第二章 文獻探討
第三節 認知診斷模型
認知診斷模型（cognitive diagnostic model,CDM）一般用於單元測驗，透過分 析受試者之認知反應組型，瞭解學生的學習狀況，包括認知概念或技能精熟程度，
作為現場教師補救教學分組參考（曾建銘，2013）。認知診斷模型為Nichols（1994），
結合認知科學（cognitive science）以及心理計量學（
Psychometrics）所提出
的認 知評量模型，是近年來蓬勃發展的心理計量研究領域。肇始於美國在2002年1月8 日簽署了一份美國聯邦法案-沒有落後的孩子（No Child Left Behind Act of 2001）， 簡稱為NCLB（陳珮英，2010）。此法案要求全美三年級至八年級公立學校的學生，每一年皆須接受標準化測驗，以診斷學生在閱讀及數學各領域的概念或能力屬性 是否已達精熟，並提供學生優勢與劣勢的相關訊息（陳珮英，2010）。因此理論
清楚簡明，以認知屬性或認知概念作為診斷目標的認知診斷模式漸漸受到重視。
認知診斷模型運用在教育上，是以認知屬性作為診斷的目標，採用二元計分 的方式，此模式透過測驗將受試者認知概念的表現分為精熟（masters）與未精熟
（non-masters），旨在診斷受試者學會或已具備了那些認知概念，提供教學者對於 學生學習成果的訊息，其結果亦能做為補救教學之依據，提升適性化教學之成 效。
編製認知診斷測驗前，要先設計單元的認知概念。從吳慧珉、施淑娟、曾建 銘（2012）的研究報告中，有更清楚的說明：假設有一份診斷 K 個認知概念的測 驗，認知診斷模型會給受試者一個二元分數，通常以向量𝛼𝑖 =（𝛼𝑖1,𝛼𝑖2,𝛼𝑖3,…,𝛼𝑖𝑘） 來表示受試者是否精熟了每一個認知概念。如果𝛼𝑖𝑘=1 表示第 i 位受試者精熟了 第 k 個認知概念；𝛼𝑖𝑘=0 則表示第 i 位受試者對於第 k 個認知概念尚不精熟。因 為診斷 K 個認知概念，故受試者會有2𝑘種可能出現的反應組型。例如 K=2，則受 試者會有22 共 4 種可能的反應組型，分別為：（1,1）（1,0）（0,1）（0,0,）
當𝛼3 =（1,0,）表示編號 3 的受試者，在 2 個認知概念中，對於第 1 個認知概念 是精熟的，而第 2 個認知概念尚不精熟。
為了清楚表示試題和認知概念之間的關係，認知診斷模型常使用 Q 矩 陣(Q-matrix) 做為試題和認知概念間的對照表，清楚的表示試題和認知概念之間 的關係（Tatsuoka,1985）。Q 矩陣通常是由學科專家(subject matter experts, SMEs)建立 的，矩陣中表示試題 j 所具備的認知概念 k，若𝑄𝑗𝑘 =1，代表受試者在試題 j 中 能答對此試題，具備認知概念 k；若𝑄𝑗𝑘 = 0，則表示受試者在試題 j 中答錯此試 題，不具備認知概念 k。舉例說明 Q 矩陣為 3×2 矩陣如下：
𝑄
𝑗𝑘= [ 1 0 0 1 1 1
]
這是表示有 3 個試題，2 個概念。當受試者答對第一題時，須具備第一個認知概 念（診斷單一認知概念）；當受試者答對第三題時，必須具備第一個及第二個認
目前較常用於測驗分析的模式大致有 DINA 模式（deterministic input, noisy “and”
gate model）、G-DINA 模式（generalized deterministic input, noisy “and”gate model）、DINO 模式（deterministic input, noisy “or” gate model）等，皆用於測量 受試者是否精熟重要的認知概念，近年來國內也有修正部分模式，探討錯誤類型 模式的研究（吳國禎，2014），例如 Bug-DINO（Bug deterministic inputs, noisy “or”
gate model）模式可以診斷出學生是否使用某些迷思概念，下一段針對 DINA 模 式用於概念的診斷、Bug-DINO 模式用於迷思概念的診斷做進一步的介紹。
