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異質性自我相關
已實現共變異數矩陣模型(HAR-RC)的配適 欲以緩長記憶效果之納入估計，
提升避險績效
檢測緩長記憶效果是否存在於 台灣股票指數與指數期貨兩市場
採用已實現變異數、共變異數作為市場波動度衡量指標
第一章 研究動機與目的
波動度的估計，向來為金融市場重要的討論議題之一，無論在金融商品定 價、資產配置或是風險管理上，皆扮演舉足輕重的角色。透過完善的波動度、
波動相關性的估計，可進一步建構避險比率。而在投資經營管理上，選擇一適 當的避險比率，可使投資組合獲利的結果更為明確。即可透過良好的避險比率 決定，有效降低投資組合的波動度，承擔更小的風險值，以優化財務預測及投 資預算的規劃。
傳統上，避險比率的估計多考慮「避險工具」與「標的資產」兩市場的短 期相關性，即多為日間的相關程度。本研究欲在現貨、期貨的避險比率估計上，
加入中、長期的相關性效果，即加入週間、月間的相關性影響，試改善報酬率 波動度的預測。搭配動態避險，建構有效的交易策略，進而達到穩定成本、提 高經營或投資效率的目的。
圖 1-1 研究架構
於避險比率估計中加入緩長記憶效果，
分析避險後的績效與比較
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和平均絕對離差(mean absolute deviation，簡稱 MAD)等測度，用以衡量樣本點 之間的離散程度。而在財務分析的衡量方式上，Parkinson (1980)首先提出以變而後許多隨機波動度模型(stochastic volatility model)被相繼提出，用以模擬 波動度的隨機過程。如 1991 年 Stein and Stein 率先假定波動度為一均數回復 (mean-reverting)的 Ornstein-Uhlenbeck (OU)過程，並以此假設推導出股票資產 定價模型。此模型之推導過程需假定資產報酬與其波動度之間為零相關，然而
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Stein-Stein 模型中的問題。
此類隨機波動度模型的提出主要用作推導資產或衍生性金融商品的定價 公式。隨著定價模型的發展，利用標的資產的市場價格、履約價、距到期日時 間及無風險利率等變數，以定價模型反推之隱含波動率(implied volatility)在實 務上也常作為波動度的衡量標準。Natenberg(1994)提到：可將隱含波動率視為 市場上所有的參與者，對於標的資產之選擇權在其存續期間裡的價格變動量，
所達成的一致性預期。更有以標準普爾 500 指數(S&P 500 index)選擇權之隱含 波動率建構而成的波動率指數(volatility index，簡稱 VIX)，作為市場情緒指標。
而此概念在 1997 年，Black-Scholes 選擇權定價模型提出後，更加蔚為風潮。
但由於隱含波動率的計算主要借重於定價模型的使用，因此將面臨定價模型所 做的假設條件限制，如 Black-Scholes 選擇權定價模型假設無風險利率及金融資 產的報酬率波動在選擇權存續期間為定值，此假設在實際交易狀況下往往是不 成立的，因而在隱含波動率的估計上引入部分估計誤差。
Andersen et al. (2001) 認為對於交易頻率較高之金融市場，日資料無法充分 反映報酬波動的動態關係，因此利用日內的高頻資料提出已實現變異數 (realized variance，簡稱 RV)的概念，用以作為波動度的代理變數，計算方式如 下： 外預測能力上，超越 GARCH 及隨機波動度模型(Andersen et al., 2003)。2004 年，芝加哥選擇權交易所(Chicago Board Options Exchange，簡稱 CBOE)推出一 變異數期貨，標的即為三個月期的標準普爾 500 指數之已實現變異數。而後 Martens and van Dijk 於 2006 年將變動幅度概念與已實現變異數結合，提出已 實現變幅波動度(realized range-based volatility，簡稱 RRV)，更加優化已實現波 動度的表現性質。
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在建構已實現變異數的過程中，所使用的高頻資料同時受到雜訊以及市場 微結構的雙面影響―若取樣時間太長，便包含過多雜訊；反之若取樣時間過短，
