五年級異分母分數的加減單元認知診斷測驗與補救教學媒體編製

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(1)國立臺中教育大學教育測驗統計研究所國民小學教師在職進修教學碩士學位班碩士論文. 指導教授：施淑娟博士. 五年級異分母分數的加減單元認知診斷測驗與補救教學媒體編製之成效分析. 研究生：崔貞甫撰. 中華民國一○二年七月.

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(4) 謝辭三年多的研究所生涯終於結束了，真不敢相信自己可以完成這些在我看來十分艱難的課業及論文。而且，在這三年中還發生了許許多多的事……。首先，在相隔十年之後，意外的懷了老三，幾經思考及掙扎之後我決定生下她，而在即將臨盆之際，學校又通知我必須接高年級導師，這也是我從事教職十多年來，從來沒有嘗試過的職務。這麼多的壓力接踵而來，一度讓我興起是否該放棄研究所的課業，還好我遇到了許多生命中的貴人，沒有你們，我真的無法完成我的研究所之夢。第一個貴人當然是我的指導教授–施淑娟教授，沒有您的督促及悉心指導，我的論文無法如期完成，每每看著您在所務繁忙之際，還要撥空指導我們，不論多忙，都會幫我們逐字逐句的看過論文的每一章節，再給予最精闢的指導，內心除了感謝還是感謝。其次要感謝郭伯臣教授及吳慧珉教授在論文口試時所提供的諸多寶貴意見，使得本論文之架構及內容得以更臻完備；也要感謝所上多位教授三年來在課程教授上，給予理論與實務上的指導與啟發，充實了我研究的根基。接著要感謝的是與我一起打拼奮鬥的同學們，尤其是書鴻和懷祖，電腦不好的我常常要你們以電話線上實況教學，感謝你們從不嫌我煩人，在忙著自己論文之際，還要一邊解答我的疑難雜症，真是難為你們了，沒有你們的協助，我真的無法完成論文。最後，要感謝的是我的家人，我親愛的女兒–樵萱、巧琳，這段時間你們被迫成長，必須分擔家事及照顧妹妹，讓媽媽可以專心的完成論文，辛苦妳們了，願妳們三姊妹永遠平安健康。崔貞甫謹致中華民國一０二年七月.

(5) 中文摘要本研究是以最佳認知診斷模型建立電腦化認知診斷測驗，並根據診斷結果設計補救教學媒體，最後評估此電腦化認知診斷測驗與適性補救教學媒體之教學成效。先以認知診斷模型編製五年級「異分母分數的加減」單元認知診斷測驗，及各種診斷結果所對應的補救教學媒體。接著以預試作答資料找出最適合本單元之認知診斷模型。最後以此模型為基礎，整合認知診斷測驗與補救教學媒體成為電腦化適性補救教學系統，並進而透過教學實驗評估其成效。研究結果發現：一、以認知診斷模型編製的「異分母分數的加減」單元之認知診斷測驗 Cronbach's.  值為 0.78，平均難度為 0.627，平均鑑別度為 0.478。二、以概念診斷辨識率及測驗層次之模型適合度而言，DINA 模型皆優於 DINO 模型與 G-DINA 模型。三、使用電腦化適性補救教學之實驗組學生，其補救教學後的後測成績及數學概念平均進步率，優於使用傳統團班補救教學之對照組學生。四、不論是高能力組、中能力組或低能力組在接受不同補救教學法之學習成效皆有顯著差異，且電腦化適性補救教學的學習成效優於傳統團班補救教學。五、接受電腦適性補救教學之不同性別學生，其補救學習成效無顯著差異顯示本研究之電腦適性補救教學模式，不因學生性別而造成顯著影響。六、實驗組學生對電腦化適性補救教學之正向意見，均在 85.7％以上，顯示大多數學生對電腦化適性補救教學活動持有正向之意見。. 關鍵字：異分母分數的加減、認知診斷模型、選模準則、電腦化適性補救教學. I.

(6) A study on cognitive diagnostic test and remedial instruction for the unit of adding and subtracting fractions with different denominators for elementary schools’ fifth grade students. Abstract This study aims at optimal cognitive diagnostic models which is based on the computerized cognitive diagnostic test, and then designs remedial instruction media based on diagnosis. In the end, it evaluates the teaching effects of this computerized cognitive diagnostic test and adaptive remedial instruction media. Cognitive diagnostic tests of “adding and subtracting fractions with different denominators for elementary schools’ fifth grade students” and the remedial instruction media corresponding to various diagnoses are laid out according to the cognitive diagnostic models. The most proper cognitive diagnostic models to the unit can be found through the pre-test result. Through the model, the cognitive diagnostic tests and the remedial instruction media are integrated into the system of computerized adaptive remedial instruction. The effects will be estimated through the instruction experiment. The major findings of this study are summarized as follows: 1. The Cronbach's α of the “adding and subtracting fractions with different denominators” unit cognitive diagnostic test which is laid out by cognitive diagnostic models is 0.78, the average degree of difficulty is 0.627, and the average discrimination is 0.478. 2. DINA model is superior to DINO model and G-DINA model according to the. II.

(7) conceptual diagnostic accuracy and the test-level model fit. 3. Students in the computerized adaptive remedial instruction group are superior to those in the traditional remedial instruction group in both post-test scores and average progress rate of mathematics concept. 4. No matter the high competency, the medium competency or the low competency classes, they all have huge difference after following different remedial instructions. The computerized adaptive remedial instruction model is superior to the traditional remedial instruction model. 5. In terms of different gender students in the experiment group after following computerized adaptive remedial instruction, the learning effects are not apparently different. The result doesn’t matter with the gender of the students. 6. The positive reflection rate of the students in the experiment group to the computerized adaptive remedial instruction is over 85.7%. That means most students take a positive attitude toward the computerized adaptive remedial instruction.. Keywords: adding and subtracting fractions with different denominators , cognitive diagnostic models, model selection criterion, computerized adaptive remedial instruction. III.

(8) 目錄摘要...............................................................Ⅰ Abstract...........................................................Ⅱ 目錄...............................................................Ⅳ 表目錄.............................................................Ⅵ 圖目錄.............................................................Ⅷ 第一章緒論.........................................................1 第一節研究動機.................................................1 第二節研究目的.................................................3 第三節待答問題.................................................4 第四節名詞解釋.................................................5 第五節研究範圍與限制...........................................6 第二章文獻探討.....................................................7 第一節認知診斷模型... ................................... .....7 第二節異分母分數的加減教材分析. ..............................15 第三節補救教學. ..............................................21. 第三章研究方法....................................................26 第一節研究架構................................................26 第二節研究流程................................................29 第三節研究對象................................................32 第四節研究工具................................................33 第五節認知診斷模型評估指標....................................52 第六節資料處理與分析. ........................................54 第四章研究結果....................................................55 第一節認知診斷模型適配度與辨識率分析..........................55. IV.

(9) 第二節正式施測之試題品質分析 .................................58 第三節不同補救教學方式之學習成效差異..........................62 第四節電腦化適性補救教學法在不同性別之學習成效分析............72 第五節實驗組學生對電腦化適性補救教學之學習意見分析............75 第五章結論與建議..................................................78 第一節結論....................................................78 第二節研究建議................................................80 參考文獻...........................................................81 中文部分.......................................................81 外文部分.......................................................84 附錄...............................................................86 附錄一紙筆預試測驗試題........................ ...............86 附錄二概念11補救教學動畫截圖..................................90 附錄三電腦化適性補救教學之學習意見問卷........................94 附錄四實驗組學生補救教學前、後概念具備情形一覽表...............95. V.

(10) 表目錄表 2-1-1 分數減法的認知屬性......................................... 9 表 2-1-2 分數加法的試題............................................ 10 表 2-1-3 分數選擇題例題之Q矩陣.....................................10 表 2-1-4 受試者的認知屬性狀態 ..................................... 10 表 2-2-1 九年一貫課程綱要數學領域「分數」教材階段能力指標............16 表 2-2-2 「異分母分數的加減」分年能力指標 ..........................16 表 2-2-3 異分母分數的加減常見之錯誤類型相關文獻及研究.............. 18 表 3-4-1 預試測驗的概念與試題對照表................................ 34 表 3-4-2 預試測驗之屬性概念Q矩陣................................... 35 表 3-4-3 試題設計例示.............................................. 36 表 3-4-4 預試測驗之信度、難度、鑑別度分析表 ........................38 表 3-4-5 以DINA模型及DINO模型分析預試測驗的試題參數分析表.......... 40 表 3-4-6 預試測驗之【試題1】修審前後內容對照表..................... 41 表 3-4-7 預試測驗之【試題5】修審前後內容對照表 .....................42 表 3-5-1 認知診斷模型之選模準則公式................................ 52 表 3-5-2 概念診斷辨識率判定方法.................................... 53 表 4-1-1 測驗層次之模型適配度指標.................................. 55 表 4-1-2 不同認知模型診斷模型整體概念辨識率之比較.................. 56 表 4-2-1 正式測驗之信度、難度、鑑別度分析表........................ 59 表 4-2-2 正式測驗之DINA模型的試題參數分析表....................... .60 表 4-3-1 實驗組與對照組學生前後測概念通過率及進步率分析表.......... 63 表 4-3-2 不同補救教學法之描述性統計摘要表.......................... 64 表 4-3-3 不同補救教學法之迴歸係數同質性分析表...................... 64. VI.

