量與實測

以下從量與實測之分年細目、教材整理、認知發展及相關研究進行探討，以 作為研究之依據。茲分述如下：

壹、量與實測分年細目

數學領域將九年國民教育區分為四個階段：階段一為一至三年級，階段二為 四、五年級，階段三為六、七年級，階段四為八、九年級，另將數學內容分為數 與量、幾何、代數、統計與機率、連結等五大主題，而國小數與量的範圍較大，

因此分為「整數」、「量與實測」、「有理數」和「估算」等子題。

本研究所謂的量與實測能力指標僅以教育部於 92 年底頒佈，94 學年度正式 實施的「國民中小學九年一貫課程綱要—數學學習領域」，第二、三階段分年細 目編號 4-n-12~4-n-17、5-n-12~5-n-19 及 6-n-7~6-n-13 的內容作為測驗編製的參考 依據，指標命題內涵如下表（教育部，2010）︰

表 2-1

量與實測分年細目

代碼 分年細目

4-n-12 能解決複名數的時間量計算，以及時刻與時間量的加減問題。

4-n-13 能認識長度單位「公里」，及「公里」與其他長度單位的關係，並作 相關計算。

4-n-14 能認識角度單位「度」，並使用量角器實測角度或畫出指定的角。（同 4-s-04）

4-n-15 能認識面積單位「平方公尺」，及「平方公分」、「平方公尺」間的關 係，並作相關計算。

4-n-16 能理解長方形和正方形的面積公式與周長公式。（同 4-s-09）

4-n-17 能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不同體積的大小，並認 識體積單位「立方公分」。

5-n-12 能認識比率及其應用（含「百分率」、「折」）。 5-n-13 能解決時間的乘除計算問題。

代碼 分年細目

5-n-14 能認識重量單位「公噸」及「公噸」、「公斤」間的關係，並作相關計 算。

5-n-15 能認識面積單位「公畝」、「公頃」、「平方公里」及其關係，並作相關 計算。

5-n-16 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。（同 5-s-05）

5-n-17 能認識體積單位「立方公尺」，及「立方公分」、「立方公尺」間的關 係，並作相關計算。

5-n-18 能理解長方體和正方體的體積公式。（同 5-s-07）

6-n-07 能認識比和比值，並解決生活中的問題。

6-n-08 能理解速度的概念與應用，認識速度的普遍單位及換算，並處理相關 的計算問題。

6-n-09 能理解正比的現象，並發展正比的概念，解決生活中的問題。

6-n-10 能利用常用的數量關係，列出恰當的算式，進行解題，並檢驗解的合 理性。（同 6-a-03）

6-n-11* 能以適當的正方形單位，對曲線圍成的平面區域估算其面積。（同 6-s-03*）

6-n-12 能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形面積。（同 6-s-04）

6-n-13 能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。（同 6-s-06）

貳、量與實測教材整理

本研究參考康軒、南一、翰林、部編四版本第七冊至第十二冊數學教師手冊，

探討每家版本在量與實測分年細目下所安排的單元，彙整成表 2-2、表 2-3 與表 2-4 作為測驗編製的參考依據。由於各版本教科書均通過審定，雖在內容安排的 順序、篇幅、呈現方式等或有不同，但對於達成年級或學習階段能力指標的活動 重點則並無太大差異，教科書之內容大體與能力指標相符。

表 2-2

四年級量與實測各版本教材分布

分年細目 康軒版 南一版 翰林版 部編版

4-n-12 7-11-時間^** 8-6-時間的加減 7-7-時間的換算 8-7-時間

4-n-13

7-6-公里 7-6-長度 8-2-公里與概數 7-2-公里

8-3-面積

4-n-14 7-2-角度 7-3-角度 7-9-角與量角器 7-5-角度

4-n-15

8-8 周長與面積 7-6-長度 7-6-周長與面積 8-3-面積

7-8-面積和周長

4-n-16 8-8 周長與面積 7-8-面積和周長 7-6-周長與面積 8-3-面積

4-n-17 8-3-體積 7-8-面積和周長 8-4-立方公分 7-9-體積

註︰**「7-11」前面的號碼代表冊數，後面的號碼代表單元，如 7-11 為第七冊第 十一單元。

表 2-3

表 2-4

參、量與實測認知發展

量與實測是國小數學的核心課程之一，教學中的量包含長度、重量、容量、

時間、角度、面積、體積等生活中常用的七種量。其中長度、容量、角度、面積、

體積屬於幾何（視覺）量。

除了日常生活的重要應用外，量的學習也是學生學習連續量的入口，可以與 有理數的學習相互加強。其中又以長度的教學最為關鍵：長度是學生保留概念最 早成熟的量，也是最容易操作的量，長度的測量是分數與小數教學的自然入口，

