應用認知診斷模式進行電腦化適性補救教學之成效分析-以國小六年級圖形的縮放單元為例

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(1)國立臺中教育大學教育資訊與測驗統計研究所碩士論文. 指導教授：施淑娟. 博士. 應用認知診斷模式進行電腦化適性補救教學之成效分析 -以國小六年級圖形的縮放單元為例. 研究生：張富玲. 中. 華. 民. 國. 一. ○. 撰. 四. 年. 六. 月.

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(3) 謝. 辭. 教學生涯已屆退休年紀，能再次回到熟悉的中教大校園，重溫充實的學習生活，既興奮又惶恐；細數七百多個日子點滴在心頭，能順利在二年完成研究所的課程，要感謝許多貴人的鼎力相助。首先感謝我的指導教授─施淑娟老師，感謝您的悉心指導，在行政、研究及教學繁忙之中，仍撥空指導我撰寫論文的方向，您總是面帶微笑地為我解惑，多次在您下班的途中巧遇這個「老」學生，仍停下腳步，和藹親切的叮嚀實驗修正的細節，使我能順利完成論文。同時也要感謝二位口試委員吳慧珉教授及李政軒教授，在口試過程中，提出精闢的見解及給予修正之建議，使得論文內容得以更加完備。其次要感謝一路上互相扶持的好姊妹，多少個假日我們一起研究程式；數不清的時刻我們共同埋首作業，這些辛苦又美麗的過程是我們最難忘的回憶。而大學長—晉源主任更是幕後大功臣，感謝主任隨時支援我電腦資訊能力的不足，甚至親自坐陣為我解圍，順利完成各項實驗。直屬學長—承楙，自己有做不完的實驗，但只要我電話求救有關程式及論文的問題，必定情義相挺，一次又一次的示範與解說。尤其在實驗及施測期間，排除萬難親自到校指導，協助平台資料的彙整，在此我要大聲地感謝您！再來要感謝北屯國小的好同事，有了您們的鼓勵與支持，我始能提起勇氣報考研究所，展開充電之旅；感謝慨然允諾協助施測的老師們，有了你們全力的幫忙，我的研究得以順利完成。最後，感謝我的家人：感謝公婆一路的支持，兩位八十歲的長輩，常常為媳婦等門，真是令我心疼；感謝體貼的先生，懂事的孩子，我真是太幸福了！張富玲中華民國一○四年六月.

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(5) 摘要本研究是以國民小學六年級「圖形的縮放」單元為研究範圍，依據教育部（2000）頒布之「國民中小學九年一貫課程暫行綱要」，進行部編版第 12 冊「圖形的縮放」單元之補救教學實驗。主要目的在探討以認知診斷模式編撰診斷測驗之辨識率，並應用「智慧型雲端適性診斷測驗暨適性學習系統」為工具，進行認知概念、迷思概念及傳統教學三種不同的補救教學模式，對學生學習成效及認知負荷的影響，最後探討學生對電腦化適性補救教學之意見。茲將結果彙整如下：一、認知概念診斷的部分，DINA 診斷模式平均辨識率為迷思概念診斷的部分， Bug-DINO 診斷模式平均辨識率為 0.82。二、澄清迷思概念適性補救組及認知概念適性補救組，與傳統補救教學組相較，教學成效皆達統計上之顯著差異。澄清迷思概念適性補救組與認知概念適性補救組皆顯著優於傳統補救教學組，惟二者之間無顯著差異。認知概念的平均提升率為 13%；迷思概念平均降低率為 15%。三、澄清迷思概念適性補救組與認知概念適性補救組之學生認知負荷無顯著差異。四、實驗組中不同教學模式對背景相異學生之學習成效無顯著影響。五、實驗組學生對電腦化適性補救教學的學習意見，有 83.33%以上持正向意見，顯示學生對於電腦化適性補救教學的模式普遍接受。. 關鍵字：圖形的縮放、認知診斷模式、電腦化適性補救教學、認知負荷. I.

(6) II.

