潛在成長模式

本節首先針對潛在成長模式作一探討；再就數學潛在成長模式之相關研究進 行分析，茲分述如下。

壹、潛在成長模式

潛在成長模式(latent growth models，簡稱 LGM) 是近年廣泛被利用於縱貫研 究分析的模式之一，理論架構源自於結構方程式模式(structural equa-tion models, 簡稱 SEM)之驗證性因素分析(confirmatory factor analysis, 簡稱 CFA)。它重複測 量某一變項作為一個或多個潛在變項的實際觀察指標，這一個或多個「潛在變項」

則代表在多個時間點中的個人成長差異。潛在成長模型由於包括了觀察變項的平 均數、變異數及共變數，因此可以同時針對個人層次以及團體層次進行分析。本 研究所假設的雙因子潛在成長模式為線性成長模式（如圖 2-2），包含兩個重要的 潛在變項；一個是描述觀測值起始狀態的變項，可稱為截距，此變項呈現出每一 個觀測值在研究的第一個時間點的初始變化。另一個是描述成長率的變項，可稱 為斜率，此變項呈現每一個觀測值的成長情形，因此可藉由 LGM 瞭解受試者成 長變化的軌跡，也可探究受試者在起始狀態(initial status)與成長軌跡的變化率(rate of growth change)是否具有個體間的差異，受試者整體變化率的情況是逐漸增加或 減少，而且若潛在變項截距與斜率有顯著差異，則可以在這二個變項上，納入預 測變項作第二階因素的探討，瞭解有哪些變項可能會影響起始狀態與成長率。（吳 明隆，2013；侯雅齡，2009；吳齊殷、張明宜、陳怡蒨，2008；林秀珍，2008；

劉心筠，2002）

圖 2-2 雙因子潛在成長模式圖

潛在成長模型的分析分成兩個階段進行，在第一階段，先將每一個研究樣本 重複測量之數據資料嘗試與一條迴歸曲線試合，此階段提供有關個別研究樣本個 人之成長軌跡的總結訊息。第二階段是將前述所呈現的個別成長或變異狀況，進 一步進行因果關係的探討。（吳齊殷、張明宜、陳怡蒨，2008）

採用 LGM 分析時，研究者還必須注意下列三項要求：(1)每次測量受試者的 人數須一樣，時間的間距不能差異太大。(2)要瞭解個體變化，測量次數至少要三 次以上，次數愈多個體發展的軌跡估計愈精確。(3)資料結構應符合多變量常態性 外，每次測量的有效樣本最好在 200 人以上。（吳明隆，2013）

ICEPT︰截距（起始點）

SLOPE︰斜率（成長率）

TIME 1︰第一波施測 TIME 2︰第二波施測 TIME 3︰第三波施測 E1~E3︰測量誤差

貳、潛在成長模式在數學學習之相關研究

雖然 LGM 近年廣泛被利用於縱貫研究，但上節的長期縱貫研究也提到國內 有關數學領域的長期縱貫研究非常少見，且主要以潛在類別模式進行分析，目前 尚未發現以 LGM 探討學生量與實測能力成長情形。茲就學業成就 LGM 之相關 研究論文，分別說明如下：

林俊瑩（2011）運用臺灣教育長期追蹤資料庫(Taiwan Education Panel Survey, TEPS)國一到高三的四波調查，建構一個兒童早期學習經驗與發展影響臺灣地區 青少年學習成長的潛在成長理論模型，並進行縱貫性分析，研究結果顯示：(1) 學習成就起始點愈高的青少年學生，日後學習成就的成長量愈大，即學習成長存 在著強者愈強的明顯「馬太效應」(Matthew Effect)，能力強的學生，未來的進步 速度也愈快，會與能力較差的學生差距愈拉愈遠，形成扇形擴散的效果。(2)兒童 早期的學習經驗與發展愈好，日後的學習愈成功，並拉大與其他早期劣勢兒童的 差距。

