研究方法

本研究將以彈片型穿透式平順圖像裝置樣品模型為研究對象，並針對其支撐彈 簧的形狀尺寸、厚度選擇為設計變數來進行模態最佳化之分析。

在研究步驟上，第一部份重點在收集相關資料並了解目前 DLP 投影光機對穿透 式平順圖像裝置的原理及運動形式，根據振動學的基本理論，縮小要探討的目標範 圍，並試圖將研究的重點擺在提高結構的扭轉剛度、提高自然共振頻率的目標上。

接下來，第二部份則是利用 ANSYS 模擬求解目前原型結構的模態分析，了解發生共 振的模態現象，並探討分析得到的模態與投影品質的關連性。第三部份為確認有限 元素分析結果之可靠性；將此原型裝置利用外來特定頻率外來訊號，配合雷射量測 儀(Laser Vibrometer)量測光反射的回饋訊號以獲得結構之振動響應，與共振頻率 分佈；另一方面，以衝擊槌為外力源，由頻譜分析儀分析加速規所傳回的振動訊號，

量測結構的自然頻率，由此兩項實驗的數據，配合有限元素求解的結果，以確保實 驗與模擬的一致性，充份了解分析模型與實驗的相關性。第四部份為了加快運算速 度節省運算時間，在 ANSYS 中先以 Shell element 建立最佳化設計模型，由設計變 數、狀態變數與目標函數的選擇，進行尺寸最佳化。然後依照最佳化的尺寸結果，

另外以 Solid element 模型來進行模態驗證與變形量確認。第五部份，最終裝置構 型以最佳化的尺寸打樣，實驗量測數據，進行模擬與試驗結果探討，暸解最佳化結 果的可行性與電腦輔助分析應用的準確性。

本研究將嘗試利用最佳化設計概念，配合 ANSYS 電腦輔助分析，建立穿透式平 順圖像裝置最佳化設計與自然頻率之間的關係，希望可利用模擬後之結果，在不作 太大設計變更下，優化現有設計，加快排除穿透式平順圖像裝置設計上的缺點，增 強新一代裝置設計成功率與效能。

圖 1-7. 本研究方法流程簡圖

原型電腦 模態模擬

原型實驗 驗證 模態最佳化

設計 實驗驗證最

佳化構型

結果匹配 問題的定

義與了解

振動原理研究

最佳化方法研究

電腦輔助有限 元素法研究

模擬與實驗 結果討論

推論控制參數

推論控制參數

驗證模型可信度

第二章 理論基礎

2.1 振動力學特性及模態分析理論

2.1.1 振動力學理論基礎[6],[7]

單自由度（Single Degree of Freedom）一維簡諧振盪的動態系統之運動方程式

（The Equation of Motion）[06]可表示為：

F kx x c x

m & & + & + =

^(2-1)

其中 m 為質量、c 為阻尼係數(Damping ratio)、k為剛性（Stiffness）或稱為彈 簧常數（Spring Constant）、F為負載、x為位移。一般而言自然頻率(Natural Frequency)是在探討結構在自由振動時（Free Vibration），非受外力作用時之振動 頻率，且在一般狀況下阻尼所產生的影響極小或者沒有加阻尼，通常可以將阻尼項忽略，

如此一來運動方程式就可以簡化為：

= 0 + kx x m & &

此時假設

x ( t ) = Ae ^{λ t}

(2-2) (2-3)

將(2-3)代入(2-2)可得特性方程式(characteristic equation)

m λ ² + k = 0

(2-4) 則 可 根 據 (2-4) 式 求 出 特 徵 值

λ

、 角 頻 率

ϖ ⁿ

(Angular Frequency)與 振動頻率 f分別如下列所示：

i n

m

k ϖ

λ = ± − = ±

(2-5)

其中，

− 1

=

i

(2-6)

m k

n =

ϖ

(rad/sec) (2-7)

m f ⁿ k

π π

ϖ

2 1

2 =

=

(1/sec or Hz) (2-8)