(7) Abstract The study proceeded remedial instruction in the “reduced and enlarged graphs” unit of sixth grade for elementary school students, which was based on Grade 1-9 Curriculum Guidelines declared by Ministry of Education on 2000. The aims of the study were to explore the recognition rate of cognitive diagnostic model, and applied "Intelligent Cloud Diagnostic Test and Adaptive Learning System (ICDTALS) "as a tool for investigating the effect of different remedial instruction model (cognitive concepts remedy, misconceptions remedy and traditional instruction) on learning performance and cognitive load. Finally, the study investigated students’ opinions on computerized adaptive remedial instruction. Results were shown as follows: 1.The average recognition rate of DINA diagnostic model was 0.85 in cognitive concept diagnosis. The average recognition rates of Bug-DINO diagnostic model was 0.82 in misconceptions diagnosis. 2.Comparing misconceptions adaptive remedial instruction group and concept adaptive remedial instruction group to raditional remedial instruction group, there was significant difference in learning performance.The misconceptions adaptive remedial instruction group and the concept adaptive instruction group were better then tradetional remedial instruction group. The average progress rate was 13% in the cognitive concept；the average decline rate was 15% in the misconceptions. 3. There was no significant difference in cognitive load between two different remedial instruction model of experimental groups. 4. There were no significant differences in learning performance of different instruction model with different backgrounds. 5. Most of students could accept the adapting computerized adaptive remedial. III.

(8) instruction and the positive views were above 83.33%.. Keywords: reduced and enlarged graphs, cognitive diagnostic model, computerized adaptive remedial instruction, cognitive load. IV.

(9) 目錄摘要 ................................................................................................................................................. I Abstract ....................................................................................................................................... III 目錄 ................................................................................................................................................ V 表目錄 ........................................................................................................................................ VII 圖目錄 .......................................................................................................................................... XI 第一章第一節第二節第三節第四節第五節. 緒論 ................................................................................................................................. 1 研究動機 ........................................................................................................................ 1 研究目的 ........................................................................................................................ 4 待答問題 ........................................................................................................................ 4 名詞界定 ........................................................................................................................ 5 研究範圍與限制 ........................................................................................................... 7. 第二章第一節第二節第三節第四節. 文獻探討 ........................................................................................................................ 9 教材分析與相關研究 .................................................................................................. 9 適性教學教材相關研究 ........................................................................................... 20 認知診斷模型 ............................................................................................................. 27 認知負荷理論及相關研究 ....................................................................................... 36. 第三章第一節第二節第三節第四節第五節. 研究方法 ...................................................................................................................... 41 研究架構 ...................................................................................................................... 41 研究對象 ...................................................................................................................... 43 研究流程 ...................................................................................................................... 45 研究工具 ...................................................................................................................... 47 資料處理與分析 ....................................................................................................... 100. 第四章第一節第二節第三節第四節第五節. 研究結果與討論....................................................................................................... 103 認知診斷模式的辨識率 ......................................................................................... 103 不同補救教學方式之學生學習成效................................................................... 106 實驗組不同補教學模式學生之認知負荷差異 ................................................ 114 影響實驗組學生電腦化適性補救教學學習成效之相關因素探討 ............ 118 實驗組學生對於電腦化適性補救教學之意見 ................................................ 139. V.

(10) 第五章結論與建議................................................................................................................ 143 第一節結論 ............................................................................................................................. 143 第二節建議 ............................................................................................................................. 164. 參考文獻 .................................................................................................................................... 149 中文部分 .................................................................................................................................... 149 英文部分 .................................................................................................................................... 155 附錄 ............................................................................................................................................. 157 附錄一預試試卷 .................................................................................................................. 157 附錄二輔助補救教學之診斷評量模式探究參與研究同意書 ................................. 161 附錄三背景資料問卷 ......................................................................................................... 162 附錄四電腦化適性教學回饋表 .......................................................................... 163 附錄五認知負荷問卷.......................................................................................... 164 附錄六補救教學施測照片 .................................................................................. 168. VI.

