研究工具

本研究所需的研究工具有：根據能力指標及部編版國小六年級的「圖形的縮 放與比例尺」單元，編製一份預試紙本診斷測驗（如附錄一）、電腦化前後測診 斷測驗、「圖形的縮放與比例尺」補救教學動畫、電腦化適性補救教學學習回饋 單、認知負荷問卷、「智慧型雲端適性診斷測驗暨適性學習系統」及研究使用的 軟體等工具，茲分別說明如下：根據預試的結果分析比對 DINA 模式、G-DINA 模式、Bug-DINO 模式，專家效標一致性及診斷辨識率的計算，探討模式的適配 度，從 DINA 與 G-DINA 模式之間選擇較佳模式進行診斷；而 Bug-DINO 模式是 DINO 模式來診斷錯誤類型，目前在眾多的認知診斷模式中，對於迷思概念的診 斷較為新的方法，在國內尚無用於補救教學。所以本研究中依據辨識率的計算，

直接採用 Bug-DINO 模式進行診斷，並探索其成效。選擇出最佳模式之後，編製

補救教學媒體和複本試題進行電腦化前後測及補救教學實驗，最後再將實驗結果 利用統計分析軟體彙整分析成果。

壹、編撰國小六年級圖形的縮放與比例尺單元紙本預試診斷測驗

一、測驗內容

研究中所使用的預試測驗是依據教育部（2000）頒布之「國民小學九年一貫 課程暫行綱要」，參酌（2008）「國民小學九年一貫課程行綱要」，以部編版為主 的課程內容，再參考翰林、南一、康軒等版本同年級數學教材，請二位資深高年 級教師、設計試題與認知概念 Q 矩陣及編製試題。在本研究中因試題須作為補救 教學使用，故命題內容以學習本單元之後，學生應習得的基本能力為主。

二、編製過程

(一) 「圖形的縮放與比例尺」認知概念

研究中以認知診斷模式為基礎，邀請學科專家編製認知概念與迷思概念。在

「圖形的縮放與比例尺」認知概念部分，國小學生在五、六年級開始學習比、比 值的計算，而本研究的對象為六年級的學生，在此單元之前已學會計算長方形、

平行四邊形、梯形、三角形等平面圖形面積。爾後銜接八年級 8-s-01 能認識生活 中的平面圖形（三角形、四邊形、多邊形及圓形）。

本研究探討六年級分年細目，並根據各分年細目內容加以詮釋，訂出學生學 習「圖形的縮放與比例尺」單元所需要之認知概念，並整理如表 3-4：

表 3-4

國小六年級圖形的縮放與比例尺分年細目與相關認知概念

分年細目內容 認知概念

6-s-02 能認識平面圖形放大、縮小

【K1】能了解平面圖形（含圓形、扇形）

放大（或縮小）N 倍時，原圖與放大圖（或

表 3-4

元且複雜，由於目前所使用的分析軟體，能診斷的迷思概念有限，所以本研究初

表 3-5

表 3-6

表 3-7

試題與認知概念試題關聯 Q 矩陣（續）

題 目

K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9 合計

I11 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 I12 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 I13 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 I14 1 0 0 0 1 0 0 0 0 2 I15 0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 I16 1 0 0 1 1 0 0 0 0 3 I17 1 0 0 1 1 0 0 0 0 3 I18 1 1 1 0 0 0 0 0 0 3 I19 0 0 1 0 1 0 0 0 0 2 I20 0 0 0 1 0 0 1 0 0 2 I21 0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 I22 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 I23 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 I24 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 I25 0 0 0 1 0 1 0 0 0 2 I26 0 0 1 0 0 1 0 0 0 2 I27 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 合

計

7 3 4 7 8 3 6 3 3

2. 試題與迷思概念間試題關聯 Q 矩陣

蒐集文獻研究及教學現場中，學生在學習「圖形的縮放與比例尺」單元常出現 的錯誤概念，彙整為 13 個，編製試題與錯誤概念間試題關聯 Q 矩陣，如表 3-8：

表 3-8

試題與迷思概念 Q 矩陣

迷 思 概 念 題

目 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 總 和 I1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 I2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 I3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 2 I4 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 3 I5 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 4 I6 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 3 I7 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 3 I8 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2 I9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 I10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 I11 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 I12 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 3 I13 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 3 I14 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 I15 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 2 I16 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 I17 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2

表 3-8

試題與迷思概念 Q 矩陣（續）

題 目

B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 總 和 I20 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 3 I21 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 I22 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 I23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 I24 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 3 I25 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2 I26 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 3 I27 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2

三、預試紙筆測驗結果

第一階段是以 SPSS 22.0 及 Excel 軟體將預試作答資料做初步分析，再利用 Ox 軟體及 MATLAB2010 做第二階段的認知診斷分析，以下分別從預試的信效度、