運動方程式解為

x ( t ) = A

₁

e

^λ

^{1 t} + A

₂

e

^λ

^{2 t}

(2-9) 所以由以上的公式對於一個未受外力無阻尼的自由振動的結構來說，可以歸結 出幾個方向，其振動頻率的大小與運動結構本身的剛性與質量有關，其關係如(2-8) 所示，振動頻率與 k 成正比，而與

m

1

成反比，所以如果想要提高自然頻率可以

增加結構的勁度，或者降低結構物質量大小，但是一般來說，這調整這兩者在實際 應用上是相互影響的，很難兩者同時兼顧，經常造成相違背的結果。

同理，如將此一簡諧振盪的動態系統表示為轉動為主的單自由度運動系統，則 (2-1)式可表示為：

M K

C

I _p θ ^{& &} + _p θ ^& + _p θ =

(2-10)

其中

I _p

_{為轉動慣量、}

C _p

為扭轉阻尼係數(Damping ratio)、

K _p

_為扭轉剛

度（Stiffness）或稱為彈簧常數（Spring Constant）、M 為力矩、

θ

為轉動角 度。在不考慮轉矩與扭轉阻尼的狀況下，求解可得

p p

n I

= K

ϖ

(2-11)

p n p

p I

f K

π π

ϖ

2 1

2 =

=

(2-12)

其中

ϖ ⁿ

(Angular Frequency)代表角頻率而 f 代表振動頻率。

由(2-12)所示，振動頻率與 K 成正比，而與

_p

I

p

1 成反比，所以如果想要提

高自然頻率可以降低結構轉動慣量，由轉動慣量的定義來看即是減少質量或者改變 質量位置配置；另外增加結構的扭轉剛度也可以達到同樣提高自然頻率的目的，這 一點是本研究要嘗試進行的方向。

2.1.2 模態分析方法[8]

模態是機械結構的與生俱有的振動特性，每一個模態會有相對應的頻率、阻尼 比和模態行為。模態分析是研究結構動力特性一種近代工程方法，是在工程振動領 域中系統化的辨別方法，其模態參數可以由計算模擬或試驗分析取得，這樣一個計 算模擬或試驗分析過程稱為模態分析。模態由有限元素計算分析的方法取得，稱為 計算模擬分析；如果是通過試驗將取得的輸入與輸出信號經過參數識別獲得模態參 數，稱為試驗模態分析，此種分析為實作上普遍使用的方法，方便、直覺且正確性 佳。通過試驗模態分析方法搞清楚了結構物固有的特性，例如知道在那些易受影響 的頻率範圍內，結構各階主要模態的特性，就可能預知結構在此頻段內，外部或內 部受各種振動作用下實際振動響應，接續就可以針對這些結果去做分析與實行解決 方案。因此，模態分析是結構動態設計及設備的故障診斷的重要方法。

由於工程應用上結構物實際振動千姿百態、瞬息變化，很難輕易地由簡單的 理論推導，就可掌握真正的特性，而試驗模態分析恰好提供了研究各種實際結構振 動的一種有效的方法。首先，將結構物在靜止狀態下利用人為激振方式，透過測量 激振力與待分析物振動響應並進行快速傅立葉變換（FFT）分析，根據模態疊加原 理，在已知各種載荷時間歷程的情況下，就可以預知結構物的實際振動的響應歷程 或響應頻譜，如此，利用這些資料結果就可以驗證設計的合理性、增快修正結構物 設計，以加快達成預期的最佳性能。

圖 2-1. 模態分析的方法

模態分析

數值模擬模態分析 實驗模態分析

分析結構動態自然特性

用實驗的方法確認結構自然特性

利用電腦模擬預知結構自然特性

同樣地，電腦數值計算模擬分析發展進步也相當迅速，正確地利用有限元素計 算分析的方法取得的模態，也能提供設計者相當不錯的預知結果。電腦計算模擬分 析的優點是在設計的初期，可以快速利用虛擬模型得到分析物的模態特性，不必等 到真正的模型完成後，就可提供設計者一定程度而準確的預知結果，可以早期修正 可能發生的動態影響，這點在目前工業界強調速度與可靠性的要求下，具有相當高 的優勢。