(11) 表 4-3-4 不同補救教學法之單因子共變數分析表........................65 表 4-3-5 高能力組學生學習成效之描述性統計摘要表....................66 表 4-3-6 高能力組之學習成效迴歸係數同質性分析表....................66 表 4-3-7 高能力組之學習成效單因子共變數分析表......................67 表 4-3-8 中能力組學生學習成效之描述性統計摘要表....................67 表 4-3-9 中能力組之學習成效迴歸係數同質性分析表....................68 表 4-3-10 中能力組之學習成效單因子共變數分析表.....................69 表 4-3-11 低能力組學生學習成效之描述性統計摘要表...................69 表 4-3-12 低能力組之學習成效迴歸係數同質性分析表...................70 表 4-3-13 低能力組之學習成效單因子共變數分析表.....................71 表 4-4-1 不同性別在電腦化適性補救教學成效之描述性統計摘要表........72 表 4-4-2 不同性別在電腦化適性補救教學成效迴歸係數同質性檢定表......73 表 4-4-3 不同性別在電腦化適性補救教學成效單因子共變數分析表........74 表 4-5-1 實驗組學生對電腦化適性補救教學之學習意見調查統計表........76 表 4-5-2 電腦化適性補救教學問卷結果分析表..........................77. VII.

(12) 圖目錄圖 3-1-1 研究架構圖................................................27 圖 3-1-2 研究流程圖................................................29 圖 3-4-1 系統登入畫面..............................................43 圖 3-4-2 系統歡迎畫面..............................................43 圖 3-4-3 使用說明畫面..............................................44 圖 3-4-4 測驗進行畫面..............................................44 圖 3-4-5 完成測驗畫面..............................................45 圖 3-4-6 測驗結果查詢..............................................45 圖 3-4-7 學生基本資料..............................................46 圖 3-4-8 百分等級圖................................................46 圖 3-4-9 單元學習紀錄..............................................46 圖 3-4-10 學生概念診斷報告.........................................47 圖 3-4-11 班級學習狀態統計書.......................................47 圖 3-4-12 點選進入補救教學媒體畫面.................................49. VIII.

(13) 第一章緒論本研究是以認知診斷模型編製五年級「異分母分數的加減」單元認知診斷測驗，並分析不同認知診斷模型之診斷精確度與模型適配度。以最佳認知診斷模型建立電腦化認知診斷測驗並根據診斷結果設計補救教學媒體，最後透過教學實驗，評估此電腦化認知診斷測驗與適性補救教學媒體之教學成效。本章將對於研究動機、研究目的、待答問題、名詞解釋及研究範圍與限制進行詳細之闡述。. 第一節研究動機分數概念的學習是國小數學課程的重點，也是接續國中數學課程的重要關卡，基於數學概念學習的前後連貫特性，學童在分數學習的錯誤概念，將會形成其日後抽象化數學概念學習的阻礙。其中，國小五年級數學領域「異分母分數的加減」便是學生極易產生錯誤類型的單元。此單元的解題涉及多個分數概念的統整與多步驟的計算，包含擴分、約分、公倍數尋找及假分數與帶分數互換等迥異於整數運算法則的分數運算規則，所以學生對本單元的學習會有較大困難。因此，為增進學習成效，教學上有設計教學媒體作輔助之需要。並且，適時診斷學生在學習這個單元所產生的錯誤概念並進行立即補救也有其必要性的。然而好的評量方法，除了要能測量出學習者的學習現況外，同時也應該提供學習者學習缺失的診斷訊息，以利教學者進行有效的補救教學。如此，評量方法與教學歷程的結合，才能讓教學活動更完善（涂金堂，2003）。然而有了好的認知診斷測驗必須加上良好的認知診斷模型來分析測驗結果，才能使診斷測驗所測得的訊息能被有效的揭露，認知診斷模型是一種潛在變量模式，主要朝向評估學生精熟或非精熟一系列細微技能發展(de la Torre, 2011)。因此，可以用來診斷受試者能力的精熟情形或是特定領域的表現情況模式。它不僅比傳統的總結性評量 (summative evaluation)以單一總分來表示學生的成就更具預測效力，也可顯現出學生是否精熟某種技能的訊息，進而幫助學生或老師更加瞭解分數所代表的涵意，進行更有效率的學習。. 1.

(14) 傳統團班補救教學仍是目前許多教師最常使用的補救教學方式，但因網際網路的普及，電腦化的測驗與補救教學已被廣泛使用。電腦化的測驗不僅可以節省教師批改試卷的時間，也可以即時將測驗結果回饋給學生與教師；針對學生所缺乏的概念進行個別化的適性補救教學，且電腦化補救教學更能夠提高學生的學習興趣。郭伯臣、曾彥鈞、陳俊華（2012）所開發之以DINA為基礎之電腦化適性診斷測驗，根據文獻，不但能縮短測驗時間，並有效節省測驗題數，學生在作答後能立即得到自己的診斷報告書，也能讓老師了解學生的錯誤概念，以利進行適性補救教學。由於本研究在補救教學實驗上將採用電腦化教學的方式，而電腦的使用是否會對不同性別學生的學習成效產生影響值得關注。國內有研究提出在電腦化教學下，男性學童在資訊接受度高於女性，所以男性學童學習成效較佳（林紀達，2004；林甫憲，2008）。亦有些研究認為沒有影響（李佳蓉，2009；許文義，2010）。因此，本研究亦針對電腦化適性補救教學對不同性別學生學習效果的影響進行評估。綜上所述，本研究主要是以教育部於民國92年所公布九年一貫課程綱要，數學領域「數與量」主題中，國小五年級「異分母分數的加減」單元能力指標為研究範圍，並且以已學習過國小五年級「異分母分數的加減」單元之國小五年級學童為樣本，進行認知診斷測驗，分析不同認知診斷模型之診斷精確度與模型適配度，以最佳認知診斷模型建立電腦化認知診斷測驗並根據診斷結果設計補救教學媒體，最後透過教學實驗，評估電腦化認知診斷測驗與適性補救教學媒體之教學成效與滿意度，以提供後續研究者與測驗實務工作者之參考。. 2.

(15) 第二節研究目的基於前節所述動機，本研究主要範圍為「異分母分數的加減」對應的能力指標為教育部（2003）編訂之九年一貫數學領域課程綱要中的 5-n-04（能用約分、擴分處理等值分數的換算）與 5-n-05（能用通分作簡單異分母分數的比較與加減）。針對上述能力指標，以此為依據，編製國小五年級「異分母分數的加減」電腦化認知診斷測驗以及補救教學媒體，而後透過教學實驗，評估本研究所設計之電腦化認知診斷測驗及電腦化適性補救教學媒體之教學成效。茲條列本研究之主要目的如下：一、以認知診斷模型編製五年級「異分母分數的加減」單元認知診斷測驗，並分析其信度、效度、難度及鑑別度。二、評估DINA、DINO、G-DINA三種認知診斷模型與自編五年級「異分母分數的加減」單元認知診斷測驗之適配度，以及各模型之概念辨識率，尋求最佳的診斷模型。三、分析根據最佳認知診斷模型所進行之電腦化適性補救教學與傳統團班補救教學之學習成效差異。四、分析電腦化適性補救教學對不同性別學生學習成效差異。五、分析學生對本研究設計之電腦化適性補救教學之意見。. 3.

(16) 第三節待答問題根據上述之研究目的，本研究之待答問題如下：一、預試測驗結果的信度、效度、難度及鑑別度為何？二、如何利用測驗層次檢定適配度的分析結果及不同認知診斷模型與專家判定結果之個別概念診斷辨識率與平均概念診斷辨識率之數據，選擇出與測驗最適配的模型？ 2-1 哪一種認知診斷模型之概念診斷辨識率最高？ 2-2哪一種認知診斷模型之測驗層次之模型適配度最佳？三、電腦化適性補救教學與傳統團班補救教學之學習成效差異為何？ 3-1 實驗組與對照組之學習成效差異為何？ 3-2 不同能力學生經過不同補救教學方式後之學習成效差異為何？四、電腦適性補救教學對不同性別之學習成效影響為何?. 五、實驗組學生對電腦化適性補救教學之意見為何？. 4.

