄寬時變系統物理參數。黑體字為固定參數。藍體字為主要討 論的參數。 ... 125 -表 4.5 寬窄比相同，改變直流電壓位能 VB之寬窄寬時變系統物理參數。黑體字為固定參數。藍 體字為主要討論的參數。 ... 126 -表 4.6 改變寬窄比之寬窄寬時變系統物理參數。黑體字為固定參數。藍體字為主要討論的參數。 ... 132 -表 4.7 寬窄比為 2 時，改變直流電壓位能 VB之寬窄寬時變系統物理參數。黑體字為固定參數。 藍體字為主要討論的參數。 ... 133 -表 4.8 寬窄比為 2 時，改變窄通道長度 L 之寬窄比和交流電壓位能強度頻率比 V0/ω 為 2 時，改 變交流電壓位能頻率ω 之寬窄寬時變系統物理參數。黑體字為固定參數。藍體字為主要討 論的參數。 ... 137 -表 4.9 寬窄比為 2 時，改變 ω 之寬窄寬時變系統物理參數。黑體字為固定參數。藍體字為主要 討論的參數。 ... 138 -表 4.10 寬窄比為 2 時，改變交流電壓位能強度 V0之寬窄寬時變系統物理參數。黑體字為固定參 數。藍體字為主要討論的參數。 ... 139 -表 4.11 寬窄比為 2 時，改變 L 之寬窄寬時變系統物理參數。黑體字為固定參數。藍體字為主要 討論的參數。 ... 143
-圖目錄：
圖 1.1 (a) 電阻和電壓的關係。(b) 電導和電壓的關係。來源取自 B.J.van Wees et al.,Phys. Rev. Lett. 60, 848(1988)。 ... 2 -圖 1.2 不同傳輸區域對映的電子軌跡[4]。擴散傳輸，le < W,L。彈道傳輸，W,L < le。 ... 6 -圖 2.1 delta 位能在 x = xj位置時，左右兩側波函數的關係。Vj為第 j 個 delta 位能強度。 .... 17 -圖 2.2 用 N 個 delta 位能建構一個任意散射位能示意-圖。上-圖中，黑色曲線代表任意散射位能 Vsc(x)，藍色虛線矩形代表每個切片的矩形位能，其中 N 代表用中點法的切片總數。下圖 中，藍色虛線代表每個矩形位能切片，其中∆x 代表矩形位能切片的寬度，Vsc(xj)代表矩形 位能切片的高度。紅色箭頭代表第 j 片 delta 散射位能 Vjδ(x)。 ... 19 -圖 2.3 矩形位勢模型示意-圖。矩形位能強度為 Vs0，寬為 L。在這一小節的討論中，我們假設矩 形位能分佈為 x=0 至 x=L。 ... 22 -圖 2.4 矩形位能之穿透係數和入射電子能量關係。其中矩形位能強度 Vs0 = 1 和寬度 L = 10 。 此為用 mathematica 畫的解析結果。 ... 25 -圖 2.5 矩形位能之穿透係數和入射電子能量關係。其中矩形位能強度 Vs0 = 1 和寬度 L = 10 。 此為用 Fortran 語言所寫程式的轉移矩陣畫出數值結果。 ... 25 -圖 2.6 高斯位能示意-圖。藍色曲線代表高斯位能 V(x)。VG為高斯位能強度。σ 為高斯分佈的標 準差。 ... 26 -圖 2.7 此為一個高斯位能在 β = 0.05 時，改變不同高斯位能強度 VG 的電導。 ... 27 -圖 2.8 此為一個高斯位能在強度 VG = 3 時，改變不同 β 的電導。 ... 28 -圖 2.9 兩個高斯位能示意-圖。藍色曲線代表兩個高斯位能 V(x)。VG為高斯位能強度。xG1和 xG1 分別為第一個和第二個高斯分佈的位置。 ... 29 -圖 2.10 此為一個高斯位能在 β = 0.05 時，改變不同高斯位能強度 VG 的電導。 ... 30 -圖 2.11 簡單的準一維通道實驗系統-圖。紅色圓圈為準一維彈道傳輸的區域。通道寬度為 W。通 道中間上方加入指狀閘極。 ... 31 -圖 2.12 簡化後的準一維通道系統-圖。Vd0為 delta 散射位能強度。通道的座標位置如圖所示。 .. - 31 -圖 2.13 delta 位能強度為 Vd0 = 0ε1 、 Vd0 = 1ε1 、 Vd0 = 2ε1 和 Vd0 = 3ε1 時，電導對入射電子能 量作圖。 ... 35 -圖 2.14 此為簡單的一維系統外加偏壓示意-圖。藍色線表示電位能分佈，紅色線表示電位分佈。 左端代表源極，右端代表汲極。Usd = Us –Ud為源極與汲極的電位能差。Vds = Vd −Vs為汲 極與源極的電位差。 ... 36 -圖 2.15 源極端和汲極端的費米能量示意-圖。源極端費米能量為 μl。汲極端的費米能量為μr。外 加偏壓能量大小為 Usd。 ... 39 -圖 2.16 源極端和汲極端的費米能量以及偏壓位能分佈的示意-圖。源極端費米能量為 μl。汲極端 的費米能量為μr。外加偏壓能量大小為 Usd。Ubias(x,Vsd)為偏壓位能在量子元件中的分佈情 形。 ... 40 -圖 2.17 偏壓位能 Usd < μ 時，源極端和汲極端的費米能量以及偏壓位能分佈的示意圖。源極端費
米能量為 μl = μ+Usd。汲極端的費米能量為μr = μ。外加偏壓能量大小為 Usd = eVds。Ubias(x,Vsd) 為偏壓位能在量子元件中的分佈情形。箭頭與括號為對電流有貢獻的能量範圍。 ... 43 -圖 2.18 偏壓位能 Usd > μ 時，源極端和汲極端的費米能量以及偏壓位能分佈的示意圖。源極端費 米能量為μl = μ+Usd。汲極端的費米能量為μr = μ。外加偏壓能量大小為 Usd = eVds。Ubias(x,Vsd) 為偏壓位能在量子元件中的分佈情形。箭頭與括號為對電流有貢獻的能量範圍。 ... 44 -圖 2.19 步階函數在源極端 x=xs的變化。黑色箭頭代表源極端兩旁的波函數。A0、A1為向右行進 的平面波振幅。B0、B1為向左行進的平面波振幅。Usd為偏壓位能大小。 ... 46 -圖 2.20 步階函數在 x = xs的變化。黑色箭頭代表源極端兩旁的波函數形式。A0、A1為向右行進 的平面波振幅。B0、B1為向左行進的平面波振幅。Usd為偏壓大小。 ... 47 -圖 2.21 這是用 mathematica 程式跑出來的一個步階函數穿透和反射的情形。紅色虛線代表反射 係數、藍色實線代表透射係數、青色點線是為了確認電流守恆。 ... 50 -圖 2.22 這是用 Fortran 程式跑出來的一個步階函數穿透和反射的情形。假設 Vds= 0.9(mV)，則對 應的 Usd = 0.1。紅色虛線代表反射係數、藍色實線代表透射係數、青色點線是為了確認電 流守恆。 ... 51 -圖 2.23 穿透係數對偏壓大小 Usd的關係圖。入射電子能量 Eiinc = 1，偏壓大小 Usd改變量從 0 到 0.5。 ... 52 -圖 2.24 穿透係數與電子能量的關係-圖。黑色點線為 Usd = 0.1，藍色虛線為 Usd = 0.2，紅色實線 為 Usd = 0.3。 ... 53 -圖 2.25 穿透係數和 Einc的關係。