第二章、 理論基礎
2.3 有限元素法分析法
2.3.1 有限元素分析構成與模擬流程[10]
本章節將就電腦模擬有限元素分析方法與流程以 ANSYS 軟體為例，做一個簡單 的說明。
首先我們要知道 ANSYS 軟體的模擬，由以下三個基本要素組成:
(1). 節點(Node):節點是構成有限元素系統的基本要件，是整個分析的 工程系統中，最基本的點，它代表著工程系統中的某一個點的空間 坐標位置。具有的可描述此點特性的自由度，自由度是該結構系統 受到外力後結構系統的反應狀況。
(2). 元素(Element): 元素是由節點與節點相連而成的單位。元素是構 成有限元素系統的基礎，在具有不同特性的材料和不同的結構當 中，可選用不同種類的元素，元素中包含了物理的各種特性，例如，
ANSYS 提供了 100 多種不同的元素類型，合適的元素選擇將可以大 大提高計算精度和效率，故使用時必須慎重選擇元素型號。
(3). 自由度(Degree of Freedom):自由度在 ANSYS 中有重要意義，可以 表示結構系統受到外力後結構系統的反應狀況。使用者在分析過程 中要對整體系統的自由度進行適當約束。而分析軟體本身在分析過 程中，會依每個節點本身所具備的座標系統和對應的節點自由度，
與不同元素的節點應該具有特定的自由度，做運算上的約束，以確 保分析系統的合理性。因此在結構分析中選擇合適的元素與模擬結 果息息相關。
ANSYS有限元素分析的基本流程如下，圖2-8：
圖 2-8. ANSYS 有限元素法分析的流程 以下將針對有限元素分析主要內容與方法作簡單說明：
1. 前處理(/PREP7，Preprocessor)：
(1). 選擇適當元素：依據分析物的結構特性，選定適當元素。在ANSYS 中，有許多種類的元素型態，基本上，分成「桿元素」、「板元素」、
「薄殼元素」、「體元素」，不同元素有不同適用的特性，其分析 結果也會有不同。而根據本研究分析的裝置，所以將使用SHELL63、
SOLID45進行分析。
定義分析模型
建立或引用幾何模型
建立有限元素模型
定義邊界條件與負載
求解
讀取分析結果 前處理/prep7
求解/Solu
以內建點,線,面,體方式建立
元素選擇與材料參數 網格生成
選擇求解器 定義求解的限制
匯入其它CAD軟體產生的模型
後處理/post1
/post26
圖2-7. Shell63 Element 圖2-8. Solid 45示意圖 (2). 給定材料性質：根據結構物使用材料輸入所需要的材料性質。基本
的結構分析至少需要楊氏係數與波松比，若進行材料非線性分析，
還要輸入應力-應變曲線。但是本研究並不考慮材料非線性狀況。
進行模態分析時必須再加入材料密度參數。
(3). 建立幾何：可依需求不同選擇由其它繪圖軟體匯入模型或者直接在 ANSYS中建立，本研究將利用ANSYS建立幾何模型。
(4). 建立分析網格：建立可以代表分析系統的網格，網格品質好壞對於 某些重要的觀察點的分析結果影響很大，必需要審慎進行網格建 立，這部份是有限元素法分析最耗時的步驟。
(5). 施加負載與邊界條件：依照實際狀況給定邊界條件，此部份關係分 析結果的正確性與合理性。至於如何將負載與邊界條件，詳實賦予 到分析模型中，這就考驗分析者對結構物的了解與經驗。
2. 求解（/SOLU，Solution）
(1). 選定所要用的解析方式（ANTYPE），根據實際狀況設定分析型態，
並加入所需要的參數。本研究所用到的解析模組有:
A. 模態分析模組:
B. 最佳化分析模組:
ANSYS模態分析方法有下列幾種方法:[12] [13]
a. 降階法（Reduced method），利用HBI演算法(Householder Bisection
選取某些重要的節點為主自由度，借由該主自由度定義分析系統的質 量矩陣[M]與勁度矩陣[K]，並求取其頻率與模態，由此結果擴展到整 個系統，解法快速但有不準確的疑慮。方法如圖2-9.所示。
圖2-9. 降階法模態求解的方法
b. 次空間法(Subspace method)，利用Jacobi反覆演算法，以整個系統 的質量矩陣[M]與勁度矩陣[K]，可得到較精確的解，缺點是需要較大 量的記憶體與電腦運算能力
c. 區塊Lanczos法（Block lanczos method），是ANSYS內定的模態分析 方法。也是本研究選用的方法利用Lanczos演算法，用區塊向量完成 Lanczos循環運算。