(17) 第四節名詞解釋茲針對本研究常見的重要名詞，進行解釋或下操作型定義如下：. 壹、Q 矩陣 Q矩陣 (incidence matrix) 通常是由學科專家所建立。Q矩陣可清楚的表示試題與概念間的關係。Q矩陣表示此測驗中的試題所需具備之概念，若測驗的Q矩陣為 J  K 矩陣，則表示在此測驗中有 J 個試題與 K 個概念。如表示受試者答對第 j 題試題，需具備第 k 個概念，則 q jk  1，否則 q jk  0 。以下舉例來說明，假設Q. 矩陣如下. 概念 k. 0 試 1 Q＝題  j 1  1. 1 0 1 1. 0 1  1  0. 由上方Q矩陣可發現此測驗之Q矩陣為 4  3 矩陣，表示此測驗有4個試題與3 個概念；受試者答對第1題需具備第2個概念，答對第二題需具備第1與第3個概念，答對第三題需具備第1、第2與第3個概念，答對第4題需具備第1與第2個概念。. 貳、認知診斷模型認知診斷模型是指施測者可藉由受試者的試題反應組型來推估受試者是否具備或缺乏哪些概念，進而依據此訊息瞭解受試者的學習狀況，進行適性補救教學。本研究所探討的認知診斷模型包含：DINA、DINO、G-DINA等三種模型。. 參、模型選擇準則以模型為主的試題統計量的期望值與估計值之間指標的檢定(包含：百分率校正值、轉換修正值、或然率對數比)，使模型能夠更加符合測驗資料的特性。本研究使用AIC、BIC與CAIC三種選模準則，其公式如下： AIC = -2logL + 2‧ npar BIC = -2logL + log(N) ‧npar CAIC = -2logL +[1 + log (N )] ‧ npar. 5.

(18) 肆、概念辨識率研究者使用實徵樣本資料，進行 DINA 模型分析時，估計受試者的概念狀態與專家診斷所得的概念狀態是否一致之程度，稱之為概念辨識率。概念辨識率是指概念判斷的一致程度，也就是辨識率愈高則模型估計的結果愈接近專家診斷的結果。. 伍、電腦化適性補救教學電腦化適性補救教學是指在電腦教室以電腦輔助受試者學習，在補救教學進行時，受試者依據電腦化認知診斷測驗後，受試者所缺乏之屬性概念，點選研究者自編之補救教學媒體來進行電腦化適性補救教學。. 第五節研究範圍與限制壹、研究範圍本研究主要是以教育部於民國 92 年所公布九年一貫課程綱要，數學領域「數與量」主題中，國小五年級「異分母分數的加減」單元能力指標為研究範圍，施測樣本為已學習過國小五年級「異分母分數的加減」單元之國小五年級學童。. 貳、研究限制受限於人力、時間、資源、試卷蒐集及受試者之電腦能力、家庭社經背景等因素限制之考量。僅針對台中市一所國小五年級學生進行研究，研究題材為數學科。因此本研究之結果的推論不宜過度推論至其他教育層級的學童與其他學科領域。. 6.

(19) 第二章文獻探討本研究的主要目的為評估應用在五年級「異分母分數加減」單元的最佳認知診斷模型，並藉由不同的補救教學方式探討本研究開發之電腦化適性補救教學媒體成效。為達此研究目的，本章將針對「認知診斷模型」、「異分母分數的加減教材」及「補救教學」進行文獻探討，以提供本研究之發展方向及實施之基礎。. 第一節認知診斷模型認知診斷模型（cognitive diagnostic models, CDMs）可以用來診斷受試者是否具備測驗所需的認知屬性。我國將於2014年全面進行十二年國民教育，屆時將對國中三年級學生進行學科能力會考，取代現有的國中基本能力測驗，希望以診斷測驗中嚴密的知識結構分析與適性的實施方式，進行強化補救教學活動的目標。美國亦在2002年1月8日通過美國聯邦法律「沒有落後的孩子法案」（NO Child Behand Act 0f 2011, Public Law 107-110；簡稱為NCLB）之後，為了診斷學生在閱讀與數學的各項認知屬性是否到達精熟的程度，通過美國三至八年級的學生每年必須接受各州政府的閱讀與數學會考，並且提供學生優點與缺點的相關訊息（Hubebner, 2010）。因此，認知診斷模型開始迅速地在國內外被許多相關領域專家學者重視並進行研究。認知診斷模型可以用來診斷受試者是否具備測驗所需的認知屬性，它是利用一個潛在向量來表示受試者是否具備每一個認知屬性，以向量 αi  ( i1 ,  i 2 ,..., ik ) 表示，其中  ik  1 代表第 i 位受試者具備第 k 個認知屬性，  ik  0 則表示未具備第 k 個認知屬性。由於認知診斷模型都需由專家界定每個試題所測量的認知概念，也就是 Q 矩陣（Tatsuoka, 1985），以 Q 矩陣為基礎進行診斷，在認知診斷模式中佔有不可或缺的重要性。Q 矩陣大小為 J  K ，J 為試題數，K 為概念數，其中 q jk 代表要解決試題 j，是否需具備概念 k，定義如公式 1：. 7.

(20) 1 第j 題需要第k個概念 q  jk 0 其他. (1). 舉例來說，假設Q矩陣如下：（引自蔣威廉，2012）. 0 試 1 Q＝題  j 1  1. 概念 k 1 0. 1 1. 0 1  1  0. 由上方Q矩陣可發現此測驗之Q矩陣為 4  3 矩陣，表示此測驗有4個試題與3 個概念；受試者答對第1題需具備第2個概念，答對第二題需具備第1與第3個概念，答對第三題需具備第1、第2與第3個概念，答對第4題需具備第1與第2個概念。在「分數加法」的測驗中，試題反應理論的測量目的是瞭解受試者分數加法的能力，而認知診斷模型的目的則是測量出受試者多個概念，例如：基本分數加法運算、分數約分、將分數化為整數……等認知歷程（de la Torre & Douglas, 2004）。由此可知，認知診斷模型可以提供更詳盡的診斷訊息來協助教學者對學習者進行個別化的補救教學。目前已有許多認知診斷模型被開發且應用。本研究只針對DINA模型、DINO 模型與G-DINA模型進行探討，茲介紹如下：. 壹、DINA 模型一、模型介紹 DINA 模型是許多認知診斷模型評估方法的基礎，適合用於二元計分的認知診斷測驗。DINA 模型假設受試者答對試題的機率，會受到粗心 (slip) 及猜測 (guess) 兩個參數影響，其試題反應函數表示如下： ij. P( X ij  1 |  , s, g )  (1  s j ) g j. 1ij. (2). K. 其中，ij    ikq. jk. k 1. s j P X(ij  0| ij  1). 8.

(21) g j P X(ij  1| ij  0). 在上述公式(2)中.  ij ：表示受試者 i 是否完全具備試題 j 所需具備的認知屬性，完全具備其值為 1，反之，缺少一個以上所需認知屬性其值為 0。.  ik ：表示受試者 i 是否具備認知屬性 k，具備該屬性其值為 1，反之為 0。 q jk ：表示解試題 j 是否需要認知屬性 k，需要該屬性其值為 1，反之為 0。. s j ：表示受試者完全具備試題所需的認知屬性卻因為粗心而答錯此題的機. 率。 g j ：表示受試者缺少一個以上試題所需的認知屬性卻因為猜測而答對此題的. 機率。. 假設受試者間彼此相互獨立且試題間也彼此相互獨立，其概似函數 (likelihood function) 表示如下 N. J. i 1. j 1. L( , s, g )   P( i ) ij (1  P( i ) X. 1 X ij. ). (3). 參考 de la Torre（2009b）所使用的範例說明 DINA 模型的計算方法：表 2-1-1 為分數加法的認知屬性，表 2-1-2 為受試者是否具備此認知屬性而設計的題目，表 2-1-3 為範例題之 Q 矩陣，由表 2-1-3 可知，解此試題目受試者需具備認知屬性 1、2、3。表 2-1-1 分數加法的認知屬性認知屬性 1 2. 屬性敘述將分數部分化為整數基本分數加法. 3. 會約分. 4. 會擴分. 5. 會通分. 9.

(22) 表 2-1-2 分數加法的試題 7 8. 5 8. 計算 1  ＝ A： 2. 2 8. B： 2. 1 2. C： 2. 4 8. D： 1. 2 8. 表 2-1-3 分數選擇題例題之 Q 矩陣認知屬性. K1. K2. K3. K4. K5. 1. 1. 1. 0. 0. K1. K2. K3. K4. K5. 受試者受試者 1. 1. 1. 1. 0. 1. 受試者 2. 1. 0. 0. 0. 1. 受試者 3. 1. 0. 1. 1. 1. 試題例題 1 表 2-1-4 受試者的認知屬性狀態認知屬性. 假設給定試題參數 s1  0.1 、 g1  0.2 ，今有三名受試者，其所具備的認知屬性如表 2-1-4 所示，可知受試者 1 具備解題所需的 3 個認知屬性，因此其11  1，受試者 2 與受試者 3 都缺少一個以上的認知屬性，所以其 21  31  0 ，則三位受試者的答對機率分別計算如下： 111. P( X 11  1 | 1 , s1 , g1 )  (1  s1 )11 g1.  (1  0.1)1 (0.2)11  1  0.1  0.9. 121.  (1  0.1) 0 (0.2)10  0.2. 131.  (1  0.1) 0 (0.2)10  0.2. P( X 21  1 |  2 , s1 , g1 )  (1  s1 )21 g1. P( X 31  1 |  3 , s1 , g1 )  (1  s1 )31 g1. 由此可知，在 DINA 模型下，受試者具備所需的所有認知屬性才可能答對此題，若受試者答錯，則認為是受試者粗心所致；然而只要受試者缺少一個以上答. 10.

