異分母分數的加減教材分析

壹、 分數概念及重要性

在日常生活中，或在數學與自然科學的教材中，都可以發現分數概念與運算 是很常用也很重要的概念，例如平分蛋糕；或是把一瓶可樂分成數杯，使大家都 喝得一樣多……等，在分的過程中，往往會考慮到要如何分？可以分得多少？或 是在測量物體的長度時會遭遇到所使用的單位度量並不能剛好量完的情形，諸如 此類的問題都跟分數的概念有密切的關係。此外，在自然科的教材中，速率比、

溶液濃度的關係等，也是分數很常用的重要概念。

因此不論是在六十四年版的「國小數學課程標準」或八十二年的「國民小學 數學課程標準」，甚至是九十年版的「國民教育九年一貫課程」數學學習領域裡，

分數概念的學習都佔有非常重要的地位，而分數概念與運算的教材也從國小二年 級一直涵蓋到六年級多個年級層，沒有中斷。分數是一個複雜而重要的數學概念，

與小數、百分率、比、除法等概念關係密切，而這些概念不僅是數學中的重要概 念，且在國小數學中佔相當分量（教育部，2003）。

貳、 異分母分數的加減教材內容分析

依據教育部（2003）公佈的現行國民中小學九年一貫課程數學領域課程綱要 所編寫，九年一貫課程綱要領學領域「分數」教材階段能力指標，詳列於下表 2-2-1 中。

本研究以五年級「異分母分數的加減」單元為研究範圍，由表2-2-1可知，在 分數教材階段能力指標屬於數學學習領域第二學習階段。茲將「異分母分數的加 減」之分年能力指標整理如表2-2-2：

表 2-2-1

由表 2-2-2 可知，異分母分數的加減之教學，在國小四年級時，引入等值分 數的初步概念的理解，並進行簡單的異分母分數之比較。國小五年級時，進入了 利用擴分與約分的方式進行異分母分數之比較，且利用通分作異分母分數的比較 與加減。

異分母分數的加減問題包括了異分母分數的比較、通分及異分母分數的加減 法。異分母分數表示其分割數不相同，因此，進行大小比較活動時，須先找出這 些分數的共測單位，再進行比較；接著，從解題過程中引導學生發現，異分母分 數共同單位分數的分母會是這些分數分母的公倍數；進而引出通分的用語及意義 所在。

通分是指把不同分母的分數，化成同分母分數的過程。當兩個或兩個以上的 分數的分母相同時，可以直接比較它們分子的大小；但是，當兩個或兩個以上分 數的分母不同時，就無法直接由分子決定大小，此時，自然會產生將分母的分數 化為同分母的分數的需求。在尋找共同分母的過程中，也必須引導學生看出，這 些分數分母的公倍數即是所求的通分後的分母。當學生已有通分活動的經驗，並 瞭解通分是有效的解題策略，接著便利用通分的方法來進行異分母分數的加減之 教學（康軒文教事業股份有限公司，2007）。

參、 異分母分數的加減錯誤類型

由於分數概念是一個在問題情境中兼具多重意義的數學概念，在日常生活 中常呈現不同的面貌，造成學童在學習時的困擾很大。從德國人若遭遇到困難 時，便說是「如墜入分數之中」，就可以知道分數學習的困難程度，這些學習困 難造成學童產生許多的錯誤或迷思概念（湯錦雲，2002）。

本研究中之錯誤類型係指學生在解決國小數學領域「異分母分數的加減」單 元中，可能發生的錯誤，參考國內外許多學者對於學生學習此單元概念時，所常 見之易錯類型之相關文獻，如表 2-2-3 所示。

表2-2-3

表2-2-2 （續）

異分母分數的加減常見之錯誤類型相關文獻及研究 研究者及

年代 研究主題 錯誤類型

吳仁奇 （2005）

以貝氏網路為基礎 之能力指標測驗編 製及補救教學動畫 製作-以五年級數 學領域分數相關指 標為例

1.未通分，直接將分子與分母分別相加減。

2.找出公分母，分子沒有擴分就直接加減。

本研究以表 2-2-2 異分母分數的加減常見之錯誤類型為依據，整理出異 分母分數的加減之錯誤類型說明如下：

一、 求等值分數及比較大小的錯誤：

（一） 求等值分數及異分母比大小時，分子、分母同加一數其值不變。

（二） 求等值分數及異分母比大小直接以原分子、分母進行解題。

（三） 異分母比大小時，直接將分子、分母相加，得到一個整數。

二、 分數的加法運算錯誤：

（一）分子加分子，分母加分母。

（二）求出公分母後放在分母，而分子為原分子相加。

（三）分母相乘，分子相加。

（四）分母相乘，分子相乘。

三、分數的減法運算錯誤：

（一）通分後，分子為大數減去小數。

（二）分母減分母，分子減分子而且是大數減小數。

（三）求出公分母後放在分母，而分子為原分子相減。

四、向整數借位問題：

（一）從整數所借的 1，直接在分子加 10。

（二）借位時，原整數部分加到分子去。

例如：2

7 5

7

6

（三）向整數借 1，計算時卻忘了減 1。

五、指認單位量困難或忽略單位量：

（一）學生在解題時只考慮到分子或分母的因素。

例如：學生在以十二個組成一堆的花片中取出其中的六分之五，他們的反 應是只取其中的五個。

（二）忽略給定的單位量。

例如：學生在回答一包巧克力有四個，其中的一個是幾包的問題時，會回 答一個或是四分之一個。顯示他們對於所給定的單位「袋」和單位分量「個」

之間的關係，並不在意。

肆、此節文獻對本研究的啟示

綜合上述，九年一貫課程綱要數學領域分數教材分年能力指標分析，可知分 數的教材地位，及測驗編製中所須施測的各項屬性概念。因此，本研究依據教育 部於 2003 年所公布九年一貫正式綱要，國小五年級「異分母分數的加減」能力 指標（5-n-04 與 5-n-05），細分為十二個屬性概念，如表 3-4-1 屬性概念與試題對 照表所述，並參考所蒐集之學童在異分母分數的加減的錯誤類型。為本研究認知 診斷測驗試題及補救教學媒體編製的依據。