d. 快速動力法（Powerdynamics method），解題速度快，但是如分析元 素有不合理形狀時，可能無法收斂求解。適合用於快速求解自由度超 大結構的前幾個模態狀況。
e. 非對稱法（Unsymmetrical method），此方法用於質量矩陣或剛性矩 陣非對稱系統。特徵值為複數，實數部份代表自然頻率，虛數部份代 表穩定度，虛數正值代表不穩定，負值代表穩定。
f. 阻尼法（Damped method），此方法用於結構有阻尼現象時，特徵值 為複數，虛數部份代表自然頻率，實數部份代表穩定度，實數正值代 表不穩定，負值代表穩定。
a). 由原系統選取主自由度 b). 簡化系統
d). 擴展至整個系統結果 c). 求取簡化系統的結果
結果擴展
ANSYS最佳化分析有下列幾種方法:[15] [16]
a. Sub-problem逼近法：這是一種零階的最佳化方法，它只須定義狀態 變數(State variables)與目標函數(Objective function)這些非獨 立變數。將這些變數利用均方根近似表示並以罰函數(Penalty function)
b. 一次法：主要是建立在設計敏感度上，適合有高精度須求的問題。
最佳化變數(Optimization variables):
i. 設計變數(Design variables):是一個獨立量，改變設計變數去達 到最佳化設計的目地。其設計變數的選擇方式有:單一回圈法 (Single loop method)、隨機法(Random method)、掃描法(Sweep method)、變數法(Factorial method)和梯度法(Gradient method) 等工具。本研究採內定的隨機法應用。
ii. 狀態變數(State variables)：它是一個反應量，是設計變數的函 數。也是一個限制條件，可以利用它來當某些目標在計算過程的 極限規範。
iii. 目標函數(Objective function)：設計最佳化的目標，它是設計 變數的函數，ANSYS中只能定義一個目標函數。
(2). 求解（Solve）：軟體依據所設定的模型、參數條件、解析的方法…
等，進行數值求解。
3. 後處理（/POST1 and /POST26，Postprocessor）
這個階段之前已經完成所有分析，不同求解的方法會有不太相同的結果 檔（*.rth ，*.rth，*.mode，*.opo …等）儲存所需的分析資料。在這些 檔案中，包含所有計算的資料，可以直接取得整體或局部的應力或應變值，
或者其它有興趣的數值，其內容端看分析之初所下的命令解為何。
後處理可以將 ANSYS 所計算求得的結果，利用表列、各種圖型、顏 色表示出來，讓使用者可以直覺的判斷結果是否合理、是否具有參考價
值。最後，也可以利用後處理器將結果集結成報告，讓分析結果可讀性 更高。
2.3.2 ANSYS 參數設計語言(APDL)輔助最佳化分析
有限元素軟體 ANSYS 可以使用 ANSYS 參數設計語言(ANSYS Parametric Design Language, APDL)設計分析指令，簡化命令流[09]。ANSYS 參數設計語言，這是一種 能讓使用者在讓一般工作上自動化，利用參數(變數)組合來建造所需模型的命令式 語言程式，它可以達到和圖形介面指令操作相同目的，甚至如果使用者熟悉 ANSYS 指令的話，它可能會超出您預期的數倍的工作效率。ANSYS 參數設計語言也涵蓋其 他特徵範圍(例如重複命令、巨集)，如分歧(branching)、迴圈(do-loops)，以及 純量、向量和矩陣運算，在這些功能的交互應用下，處理複雜而繁複的問題也非難 事，可提供使用者在日常的分析裡很多方便性。當 APDL 用來分析較複雜或反覆性 的問題時，就可以發揮其強大的優點，例如本研究的重點，模態分析的設計最佳化，
須要反覆做結構變更與運算，如果利用參數設計指令就可以省去，繁複的建構網格 化模型的時間。
APDL 運用最具效率的例子大多是在最佳化模組分析，因為利用 APDL 迴圈設計 結構，可以將幾何形狀參數化，進行解析的時候變更目標函數與控制變數就非常方 便，對於需要反覆疊代或者多重控制因素的運算變更，可以提供很方便的模型建立 與模擬運算。例如以應力分析為控制參數時，ANSYS 會反覆計算應力值，再我們設 定的應力範圍下，取得最佳的幾何形狀參數值。而從可以查閱到的文獻中可以發 現，目前大多數 APDL 的運用，主要都是研究應力最佳化的範疇。但在本研究中將 會試圖使用基本的 APDL 指令，來建立模態分析模型，一方面讓分析的指令更為簡 潔，另一方面減少建立分析模型時間，讓分析的過程更加快速。