(23) 題所需的認知屬性，卻答對此題，則屬於猜測的情況發生。二、DINA 模型的相關研究因 DINA 模型簡單且容易解釋，因此，近年來的國內外的相關研究與應用也與日俱增，DINA 模型可運用於電腦適性化測驗、測驗編製、等化與信度……等等。茲蒐集國內外相關研究如下：（一） Xu, Chang & Douglas（2003）比較認知診斷架構下電腦適性化測驗策略的模擬研究。（二） Henson & Douglas（2005）利用 kullback-leibler information (KL) 在 DINA 模型下進行測驗編製。（三） de la Torre（2008a）以實徵資料為基礎的 DINA 模式 Q 矩陣之校正：發展與應用。（四） McGlohen & Chang（2008）結合認知診斷測驗的電腦化適性測驗技術。（五） Xu & Davier（2008）探討一般化診斷模型間的等化與連結。（六） de la Torre（2009a）針對選擇題題型提出 multiple-choice DINA 的模式，試圖從選項中獲得更多認知診斷的訊息，以達到更精準的估計。（七） de la Torre（2009b）詳述 DINA 參數估計的方法來降低 MCMC 的參數估計時間。（八） Finkelman & Roussos（2009）利用基因演算法進行自動編製認知診斷模型測驗。（九）Gierl, Cui & Zhou（2009）探討認知診斷評量下基於認知屬性的分數與信度 (reliability) 的研究。（十）許珊珊（2012）不同 Q 矩陣設計對於 DINA 模型概念診斷成效之影響。（十一）劉燕玲（2012）監督式貝氏網路與非監督式 DINA、G-DINA 模式應用於國小四年級時間概念診斷成效之究。（十二）蔣威廉（2012）試題層次與測驗層次之認知診斷模型適合度分析-以國小四年級面積單元診斷測驗為例。. 11.

(24) （十三）張育蓁（2012）不同 Q 矩陣設計在 DINA 模式估計成效探討-以國小五年級因數與倍數單元為例。. 貳、DINO 模型一、模型介紹 DINO 模型(deterministic inputs, noisy “or” gate model) 是 DINA 模式的補償性模擬 (compensatory analog) ，由 Templin 和 Henson(2006)提出。不同於 DINA 模型，在 DINO 模型之下，只要受試者具備答對該試題任一個以上需要的概念，即能答對試題，但試題答對的機率又會受到粗心 (slip) 及猜測 (guess) 兩個參數的影響。舉例來說若受試者完全不具備答題所需的概念，而答對此題，屬於猜測的情況發生；若具備至少一個以上答題所需的概念，而答錯此題，則屬於粗心的情況。其試題反應函數表示如下：. ij. P( X ij  1 |  , s, g )  (1  s' ) j K. 其中，. 1ij g' j. (4). ij    ik. q jk. k 1. s 'j P X(ij  0| ij  1). g 'j P X(ij  1| ij  0). 在上述公式（4）中 X ij ：第 i 個受試者在第 j 題的反應組型.  ij. ：表示受試者 i 是否完全具備試題 j 所需具備的概念，具備至少 1 個以上其值為 1，反之，完全不具備所需概念其值為 0。.  ik ：表示受試者 i 是否具備概念 k，具備該屬性其值為 1，反之為 0。 q jk. ：表示解試題 j 是否需要概念 k，需要該屬性其值為 1，反之為 0。. s 'j. ：表示受試者具備至少 1 個以上試題所需的概念卻因為粗心而答錯此題的機率。. 12.

(25) g 'j. ：表示受試者完全不具備試題所需的概念卻因為猜測而答對此題的機率。. 二、DINO 模型的相關研究（一）Templin & Henson（2006）提供示範的認知診斷模型得到的估計，用於評估和診斷病態賭徒。（二）de la Torre（2011）介紹認知診斷模型一般化之基本架構。（三）張詩亞（2011）使用認知診斷模式進行國小四年級自然與生活科技領域電腦化測驗研發--以「水的流動」單元為例。（四）羅興南（2012）DINA 與 DINO 模式於國小自然科電腦化診斷之應用，以五年級「水溶液」單元為例。（五）曾保閔(2012）電腦化選擇題與建構反應題於認知診斷成效之比較-以國小「分數加減」單元為例。. 參、G-DINA 模型一、模型介紹 G-DINA模式是DINA模式的一般化模式(generalized DINA model, G-DINA)，由de la Torre (2008) 提出。G-DINA模式設定每個概念與試題是交互影響的，使得每位受試者的答對機率會受到該試題所需具備的不同概念間的交互影響，再加上粗心 (slip) 與猜測(guess) 兩個參數的影響，試題的答對機率則會有所不同。 G-DINA 模式中猜測機率 ( g j ) 的估計則因不同概念間之權重比例不同而有不同的影響，以多個概念狀態組型的平均答對機率值，作為估計猜測機率 ( g j ) 的標準。受試者答對的機率取決於各個概念之間交互作用的結果。其試題反應函數表示如下：. . . K j. P X j  1   j 0    jk lk   lj. k 1. K j. K j 1.  . k ' k 1 k 1. jkk '. 在上述公式（5）中. 13.  lk lk    j12K '. K j.  j.  k 1. lk. （5）.

(26)  j 0 ：無任何概念作用之下，第 j 題的截距項.  jk ：對  k 的主要影響.  jkk ：  k 與  k 之間的交互影響 '. '.  j12K ：  k ，…，  k 之間的交互影響 ' j. '. 當  j 0 與  j12K 不為0時，而其他  jk 與  jkk 均為0時，也就是概念或概念間不具 ' j. '. 有交互影響時，就是DINA模型，其中 g j =  j 0 、1- s j =  j 0 +  j12K ；相對於DINA ' j. 模型，除了 0 K 外，所有的潛在群體正確答對第 j 題的機率均相等，設定  j.  jk   jk k     1K 112K 因此DINO模型可從G-DINA模型得到，其中 g 'j =  j 0、  j. ' ''.  j. 1- s 'j =  j 0 +  jk 。由此可知，DINA模型與DINO模型都是G-DINA模型的一種特例。二、G-DINA 模型的相關研究（一）de la Torre(2008b) G-DINA 模型的介紹。（二）de la Torre(2011)介紹認知診斷模型一般式之基本架構(G-DINA 模型)。（三）王文卿(2010) 探討 DINA 模式與 G-DINA 模式參數估計比較。（四）陳亭宇（2010）探討 DINA 模式與 G-DINA 模式參數不變性。（五）歐陽惠萍(2012) Q 矩陣校正於 DINA 模式與 G-DINA 模式估計成效之探討—以線對稱單元為例。. 肆、此節文獻對本研究的啟示綜合上述，認知診斷模型可以提供詳盡的診斷訊息，讓教學者獲得學習者學習上的缺失，有助於教學者進行有效的補救教學，使教學能更加完善。然而不同的認知診斷模型有不同的優點，Rupp, Templin & Henson (2010)提到模型與資料的適合度可能會對研究結果造成極大的偏誤影響。如何選用適合研究資料的模型並建立選模的機制是相當重要課題。因此本研究將探討 DINA 模型、DINO 模型及 G-DINA 模型與資料間作相互比較與分析，並從中選擇出適合本研究最佳的認知診斷模型，以利後續之研究及資料分析。. 14.

(27) 第二節異分母分數的加減教材分析壹、分數概念及重要性在日常生活中，或在數學與自然科學的教材中，都可以發現分數概念與運算是很常用也很重要的概念，例如平分蛋糕；或是把一瓶可樂分成數杯，使大家都喝得一樣多……等，在分的過程中，往往會考慮到要如何分？可以分得多少？或是在測量物體的長度時會遭遇到所使用的單位度量並不能剛好量完的情形，諸如此類的問題都跟分數的概念有密切的關係。此外，在自然科的教材中，速率比、溶液濃度的關係等，也是分數很常用的重要概念。因此不論是在六十四年版的「國小數學課程標準」或八十二年的「國民小學數學課程標準」，甚至是九十年版的「國民教育九年一貫課程」數學學習領域裡，分數概念的學習都佔有非常重要的地位，而分數概念與運算的教材也從國小二年級一直涵蓋到六年級多個年級層，沒有中斷。分數是一個複雜而重要的數學概念，與小數、百分率、比、除法等概念關係密切，而這些概念不僅是數學中的重要概念，且在國小數學中佔相當分量（教育部，2003）。. 貳、異分母分數的加減教材內容分析依據教育部（2003）公佈的現行國民中小學九年一貫課程數學領域課程綱要所編寫，九年一貫課程綱要領學領域「分數」教材階段能力指標，詳列於下表 2-2-1 中。本研究以五年級「異分母分數的加減」單元為研究範圍，由表2-2-1可知，在分數教材階段能力指標屬於數學學習領域第二學習階段。茲將「異分母分數的加減」之分年能力指標整理如表2-2-2：. 15.