黑色點線為 Usd = 0.1，藍色虛線為 Usd = 0.2，紅色實線為 Usd = 0.3。 ... 54 -圖 2.26 四種不同偏壓分佈情形。量子系統範圍在 xs = 0 至 xd = 10。黑色實線代表 Ubs。藍色虛線 代代表 UbG。綠色點虛線代表 Ubl。紅色點線代表 Ubd。 ... 56 -圖 2.27 四種不同偏壓位能的穿透係數。黑色實線代表 Ubs。藍色虛線代代表 UbG。綠色點虛線 代表 Ubl。紅色點線代表 Ubd。 ... 56 -圖 2.28 四種不同偏壓位能的反射係數。黑色實線代表 Ubs。藍色虛線代代表 UbG。綠色點虛線代 表 Ubl。紅色點線代表 Ubd。 ... 57 -圖 2.29 電導對汲極費米能量的關係-圖。源極和汲極的偏壓 Usd = 1meV。散射位能 Vsc(x) = 0。藍 色點線代表線性區。紅色虛線代表飽和區。 ... 59 -圖 2.30 此為 μ< Usd時，費米能量、穿透係數和積分範圍三者之間的關係。左為兩端費米能量與 偏壓 Usd之示意圖。右為 Ubs~Ubd四種不同偏壓下的穿透係數。兩圖中的紅色實線方框均 為入射電子能量積分範圍。 ... 60 -圖 2.31 此為 μ= Usd時，費米能量、穿透係數和積分範圍三者之間的關係。左為兩端費米能量與 偏壓 Usd之示意圖。右為 Ubs~Ubd四種不同偏壓下的穿透係數。兩圖中的紅色實線方框均 為入射電子能量積分範圍。 ... 60 -圖 2.32 此為 μ > Usd時，費米能量、穿透係數和積分範圍三者之間的關係。左為兩端費米能量與 偏壓 Usd之示意圖。右為 Ubs~Ubd四種不同偏壓下的穿透係數。兩圖中的紅色實線方框均 為入射電子能量積分範圍。 ... 61 圖 2.33 IV 關係圖。固定汲極費米能量 μ = 0.1。對四種不同的偏壓位能分佈作圖。 ... 63
-圖 2.34 此為 Usd < μ 時，費米能量、穿透係數和積分範圍三者之間的關係。左為兩端費米能量與 偏壓 Usd之示意圖。右為 Ubs~Ubd四種不同偏壓下的穿透係數。兩圖中的紅色實線方框均 為入射電子能量積分範圍。 ... 64 -圖 2.35 此為 μ= Usd時，費米能量、穿透係數和積分範圍三者之間的關係。左為兩端費米能量與 偏壓 Usd之示意圖。右為 Ubs~Ubd四種不同偏壓下的穿透係數。兩圖中的紅色實線方框均 為入射電子能量積分範圍。 ... 64 -圖 2.36 此為 Usd > 時，費米能量、穿透係數和積分範圍三者之間的關係。左為兩端費米能量 與偏壓 Usd之示意圖。右為 Ubs~Ubd四種不同偏壓下的穿透係數。兩圖中的紅色實線方框 均為入射電子能量積分範圍。 ... 65 -圖 2.37 兩個 delta 散射位能與三種不同偏壓位能分佈示意-圖。其中實線為偏壓位能 Ubias(x)，黑 色實線代表無散射位能，藍色實線代表偏壓落在源極端，紅色實線代表偏壓落在汲極端。 虛線代表兩個 delta 散射位能。偏壓大小 Usd = 0.1，Vd1 = Vd2 = 10。 ... 67 -圖 2.38 兩個 delta 散射位能的共振穿透係數。黑色實線為偏壓位能 Ub0的穿透係數，藍色虛線為 偏壓位能 Ubs的穿透係數，紅色點線為 Ubd的穿透係數。黑色倒三角形為用無窮深位能井 模型估算寬度為 10、底部能量為 0 的位能井能階分佈，紅色倒三角形為用無窮深位能井 模型估算寬度為 10、底部能量為偏壓大小 0.1 的位能井能階分佈。黑色點虛線代表相對於 偏壓大小 0.1 的能量。此系統中 Ubs和 Ubd的偏壓大小 Usd = 0.1，兩個 delta 散射位能強度 V1 = V2 = 10，源極端 xs = 0 和汲極端 xd = 10。 ... 68 -圖 2.39 準一維奈米線的電導對費米能量關係。源極和汲極的偏壓位能大小 Usd = 0.56ε1。ε1 =
0.0987(0.888meV)為第一子帶能量(first sub-band energy)。此子帶能量為通道寬度 10 (80nm) 的結果。 ... 71 -圖 2.40 費米能量和積分範圍之間的關係。源極和汲極的費米能量都比子能帶能量小。沒有電子 在可貢獻電流的能量範圍。 ... 72 -圖 2.41 費米能量和積分範圍之間的關係。源極費米能量比子能帶能量大，但汲極費米能量比子 能帶能量小。源極電子在能量大於子能帶能量時會對電流產生貢獻。 ... 73 -圖 2.42 費米能量和積分範圍之間的關係。源極和汲極的費米能量均比子能帶能量大。源極電子 在能量比汲極費米能量大的範圍會貢獻電流。 ... 73 -圖 2.43 Ie-Usd關係圖。費米能量為μ = 1ε1到 5ε1。取線性偏壓位能 Ubias(x,Vsd) = Ubl ... 74 -圖 2.44 最上面的-圖為偏壓 Usd = 0 時，則電流 I = 0。中間的圖為偏壓 Usd < μ-εn時，則對電流有 貢獻的入射電子能量範圍從μ 到 μ+Usd。最下面的圖為偏壓 Usd > μ-εn時，則對電流有貢獻 的入射電子能量範圍從 Usd到 μ+Usd。紅色細虛線代表第 n 個子帶能量，紅色粗虛線代表 電子可在第 n 個傳遞模態。 ... 76 -圖 2.45 電導和入射電子能量關係-圖。黑色虛線為溫度 T = 3mK 的結果。紅色實線為溫度 T = 3K 的結果。其中偏壓電位差 Vsd = 0.5 mV。 ... 77 -圖 2.46 電子流 Ie對偏壓 Usd的關係。溫度 T = 3mK。費米能量為 μ = 1ε1到 5ε1。此結果與零溫有 限偏壓結果相近。 ... 78 -圖 2.47 電流 I 對偏壓 Vsd的關係。溫度 T = 3K。汲極端費米能量為 μ = 1ε1到 5ε1。此結果可明顯 看出溫度壓抑了電流。而且在理想準一維奈米線中，因子帶而出現的轉折變平滑了。- 79
-圖 3.1 寬-窄-寬結構的二維電子氣量子元件。其中 WL為導引的寬度，WC為窄通道的寬度，L 為 窄通道的長度，左右兩端白色區域為源極與汲極，黃色區域為分離閘極，淺黃色區域為導 引。 ... 81 -圖 3.2 電導對入射電子能量關係。系統參數為 WL = WC = 10、L = 30。黑色實線為電導對能量的 關係曲線，其在寬窄比為 1 時與準一維量子通道相同。 ... 89 -圖 3.3 電導對入射電子能量關係。系統參數為 WC = 10、L = 30。黑色點線為 WL = 10。藍色虛線 為 WL = 15。紅色實線為 WL = 20。黑色倒三角符號為窄通道的束縛態能量。 ... 90 -圖 3.4 電導對入射電子能量關係。系統參數為 WL = 20、WC = 10。黑色點線為 L = 10。藍色虛線 為 L = 20。紅色實線為 L = 30。倒三角符號為窄通道的束縛態能量。 ... 91 -圖 3.5 考慮不同子帶數，電導對入射電子能量的收斂情形。黑色點線代表考慮 6 個子帶。藍色 虛線代表考慮 12 個子帶。紅色實線代表考慮 18 個子帶。