難度及鑑別度、認知診斷模式的初步結果做說明：

（一）預試試題信度分析

綜合國內外專家建議，一般而言，測驗結果的信度大小，至少高於 0.7（涂

金堂，2009）。本測驗之Cronbach’s Alpha 信度為.827，因此本試卷具有良好信度。

（二）預試試題效度分析

本測驗之效度採用內容效度，依據相關文獻來進行編製各測驗之內容後，更 邀請具有教學及測驗編製經驗的專家學者與現任資深國小教師共同討論，討論結 果如表 3-9 所示。試題完稿後，再經討論，提供修改測驗內容的建議，使本研究 具有良好的內容效度。

表 3-9

專家內容效度之專家名冊

姓名 現職 學歷 專長

施○○ 國立臺中教育大學教授 博士 教育測驗統計 吳○○ 國家教育研究院研究員 博士 教育測驗統計

葉○○ 臺中市國小主任 博士生 教育測驗統計

劉○○ 臺中市國小教師 碩士 數學教育

陳○○ 臺中市國小教師 碩士 數學教育

王○○ 臺中市國小教師 學士 語文研究

（三）其他參數分析 1.難度

難度分析是以高、低分組答對某題目人數的百分比平均數「P＝(PH＋ PL)／2」來表示試題的難度指數，P值愈大，即表示題目愈容易，當難 度指標接近0.5時，則表示該試題是難易適中，較佳的測驗應是大部份 的試題之P值介於0.2至0.8之間（吳明隆，2011）。本研究高分組是指：

施測後，成績在前33%之學生；低分組是指：施測後，成績在後33%之學 生，得到平均難度為0.492，屬於中間偏易的難度。

2.鑑別度

鑑別度則是以高分組答對某題目人數的百分比，減掉低分組答對該題 目人數的百分比「D＝PH－PL」來表示，而鑑別度高低的評鑑標準則是依 據 Ebel 與 risbie(1991) 所列出的標準，鑑別度指數為 0.20 以上為優良之 試題。本研究經預試後，得到平均鑑別度為 0.471。預試後所得之試題各

表 3-10

圖形的縮放與比例尺單元預試各項參數分析表

古典測驗 Cronbach’s Alpha

題號 難度（P） 鑑別度（D） 刪題後信度

1 0.432 0.506 0.823

2 0.568 0.584 0.820

3 0.670 0.640 0.818

4 0.846 0.371 0.823

5 0.818 0.315 0.826

6 0.500 0.607 0.820

7 0.369 0.472 0.821

8 0.765 0.404 0.823

9 0.398 0.596 0.818

10 0.377 0.584 0.818 11 0.481 0.629 0.819 12 0.306 0.461 0.821 13 0.873 0.213 0.826 14 0.291 0.438 0.818 15 0.512 0.292 0.830*

16 0.453 0.618 0.817 17 0.222 0.528 0.816 18 0.759 0.360 0.824 19 0.608 0.674 0.818 20 0.429 0.404 0.825

（續下頁）

表 3-10

圖形的縮放與比例尺單元預試各項參數分析表（續）

題號 難度（P） 鑑別度（D） 刪題後信度

21 0.225 0.281 0.826 22 0.367 0.449 0.824 23 0.393 0.369 0.830*

24 0.425 0.528 0.817 25 0.364 0.584 0.819 26 0.381 0.449 0.820 27 0.444 0.573 0.821 平均 0.492 0.471 0.827 3.猜測度與粗心度

DINA 模式容易理解，試題只需二個參數：猜測度（guess）及粗心度（slip）， 因其擁有良好的適配度，此常應用於許多測驗（de laTorre & Douglas, 2004)。理論 上猜測度值是從 0.0～1.0，實際上通常在 0.35 之下，超過 0.35 則不被接受（Baker，

1985）。本單元試題在 DINA 模式下的猜測度為 0.272，粗心度為 0.212；在 BUG-DINO 模式下的猜測度為 0.218，粗心度為 0.199 表示題目設計得當，有一 定的誘答力。如表 3-11

表 3-11

DINA 模式與 Bug-DINO 模式的參數估計值

DINA 模式 BUG-DINO 模式 試題 Guess Slip Guess Slip

表 3-11

DINA 模式與 Bug-DINO 模式的參數估計值（續）

試題 Guess Slip Guess Slip I3 0.000 0.000 0.274 0.000 I4 0.573* 0.000 0.160 0.000 I5 0.611* 0.063 0.551* 0.000 I6 0.000 0.186 0.271 0.083 I7 0.093 0.382 0.140 0.370 I8 0.653* 0.000 0.581* 0.084 I9 0.190 0.233 0.141 0.196 I10 0.141 0.209 0.147 0.262 I11 0.000 0.001 0.188 0.007 I12 0.000 0.158 0.165 0.254 I13 0.581* 0.018 0.109 0.000 I14 0.061 0.396 0.038 0.457 I15 0.486 0.414 0.464 0.381 I16 0.218 0.194 0.043 0.096 I17 0.064 0.264 0.014 0.299 I18 0.558* 0.049 0.592* 0.018 I19 0.484 0.047 0.457 0.014 I20 0.335 0.376 0.289 0.290 I21 0.178 0.662* 0.188 0.685*