將使資料易受非同時交易(nonsynchronous trading)、離散的價格觀察值等市場 微結構影響。根據 Andersen et al. (2001)和 Maheu and McCurdy(2002)等人之研 究，以五分鐘報酬率衡量波動度時，可大幅降低市場微結構所引起的偏誤，此 取樣頻率亦足以有效避免波動度的衡量誤差。因此本研究將採用五分鐘報酬率 建構已實現變異數。
第二節 緩長記憶模型種類
Mandelbrot (1963)與 Fama (1965)的實證研究發現財務市場的金融資產存在 著波動叢聚現象(volatility clustering)，且此波動具高峰分配(leptokurtic)、厚尾 特性(heavy tails)等現象。
1982 年 Engle 提出自我相關條件異質變異數(Autoregressive Conditional Heteroskedasticity，簡稱 ARCH)模型，透過平均數方程式與變異數方程式，將 條件變異數設定為落後殘差項平方的函數。而後 Bollerslev(1986)將其老師 Engle 的 ARCH 模型概念，更加一般化為條件變異數除了受到落後殘差項平方 的影響外，也將條件變異數的落後項導入變異數方程式當中，提出了一般化 ARCH (Generalized ARCH，簡稱 GARCH)模型，降低了 ARCH 模型的階數，
使得模型更加彈性也更為精簡。其模型設定如下所示：
GARCH(p, q) 𝑟
𝑡= 𝛼
0+ 𝛼
1𝑟
𝑡−1+ 𝜀
𝑡(5) （平均數方程式）
𝜀
𝑡| 𝛺
𝑡−1~𝑁(0, ℎ
𝑡) (6)
ℎ
𝑡= 𝛽
0+ ∑
𝑝𝑖=1𝛽
1,𝑖𝜀
𝑡−𝑖2+ ∑
𝑞𝑗=1𝛽
2,𝑗ℎ
𝑡−𝑗(7) （變異數方程式）
其中，𝑟𝑡表第 t 期之報酬率；ℎ𝑡為第 t 期報酬率之條件變異數。此變異數方程式
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之設定，可使變異數呈現出叢聚現象。然 Lamoureux and Lastrapes(1990)表示 ARCH 或 GARCH 模型若使用在結構改變(structural change)的期間，容易造成 估計的條件變異數出現假性的緩長記憶現象。Engle and Mustafa 在 1992 年之 研究指出，以 ARCH 或 GARCH 模型所得到的參數估計值確實會受到樣本結構 改變的影響。
而近代的波動度研究模型除了波動叢聚、高峰厚尾特性外，亦強調其呈現 出的緩長記憶現象以及造成波動度具偏態的槓桿效果(leverage effect)，並試著 以不同形式的模型捕捉、估計這些特性(Martens et al., 2004；Corsi, 2005)。緩 長記憶指時間序列具有長時距依存現象(long-range dependence)，表示歷史的波 動度對未來波動具有持續性的影響，與弱式效率市場假說(Weak-Form of Efficiency Market Hypothesis)中過去資訊已充分反映的觀點相牴觸。代表性的 緩長記憶模型則依其所反映的市場組成、波動度來源有所分類。而槓桿效果是 Market Hypothesis，簡稱 FMH)與異質性市場組成假說(Heterogeneous Market Hypothesis)。分形市場假說考慮市場參與者的非理性預期，造成市場對異質訊 息產生不同的反應；異質性市場組成假說強調的則是由不同型態的市場參與者，
在不同的時間點預期之下，所形成不同類型的市場波動（唐勇，2010）。分形 市場假說的緩長記憶代表模型為 ARFIMA 模型。ARFIMA(p, d, q)模型可表示 為
φ(L)(1 − L)𝑑(𝑦𝑡− 𝜇𝑡) = 𝜃(𝐿)𝜀𝑡
(8)
其中，L 是落後運算子(lag operator)：φ(L) = 1 − ∑𝑝𝑖=1𝜑𝑖𝐿𝑖，定義為自我相關多 項式的組合成分(autoregressive component，簡稱 AR 項)；𝜃(𝐿) = 1 − ∑𝑞𝑗=1𝜃𝑗𝐿𝑗， 定義為移動平均多項式的組合成分(moving average component，簡稱 MA 項)。
𝑦𝑡為衡量波動度的代理變數；𝜇𝑡為 𝑦𝑡之平均值；𝜀𝑡為白噪音(white noise)；d 是
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分數差分項參數(fractional differencing parameter)，代表模型中分數整合的階層 數。
此 ARFIMA(p, d, q)模型可藉由自我相關項(AR)以及移動平均項(MA)的組 合，同時描繪短期與緩長記憶的現象，然而此模型之分數差分項參數 d 難以估 計，以致在使用上面臨許多限制。