Ntot為系統所考慮的總子帶數。 ... 92 -圖 3.6 取入射電子能量範圍在第一個子帶，考慮不同子帶數，電導對入射電子能量的收斂情形。 黑色點線代表考慮 6 個子帶。藍色虛線代表考慮 12 個子帶。紅色實線代表考慮 18 個子帶。 2Ntot為系統所考慮的總子帶數。 ... 93 -圖 3.7 取入射電子能量範圍在第二個子帶，考慮不同子帶數，電導對入射電子能量的收斂情形。 黑色點線代表考慮 6 個子帶。藍色虛線代表考慮 12 個子帶。紅色實線代表考慮 18 個子帶。 2Ntot為系統所考慮的總子帶數。 ... 94 -圖 4.1 邊帶峰值間距與光子能量的關係。κ 代表電壓與能量的轉換係數。FWHM 代表未加微波 信號的共振態半高寬。來源取自 T.H.Oosterkamp et al.,Phys. Rev. Lett. 78, 1536(1997)。- 96 -圖 4.2 寬-窄-寬結構的二維電子氣量子元件。藉由頂閘極(top gate)產生交流電壓位能，分離閘極 (split gate)產生時變通道。 ... 97 -圖 4.3 寬-窄-寬結構的二維電子氣量子元件。其中 W 為量子通道寬度，L 為量子通道中時變區 域的長度，左右兩端白色區域為源極與汲極，黃色區域為分離閘極，淺黃色區域為導引， 橘色區域為產生週期性交流電壓位能的頂閘極。 ... 98 -圖 4.4 寬-窄-寬結構的二維電子氣量子元件。藉由頂閘極(top gate)產生交流電壓位能，分離閘極 (split gate)產生一窄通道。 ... 106 -圖 4.5 寬-窄-寬結構的二維電子氣量子元件。其中 WL為導引的寬度，WC為窄通道的寬度，L 為 窄通道的長度，左右兩端白色區域為源極與汲極，黃色區域為分離閘極，淺黃色區域為導 引，橘色區域為產生週期性交流電壓位能的頂閘極。 ... 107 -圖 4.6 取入射電子能量範圍在第一個子帶底端，考慮不同邊帶數，電導對入射電子能量的收斂 情形。黑色點線代表考慮 3 個邊帶。藍色虛線代表考慮 5 個邊帶。紅色實線代表考慮 7 個 邊帶。綠色點虛線代表考慮 9 個邊帶。Mtot為系統所考慮的總邊帶數。 ... 119 -圖 4.7 邊帶躍遷示意-圖。藍色圓點代表電子入射的模態。紅色圓點代表離電子入射模態數個光 子能量的邊帶模態。 ... 120 -圖 4.8 黑色點線為未加週期性交流電壓位能的電導和入射電子能量的關係。紅色虛線、綠色點虛
線和藍色實線分別為交流電壓位能強度為 V0 = 0.02ε1 、 V0 = 0.04ε1 和 V0 = 0.06ε1的電導 對入射電子能量的關係。 ... 121 -圖 4.9 電子在不同模態間的躍遷情形。黑色實線代表電子入射能量。紅色虛線代表電子吸放 m 個光子後的能量。電子放出 m 個光子能量後，跳到子帶底端的準束縛態，短暫停留後反射 回左邊導引。 ... 122 圖 4.10 急降結構時的波函數機率密度分佈。 ... 123 -圖 4.11 寬窄比相同，改變 ω 之電導和入射電子能量的關係。黑色點線、藍色虛線和紅色實線分 別為光子能量為ω = 0.03ε 1、0.04ε1和0.05ε1下的電導對入射電子能量的關係。 .... 124 -圖 4.12 寬窄比相同，改變 L 之電導和入射電子能量的關係。黑色點線、藍色虛線和紅色實線分 別為光子能量為ω = 0.03ε 1、0.04ε1和0.05ε1下的電導對入射電子能量的關係。 .... 125 -圖 4.13 寬窄比相同，改變直流電壓位能 VB之電導和入射電子能量的關係。黑色點線為未加直流 偏壓的電導和入射電子能量的關係。藍色虛線和紅色實線分別為直流電壓位能為 VB = -1.5ε1 和 VB = -3ε1的電導對入射電子能量的關係。 ... 127 -圖 4.14 前三個束縛態隨直流電壓位能 VB變化的關係圖。黑色實線代表基態，藍色實線代表第 一激發態，紅色實線代表第二激發態。紅色虛線代表形成 Fano 結構的入射電子能量為 Efano。A、B、C 和 D 四點分別代表不同負電壓位能 VB時，束縛態能量。 ... 129 -圖 4.15 四種不同直流電壓位能 VB對映的電導。A、B、C 和 D 四點分別代表不同負電壓位能 VB 時，束縛態能量。黑色實線代表 VB= −0.15，藍色實線代表 VB= −0.50，綠色虛線代表 VB= −0.75，紅色實線代表 VB= −1.05。 ... 130 -圖 4.16 Fano 結構的示意-圖。紅色線為 Fano-dip 的情形。綠色線為 Fano-peak 的情形。Fano 發生 的原因為真實束縛態(TBS)與廣延態(extended state)不同路徑所形成的干涉現象。 ... 131 -圖 4.17 改變寬窄比之電導和入射電子能量的關係。紅色虛線為導引和窄通道的寬度相同時。綠 色虛線為導引寬度為 WL = 15(120nm)。藍色實線為導引寬度為 WL = 20(160nm)。 ... - 132 -圖 4.18 不同直流電壓位能 VB下，電導和入射電子能量關係圖(為了分析方便做垂直方向平移)。 虛線箭頭為未加直流電壓位能 VB所形成的第二個子帶底端。實線箭頭為加入直流電壓位 能 VB所形成的第二個子帶底端。 ... 134 -圖 4.19 改變直流電壓位能 VB之電導和入射電子能量的關係。黑色點線為未加交流電壓位能且直 流電壓位能 VB = −3ε1時的對照曲線。藍色實線為直流電壓位能為 VB = −3.0ε1 和交流電壓 頻率ω = 0.03ε1。 ... 136 -圖 4.20 寬窄比為 2 時，改變 L 之電導和入射電子能量的關係。黑色點線為未加交流電壓時。三 條實線分別為光子能量 ℏω = 0.02ε1、 0.03ε1和0.04ε1且交流電壓位能強度頻率比 V0/ ℏω = 2 的電導和入射電子能量的關係。黑色小三角為邊峰出現的位置。 ... 137 -圖 4.21 寬窄比為 2 時，改變 ω 之電導和入射電子能量的關係。黑色點線為未加交流電壓位能時。 三條實線分別為交流電壓位能頻率 ℏω = 0.02ε1、 0.03ε1和0.04ε1的電導和入射電子能量 的關係。黑色小三角為邊峰出現的位置。 ... 139
-圖 4.22 寬窄比為 2 時，改變交流電壓位能強度 V0之電導和入射電子能量的關係。黑色點線為 未加交流電壓位能時。三條實線分別為交流電壓位能強度 V0/ω = 0.1、V0/ω = 1 和 V0/ω = 2 的電導和入射電子能量的關係。黑色小三角為邊帶峰值出現的位置。 ... 140 -圖 4.23 (a)、(b)和(c)三條線分別對應 V0/ω = 1、2 和 3。黑色虛線為不吸放光子的結果。藍色虛 線為吸放一個光子的結果。紅色虛線為吸放兩個光子的結果。 ... 141 -圖 4.24 三種耦合強度 V0/ℏω = 0.1、V0/ℏω = 1 和 V0/ℏω = 2 下，考慮有限溫度 T=0.03K 的電導和 入射電子能量關係。黑色點線代表零溫的對照曲線。實線考慮的溫度為 0.03K。(a)為弱耦 合(b)為強耦合(c)為超強耦合。 ... 142 -圖 4.25 三種耦合強度 V0/ℏω = 0.1、V0/ℏω = 1 和 V0/ℏω = 2 下，考慮有限溫度 T=0.30K 的電導和 入射電子能量關係。黑色點線代表零溫的對照曲線。實線考慮的溫度為 0.30K。(a)為弱耦 合(b)為強耦合(c)為超強耦合。 ... 143 -圖 4.26 寬窄比為 2 時，改變 L 之電導和入射電子能量的關係。黑色點線為未加交流電壓位能時。 三條實線分別為窄通道長度 L = 20 、30 和 40 時的電導和入射電子能量的關係。黑色小 三角為邊峰出現的位置。 ... 144