(28) 表 2-2-1 九年一貫課程綱要數學領域「分數」教材階段能力指標階段. 能力指標. 對照指標. 第一階段 (1~3 年級). 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題。. N-1-09. 能理解分數之「整數相除」的意涵。. N-2-06. 能認識真分數、假分數與帶分數，作同分母分數的比較、加減與整數倍計算，並解決生活中的問題。. N-2-07. 能理解等值分數、約分、擴分的意義。. N-2-08. 能理解通分的意義，並用來解決異分母分數的比較與加減問題。. N-2-09. 能理解分數乘法的意義及計算方法，並解決生活中的問題。. N-2-11. 能做分數與小數的互換，並標記在數線上。. N-2-13. 能理解最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，並用來將分數約成最簡分數。. N-3-02. 能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。. N-3-03. 無. 無. 第二階段 (4~5 年級). 第三階段 (6~7 年級). 第四階段 (8~9 年級) 表 2-2-2 「異分母分數的加減」分年能力指標年級四年級五年級. 能力指標. 對照指標. 4-n-08. 能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單分數與小數的互換。. N-2-08 N-2-13. 5-n-04. 能用約分、擴分處理等值分數的換算。. N-2-08. 5-n-05. 能用通分作異分母分數的比較與加減。. N-2-09. 分年細目. 16.

(29) 由表 2-2-2 可知，異分母分數的加減之教學，在國小四年級時，引入等值分數的初步概念的理解，並進行簡單的異分母分數之比較。國小五年級時，進入了利用擴分與約分的方式進行異分母分數之比較，且利用通分作異分母分數的比較與加減。異分母分數的加減問題包括了異分母分數的比較、通分及異分母分數的加減法。異分母分數表示其分割數不相同，因此，進行大小比較活動時，須先找出這些分數的共測單位，再進行比較；接著，從解題過程中引導學生發現，異分母分數共同單位分數的分母會是這些分數分母的公倍數；進而引出通分的用語及意義所在。通分是指把不同分母的分數，化成同分母分數的過程。當兩個或兩個以上的分數的分母相同時，可以直接比較它們分子的大小；但是，當兩個或兩個以上分數的分母不同時，就無法直接由分子決定大小，此時，自然會產生將分母的分數化為同分母的分數的需求。在尋找共同分母的過程中，也必須引導學生看出，這些分數分母的公倍數即是所求的通分後的分母。當學生已有通分活動的經驗，並瞭解通分是有效的解題策略，接著便利用通分的方法來進行異分母分數的加減之教學（康軒文教事業股份有限公司，2007）。. 參、異分母分數的加減錯誤類型由於分數概念是一個在問題情境中兼具多重意義的數學概念，在日常生活中常呈現不同的面貌，造成學童在學習時的困擾很大。從德國人若遭遇到困難時，便說是「如墜入分數之中」，就可以知道分數學習的困難程度，這些學習困難造成學童產生許多的錯誤或迷思概念（湯錦雲，2002）。本研究中之錯誤類型係指學生在解決國小數學領域「異分母分數的加減」單元中，可能發生的錯誤，參考國內外許多學者對於學生學習此單元概念時，所常見之易錯類型之相關文獻，如表 2-2-3 所示。. 17.

(30) 表2-2-3 異分母分數的加減常見之錯誤類型相關文獻及研究研究者及年代陳和貴（2002）. 湯錦雲（2002）. 林宏仁（2003）. 黃權貴（2003）. 陳晚蓁（2004）. 研究主題. 錯誤類型. 國小五年級學童分 1.缺乏「等分」概念。數概念學習表現及 2.忽略給定的單位量或對基準量的指認有困易犯錯誤類型之比難。較研究～以屏東縣 3.在「商」模式中，對於哪一個數該放在分子多元文化族群為例或分母的概念尚不清楚。 4.在處理分數的大小比較及等價分數時，僅以分子或分母作為判斷的依據。 5.作答「文字題」時，不瞭解題意，對於單位的疏忽或缺乏判別多餘數字的經驗或能力。國小五年級學童分 1.缺乏部份與全部的概念。數與運算錯誤類型 2.缺乏等分概念。之研究 3.單位量指認錯誤。 4.認為分數不是一個數。 5.數與量概念無法辨別。 6.假分數化成帶分數的錯誤。國小教師數學教學信念及其較學評估之研究：以高年級學童分數概念學習表現為例國小六年級學童異分母分數合成之解題研究. 1.連續量的等值分數瞭解有困難。 2.忽略單位的存在。 3.標示分數時，常忽略給定的參考值而以分母或分子為依據。. 1.計算過程中，分子相乘，分母相加 2.計算過程中，分子相加，分母相乘 3.計算過程中，分子相加，分母也相加 4.計算過程中，分子相加，分母則不管國一新生數學銜接 1.忽略單位量的差異。方案之研究─以分 2.圖形等分時，未注意是否等分。數單元為例 3.分數相加時，會有分子加分子、分母加分母的情形。 4.不同的分數算則易混淆使用。 5.帶分數乘以帶分數時，會將整數與分數部分分開處理。（續下頁）. 18.

(31) 表2-2-2 （續）異分母分數的加減常見之錯誤類型相關文獻及研究研究者及年代吳仁奇（2005）. 研究主題以貝氏網路為基礎之能力指標測驗編製及補救教學動畫製作-以五年級數學領域分數相關指標為例. 錯誤類型 1.未通分，直接將分子與分母分別相加減。 2.找出公分母，分子沒有擴分就直接加減。. 本研究以表 2-2-2 異分母分數的加減常見之錯誤類型為依據，整理出異分母分數的加減之錯誤類型說明如下：一、求等值分數及比較大小的錯誤：（一）求等值分數及異分母比大小時，分子、分母同加一數其值不變。（二）求等值分數及異分母比大小直接以原分子、分母進行解題。（三）異分母比大小時，直接將分子、分母相加，得到一個整數。二、分數的加法運算錯誤：（一）分子加分子，分母加分母。（二）求出公分母後放在分母，而分子為原分子相加。（三）分母相乘，分子相加。（四）分母相乘，分子相乘。三、分數的減法運算錯誤：（一）通分後，分子為大數減去小數。（二）分母減分母，分子減分子而且是大數減小數。（三）求出公分母後放在分母，而分子為原分子相減。. 19.

(32) 四、向整數借位問題：（一）從整數所借的 1，直接在分子加 10。（二）借位時，原整數部分加到分子去。 5 7. 6 7. 例如：2 ＝1 ，其中 5＋1＝6 （三）向整數借 1，計算時卻忘了減 1。五、指認單位量困難或忽略單位量：（一）學生在解題時只考慮到分子或分母的因素。例如：學生在以十二個組成一堆的花片中取出其中的六分之五，他們的反應是只取其中的五個。（二）忽略給定的單位量。例如：學生在回答一包巧克力有四個，其中的一個是幾包的問題時，會回答一個或是四分之一個。顯示他們對於所給定的單位「袋」和單位分量「個」之間的關係，並不在意。. 肆、此節文獻對本研究的啟示綜合上述，九年一貫課程綱要數學領域分數教材分年能力指標分析，可知分數的教材地位，及測驗編製中所須施測的各項屬性概念。因此，本研究依據教育部於 2003 年所公布九年一貫正式綱要，國小五年級「異分母分數的加減」能力指標（5-n-04 與 5-n-05），細分為十二個屬性概念，如表 3-4-1 屬性概念與試題對照表所述，並參考所蒐集之學童在異分母分數的加減的錯誤類型。為本研究認知診斷測驗試題及補救教學媒體編製的依據。. 20.