壹、DINA 模式
DINA 模式（deterministic input, noisy “and” gate model）是許多認知診斷模式 的基礎，是一種適用於二元計分的方式來進行評估，其創建與流行則是開始於 Junker & Sijtsma（2001）的研究（楊智為，2011）。本研究參考用吳慧珉（2012）
之研究報告來說明 DINA 模式。DINA 模式是假設受試者完全具備診斷的認知蓋 念，就會答對試題，答錯的機率會受到粗心(slip)的影響；受試者缺乏其中任一概 念時，便會答錯，答對的機率會受到猜測(guessing)影響。DINA 模式簡明清晰，
公式定義如下：
P(𝑋𝑖𝑗 = 1|𝛼, 𝑠, g) = (1 − 𝑠𝑗)𝑛𝑖𝑗g𝑗1−𝑛𝑖𝑗 其中，
𝜂𝑖𝑗 = ∏ 𝛼𝑞𝑖𝑘𝑗𝑘
𝐾
𝑘=1
𝜂𝑖𝑗 =P(𝑋𝑖𝑗 = 0|𝜂𝑖𝑗 = 1)
g𝑗 = 𝑃(𝑋𝑖𝑗 = 1|𝜂𝑖𝑗 = 0)
其中，𝑋𝑖𝑗：第 i 個受試者在第 j 題的反應組型。
𝜂𝑖𝑗表示受試者 i 是否精熟試題 j 所需要的認知概念，完全精熟其值為 1，反之，缺少一個以上需精熟的認知概念其值為 0。
𝛼𝑖𝑘：表示受試者 i 是否具備認知概念 k，具備該認知概念其值為 1，
反之為 0。
𝑞𝑗𝑘：表示試題 j 是否需要認知概念 k，需要該認知概念其值為 1，反 之為 0。
𝑠𝑗：粗心參數；表示受試者完全精熟試題所需的認知概念，卻因為粗 心而答錯此題的機率。
g𝑗：猜測參數；表示受試者缺少一個以上試題所需的認知概念，卻因 為猜測而答對此題的機率。
本研究參考吳慧珉（2012）之研究，以實驗單元「圖形縮放與比例尺」為例，
說明 DINA 模型的計算方法:
表 2-6 為圖形縮放與比例尺的認知概念（節錄），表 2-7 為認知診斷測驗的 選擇題範例試題，表 2-8 選擇題範例試題與認知概念之 Q 矩陣，由 Q 矩陣表中得 知，解此題需具備認知概念 3、4、5。
表 2-6
定試題參數𝑠1＝0.02、g1＝0.02，假設三名受試者具備解題的認知概念如下表 2-9 所示，其中受試學生 1 僅具備 1 個認知概念，受試學生 2 具備 3 個認知概念，受 試學生 3 具備 2 個認知概念，故受試學生 1、3 都至少缺少一個以上的認知概念，
因此𝜂11＝𝜂31＝0，由於受試學生 2 具備解題的所需的 3 個認知概念，因此𝜂21＝1。
表 2-9
受試學生認知概念表 概念
題號 K3 K4 K5 K6
受試學生 1 1 0 0 0
受試學生 2 1 1 1 0
受試學生 3 0 0 1 1
以下為三位受試學生分別對答的機率，計算如下：
P(𝑋11= 1|𝛼1,𝑠1, g1) = （1 − 𝑠1）𝜂11g11−𝜂11 = （1 − 0.02）0(0.02)1−0 =0.02 P(𝑋21= 1|𝛼2, 𝑠1, g1) = （1 − 𝑠1）𝜂21g11−𝜂21 = (1 − 0.02)1(0.02)1−1= 1 − 0.02 = 0.98
P(𝑋31= 1|𝛼3, 𝑠1, g1) = (1 − 𝑠1）𝜂31g11−𝜂31 = (1 − 0.02)0(0.02)1−0= 0.02
由此可得，受試學生 1、3，至少缺少一個以上的認知概念，如果二位受試 學生答對，在 DINA 模式計算下，是屬於猜測的情況；，而受試學生 2 具備本試 題所需的 3 個認知概念，因此答對的機率最高，若答錯，在 DINA 模式計算下，
是屬於粗心的情況。
貳、Bug-DINO 模型
Bug-DINO 模型（Bug deterministic input, noist “or” gate model）是應用 DINO 模型於錯誤類型之診斷（吳國楨，2014）。本研究之錯誤類型係參考文獻資料、