-參數表 nl a 第 n 個縱向子帶能態和第 l 個縱向子帶能態的重疊積分 ∆x 矩形位能切片的寬度 D 擴散係數 E 電子能量 . . b s E 束縛態能量 E 以第一個子帶能量為單位的束縛態能量 EBn 第 n 個束縛態能量 EF 材料費米能量 Einc 考慮偏壓位能後的電子入射能量 En 第 n 個子帶上的電子動能 fl,r(E,μl,r) 源極或汲極的費米狄拉克分佈 G 直流電導 ℏ 普郎克常數 Ie,l→r 從左到右的電子流 Ie,r→l 從右到左的電子流 k 波向量 kl 在導引中第 l 個子帶的電子波向量 le 平均自由路徑 L 通道長度(窄通道長度) Lmax 最高的傳導模態 LT 熱相干破壞長度 Lφ 相位鬆弛長度 m 電子質量 m* 等效電子質量 Mmax 最大可吸放光子數 Mtot 總邊帶數 Ntot 總子帶數 p 電子動量 p% 高斯位能大小佔總偏壓位能差 Usd的百分比 r 反射振幅 l l r 從第 l 個子帶入射，第l個子帶反射的電子波函數振幅 Refl 反射係數 Rn 第 n 個子帶模態的反射係數 nn S 考慮所有重疊積分的和 T 溫度 T 總轉移矩陣
t 穿透振幅 l l t 從第 l 個子帶入射，第l個子帶穿透的電子波函數振幅 t 時間 T′ 不包含步階函數的總轉移矩陣 T0 步階函數的轉移矩陣 Tj 第 j 個 delta 轉移矩陣 Tn 第 n 個子帶模態的穿透係數 Tran 穿透係數 Tranl→r(E,Usd) 從左到右的穿透係數 Tranr→l(E,Usd) 從右到左的穿透係數 u 遷移率 Ubd 在汲極端的步階偏壓位能分佈 UbG 半高斯偏壓位能分佈 Ubias(x,Usd) 偏壓位能 Ubl 線性偏壓位能分佈 Ubs 在源極端的步階偏壓位能分佈 Ud 汲極的電位能 Us 源極的電位能 Usd 源極與汲極的電位能差 v 電子速度 V0 交流電壓位能強度 VB 直流偏壓位能 Vc(x) 侷域位能 vd 漂移速度 Vd0 delta 位能強度 Vd1 第一個 delta 散射位能的強度 Vd2 第二個 delta 散射位能的強度 Vds 汲極與源極的電位差 VG 高斯位能強度 VG1 第一個高斯散射位能強度 VG2 第二個高斯散射位能強度 Vj 第 j 個 delta 位能強度 Vsc(x) 散射位能 Vsq0 矩形位能強度 W 量子通道寬度 WC 窄通道寬度 WL 導引寬度 xG1 第一個高斯位置
xG2 第二個高斯位置 xj 第 j 個 delta 位能位置 β 高斯係數 βn 在窄通道中第 n 個子帶的電子波向量 εn 第 n 子帶能量 θ 散射角度 λ 電子波長 μ 零溫零偏壓時的費米能量 ζ 高斯位能的標準差 τtr 傳輸鬆弛時間 μl 源極費米能量 μr 汲極費米能量 ω 交流電壓位能的角頻率
第一章 緒論
1.1 量子元件簡介 近幾年來由於半導體工業的微縮技術，使得元件的尺寸越變越小 而來到了奈米級。在這個尺寸下，古典的理論開始無法精準的解釋電 子的運動情形，如量子化的電導 [1] 、電子波的相干性 [2] 、電子 波的同調性 [3] …等等。此時利用量子力學的方式解釋電子在奈米 尺度下的運動即為量子傳輸。 量子化電導中最經典的一個實驗由 B.J.van Wees 的團隊在 1988 年發表在 PRL 期刊。他們在 GaAs-AlGaAs 異質結構所形成的二維電 子氣上外加電極。外加電極的負偏壓可以在 2DEG 中產生點接觸的一 維通道。實驗藉由調整外加負偏壓的大小，改變一維通道寬度。量測 一維通道兩端電阻對負偏壓的關係，成功得到 16 個平台狀的結果。 他們將電阻結果減去 400Ω 的導引(Lead)電阻，計算電導，並發現量 子化電導(每個電導平台為 2e2 /h 的整數倍)。圖 1.1 (a) 電阻和電壓的關係。(b) 電導和電壓的關係。來源取自B.J.van Wees et al.,Phys. Rev. Lett. 60, 848(1988)。
在低維度的系統下，我們可以依照不同的物理量區分出幾個重要 的長度尺寸。將其整理成如下表。
表 1.1 不同長度對映的物理量 [4]。
在表 1.1 中提到的物理量其物理意義如下：
德布羅意波長 (De Broglie wave length) ，。此波長被定義為
2 2
p k
其中 p(k)為有代表性的電子動量 (波向量) 。如果是費米氣體 (Fermi gas) 的特徵動量即為費米動量 (Fermi momentum) 。若是波茲曼氣體
(Boltzmann gas) ，p = (2mkT)1/2，則 2 2mkT 平均自由路徑，le。這是電子在雜質或聲子之間發生碰撞所需的 特徵長度。其定義為 e tr l v 其中 v 是有代表性的速度，而tr是傳輸鬆弛時間 (transport relaxation
time) 。其定義為
1 sin 1 cos tr d W
其中是散射角度而 W()是散射機率。通常以遷移率 (mobility) 作為 傳輸 (transport) 的特徵 tr e u m 遷移率的物理意義為電子在一外加電場下所能產生的漂移速度。外加 電場漂移速度和遷移率的關係為 d v uE 其中 vd為漂移速度、u 為遷移率、E 為外加電場。 相位鬆弛長度 (phase-relaxation length) ，Lφ 。這是一個代表性 的量子力學鬆弛長度，而它並無法對映到任何的古典物理量。也就是 說古典的運動可以用一個粒子在某個時間某個位置出現的機率來描 述。然而在量子力學裡的態可以用有相位的波函數來描述。相位在所 謂的干涉現象裡非常重要。這裡的干涉現象指的是在某一點的電子波 函數是包含了所有量測之前的訊息。如果波的相位沒有被破壞，則特 定的量子干涉現象可以被觀察到且顯得重要。相位鬆弛長度 Lφ，描寫 了相位維持住的長度。 顯然地任何穩態且跟自旋無關的位能不會導致相位的鬆弛。事實 上，任何穩態位能對映的運動是符合時間反轉定理的。唯一可能改變相位鬆弛的機制是破壞時間反轉上的對稱性。在一些可以破壞對稱性 的非彈性散射包含了聲子之間、電子電子碰撞和自旋翻轉等等。在這 些機制裡的一個重要特徵是電子在一個特定時間內做了許多彈性碰 撞。因為電子散佈性 (diffusively) 的運動，一個有效地估算對映相位 鬆弛長度的方法為 L D 其中 D = (1/d)vl 是擴散係數 (d 是電子氣的尺度) 。