進行最佳化過程中，先藉由有限元素軟體 ANSYS 內附的參數設計語言撰寫參數及
構之特徵值與特徵向量矩陣，代入最佳化程式以 Sub-problem 逼近法，再對此結構進 行模態最佳化分析，判別所得結果是否符合需求，藉此達成結構自然振動頻率最佳化 的目標。
第三章 模態分析
3.1 穿透式平順圖像裝置有限元素分析模型之建立
本研究對於穿透式平順圖像裝置的電腦輔助模態分析與最佳化分析將以 ANSYS 8.0 有限元素分析軟體，進行模擬分析，分析的流程如圖 3-1 所示。穿透式 圖像平順裝置的分析的模型將分別建立以 Shell element 與 Solid element 進行 分析，並探討這兩者的差別，確認模型的正確性後，進一步再利用這兩個模型進 行最佳化分析。
本章節主要介紹分別以 Shell element 與 Solid element 模擬出來的模態分 析結果，並由這中間的差異性決定要如何應用這兩種模型。
圖 3-1 穿透式平順圖像裝置有限元素分析模型建立之流程
定義分析模型範圍
建立或引用幾何模型
建立有限元素模型
定義邊界條件與負載
求解
讀取分析結果 /prep7
/Solu
以內建點、線、面、體方式建立參數化模型
/post1 /post26
選定模擬物件包括:彈片、鏡片、鏡片載座、線圈
以參數化命令建立網格化模型
以參數化命令給定邊介條件與負載
1.設定求解器為模態分析與最佳化模組
2.設定設計變數、狀態函數、目標函數
3.1.1 模型模擬假設條件
關於本研究中的模型建立與解析的假設條件、邊界條件，可以簡略說明如下 幾點：
(1). 穿透式平順圖像裝置與光機鏡頭介面為堅硬不變形。
(2). 鏡片與載座之間、音圈線圈與載座之間也是堅硬不變形。
(3). 鏡片載座的運動模式為一個定軸向的旋轉運動，簡化可視為一個單純 的旋轉系統裝置。
(4). 彈片與載座之間、彈片與基座之間的固定狀況良好。
(5). 不考慮材料不良的因素。
3.1.2 有限元素分析模型說明
在做結構動態最佳化之前，先為現有的穿透式平順圖像裝置進行 ANSYS 參數 化的模型化設計，以 ANSYS 進行有限元素法分析，求得目前設計的變形狀況與模 態特性。將此一結果列為本研究中的比對基準，經由這些資訊的判斷可以獲得改 善設計的參考依據。
本分析模型是利用 ANSYS 8.0 以參數化設計建立而成。其使用到的材料參數 如下表所示:
表 3-1 穿透式平順圖像裝置材料性質參數表
Part name Material Density
ρ(g/mm 3 ) Young's modulus E
(MPa) (N/mm 2 ) Poisson's
ratio Yield Strength (MPa)
Base AZ91D 1.81E-03 4.48E+04 0.35 -
Spring SUS301 7.87E-03 1.93E+05 0.29 205
lens B270 2.55E-03 7.15E+04 0.208 -
VCM coil(Cu) Cu 8.96E-03 1.10E+05 0.343 -
Screw Steel 7.87E-03 1.93E+05 0.29 -
厄鐵 S15C 7.87E-03 1.93E+05 0.29 -
使用元素型式:
1. Shell 63, Quad type 2. Solid 45, Hex type
元素大小:1.0mm
Shell element 模型示意圖:
1
YZ X
Transmittance Smooth Picture Optimization JUL 19 2007
23:17:16 ELEMENTS
MAT NUM U ROT
1
X Y Z
Transmittance Smooth Picture Optimization JUL 19 2007
23:16:03 ELEMENTS
MAT NUM U ROT
1
X Y Z
Transmittance Smooth Picture Optimization JUL 19 2007
23:16:57 ELEMENTS
MAT NUM U ROT
圖 3-2 Shell element 穿透式平順圖像裝置 ANSYS 幾
圖 3-4 Shell element 穿透式平順圖像裝置 ANSYS 網格化與邊界條件
圖 3-4 Shell element 穿透式平順圖像裝置 ANSYS 網格化與邊界條件