教學手冊、專家專家建議及將學生在數學演算的過程中，常出現的計算錯誤、犯 錯型態，加以分類而來。Bug-DINO 模式是將不同的錯誤類型視為認知概念，用 DINO 模型診斷學生的迷思概念。在使用此模型前，要先根據該測驗單元學生常 出現的迷思概念編製試題，並整理試題與迷思概念 Q 矩陣，在 DINO 模型中估 計受試者在測驗中是否有該迷思概念，診斷報告便能呈現受試者的各種錯誤類 型。
本研究根據受試者所具備及試題所對應的迷思概念，分為二類：一類是不具 備作答可能產生的迷思概念（𝜔𝑖𝑗＝0）和具備作答可能產生的迷思概念（𝜔𝑖𝑗＝1）
兩類，若受試者不具備任一個迷思概念時，答對的機率較高；相反的，若受試者 具備任一個迷思概念，則其答對的機率會降低。Bug-DINO 模型一樣是受到粗心
（slip）及猜測（guess）兩個參數的影響，粗心是指當受試者不具備作答可能產 生的迷思概念，卻答錯該題，系統會評估是因為粗心的因素；猜測是指受試者具 備任一個作答可能產生的迷思概念，答對該題是由於猜測的緣故。
在 Bug-DINO 模式中，機率反應模型如下：
P (𝑌𝑖𝑗 = 1|𝜔𝑖𝑗) = (1 − 𝑠𝑗)𝜔𝑖𝑗 ( g𝑗 ) (1−𝜔𝑖𝑗)
𝜔𝑖𝑗 = ∏ （1 − 𝛽𝑖𝑘）𝑄𝑗𝑘
𝐾
𝐾=1
𝑠𝑗 = P(𝑌𝑖𝑗 = 0|𝜔𝑖𝑗 = 1) g𝑗 = P(𝑌𝑖𝑗 = 1|𝜔𝑖𝑗 = 0) 其中，
𝑌𝑖𝑗：第𝑖個受試者在第𝑗題試題的反應組型。
𝑆𝑗：受試者不具備作答可能產生的迷思概念，但卻因粗心而答錯該題的機率。
g𝑗：受試者具備任一個作答可能產生的迷思概念，但卻因猜測而答對該題的機率。
𝑄𝑗𝑘：受試者在第𝑗題是否有第𝑘個迷思概念。
𝜔𝑖𝑗：受試者是否具備作答可能產生的迷思概念，若全部無，則其值為 1，反之，
若受試者具備任一個作答可能產生的迷思概，則其值為 0。
𝛽𝑖𝑘：受試者是否具有第k個迷思概念，若有為 1，若無為 0。
本研究參考吳慧珉（2012）之研究，以實驗單元「圖形縮放與比例尺」為例，
說明 Bug-DINO 模型的計算方法:
表 2-10 為圖形縮放與比例尺的迷思概念（節錄），表 2-11 為認知診斷測驗 的選擇題範例試題，表 2-12 選擇題範例試題與迷思概念之 Q 矩陣，由 Q 矩陣表 中得知，解此題時會產生的迷思概念為 3、6、8。
表 2-10
圖形縮放與比例尺的迷思概念（節錄）
迷思概念 敘述
B3 將半徑誤以為直徑；直徑誤以為半徑。
B6 誤以為圖形放大（或縮小），對應角（圓心角）亦隨之放大
（或縮小）。
B7 平面圖形面積計算公式引用錯誤（邊長×邊長、底×高÷2、底
×高…）
B8 對應邊（半徑或直徑）放大（或縮小）的 N 倍，與面積放 大（或縮小）的 N×N 倍混淆。
表 2-11
下列計算式為三位受試學生分別答對的機率，計算如下：
P(𝑌11 = 1|𝜔11 ) = (1 − 𝑠1)𝜔11g1(1−𝜔11) = (1 − 0.03 )0 (0.03)1−0 = 0.03 P (𝑌21= 1|𝜔21) = （1 − 𝑠1)𝜔21g1(1−𝜔21)= (1 − 0.03)0 (0.03)1−0 = 0.03 P(𝑌31 = 1|𝜔31) = (1 − 𝑠1)𝜔31g1(1−𝜔31)= (1 − 0.03)1(0.03)1−1= 1 − 0.03 = 0.97
由上式可得知：受試學生 1，因具備解答該題至少 1 個迷思概念，故答對機 率為 0.03，若答對該題，在 Bug-DINO 模式模式計算下，屬於猜測的情況；受試 學生 2 亦有相同之情形，至少具備 1 個解答該題的迷思概念，因此答對機率為 0.03，
若答對該題，在 Bug-DINO 模式下，屬於猜測的情況；受試學生 3，不具備解答 該題之任何迷思概念，故答對機率最高，若答錯該題，在 Bug-DINO 模式計算下，
屬於粗心的情況。
綜合上述，可了解在眾多認知診斷模型中，DINA 模式及 Bug-DINO 模式理 論清晰，易懂易算，近年來廣為學者使用與研發。本研究使用 DINA 模式來診斷 學生的認知屬性；使用 Bug-DINO 模式來診斷學生的錯誤類型。