熱相干破壞長度(thermal dephasing length, LT)。之前談論到的鬆弛
機制與單電子能態中，波函數之間的干涉有關。然而，兩個能量接近 的電子，其交互作用的干涉也很重要。事實上，如果電子之間的能量 差約等於 kT，在時間ℏ/kT 內幾乎保持其同調性。因此估計同調傳遞 (coherent propagation)的特徵長度為 / T L D kT 比較平均自由路徑 le和系統的特徵大小 L，我們可以區分出擴散 地傳輸為 le << L 和彈道地傳輸為 le > L。這樣的分類方法在不同樣品 大小的時候會有不完備的地方。圖 1.2 說明了樣品長度 L 比寬度 W 大很多時。
圖 1.2 不同傳輸區域對映的電子軌跡[4]。擴散傳輸，le < W,L。彈道傳輸， W,L < le。 如果相位的同調性被考慮進來，則 L和 LT變得相對重要，而情況變 得更有趣且豐富。介觀尺度的導體通常被製造成有一端是尺寸相對非 常小的平面導體。雖然在這個領域某些領先的實驗可以用金屬製造出 導體，目前大部分的工作都還是利用砷化鋁鎵-砷化鎵 (AlGaAs-GaAs) 材料製成系統。砷化鎵的一些重要參數如表 1.2。 本論文工作的重點在探討由窄通道所形成的開放式量子點系
統，其傳輸理論及物理機制。其中我們希望藉由研究在外加週期性交
流電壓位能的情形下，光輔助穿隧 (photon assisted tunneling) [5-11]
對同調傳輸 (coherent transport) 的影響。我們知道若電子在運動的過 程是保持同調的，則當電子通過一量子點或量子侷域窄通道時，電子 會明顯地受到侷域位能的束縛態影響而產生共振現象。此時若系統夠 小，而電子同調性未被破壞，則光輔助傳輸會影響電流。我們希望藉 由分析週期性交流電壓對元件的影響，瞭解電子在開放式量子點窄通 道中光輔助傳輸下的傳輸情形。
表 1.2 在 AlGaAs-GaAs 或 Si 反轉層 (inversion layer) 的二維電子氣中電子特性 [4]。
1.2 研究動機 過 去 幾 十 年 裡 ， 介 觀 元 件 的 電 子 傳 輸 現 象 已 經 備 受 矚 目 [2,12-14]。由次微米共振腔經過點接觸連至兩端導引的開放式量子點 已經成為一個研究相位同調程序和其他物理機制的重要元件。量子點 的大小和導引寬度可經由分離閘極控制。在高電子遷移率和足夠低溫 的條件下，相位同調長度會超越元件的尺寸，而使電子在量子點中來 回移動時能保持同調。 此外，介觀元件之電子傳輸的時變性高頻響應，因其在半導體產 業之應用潛力而受到大家的關注。高頻響應中的時變場，可以藉由兩 個方式產生：高頻電磁波或電極外加交流訊號所產生的時變場。研究 及瞭解高頻電磁波或時變場在奈米結構中的響應是未來發展高速開 關量子元件、高頻發光源及偵測器、量子共振二極體或三極體和量子 電子幫浦的基礎[15,16]。這些量子元件將是構成並應用在量子通訊和 量子電腦運算的關鍵。 除了工程應用方面，時變場在基本物理的研究上也有一定的重要 性。其中包含了高頻電磁波和聲子的偶合[17]、量子力學裡的“穿透 時間”[18]和光輔助傳輸。在本論文裡會針對開放式量子點中時變場 所引起的光輔助傳輸做討論。而與光輔助傳輸相關的研究為在原子物 理和化學中實現乾淨的人造原子，以及模擬自由電子雷射發出的超強
第 二 章 一維與準一維系統的量子傳輸
在這個章節裡，我們將探討自由電子在一維系統裡遇到位能障時 的運動情形。如果電子或其他帶有質量 m* 和能量 E 的粒子入射到 一個位能時，他們會穿過位能障。這個現象即為量子力學裡的穿隧效 應。 模擬這種問題的模型可分成兩類−離散模型(discrete model)與連 續模型(continuous model)。離散模型又稱晶格模型(lattice model)，包 含了緊束縛法(Tight Binding method)、有限差分法(Finite Difference method)和有限元素法(Finite Element method)。連續模型包含 Lippman Schwinger method 和模態匹配法(mode-matching method)。除了模型之外，在處理因局域結構或散射位能所形成較複雜系統 時，通常我們會先分成不同的小單元，例如格點或晶胞，之後再將這 些小單元串連起來。串連的方式可分為兩種−散射矩陣法(scattering matrix method)和轉移矩陣法(transfer matrix method)。以每個小單元為 中心，將波的行進方向分成入射和反射兩類，入射波和反射波之間的 關係用散射矩陣表示，組合每個小單元的散射矩陣並計算出整個系統 的穿隧特性即為散射矩陣法。以每個小單元為中心，將不同區域的波 用轉移矩陣連接，組合每個小單元的轉移矩陣並計算出整個系統的穿 隧特性即為轉移矩陣法。在這篇論文裡，我們會使用模態匹配法和轉
移矩陣法解決問題。在這些討論中，一個重要的限制是我們只考慮電 子是同調的情形，也就是說電子有同調性且未受到破壞。 為了簡化解析計算，在本論文裡某些數學式做了無因次化的動 作，各個物理量的無因次化單位整理如下表。 表 2.1 無因次化的物理量及其 SI 單位下 AlGaAs-GaAs 二維電子氣為基準的值。 2.1 一維系統 雖然我們生活在三維的世界裡，但在這小節裡，我們將從一些簡 單的一維問題開始討論，因為許多物理現象在一維空間時即會出現。 這些問題說明了一些非古典的效應 (即為量子效應) 。 2.1.1 模態匹配法 (Mode-matching method) 首先，從自由空間中非時變的 Schrodinger 方程式開始討論。
2 2 d x V x x E x dx 其中 E 代表電子的能量，V(x)為空間中的位能。事實上，波函數
x 在自由空間中會是平面波。接下來，藉由解邊界條件問題得到穿透係 數和反射係數。現在讓我們考慮一個實際的散射位能如下：
d0
V x V x
通常 delta 並不是一個函數，因為它在 x = 0 時發散。然而它是一個 對理論的建立有幫助的數學形式（舉例：電動力學中一個點電荷的電 荷密度為一 delta 數學形式 ）。考慮一個 delta 位能的 Schrodinger 方 程式為
2 0 2 d d x V x x E x dx 其中 delta 函數的強度為 Vd0 。在 x≠0 的區域，V(x) = 0，所以 Schrodinger 方程式為
2 2 d x E x dx (2.1) (2.1)式的通解為
, 0 , 0 ikx ikx ikx ikx Ae Be x x Ce De x 波數(波向量的絕對值稱為波數)為 k E 這裡我們假設電子從位障的左到右穿隧，所以我們知道 x > 0 的區域 無反射波，也就是說 D = 0 。 在 x < 0 和 x > 0 的區域，波函數為