(33) 第三節補救教學黃士騰（2006）認為補救教學是一種診療教學模式（clinical teaching，也稱為臨床教學模式），針對學生的學習困難進行診斷，並依診斷結果設計適性課程，以達到補救的效果。在教育改革浪聲中，「因材施教」的理念再度提出來，不同於以往的是，現今教改訴求的是「把每一位學生帶上來」，且補救教學應該是一種「診斷－教學－再評量」的循環歷程。所以補救教學必須根據學生學習成績、智力與性向測驗的結果、身心的狀況以及學生的學習態度等許多綜合因素所診斷出來的結果，並針對結果所設計的一連串補救教學措施。. 壹、補救教學模式國內外常用的補救教學模式如下：資源教室模式、學習站模式、套裝學習模式，以及電腦輔助教學模式（杜正治，1993；郭生玉，1995轉引自張新仁、邱上真、李素慧，2000)。介紹如下：一、資源教室方案（resource program）資源教室方案是一種輔助性的措施，提供教室與課程，使某些需要他人協助的學生，大部份時間與一般學生在普通教室上課，而少部份時間則安排在資源教室，接受資源教師的指導。資源教室可針對資優學生或是學習上有困難的學生。二、學習站模式（learning stations）以學習站的型態實施補救教學，是最符合經濟效益的作法。它利用各教室的自然環境畫出學習區域，不需另闢教室。教師可以扮演主導的教師，也可在旁扮演輔導的角色，僅提供必要的協助。甚至，教師也可以請程度較好的同學一同協助進行。三、套裝學習材料模式（learning package）套裝學習材料模式是一種能力本位與自我導向的學習方式，以循序漸進的方式，協助學生習得一種觀念或技巧。套裝學習材料模式的施行，沒有特殊場合的限定。其特色之一是個別化教學導向，學習的進度是由學生能力與需要來決定， 21.

(34) 時間的安排也以學生的課表為主，而教材與教法的選擇，也符合學生個別的需求與能力水準。教師扮演輔助的角色，必要時提供指示與回饋。四、電腦輔助教學模式（Computer Assisted Instruction,後簡稱CAI）近年來由於電腦科技的進步，電腦輔助教學也被用來作為提供低成就學生的補救教學法之一。不少文獻指出：運用不同教學科技的學習活動，適合少數個別化教學以及低能力的學生；因為科技器材的運用能製造積極的學習態度，增進低成就學生的成功經驗。 CAI係一種利用電腦呈現教材與控制教學進度與環境的教學模式。而教育工學的日漸精進，更是提高個別化教學的可能性，也為補救教學提供另一種可行的管道。再加上電腦普及化，不僅各級學校闢有電腦教室，各個家庭也大多擁有一部甚至多部電腦，所以電腦輔助教學模式應用於補救教學的可行性也大為提高。電腦輔助教學的特色有：立即回饋、提高信心、容易操作、用途廣泛、學習者可以自訂進度。. 貳、補救教學課程內容類型補救教學的課程在內容上，因教育的理念、教師的素養、學習的設備以及學生本身的需要，而呈現多樣化。其常用的教學課程內容有補償性、導生式、適性、補充式、加強基礎性及學習策略等課程（轉引自張新仁、邱上真、李素慧，2000）。 (一)補償式課程(compensatory program) 補償式課程之學習目標與一般課程相同，但教學方法不同，即以不同的教學方法達到相同的教學目標。在實施補救教學之前，得對學習者做徹底的診斷。若學生聽覺能力優於視覺能力，教師可以有聲圖書取代傳統的教科書，以口試或聽力測驗取代筆試。 (二)導生式課程(tutorial program) 導生式課程旨在於提供額外的協助，以學習正規課程內容。除了實施一對一或小組教學等教學方式外，其餘與正式課程沒有差異。其教學特色是為學生提供額外的解說，舉更多的例子，並對一般課程所呈現的教材再作複習。. 22.

(35) (三)適性課程(adaptive program) 適性課程的課程目標與教學目標內容，與正式課程相同；但課程較具彈性，可由教師選編合適的教材，以迎合學生的需求。此外，在教法上也較彈性，可使用錄音帶或錄影帶，以取代傳統教科書，考試時也允許以錄音、口試，或表演的方式代替傳統教科書。 (四)補充式課程(supplemental program) 補充式課程的特點，在於提供一般學校普遍忽略、但對學生的日常生活或未來就業非常重要的知識或技能。如對考試不及格的學生提供有關的補充式課程，即協助學生習得通過考試的必要知識或應試作答技巧，以通過各種考試。 (五)加強基礎課程(basic skills program) 加強基礎課程的特點，偏重於學生在正規課程中未能習得的基本技巧。加強基礎課程模式的基本假設，認為學習歷程是一種線性作用。如一位五年級學生的寫作能力，還停置在三年級的程度，則補救教學課程即需強調題不僅在於診斷學生的學習困難，同樣重要的是確定學生當時的知識程度與能力水準。 (六)學習策略訓練課程(learning strategies training program) 採用學習策略課程的教師所教授的課程內容與正規班級不同，其教學重點不是一般的課程內容，而是學習的策略，包括資料的蒐集、整理與組織方法、以及有效的記憶等。. 參、電腦化適性補救教學謝哲仁及蕭登仲（2005）指出要達到最佳的補救教學效果，完全以學生的基礎知識及學習能力，來進行個別化的補救教學輔導，無疑是一個最好的選擇，而隨著九年一貫教學的實施，教師需要花費在教學研究及課程統整上的時間將相對增多，因此要針對學生的不同需求來進行個別化補救也就成為一個更加困難的任務。. 23.

(36) 謝哲仁、何政謀（2005）指出，隨著電腦資訊的普及，電腦軟體愈來愈符合人性化的設計，使得有越來越多的人習慣於電腦的操作與應用。美國數學教師協會（NCTM，1989）就指出，教師在教學時要使用具體的視覺化模型，並且要在適當時機使用科技產品。隨著電腦運算與繪圖軟體的日益進步，教師利用電腦輔助教學也更趨於方便，尤其透過電腦的教學，會比傳統式的教學來得更生動，更能引起學生的興趣；若是教師能製作視覺化模型，讓原本只是抽象的數學符號化成學生可以看得到、可以具體操作的實景，相信對學生數學概念的建構，必能產生事半功倍的效果。然而傳統的電腦輔助教學設計多偏重在練習及題目展示方面的設計，而且將重點放在由電腦自行教學或處理學習上。因此，「教具及學具」觀點的電腦輔助教學，建議將電腦當作工具，教師根據課程及教材內容的特質，設計出能幫助教學的教具或學生操作的學具，是當務之急。林立敏、白曉珊、郭伯臣和劉育隆（2006）指出適性補救教學可分為「以電腦為基礎之適性補救教學」與「以教師為基礎之適性補救教學」二種，現就二種類型的適性補救模式加以介紹：一、以電腦為基礎之適性補救教學(computer-based adaptive remedialinstruction，簡稱CBRI) 以電腦為基礎之適性補救教學，教師扮演助教角色透過和學習者的互動記錄學習者學習歷程，引導學習者進行個別化學習。實施程式是在學生進行前後測針對學生的錯誤概念以電腦輔助教學設備進行補救，學生是接受設定好的電腦程式進行補救。電腦輔助教學模式是近幾年來漸漸被使用的一種補救教學模式，其除了較容易施行外，亦可達到適性化的功能。其優點為:能以較少的試題精準評估受試者能力，節省時間；根據受試者程度施測增加作答動機；施測結果回饋有利日後研究分析或補救教學使用。其缺點則是學生在進行補救時產生的問題可能無法立即解決，且教學現場必須準備足夠的軟、硬體設備，對現行小學來說一有經費上的困難。. 24.

(37) 二、以教師為基礎之適性補救教學(teacher-based adaptive remedial instruction，簡稱TBRI) 以教師為基礎之適性補救教學，教師必須針對個別學生不同的學習困難之處，以課本和習作等教材實施補救教學，做出最適合的補救教學，優點為：教師能依學生個別差異施予即時的回饋指導。. 肆、此節文獻對本研究的啟示綜合上述，電腦化適性補救教學為未來補救教學之趨勢。本研究將以補救教學方式不同，分為實驗組：電腦化適性補救教學，對照組：傳統團班補救教學。以認知診斷模型的概念編製國小五年級異分母分數的加減單元認知診斷測驗，與補救教學媒體，並結合臺中教育大學教育測驗統計研究所研發的智慧型雲端適性診斷測驗暨適性學習系統進行教學研究。實驗組學生根據系統提供的認知診斷測驗報告書進行個別化的補救學，針對自己所欠缺的的屬性概念進行線上學習。對照組學生則由任課教師進行傳統團班補救教學，評估兩者之教學成效差異，以利後續之研究。. 25.

(38) 第三章. 研究方法. 本研究係針對「異分母分數的加減」單元設計電腦化認知診斷測驗與補救教學媒體，並評估其成效，本章主要就研究方法及步驟做說明。本章共分為六節，第一節研究架構；第二節研究流程；第三節研究對象；第四節研究工具；第五節認知診斷模型與概念辨識率的評估指標和第六節資料處理與分析。. 第一節研究架構本研究採用不等組前測－後測設計（the pretest-posttest nonequivalent-groups design），在台中市某一國民小學立意取樣四班五年級學生進行實驗。研究架構如圖3-1-1所示。. 26.

