第二章 文獻回顧及探討
第二節 緩長記憶模型種類
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在建構已實現變異數的過程中，所使用的高頻資料同時受到雜訊以及市場 微結構的雙面影響―若取樣時間太長，便包含過多雜訊；反之若取樣時間過短，
將使資料易受非同時交易(nonsynchronous trading)、離散的價格觀察值等市場 微結構影響。根據 Andersen et al. (2001)和 Maheu and McCurdy(2002)等人之研 究，以五分鐘報酬率衡量波動度時，可大幅降低市場微結構所引起的偏誤，此 取樣頻率亦足以有效避免波動度的衡量誤差。因此本研究將採用五分鐘報酬率 建構已實現變異數。
第二節 緩長記憶模型種類
Mandelbrot (1963)與 Fama (1965)的實證研究發現財務市場的金融資產存在 著波動叢聚現象(volatility clustering)，且此波動具高峰分配(leptokurtic)、厚尾 特性(heavy tails)等現象。
1982 年 Engle 提出自我相關條件異質變異數(Autoregressive Conditional Heteroskedasticity，簡稱 ARCH)模型，透過平均數方程式與變異數方程式，將 條件變異數設定為落後殘差項平方的函數。而後 Bollerslev(1986)將其老師 Engle 的 ARCH 模型概念，更加一般化為條件變異數除了受到落後殘差項平方 的影響外，也將條件變異數的落後項導入變異數方程式當中，提出了一般化 ARCH (Generalized ARCH，簡稱 GARCH)模型，降低了 ARCH 模型的階數，
使得模型更加彈性也更為精簡。其模型設定如下所示：
GARCH(p, q) 𝑟
𝑡= 𝛼
0+ 𝛼
1𝑟
𝑡−1+ 𝜀
𝑡(5) （平均數方程式）
𝜀
𝑡| 𝛺
𝑡−1~𝑁(0, ℎ
𝑡) (6)
ℎ
𝑡= 𝛽
0+ ∑
𝑝𝑖=1𝛽
1,𝑖𝜀
𝑡−𝑖2+ ∑
𝑞𝑗=1𝛽
2,𝑗ℎ
𝑡−𝑗(7) （變異數方程式）
其中，𝑟𝑡表第 t 期之報酬率；ℎ𝑡為第 t 期報酬率之條件變異數。此變異數方程式
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之設定，可使變異數呈現出叢聚現象。然 Lamoureux and Lastrapes(1990)表示 ARCH 或 GARCH 模型若使用在結構改變(structural change)的期間，容易造成 估計的條件變異數出現假性的緩長記憶現象。Engle and Mustafa 在 1992 年之 研究指出，以 ARCH 或 GARCH 模型所得到的參數估計值確實會受到樣本結構 改變的影響。
而近代的波動度研究模型除了波動叢聚、高峰厚尾特性外，亦強調其呈現 出的緩長記憶現象以及造成波動度具偏態的槓桿效果(leverage effect)，並試著 以不同形式的模型捕捉、估計這些特性(Martens et al., 2004；Corsi, 2005)。緩 長記憶指時間序列具有長時距依存現象(long-range dependence)，表示歷史的波 動度對未來波動具有持續性的影響，與弱式效率市場假說(Weak-Form of Efficiency Market Hypothesis)中過去資訊已充分反映的觀點相牴觸。代表性的 緩長記憶模型則依其所反映的市場組成、波動度來源有所分類。而槓桿效果是 Market Hypothesis，簡稱 FMH)與異質性市場組成假說(Heterogeneous Market Hypothesis)。分形市場假說考慮市場參與者的非理性預期，造成市場對異質訊 息產生不同的反應；異質性市場組成假說強調的則是由不同型態的市場參與者，
在不同的時間點預期之下，所形成不同類型的市場波動（唐勇，2010）。分形 市場假說的緩長記憶代表模型為 ARFIMA 模型。ARFIMA(p, d, q)模型可表示 為
φ(L)(1 − L)𝑑(𝑦𝑡− 𝜇𝑡) = 𝜃(𝐿)𝜀𝑡
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其中，L 是落後運算子(lag operator)：φ(L) = 1 − ∑𝑝𝑖=1𝜑𝑖𝐿𝑖，定義為自我相關多 項式的組合成分(autoregressive component，簡稱 AR 項)；𝜃(𝐿) = 1 − ∑𝑞𝑗=1𝜃𝑗𝐿𝑗， 定義為移動平均多項式的組合成分(moving average component，簡稱 MA 項)。
𝑦𝑡為衡量波動度的代理變數；𝜇𝑡為 𝑦𝑡之平均值；𝜀𝑡為白噪音(white noise)；d 是
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分數差分項參數(fractional differencing parameter)，代表模型中分數整合的階層 數。
此 ARFIMA(p, d, q)模型可藉由自我相關項(AR)以及移動平均項(MA)的組 合，同時描繪短期與緩長記憶的現象，然而此模型之分數差分項參數 d 難以估 計，以致在使用上面臨許多限制。
Corsi (2009) 提出之「異質性自我相關已實現波動度模型(Heterogeneous Autoregressive model of Realized Volatility，簡稱 HAR-RV)」概念，作為緩長記 憶現象的估計模型。而此模型即是建立在異質性市場組成假說上，強調不同的 市場參與者因個別投資需求，對資產部位做短、中、長期的預期及調整，進而 組合形成整個市場被觀察到之波動度。模型表示如下：
𝑅𝑉
𝑡(𝑑)= √∑
n𝑗=1𝑟
𝑡,𝑗2(9)
RV
𝑡+1𝑑(𝑑)= c + 𝛽
(𝑑)𝑅𝑉
𝑡(𝑑)+ 𝛽
(𝑤)𝑅𝑉
𝑡(𝑤)+ 𝛽
(𝑚)𝑅𝑉
𝑡(𝑚)+ 𝜔
𝑡+1𝑑(10) 𝑟
𝑡,𝑗為金融資產 t 期間內第 j 個報酬率，𝑅𝑉
𝑡(𝑑)表示 t 期間之資產日間已實
現波動度。
透過納入日間、週間、月間之已實現波動度，以不同的β係數分別對隔日的已實現波動度造成影響。而此模型在該篇研究中，充分地呈現了波 動叢聚、高峰厚尾、緩長記憶以及自我相關等波動度特性。
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風險(unsystematic risk)，僅承擔系統性風險(systematic risk)。而欲降低系統性風 險則可透過適當的避險策略及避險工具選擇達成。基於「避險工具」與「標的1989 年，Alderson and Zivney 利用逐步迴歸(stepwise regression)的方式，將 不同投資組合績效之表現排序，以選取最佳的避險組合。1992 年，Lamberton and Lapeyre 則是提出利用風險中立評價理論(risk-neutral pricing theory)的概念，找 出最佳避險組合的選取法則。然而上述兩種避險策略在應用上並不廣泛。實務 上較為常用的方法為 Beta 避險投資組合，其構想來自於財務理論中的因子模 型(factor model)。
因子模型強調任何金融資產的報酬皆分為兩部分―預期報酬(expected return)以及未預期報酬(unexpected return)。從事投資所需承擔的風險為未預期 報酬。其中影響未預期報酬的風險因素很多，可區分為兩大類：系統性風險與 非系統性風險。前者影響經濟體系內所有資產，而後者影響單一資產或少數的 同類資產。因此因子模型下的資產報酬率可表示為：