, 0 , 0 ikx ikx ikx Ae Be x x Ce x 我們選擇合適的邊界條件使得波函數在 x = 0 的地方匹配。 邊界條件 1： 波函數在 x = 0 連續。因為電子的動量是波函數的微分， 而且是一個有限值。所以波函數應該在邊界上連續。 A B C (2.2) 邊界條件 2： 我們考慮的是一個在邊界上為無窮大的位障。所以第 二個邊界條件為波函數在 x = 0 上不連續。這裡得到邊界條件的想法 為對 Schrodinger 方程式在 − 和 + 做積分，最後取極限 →：
2 2 d x dx V x x dx E x dx dx
(2.3) 在取極限 →下，(2.3)式等號右邊的波函數積分為零，因此
0 0 lim lim x x d x d x V x x dx dx dx
(2.4) 在這個實例中，散射位能 V(x) = Vd0(x) ，從 (2.4)式即得
0 0 lim d 0 x x d x d x V dx dx 則波函數為
, for 0 , for 0 ikx ikx ikx d x ikAe ikBe x dx d x ikCe x dx 所以從 邊界條件 2 得知
d0ikC ikA ikB V C
或 0 1 1 d A B V C ik (2.5)
A 是入射波的振幅，B 是反射波的振幅，C 是透射波的振幅。用(2.2) 式和 (2.5)式解 B 和 C，我們得到以下關係 0 0 2 1 2 d d iV B k iV A k , 0 1 1 2 d C iV A k 一個平面波 Aeikx 的電流密度為 k|A|2/m* 由此可知電流密度和波向 量有關。穿透和反射係數為 2 2 0 2 * 2 2 2 2 0 * 2 4 1 4 d d k V B B m k Refl k A V A m k 和
2 2 2 2 2 0 2 2 1 2 1 4 d k C C Tran V k A A k 或
2 0 1 1 4 d Tran E V E (2.6) 其中電流守恆定律為這兩個係數需符合的一個重要的驗證，即 + 1 Refl Tran 最後由 Landauer formula 得知電導為
2 2 2 0 2 2 1 1 4 d e e G Tran E h h V E 2.1.2 轉移矩陣法 (Transfer matrix method)
理任意一維位能障的穿隧問題 [28] 。我們會用一連串的 delta 位能 障去等效地建構出任意一維分佈的位能。首先計算一個帶有能量 E 的粒子穿過第一個 delta 位能障的穿透係數 (transmission coefficient) 和反射係數 (reflection coefficient) 。穿隧過第一個 delta 位能障的粒 子在遇到第二個 delta 位能障時也有一定穿透和反射的機率。一個 2 × 2 的 轉 移 矩 陣 是 做 為 每 個 delta 位 能 障 和 自 由 空 間 傳 遞 (free propagation) 的連接，而這個矩陣將包含了電子波函數穿透和反射的 振幅大小以及相位的資訊。一維問題的總穿透機率為各別 delta 位能 所對應到的轉移矩陣相乘。 在建構這個方法之前，我們必需考慮這種近似方法的適用條件， 在合理的誤差內。而這裡通常是由於 delta 位能不足以描述我們所想 模擬的位能時產生的誤差。若要使誤差在合理範圍內，則每個 delta 位能的間隔必需遠小於電子波長。 計算穿隧機率的數值程式寫法將分成 Part I 和 Part II 在下面做介 紹。Part I summary: 計算一個帶有能量 E 的電子入射到單一個 delta
位能時的轉移矩陣 Tj 。這個轉移矩陣包含了波函數的穿透和反射。
此時我們考慮 delta 位能在 x = xj位置時，波函數與 delta 位能的關係
如圖 2.1。Part II summary : 藉由把每個各別的轉移矩陣乘起來，得 到整個系統位能障的轉移矩陣 T。
圖 2.1 delta 位能在 x = xj位置時，左右兩側波函數的關係。Vj為第 j 個 delta 位 能強度。 Part I : 第 j 個區間的轉移矩陣 Tj。 圖 2.1 表示在位置 j 的 delta 位能與波函數的關係。能量 E 的電子在 全空間中的波向量為 k E 且在區間 j 和 j+1 的波函數為
ikx ikx j x A ej B ej (2.7)
1 1 1 ikx ikx j x A ej B ej (2.8) 其中 A 是向右傳遞的波函數係數。B 是向左傳遞的波函數係數。 (2.7)式和 (2.8)式的兩個波函數分別對應到 delta 位能的兩個邊界 條件就如同我們之前在 2.1.1 討論的一樣。我們得到
1
j j j x x x j x x x (2.9) 和
1 j j j j j j j x x x x d x d x V x dx dx (2.10) 把(2.7)式和 (2.8)式代入 (2.9)式和 (2.10)式，得到兩個方程式為 1 1 j j j jikx ikx ikx ikx
j j j j
e A e B e A e B
1 1
j j j j j j
ikx ikx ikx ikx ikx ikx
j j j j j j j
ike A ike B ike A ike B V A e B e
用矩陣表示為
1 1 j j j j j j j j ikx ikx ikx ikx j j ikx ikx ikx ikx j j j j e e A A e e B V ik e V ik e B ike ike 若有一 22 矩陣 A 如下 11 12 21 22 ˆ a a A a a 則其反矩陣為 22 12 1 21 11 1 ˆ det a a A a a 其中矩陣 A 的行列式值為 11 22 12 21 deta a a a 因此， j j j j ikx ikx ikx ikx e e ike ike 的反矩陣為
1 2 j j j j ikx ikx ikx ikx ike e ik ike e ，所以我們 可以寫下如下關係式
1 1 1 2 j j j j j j j j ikx ikx ikx ikx j j j j ikx ikx ikx ikx j j j j j e e A ike e A A B ik ike e V ik e V ik e B B T 其中第 j 個區域的轉移矩陣 Tj為 2 2 2 1 2 2 j j ikx j j j ikx j j V ik V e ik V e V ik Τ 上式為第 j 個 delta 片段所對應的轉移矩陣。Part II : 在一系列的 delta 位能之間傳遞，總轉移矩陣與穿透係數。 考慮用 N 個 delta 位能建構一個任意散射位能 Vsc(x)時，如圖 2.2 圖 2.2 用 N 個 delta 位能建構一個任意散射位能示意圖。上圖中，黑色曲線代表 任意散射位能 Vsc(x)，藍色虛線矩形代表每個切片的矩形位能，其中 N 代表用中 點法的切片總數。下圖中，藍色虛線代表每個矩形位能切片，其中∆x 代表矩形 位能切片的寬度，Vsc(xj)代表矩形位能切片的高度。紅色箭頭代表第 j 片 delta 散 射位能 Vjδ(x)。 我們寫下每個區域的轉移矩陣 Tj 並將它們相乘起來以得到總轉移矩 陣 T。