(39) 五年級異分母分數的加減單元認知屬性概念 1.能用擴分的方法找出一個分數（非帶分數）的等值分數。 2.能用擴分的方法找出一個帶分數的等值分數。 3.能用約分方法找出一個分數（非帶分數）的等值分數。 4.能用約分的方法找出一個帶分數的等值分數。 5.能知道約分的數字是分子和分母的公因數。 6.通分時能找到兩異分母分數的共同單位分數。 7.能利用通分比較異分母分數的大小。 8.能利用通分解決異分母的加法問題。 9.能將假分數轉換成帶分數。 10.能利用通分解決異分母的減法問題。 11.能解決分數減法問題中的借位問題。 12.能解決整數單位和分數單位混合的應用題。. 電腦化適性補救教學系統 1.電腦化認知診斷測驗. 2.自編補救教學媒體. 共變項前測成績. 實驗處理自變項補救教學法 1. 電腦適性教學（實驗組） 2. 傳統團班教學（對照組）. 依變項補救教學後成效(後測成績). 圖 3-1-1 研究架構圖. 27. 控制變項 1.教學年級 2.能力指標 3.教學時間 4.教師年資.

(40) 各變項說明如下：一、自變項本研究的補救教學方法，實驗組採研究者自編補救教學媒體進行電腦適性補救教學，對照組由任課老師在教室使用同一教材進行傳統團班補救教學。二、依變項補救教學後成效（後測成績）：指實驗組與對照組兩組學生於電腦化認知診斷測驗後，各組經兩節課(80分鐘)的補救教學後，進行第二次的電腦化認知診斷測驗的成績。三、控制變項（一）教學年級：實驗組及對照組之研究對象皆為101學年度國小五年級之學童。（二）能力指標：本研究傳統教材與自編教材所對應之能力指標、單元目標皆與對照組相同。（三）單元教學時間：實驗組與對照組實際教學時間均為五節（200 分鐘）。（四）教師年資：兩組參與教學之教師教學年資皆為 10 年以上，教學風格相近。四、共變項教學後在進行補救教學前，所實施的數學學習成就（前測成績）：指實驗組與對照組兩組學生學習該單元結束後，補救前之第一次電腦化認知診斷測驗的成績。. 28.

(41) 第二節研究流程本研究主要依循上述的研究架構為基礎，研究流程如圖 3-2-1 所示。確定研究目的蒐集與閱讀相關文獻確定研究架構編製認知屬性 Q 矩陣編製測驗進行預試紙筆測驗預試資料分析並修改試題及Q 矩陣，評估最佳認知診斷模型編製電腦化正式測驗. 編製補救教學動畫. 利用電腦化認知診斷測驗系統進行第一次施測（前測）. 實驗組電腦化適性補救教學. 對照組傳統團班補救教學. 利用電腦化認知診斷測驗系統進行第二次施測（後測）研究結論與建議撰寫研究報告圖 3-2-1 研究流程圖. 29.

(42) 本研究主要流程之詳細說明，茲說明如下：. 壹、教學實驗前的準備工作一、研究者依據研究所課程中所習得的知識與實際教學工作上，蒐集學生在數學學習之困難與問題，經由閱讀相關文獻並與指導教授討論後，提出研究動機、確定研究目的，蒐集認知診斷模型、異分母分數加減及適性補救教學相關文獻，擬定初步的研究架構。二、依據教育部（2003）編訂九年一貫數學領域課程綱要之能力指標，及單元教學目標設計認知屬性 Q 矩陣。三、依據認知屬性 Q 矩陣編製紙筆測驗預試卷，由指導教授及五位國小在職教師一同審核修改，編修完成後進行紙筆測驗之預試。四、依據預試測驗資料的信度、難度、鑑別度及認知診斷模型的參數值，作為修正與刪減測驗試題的依據，然後編修完成正式之電腦化認知診斷測驗前、後測（複本）試題及其所含屬性。五、依據認知屬性 Q 矩陣設計補救教學動畫，經過專家審核後，正式在電腦教室進行線上施測。. 貳、教學實驗流程一、實驗流程圖. 前測電腦化認知診斷測驗. 實驗組電腦化適性補救教學. 對照組傳統團班補救教學. 後測電腦化認知診斷測驗. 實驗組學生填寫電腦化適性補救教學之學習意見問卷. 30.

(43) 二、實驗流程說明（一）「異分母分數加減」單元教學結束，學生以班級為主，在電腦教室進行線上測驗的前測，學生可在電腦教室中利用紙筆進行運算後，再用滑鼠點出最適合的選項，作答完畢馬上可得知自己的分數及該進行補救的屬性概念，（二）施測後一周內實驗組與對照組分別進行兩節課補救教學，實驗組採電腦化適性補救教學，對照組採傳統團班補救教學。（三）補救教學結束後三天內，兩組學生再回到電腦教室進行後測，由各班前、後測的分數差距來分析實驗組與對照組是否達顯著差異。（四）實驗組學生填寫電腦化適性補救教學之學習意見問卷. 31.

(44) 第三節研究對象本研究包含紙筆預試測驗及正式教學實驗兩階段，選取的研究對象說明如下：. 壹、預試對象(紙筆測驗) 本研究的紙筆預試測驗採立意抽樣，抽樣對象為100學年度台中市已完成國小五年級「異分母分數的加減」單元學習之國小五年級學童為主，抽取之樣本為台中市1所國小，此所國小為台中市大型學校，全校總班級數69班，每班人數約30 人，位於市中心，是一所都會型的學校。抽取國小之五年級所有班級皆接受施測，共計13班學生接受本研究之紙筆測驗預試。本測驗施測日期為101年5月，施測時間為一節課，若是時間不足，視情況延長時間。原始樣本為353人，扣除作答不完整的8份，有效樣本為345份。. 貳、正式教學實驗對象本研究之教學實驗對象為 101 學年度已完成五年級「異分母分數加減」單元課程的學童，基於研究需求、行政上的支援及電腦硬體設備等環境之考量，採立意抽樣選取台中市某一個國小五年級四個班級學生。此所國小有兩間電腦教室，班班有電腦、單槍、大布幕使用，非常適合資訊融入教學。將參與研究的班級隨機分派為實驗組與對照組，各組為二個班級，總樣本人數共 118 位，分為實驗組 58 人、對照組 60 人，但有 2 位實驗組及 2 位對照組學生因故未完成教學實驗，故實際有效樣本為實驗組 56 人、對照組 58 人，共 114 位。教學實驗進行期程（含前測、補救教學及後測）為 101 年 11 月 12 日至 101 年 11 月 25 日。. 32.

(45) 第四節研究工具為達本研究之研究目的，所使用的工具包括「自編國小五年級異分母分數加減單元電腦化認知診斷測驗」、「自編補救教學媒體」、「實驗組學生對電腦化適性補救教學之學習意見問卷」及「研究資料分析相關應用軟體」等工具，分別說明如下：. 壹、自編國小五年級異分母分數加減單元電腦化認知診斷測驗一、測驗編製內容（一）測驗內容說明本研究所編製之試卷是依據教育部（2003）編訂之九年一貫數學領域課程綱要，有關五年級「異分母分數的加減」能力指標(5-n-04 與 5-n-05)設計屬性概念 Q 矩陣，並進行測驗編製。（二）測驗編製過程 1、設計 Q 矩陣閱讀並蒐集相關文獻，經由專家學者及 5 位具有豐富教學經驗之現職國小教師，進行「異分母分數的加減」的討論後，統整 12 個屬性概念及 Q 矩陣，如表及 3-4-1 表 3-4-2 所示。以作為編製「異分母分數的加減」認知診斷測驗的依據。. 33.

(46) 表 3-4-1 預試測驗的概念與試題對照表概念. 試題. 1、6、7、8、9、 K1 能用擴分的方法找出一個分數（非帶分數） 12、14、17、18、的等值分數。 20、21 K2 能用擴分的方法找出一個帶分數的等值分數。. 2、8、10、11. K3 能用約分方法找出一個分數（非帶分數）的等值 3、12、15、19 分數。 K4 能用約分的方法找出一個帶分數的等值分數。. 4、16. K5 能知道約分的數字是分子和分母的公因數。. 5、13、16. K6 通分時能找到兩異分母分數的共同單位分數。. 6、7、8、9、10、 11、14、18、20、 21、22. K7 能利用通分比較異分母分數的大小。. 6、18、20. K8 能利用通分解決異分母的加法問題。. 7、8、11、21. K9 能將假分數轉換成帶分數。. 8、21. K10 能利用通分解決異分母的減法問題。. 9、10、11、14. K11 能解決分數減法問題中的借位問題。. 10、11. K12 能解決整數單位和分數單位混合的應用題。. 14、15. 34.

(47) 表 3-4-2 預試測驗之屬性概念 Q 矩陣屬性概念試題 K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9 K10 K11 K12 I1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 I5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 I6 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 I7 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 I8 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 I9 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 I 10 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 I 11 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 I 12 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 13 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 I 14 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 I 15 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 I 16 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 I 17 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 18 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 I 19 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 20 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 I 21 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 I 22 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 概念數統計 11 4 4 2 3 11 3 5 2 4 2 2. 2、命題方式本研究試題皆以選擇題形式呈現，以配合電腦線上施測之需要。依據 Q 矩陣進行每一試題之題目設計，且以可能錯誤類型為規劃具誘答力選項之依據，並邀請具有教學及測驗編製經驗的一位學者及 5 位國小現職老師協助檢視審核試題，最後，修訂完成本研究試卷之 22 個試題及其複本，茲以試題編號 8 為例作說明，試題設計例示如表 3-4-3 所示：. 35.