所以結合電腦技術、FFT 分析儀、高速資料獲取系統以及振動感測器、激振器 等技術的發展，配合各種分析原理的模態分析硬體與軟體應用，試驗模態分析在工 程應用上的發展快速，是設計者了解設計物結構行為快速而準確的工具。

圖 2-2. 彈性板的前幾個模態狀況

2.2 最佳化設計

2.2.1 最佳化設計簡介

結構最佳化設計(Structural optimization design)可分為尺寸最佳化設計 (Size optimization)，形狀最佳化設計(Shape optimization design)和拓樸最佳 化設計(Topology optimization design)三種。如圖 2-3 所示，尺寸最佳化設計 是以改變結構的各部位尺寸，求取最佳設計而名，而形狀最佳化設計除了定義尺寸 大小外，亦定義邊界之曲線形狀，以獲得最佳形狀，如圖 2-4 所示。然而，此兩種 最佳化設計方法必須由設計者憑經驗給定的初始設計形狀，容易發生設計範圍太 廣，而且不同的初始設計變數會得到不同的局部最佳設計解(Local solution)，而 且不當的初始設計變數在最佳化的迭代過程中會發散無法得到最佳解。拓樸最佳化 設計是在固定的設計區域(Design domain)內，以各種不同的方式，依據所有限定 的條件(如材料限制)，對設計區域內之元素作取捨，構成物體的結構幾何形狀，發 揮最大的功能，達到我們的使用需求(例如求取最小的結構勁度或者最高自然頻 率)，如圖 2-4 所示。拓樸最佳化設計的最大特點在於無須給予特定的初始形狀，

而是以全部的可設計範圍為初始形狀，再由最佳化系統判斷最佳幾何形狀，因此拓 樸最佳化設計可以說是結構最佳化設計的基礎，經由拓樸最佳化設計出的拓樸圖 形，再作為尺寸最佳化設計或形狀最佳化設計的初始設計形狀，可以避免由於不當 的初始設計變數而產生無法收斂的現象。[11]

圖 2-3.、尺寸最佳化設計 圖 2-4.、形狀最佳化設計

圖 2-5.、拓樸最佳化設計

Design domain

Load

Material moved Material kept Load

D2 D3 D1

Load

2.2.2 最佳化設計

最佳化的方法在許多不同領域如數學、應用科學、工程、統計學、經濟學，都 有廣泛的應用。事實上整個工程設計程序是一個很自然的試誤(Try and Error)迴 圈形式的迭代程序，設計者不斷地在了解問題，思考、嘗試、產生新的設計方案，

最後在有限的條件與資源之下，採用一個最好可能的解決方案。例如，對於設計的 構件，為達成某些目標(如重量最輕或最少材料、最高的自然頻率、剛度與強度最 大等)，在給定約束條件下，求出最好的設計方案，稱為結構最佳設計。如以結構 的材料最少化為目標，則稱為材料最佳化設計。依據不同假設所做的最佳化設計，

實際上是「在限制中選擇一個可能是最好的設計」。[13]

為什麼說是「在限制中選擇一個可能是最好的設計」，因為最佳化設計方法中 有三個最重要的元素：

(1). 設計變數(design variable)：可以控制並改變某些影響此設計 性能表現的因素。

(2). 狀態變數(State variables)：是設計變數的函數。是在設計上 的「限制條件(constraint)」，最佳化在這些限制條件之內尋找 最好的設計。解最佳化設計問題的演算法，一般只能設定單一 的目標函數，在解多目標函數最佳化(multi-objective

optimization)問題時，通常的作法，是先把多目標函數轉換成

optimization)問題時，通常的作法，是先把多目標函數轉換成

在文檔中 數位式微型反射鏡投影機之穿透式平順圖像裝置模態最佳化分析 (頁 22-0)