1 1 N N j T T T T T 第 j 個轉移矩陣 Tj的等效 delta 散射位能強度為(參考附錄 D)
j sc j V x V x 其中∆x 為每個 delta 散射位能的等效矩形位能寬度。
1
final initial x x x N xinitial代表所模擬位能的起始位置，xfinal代表所模擬位能的終點位置。 值得注意的是這裡已經將模擬的散射位能限制為有限寬度，若散射位 能的分佈範圍為無窮大，則不適用 (參考 2.3.5) 。 我們把總轉移矩陣和波函數振幅的關係寫成 1 1 1 1 N N A A B B T 因為電子從左邊入射，A1 = 1，如果不考慮有從右邊反射回來的情況， 則 BN+1 = 0。 1 1 1 0 N A B T 在這個情形下，穿透振幅 (transmission amplitude) t = AN+1和反射振幅 (reflection amplitude) r = B1為
11 22 12 21
21 1 11 12 11 12 22 22 22 21 1 22 det N T T T T T t A T T r T T T T T T r B T T的物理條件，這些我們將在附錄 A 做介紹。若電子的波速度在散射 位能兩端相同，則轉移矩陣行列式值 det(T) = 1。 此時穿透係數可以寫成
2 2 22 1 Tran E t T (2.11) (2.11)式代表電子的波速度在散射位能兩端相同時，轉移矩陣和穿透 係數的關係。 在接下來的兩小節裡，我們將分別討論電子在矩形位能與高斯位 能的穿透與反射情形。希望藉由探討不同散射位能分佈對電子穿隧的 影響。2.1.3 矩形位勢模型 (Square potential model)
在這一小節中，我們將論論電子入射一矩形位能後的穿透與反射 情形。並用解析解和轉移矩陣法的結果做比較，藉以驗證轉移矩陣法 的正確性。 系統的 Schrödinger 方程式為
2 2 2 2 V x x E x x y 這裡的位能項 V x
即為矩形位能，其數學形式為：
0, if 0 0, otherwise s V x L V x 圖 2.3 為我們所考慮的矩形位能示意圖。圖 2.3 矩形位勢模型示意圖。矩形位能強度為 Vs0，寬為 L。在這一小節的討論 中，我們假設矩形位能分佈為 x=0 至 x=L。 為了分析方便，把整個空間切割成 3 區。 解析的部分首先我們考慮電子能量比矩形位能大的電子，即 0 s EV 。此時電子從第 1 區入射，且第 3 區無ˆx 方向的反射波。則 3 個區域的波函數分別為
1 1 1 1 1 ik x ik x y A e B e
2 2 2 2 2 ik x ik x x A e B e
3 3 3 ik x x A e 其中波向量 k1 、 k2 和 k3 為 1 3 k k E 2 s0 k E V 利用波函數的匹配，我們得到四個邊界條件為 邊界條件 1：
x 在 x0 連續1 1 2 2 A B A B (2.12) 邊界條件 2： d
x dx 在 x0 連續
1 1 1 2 2 2 k AB k A B (2.13) 邊界條件 3：
x 在 xL 連續 2 2 1 2 2 3 ik L ik L ik L A e B e A e (2.14) 邊界條件 4： d
x dx 在 xL 連續
2 2
1 2 2 2 1 3 ik L ik L ik L k A e B e k A e (2.15) 利用(2.12)式和 (2.13)式，將 A2 和 B2 用 A1 和 B1 表示為
1 2
1 2
2 1 1 2 2 2 2 k k k k A A B k k
1 2
1 2
2 1 1 2 2 2 2 k k k k B A B k k 將以上兩式代回在 L 處的邊界條件，並得到 A3 、 B1 和 A1 之關係
2
2 2 2 1 2 1 2 3 2 2 1 1 2 ik L 1 2 ik L k k k k A A k k e k k e
2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 ik L ik L ik L ik L k k e e B A k k e k k e 由於波向量皆為實數，化簡分子，並將分母整理成實部和虛部後得到
1 3 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 cos sin ik L A k k e A k k k L i k k k L
2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 sin 2 cos sin i k L k k B A k k k L i k k k L 係數 Refl (reflection coefficient) 為
2 2 2 2 3 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 4 4 sin A k k Tran k t A k k k k k L
2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 sin 4 sin k k k L B Refl k r A k k k k k L 明顯地，Tran 和 Refl 符合電流守恆定律 Tran+Refl = 1
將以上兩式表示成以能量 E 和矩形位能強度 Vsq 為變數，即
2 2 3 2 1 0 2 2 0 1 1 sin 4 s s A Tran E t A V k L E E V (2.16)
2 2 1 1 0 2 2 0 2 1 4 1 sin s s B Refl E r A E E V V k L 當考慮電子能量比矩形位能小的電子時，即 E < Vs0 。我們做 2 2 k i 的代換，其中 2 Vs0E ，則穿透係數 Tran (transmissioncoefficient) 和反射係數 Refl (reflection coefficient) 為
2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 2 1 2 2 2 0 4 1 4 sinh 1 sinh 4 s s k Tran E V k k L L E V E (2.17)