(48) 表 3-4-3 試題設計例示編號. 8 k1. 能用擴分的方法找出一個分數（非帶分數）的等值分數。 k2. 能用擴分的方法找出一個帶分數的等值分數。. 認知屬性. k6. 通分時能找到兩異分母分數的共同單位分數 k8. 能利用通分解決異分母的加法問題。 k9. 能將假分數轉換成帶分數。（. 11 3 公尺，紫色緞帶比黃色緞帶長公尺，請問紫色緞帶長多 7 5 14 22 22 33 少公尺？（3 5  3 4 ）公尺 12 35 35 35. ）黃色緞帶長 3. 題目. 選項 1. 選項. 選項 2. 選項 3 3 3  11 6 ＋＝3 5 7 75 33 ＝3 35. 3 ◎ 11 ＋＝ 3 5 7 反應 3  11 類型 75 14 ＝3 12 教育目 ■1.定義與基本概念之知識標參數 □3.綜合分析. 3. Q 矩陣. 3. 選項 4 11 1 ＝1 （受十進位 5 5 影響）. □2.公式、定理與其應用 □4.圖、表及計算器具之瞭解. k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0. (三)預試紙筆測驗的信度、效度分析 1、預試紙筆測驗的信度分析本研究之紙筆測驗的信度採取內部一致性之 Cronbach's  係數，所得預試測驗的 Cronbach's  係數為 0.88，表示本研究預試之認知診斷測驗的試題信度頗佳。且試題刪題後的  係數只有第 6 題小幅提升至 0.8802，所以不建議刪題，相關數據如表 3-4-4。 2、預試紙筆測驗的效度分析. 36.

(49) 本測驗之效度採取專家效度。試題編製依據「異分母分數加減」單元的教學目標統整出概念屬性，以此為依據編製測驗，並於試題初稿擬訂之後，經由指導教授與五位教學經驗豐富且於台中教育大學測統所進修之現職教師審視題目及選項設計是否適宜，並提供測驗試題的修改與建議，使本研究之認知診斷測驗的試題內容具有專家效度。 (四)預試紙筆測驗的試題品質分析 1、預試紙筆的試題難度分析難度指數的計算則先將受試者依測驗總分由高而低排序後，測驗總分前 27 ％設為高分組，測驗總分後 27％設為低分組，然後計算高低分組中受試者答對此試題的百分比，難度指數( P )為高分組與低分組受試者答對此試題的百分比平均數， PH 為高分組受試者答對此試題的百分比， PL 為低分組受試者答對此試題的百分比，難度指數值介於 0~1 之間，難度指數( P )愈接近 1 表示此試題愈容易，則有愈多的受試著答對此試題，相對的，難度指數( P )愈接近 0 表示此試題愈困難，則有愈少的受試著答對此試題，當難度指數為 0.500 時，表示此試題答對與答錯的受試者人數相當，表示此試題難易度適中。本研究預試測驗的平均試題難度指數為 0.599，各試題難度指數( P )介於 0.180~0.849 之間。根據上述難度指數的分析，發現預試測驗整體試題的難易程度屬於中偏易，其中試題第 1、5 題難度指數大於 0.800，表示此測驗之試題較為容易；故修改試題第 1、5 題提高其難度。預試測驗的試題難度指數之結果，如表 3-4-4 所示。 2、預試測驗的試題鑑別度分析預試測驗使用鑑別度( D )，判定測驗的試題是否具有區別受試者能力高低的功能，一份具有鑑別度的測驗試題，其試題中高分組答對此試題的百分比要高於低分組答對此試題的百分比，鑑別度介於-1.00~1.00 之間，當鑑別度( D )為負值時，表示此測驗試題不具鑑別度；當鑑別度( D )為正值且其數值愈大時，表示此測驗試題的鑑別度愈高，較佳的鑑別度( D )最好在 0.30 以上。本研究預試測驗鑑別度 ( D )的計算將受試者依測驗總分由高而低排序後，測驗總分前 27％設為高分組， 37.

(50) 測驗總分後 27％設為低分組，然後計算高低分組答對此試題的百分比，鑑別度( D ) 為高分組答對此試題百分比與低分組答對此試題百分比的差異值，PH 為高分組受試者答對此試題的百分比， PL 為低分組受試者答對此試題的百分比。本研究預試測驗的試題平均鑑別度( D )為 0.579，各試題鑑別度( D )介於 0.267~0.814 之間。根據上述預試測驗的鑑別度( D )分析，發現預試之認知診斷測驗的試題整體有不錯的鑑別度。預試測驗的各試題、平均鑑別度( D )結果，如表 3-4-4 所示。表 3-4-4 預試測驗之信度、難度、鑑別度分析表難度指數(P) 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 平均. P  PL P＝ H 2. 0.802 0.767 0.727 0.599 0.849 0.279 0.762 0.674 0.733 0.744 0.640 0.477 0.645 0.337 0.180 0.523 0.581 0.593 0.570 0.651 0.535 0.506 0.599. 鑑別度(D) D＝ PH  PL 0.395 0.372 0.547 0.477 0.279 0.372 0.430 0.581 0.535 0.465 0.698 0.698 0.640 0.558 0.267 0.814 0.814 0.791 0.767 0.628 0.814 0.802 0.579. 38. 刪題後信度 0.873 0.876 0.872 0.877 0.875 0.880 0.872 0.875 0.872 0.872 0.869 0.873 0.871 0.876 0.879 0.869 0.867 0.867 0.868 0.871 0.868 0.867.

(51) 3、以認知診斷模型分析預試測驗之試題參數本研究是以認知診斷模型來編製認知診斷測驗，除了以古典測驗理論分析試題品質外，另先以 DINA 與 DINO 模型進行預試結果的初步試題分析（G-DINA 模型並不提供試題參數的直接估計），作為修正 Q 矩陣及試題的依據。本預試測驗以認知診斷模型進行測驗分析，當模型分析資料的結果，猜測度大於 0.500 時，表示受試者在不具備概念的情況下，答對此測驗試題的機率會大於等於 0.500，則此測驗試題品質不佳，較佳的猜測度應小於 0.500。本研究預試測驗以 DINA 模型進行測驗分析的平均試題猜測度( g )為 0.242，猜測度( g )介於 0.00~0.520 之間；平均試題粗心度( s )為 0.137，粗心度( s )介於 0.000~0.622 之間。以 DINO 模型進行測驗分析的平均試題猜測度( g )為 0.320，猜測度( g )介於 0.00~0.741 之間；平均試題粗心度( s )為 0.163，粗心度( s )介於 0.00~0.820 之間。根據上述測驗的猜測度( g )、粗心度( s )的分析，發現預試測驗的試題整體猜測度( g )及粗心度( s )大致上尚可。然而試題第 1、5 題無論是以 DINA 模型或 DINO 模型分析，猜測度( g )均大於 0.500，表示此兩題試題易使受試者在不具概念的情況下，答對此試題的機率會大於等於 0.500 的情形。故修改試題第 1、5 題，以降低試題的猜測率。以 DINA 模型及 DINO 模型分析預試測驗的試題猜測度參數( g )、粗心度( s )結果，如表 3-4-5 所示。. 39.

(52) 表 3-4-5 以 DINA 模型及 DINO 模型分析預試測驗的試題參數分析表 DINA 模型試題. DINO 模型. 猜測(g). 粗心(s). 猜測(g). 粗心(s). 1. 0.519. 0.042. 0.741. 0.000. 2. 0.220. 0.097. 0.668. 0.000. 3. 0.209. 0.011. 0.412. 0.003. 4. 0.000. 0.195. 0.216. 0.001. 5. 0.520. 0.012. 0.586. 0.000. 6. 0.106. 0.622. 0.113. 0.615. 7. 0.358. 0.023. 0.436. 0.004. 8. 0.390. 0.182. 0.281. 0.209. 9. 0.327. 0.078. 0.630. 0.023. 10. 0.496. 0.077. 0.527. 0.030. 11. 0.000. 0.104. 0.479. 0.000. 12. 0.229. 0.325. 0.193. 0.321. 13. 0.470. 0.114. 0.451. 0.120. 14. 0.083. 0.000. 0.000. 0.624. 15. 0.041. 0.492. 0.000. 0.820. 16. 0.154. 0.156. 0.153. 0.196. 17. 0.168. 0.056. 0.236. 0.052. 18. 0.201. 0.058. 0.238. 0.051. 19. 0.248. 0.097. 0.175. 0.123. 20. 0.349. 0.045. 0.345. 0.066. 21. 0.115. 0.122. 0.097. 0.138. 22. 0.113. 0.108. 0.057. 0.179. 平均. 0.242. 0.137. 0.320. 0.163. 40.