同時也是學習數線的典型模型。經由長度之經驗，學生學習如何在數線上作比較 與加減運算，由此將整數與有理數徹底整合，作為日後學習負數、實數、幾何的 基礎。

國小量的學習，原則上要經過初步認識、常用單位、單位換算、量的計算的 階段，尤其要注意在應用問題中，恰當的和分數、小數結合。

一、初步認識︰在初步階投，學生應從日常情境中認識該類量的意義，並能做 簡單自然的度量，並進而體認該類量比較大小的意義。

此階段除了長度量最為標準之外，仍應依量的特性，而做不同的處理。

(一) 角度︰角度量雖然和長度類似的一維量，但是其引進卻和面積經常混 淆。

(二) 容量︰此量的初步認識雖然和體積相關，但是在更進一步的教學應用中，

則變成和長度的一維量類似（如量杯）。

(三) 面積、體積︰這兩種幾何量牽涉到複雜圖形的認知困難，前期的複製與 比較均不好處理。教學宜從較直觀或簡單情況的大小判斷開始，然後直 接引用最易處理的正方形或正方體為單位，從並排或堆壘的經驗中，對 面積蘊生更有意義的量感。

(四) 重量︰不是視覺的幾何量，牽涉到身體的體感，即使是左右手持重物比

較，也不是真是的比較。因此宜從器械如天平的學習入手，由對稱的直 觀知道天平兩邊重量比較的意涵，並以此來完成重量的初步比較、其次，

再由器械如公斤秤，學習重量的單位。

(五) 時間︰由於時間無法複製與保留，因此除了「同時同地」進行事件時間 長短之比較外，不存在真正的比較、所以時間量的學習，和重複規律的 標準器械「如鐘錶」的使用，有非常密切的關係。學生時間量的學習，

應從器械入手

二、常用單位：認識某類量之常用單位，並能運用此單位，做量的比較、加、

減、乘、除。

三、單位換算︰在測量時，首先能用複名數來描述測量結果。然後再利用單位 換算的約定，來進行換算。

四、量的計算︰結合直式計算、複名數、單位換算的經驗，解決日常生活中量 的計算問題。（教育部，2010）

高敬文、黃金鐘(1988)曾以兩年時間參考英國 CSMS(M)的研究模式以研究本 國學生在測量概念方面的發展，結果將我國兒童的理解層次分為五個水準，並發 現學生在面對測量概念問題的解題策略主要有保留概念、點算、公式、作圖、單 位遞減對度量的影響等。（劉秋木，2009）

肆、量與實測的相關研究

由於量與實測包含的範圍甚廣，國內大部分的研究都是探討單一種量，如長 度、面積、體積或者是二至三種量，目前以量與實測為主題的研究以電腦適性測 驗編製及補救教學為主，尚未有以量與實測為主題進行長期追蹤研究。

在電腦適性測驗編製及補救教學的研究顯示，適性診斷測驗和補救教學系統，

確實可達到「因材施測」與「因材施教」的效果。（范瑞君，2006；張樹枝，2005；

許正峰，2005；陳秀郁，2006；趙心怡，2005；劉政霏，2005；劉穎民，2005）

在國際性數學成就測驗的研究上，林碧珍、蔡文煥（2003）分析國際數學與 科學教育成就調查(TIMSS 2003)預試之台灣四年級學生成績發現(1)台灣四年級 學生在屬性與單位、面積和周長、計算測量問題三個子概念平均都比其他國家的 學生表現優秀，但在估測與實測的部分則低於國際平均，可能原因是台灣的評量 方式較少提供實測工具，要求學生在試題上作操作性評量；(2)面積和周長是台灣 和其他國家學生表現最不理想的一種測量概念，約有五成還沒釐清周長和面積兩 個概念；給定一個複合圖的某些長度求算其周長，有高達 50.3%的學生直接以給 定的已知長度相加求得周長。吳慈紋（2007）提出對學生較困難的測量概念包括︰

非相鄰兩階的單位化聚、時間的四則計算及化聚、地圖上的比例尺，而學生表現 不佳的主要原因是因為他們沒有學過這些測量概念。

李俊慧（2004）探討六年級泰雅族學生的測量概念發現泰雅學生較不熟悉面 積和體積的單位及單位化聚概念；對數學概念的認知是以具體實物操作的方式學 習，尚未具備抽象的形式運思，缺乏高層次的面積、體積公式化概念，但泰雅族 人通常以腳步長測量距離，或以手張開之大小測量東西的長度估測量感似乎較優 於平地學生。

由上述的研究可以發現，學童在估測、實測、面積、周長、體積、時間的四 則運算及化聚表現較不理想，可做為本研究在測驗編製時的參考。