2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 2 1 2 2 2 2 0 2 sinh 1 4 4 sinh 1 sinh s s k L Refl E E V E k k L V L 接下來我們用上一小節的轉移矩陣法求解，並與解析做比較。選 擇矩形位能強度 Vs0 = 1 和寬度 L = 10 。圖 2.4 和圖 2.5 分別為解析和轉移矩陣法的結果。 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Vs0 E T ra n E 圖 2.4 矩形位能之穿透係數和入射電子能量關係。其中矩形位能強度 Vs0 = 1 和寬度 L = 10 。此為用 mathematica 畫的解析結果。 圖 2.5 矩形位能之穿透係數和入射電子能量關係。其中矩形位能強度 Vs0 = 1 和 寬度 L = 10 。此為用 Fortran 語言所寫程式的轉移矩陣畫出數值結果。 由於得到相同的結果，轉移矩陣法得以驗證。
2.1.4 高斯位勢模型 (Gaussian potential model)
這一小節裡，我們選擇高斯位勢模型，因為此模型的位勢平滑分 佈比較符合閘極控制所產生的對電子造成之等位面曲線。由於高斯位 勢模型較難計算，我們利用轉移矩陣法 (transfer matrix method)，來 求得穿透係數。 我們考慮高斯位能為
x2 G V x V e 如圖 2.6 圖 2.6 高斯位能示意圖。藍色曲線代表高斯位能 V(x)。VG為高斯位能強度。σ 為高斯分佈的標準差。 其中 VG 為高斯位能強度， 1 2 為高斯位能的標準差。藉由調 整高斯位能的標準差和強度，討論不同位能分佈對電子穿隧效應造成 的影響。 首 先 討 論 固 定 高 斯 係 數 0.05 ， 即 高 斯 位 能 的 標 準 差
3.16 25.3nm ， 改 變 高 斯 位 能 強 度 為 VG 1
9meV
、
2 18meV G V 、 VG 3
27meV
，電導對能量的關係如下圖 2.7 圖 2.7 此為一個高斯位能在 β = 0.05 時，改變不同高斯位能強度 VG 的電導。 從圖 2.10 可知高斯位能的強度 VG 會直接影響階梯狀電導起始能量 值。高斯位能的強度越大，電導提升所需的能量會越大。此外和前一 小節的矩形位能結果做比較，可發現共振效應明顯消失，此結果應和 射散位能的分佈較平滑有關。 接下來討論固定高斯位能強度為 VG 3
27meV
，改變高斯係數 0.005 、 0.05 、 0.5 ， 即 高 斯 位 能 的 標 準 差 分 別 為
10 80nm 、 3.162
25nm
和 1
8nm
，電導對能量的 關係如下圖 2.8。圖 2.8 此為一個高斯位能在強度 VG = 3 時，改變不同 β 的電導。 由此可知，當位能分佈範圍越大時，也就是高斯位能的標準差越大時 (如同黑色點線)，電導的分佈也越接近古典極限，此時量子力學的穿 隧效應較不明顯。但當位能分佈越狹窄時，也就是高斯位能的標準差 越小時(如同紅色點線)，即使電子能量比高斯位能強度 VG還小，電子 還是有機會穿隧而對電導產生貢獻，此時量子力學的穿隧效應較顯 注。 瞭解一個高斯位能的穿透情形後，我們接著模擬二個高斯位能時 所產生的穿透情形。 我 們 考 慮 兩 個 高 斯 位 能 為
1 12 2 22 1 1 G G x x x x G G V x V e V e 如 圖 2.9圖 2.9 兩個高斯位能示意圖。藍色曲線代表兩個高斯位能 V(x)。VG 為高斯位 能強度。xG1和 xG1分別為第一個和第二個高斯分佈的位置。 其中 VG 為高斯位能強度， 1 2 為高斯位能的標準差。藉 由調整高斯位能的標準差和強度，討論不同位能分佈對電子穿隧效應 造成的影響。 討 論 兩 個 高 斯 散 射 位 能 的 高 斯 係 數 和 高 斯 強 度 相 同 ， 即 1 2 0.05 和VG1VG2 VG ， 首 先 固 定 即 高 斯 位 能 的 標 準 差
3.16 25.3nm ， 改 變 高 斯 位 能 強 度 為 VG 1
9meV
、
2 18meV G V 、VG 3
27meV
，電導對能量的關係如下圖 2.10圖 2.10 此為一個高斯位能在 β = 0.05 時，改變不同高斯位能強度 VG 的電導。 從圖 2.10 的結果可以看出明顯的共振穿隧效應。在高斯位能強 度 VG = 1 時，比入射電子能量小的共振峰有 6 個。高斯位能強度 VG = 2 時，比入射電子能量小的共振峰有 7 個。高斯位能強度 VG = 3 時， 比入射電子能量小的共振峰有 7 個。高斯強度越大，共振態間隔越 大，因此推測兩個高斯的準束縛態量化程度也越大。 2.2 準一維系統 2.1 節介紹了處理一維系統傳輸問題時的一些方法。在之後的章 節裡，我們將系統擴展到準一維。不過這裡 2.2 節要先談論的是在傳 遞方向有均勻侷限位能分佈的準一維系統。
2.2.1 準一維量子通道 圖(2.2.1)為我們系統的俯視圖，其中藉由分離閘極(split-gate)產生 一個準一維的通道。由於是二維系統，若只討論中間準一維通道的部 分，則系統如圖 2.11 的紅色部分。 圖 2.11 簡單的準一維通道實驗系統圖。紅色圓圈為準一維彈道傳輸的區域。 通道寬度為 W。通道中間上方加入指狀閘極。 這裡考慮的散射位能我們假設為一個 delta 函數，在實際上大多以指 狀閘極 (finger gate) 實現。畫出準一維系統的示意圖，並標示出侷堿 位能和 delta 散射位能的相對座標位置如圖 2.12。 圖 2.12 簡化後的準一維通道系統圖。Vd0為 delta 散射位能強度。通道的座標位 置如圖所示。
系統的漢米爾頓 (Hamiltonian)為
![表 1.1 不同長度對映的物理量 [4]。](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/9libinfo/8380756.178178/21.892.136.755.109.781/表11不同長度對映的物理量4.webp)
![圖 1.2 不同傳輸區域對映的電子軌跡[4]。擴散傳輸，l e < W,L。彈道傳輸， W,L < l e 。 如果相位的同調性被考慮進來，則 L 和 L T 變得相對重要，而情況變 得更有趣且豐富。介觀尺度的導體通常被製造成有一端是尺寸相對非 常小的平面導體。雖然在這個領域某些領先的實驗可以用金屬製造出 導體，目前大部分的工作都還是利用砷化鋁鎵-砷化鎵 (AlGaAs-GaAs) 材料製成系統。砷化鎵的一些重要參數如表 1.2。 本論文工作的重點在探討由窄通道所形成的開放式量](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/9libinfo/8380756.178178/24.892.266.684.109.714/有一端是實驗可以用金屬製造出導體目前大部系統砷本論文工作式量.webp)