I22 0.290 0.271 0.193 0.236 I23 0.290 0.690* 0.102 0.590*

（續下頁）

表 3-11

DINA 模式與 Bug-DINO 模式的參數估計值（續）

試題 Guess Slip Guess Slip I24 0.115 0.229 0.087 0.210 I25 0.186 0.029 0.077 0.175 I26 0.171 0.170 0.050 0.042 I27 0.317 0.240 0.293 0.286 平均 0.272 0.212 0.218 0.199 註：*為參數估計值高於 0.5

四、試題編修

（一）依據數據資料分析及專家建議，修正試卷題目如表 3-12 1、難度指數高於 0.8 或低於 0.2 的試題。

2、鑑別度指數低於 0.2 的試題。

3、 DINA 模式 Guess 高於 0.5 的試題。

根據以上原則，將編修試題及原因對照表列表 3-12 如下：

表 3-12

預試測驗試題編修分析表

修正理由 預試題號

難度高於 0.8 4、5、13

鑑別度低於 0.2 無

Guess 值高於 0.5 4、5、8、13

（二）試題修正內容說明

2.第 4 題難度高於 0.8 且 Guess 值高於 0.5，須修題；第 5 題難度高於 0.8

表 3-15

課程暫行綱要」，並以部編版為主的課程內容，參酌翰林、南一、康軒等版本同 年級數學教材，請二位資深五、六年級教師，多次討論「圖形的縮放與比例尺」

單元，共同定義出學生應學得認知概念共 9 個，以此 9 個認知概念進行補救教學 的動畫設計。本實驗之認知概念，如表 3-16。

表 3-16 認知概念一覽表

編號 認知概念說明

K1 能了解平面圖形（含圓形、扇形）放大（或縮小）N 倍時，原圖 與放大圖（或縮小圖）的形狀相同，邊長（半徑或直徑）是成 N 倍的關係。

K2 能找出原圖與放大圖（或縮小圖）的對應點、對應角及對應邊。

K3 了解平面圖形（扇形）放大（或縮小）時，原圖與放大圖（或縮 小圖）的內角角度（圓心角）相等（不變）。

K4 了解圖形放大（或縮小）N 倍後，新圖形的邊長（半徑或直徑）

或面積之算法。

K5 了解平面圖形放大（或縮小）N 倍時，原圖與放大圖（或縮小圖）

的面積，是成 N×N（平方）倍的關係。

K6 了解畫平面圖形的放大（或縮小）N 倍圖形之方法。

K7 了解各式比例尺的表示方法。

K8 能利用給定的比例尺，算出圖長或實長。

K9 能利用給定的比例尺，算出實際面積。

（二）認知概念補救教學動畫設計流程

本研究認知概念補救教學動畫設計流程圖，如下圖3-3所示。

複習學生舊經驗

佈題說明概念引導學生思考

建立範例題讓學生在生活情 境下操作物件

再次佈題引導學生形成物件

佈練習題

重點複習形成基模

結束單元教學

圖 3-3 認知概念補救教學流程圖

（三）以 APOS 理為基礎編撰教學簡報

電腦化適性系統偵測出學生缺乏的認知概念後，依據學生所缺乏的認 知概念進行補救教學。本研究以 APOS 理論為基礎編製教學簡報，進行二節 課的電腦適性補救教學。

以下茲列出APOS理論與教學內容對照表，並以【K4】為範例來做進一步的 說明，如表3-19。

【K4】了解平面圖形放大（或縮小）N倍後，新圖形的對應邊長及面積之算 法。

表3-17

表3-17

1. 複習舊經驗-四邊形面積的計算

學生在中年級時已學習正方形、長方形面積公式及周長公式，五年級學會平 行四邊形、梯形面積公式，因此先複習，如圖 3-4 所示。

圖 3-4 複習舊經驗 2. 複習舊經驗-對應邊長放大後長度之計算

學生在五年級已學過相似圖形各對應點、邊、角的關係，運用圖形放大倍 數，計算出對應邊長（底邊）的長度及對應邊長（高）的長度，如圖 3-5。

圖 3-5 計算出對應邊長

3.舊經驗中增加新技能-放大圖形面積的計算

增加倍數概念「放大倍 數」，並透過交換律，引導學生觀察出：「放大倍 數」和「面積」 關係，如圖 3-6。

圖 3-6 放大圖形面積的計算

4.歸納整理小結論-邊長放大 N 倍，面積變成 N × N 倍

呈現基本的四邊形圖形，以條列對照之畫面，歸納出邊長放大倍數與面積之 關係，建立學生學習基模。如圖 3-7。

6.增加新技能難度-類推計算三角形縮圖的對應邊長（底）

呈現縮圖面積計算題目，運用五年級已熟練之三角形面積計算公式，增 加倍數概念「縮小倍數」，計算出縮圖的底邊長度。如圖 3-8。

圖 3-8 類推計算三角形縮圖的對應邊長

7. 增加新技能難度-計算三角形縮圖的對應邊長（高）

呈現縮圖面積計算題目，運用五年級已熟練之三角形面積計算公

呈現縮圖面積計算題目，運用五年級已熟練之三角形面積計算公

在文檔中 應用認知診斷模式進行電腦化適性補救教學之成效分析-以國小六年級圖形的縮放單元為例 (頁 63-116)