Corsi (2009) 提出之「異質性自我相關已實現波動度模型(Heterogeneous Autoregressive model of Realized Volatility，簡稱 HAR-RV)」概念，作為緩長記 憶現象的估計模型。而此模型即是建立在異質性市場組成假說上，強調不同的 市場參與者因個別投資需求，對資產部位做短、中、長期的預期及調整，進而 組合形成整個市場被觀察到之波動度。模型表示如下：
𝑅𝑉
𝑡(𝑑)= √∑
n𝑗=1𝑟
𝑡,𝑗2(9)
RV
𝑡+1𝑑(𝑑)= c + 𝛽
(𝑑)𝑅𝑉
𝑡(𝑑)+ 𝛽
(𝑤)𝑅𝑉
𝑡(𝑤)+ 𝛽
(𝑚)𝑅𝑉
𝑡(𝑚)+ 𝜔
𝑡+1𝑑(10) 𝑟
𝑡,𝑗為金融資產 t 期間內第 j 個報酬率，𝑅𝑉
𝑡(𝑑)表示 t 期間之資產日間已實
現波動度。
透過納入日間、週間、月間之已實現波動度，以不同的β係數分別對隔日的已實現波動度造成影響。而此模型在該篇研究中，充分地呈現了波 動叢聚、高峰厚尾、緩長記憶以及自我相關等波動度特性。
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風險(unsystematic risk)，僅承擔系統性風險(systematic risk)。而欲降低系統性風 險則可透過適當的避險策略及避險工具選擇達成。基於「避險工具」與「標的1989 年，Alderson and Zivney 利用逐步迴歸(stepwise regression)的方式，將 不同投資組合績效之表現排序，以選取最佳的避險組合。1992 年，Lamberton and Lapeyre 則是提出利用風險中立評價理論(risk-neutral pricing theory)的概念，找 出最佳避險組合的選取法則。然而上述兩種避險策略在應用上並不廣泛。實務 上較為常用的方法為 Beta 避險投資組合，其構想來自於財務理論中的因子模 型(factor model)。
因子模型強調任何金融資產的報酬皆分為兩部分―預期報酬(expected return)以及未預期報酬(unexpected return)。從事投資所需承擔的風險為未預期 報酬。其中影響未預期報酬的風險因素很多，可區分為兩大類：系統性風險與 非系統性風險。前者影響經濟體系內所有資產，而後者影響單一資產或少數的 同類資產。因此因子模型下的資產報酬率可表示為：
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對 i 資產報酬率的影響程度，可以資產定價模型(Capital Asset Pricing Model，簡稱 CAPM)估計之，𝜀𝑖則代表該資產所承擔之非系統性風險。Beta 避險投資組 and Thompson, 1989)。
{ℎ𝑡}
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Lien 在 1996 年提出利用期貨避險時，需考慮其與現貨間之共整合關係 (cointegration relationship)，並在 2005 年提出以一般最小平方法(ordinary least square，簡稱 OLS)迴歸模型求得之避險比率將優於以誤差修正模型
(error-correction model，簡稱 ECM)估計避險比率之理論推導結果。該篇研究指 出由於誤差修正模型估計之避險比率在使條件變異數為最小，而最小平方法估 計方式則是使非條件變異數為最小。因此可預期以最小平方法估計之避險比率，
其樣本外避險績效測試結果較佳。
由於市場上未必存在與標的資產完全相對應的衍生性金融商品，投資者有 時僅能就同質性中高度相關的金融商品進行避險，此避險工具與欲規避的資產 種類不完全吻合的狀況稱作交叉避險(cross hedging)。交叉避險需考慮當避險工 具與標的資產之間的相關性降低時，將可能使投資組合額外面臨避險工具本身 的變異程度，無法達到降低變異的目的，反而使投資部位曝露的風險上升。另 外在實際避險比率的選擇上，需謹慎避免過度避險的情況發生。Figlewski 在 1984 年的研究中指出，過度避險對報酬率所產生的反效果，將比標的資產原先 面臨的風險更加嚴重。而理論上，完全避險的投資組合報酬率，應接近於無風 險資產報酬率。此論點將於第四章第三節加以計算、驗證。
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l C h engchi U ni ve rs it y 第三章 研究方法
藉由異質性自我相關已實現共變異數矩陣模型(Heterogeneous
Autoregressive model of Realized Covariance，簡稱 HAR-RC)中週間、月間的共
Autoregressive model of Realized Covariance，簡稱 HAR-RC)中週間、月間的共