張憲庭（2010）用次級資料分析法，樣本以四次完全參與 TEPS 的 1,157 位 中學生為分析對象，探討中學生學業成就之潛在成長模式，藉以分析家庭及學校 因素影響中學生學業成就的初始狀態和成長速率。結果發現︰(1)家長教養方式、

家庭社經地位、學校投入及班級互動對中學生學業成就的初始狀態有顯著的影響 力。(2)家長教養方式、家庭社經地位、教學與輔導及班級互動對中學生學業成就 的成長速率有顯著的影響力。(3)整體而言，家庭因素對中學生學業成就的初始狀 態的解釋力為 21.4%，對成長速率的解釋力為 19.4%；學校因素對中學生學業成 就的初始狀態的解釋力為 4.9%，對成長速率的解釋力為 12.9%。

侯雅齡（2009）以 308 位幼稚園大班學生重複評估在五個動手做科學活動的 心流經驗，取得幼兒在活動歷程心流經驗的縱貫性資料，研究結果顯示：(1) 幼 兒的心流經驗會隨著時間與活動不斷地進行有正向的變化；(2)性別、科學喜好、

圖書量與科學活動安排皆對幼兒的心流經驗有顯著預測力，所能解釋的變異介於 3%至 8%之間。(3)幼兒玩性對心流經驗亦有顯著的預測力，其解釋量高達 45.2%。

林秀珍（2008）針對國小六年級 142 位學童之學習統計概念及分析能力的 成長情形進行分析；並比較教學探究以統計過程為基礎之統計教學活動之成效，

結果發現以 LGM 估計統計基本概念及統計分析能力方面的截距項和斜率都獲得 顯著的平均數與變異數，表示起始能力在學生之間是不相同的，且經過教學之後 學生成長的幅度也不相同，且學生四次測驗的成長是存在明顯的個別差異。而截 距與斜率的相關係數屬於中高程度相關，表示在統計各階段教學中起始能力是會 影響統計的概念與分析能力之成長。

王枝燦（2008）採次級資料分析，運用 TEPS 中接受四波次追蹤調查的樣本 資料，探究家庭結構的改變對不同階段青少年子女之學習成就的影響。研究發現：

(1)家庭結構的改變對子女學習具有負面影響。(2)當家庭結構發生改變之時點，如 果是在子女幼年時期，會對子女學業能力後續發展會產生長期持續累積的負面影 響，並與雙親家庭子女學習成就差距持續擴大。(3)子女在國中階段成為單親家庭 對學習成就影響最大。(4)高中階段單親家庭組則存在當下近期效果之影響。(5) 家庭結構亦會透過家庭資源、父母教育期望與家庭教育歷程，發揮間接影響青少 年子女學習成就效果。(6)運用固定效果模型與傳統迴歸模型進行比較，固定效果 模型所獲得之估計值較小，縮減了傳統迴歸模型之估計誤差。

Aunola, Leskinen, Lerkkanen, &Nurmi（2004）以 194 名學生歷時三年，每年 施測二次共進行六波測驗，探討學前到小學二年級學生的數學學業成就發展情形，

研究結果發現︰(1)數學學業成就有極高的穩定性，隨著年齡的增長，個體之間的 差異性會逐漸增大；(2)學前數學學業成就高成長率會較快速；(3)數學學業成就的 起始點和成長率最能被計數能力所預測；(4)性別對數學學業成就並無顯著影響。

綜合上述有關學業成就 LGM 之相關研究，歸納如下︰

二、性別對學業成就並無顯著影響。

三、學業成就的 LGM 隨著研究不斷的增加，已從單純探討學業成就的 LGM 加 入家庭與學校因素逐漸複雜並且深入。

本研究將以潛在成長模式探討學童量與實測的起始能力及成長速率，以及個 別學童間是否有差異存在，並納入背景變項探究學童個人與家庭因素對成長軌跡 之影響。