(11) 表目錄表 1-1 辨識率計算方法表 ............................................7 表 2-1 圖形縮放與比例尺之能力指標與分年細目對應表 ................................. 10 表 2-2 圖形縮放與比例尺之分年細目對應與認知概念對照表 ......................... 15 表 2-3 圖形縮放與比例尺相關迷思概念或錯誤類型文獻彙整表 ...................... 16 表 2-4 六年級圖形縮放與比例尺之錯誤類型..................................................... 19 表 2-5 電腦化適性測驗與教學相關主題及成效 ................................................. 21 表 2-6 圖形縮放與比例尺的認知概念（節錄） ................................................. 31 表 2-7 認知診斷測驗的選擇題範例試題 ............................................................ 31 表 2-8 選擇題範例試題與認知概念 Q 矩陣........................................................ 32 表 2-9 受試學生認知概念狀態表 ........................................................................ 32 表 2-10 圖形縮放與比例尺的迷思概念（節錄） ................................................. 34 表 2-11 認知診斷測驗的選擇題範例試題 ............................................................ 35 表 2-12 選擇題範例試題與迷思概念 Q 矩陣........................................................ 35 表 2-13 受試學生迷思概念狀態表 ........................................................................ 36 表 3-1 教學實驗步驟時程表................................................................................ 43 表 3-2 預試對象分布統計表................................................................................ 44 表 3-3 補救教學實驗對象分布表 ........................................................................ 44 表 3-4 圖形縮放與比例尺之分年細目對應與相關認知概念 ............................. 48 表 3-5 迷思概念與認知概念對應表 .................................................................... 50 表 3-6 預試卷命題卡 ........................................................................................... 51 表 3-7 試題與認知概念 Q 矩陣 ........................................................................... 52 表 3-8 試題與迷思概念 Q 矩陣....... .............................................................. 54 表 3-9 審定試題內容效度之專家名冊 ................................................................ 56 表 3-10 圖形縮放與比例尺單元預示各項參數分析表 ......................................... 57 表 3-11 DINA 與 Bug-DINO 模式的參數估計值 ................................................... 58 表 3-12 預試測驗試題編修分析表 ........................................................................ 60 表 3-13 第 4 題編修試題前後對照表 .................................................................... 61 表 3-14 第 5 題編修試題前後對照表 .................................................................... 61 表 3-15 第 13 題編修試題前後對照表 .................................................................. 62 表 3-16 認知概念一覽表 ....................................................................................... 63 表 3-17 APOS 理論與教學內容對應表 .................................................................. 65 表 3-18 錯誤概念一覽表 ....................................................................................... 80 表 3-19 迷思概念與認知衝突策略對照表 ............................................................ 82 表 3-20 對照組前後測各題通過率彙整表 ............................................................ 91 表 3-21 前測命題卡 ............................................................................................... 92. VII.

(12) 表 3-22 認知負荷問卷各面向及題目結構表 ...................................................... 99 表 3-23 認知負荷問卷正向題及反向題計分方式彙整表 ................................. 100 表 4-1 認知診斷模式 DINA 與 Bug-DINO 辨識率彙整表 ............................. 103 表 4-2 認知診斷模式與專家判讀後驗機率 .................................................... 105 表 4-3 實驗組 A、實驗組 B 及對照組之前後測敘述統計摘要表 ................. 106 表 4-4 不同補救教學模式學生學習成效之迴歸係數同質性考驗 .................. 107 表 4-5 不同補救教學模式組間變異數同質性檢定 ......................................... 107 表 4-6 不同補救教學模式之學生學習成效單因子共變數分析摘要表 .......... 108 表 4-7 各組人數、後測平均及後測校正平均統計 ......................................... 108 表 4-8 事後比較結果摘要表 ............................................................................ 109 表 4-9 三種補救教學模式人數、前測及後測平均數統計 ............................. 109 表 4-10 二組實驗組的前後測屬性診斷結果彙整表 ......................................... 110 表 4-11 電腦化適性補救教學對實驗組學生認知負荷正向百分比統計表 ...... 116 表 4-12 實驗組 A、實驗組 B 之人數及認知負荷統計摘要表 ......................... 117 表 4-13 實驗組之認知負荷單因子變異數分析摘要表 ..................................... 118 表 4-14 實驗組 A、實驗組 B 及對照組之前後測敘述統計摘要表 ................. 119 表 4-15 實驗組高低分組學生學習成效之迴歸係數同質性檢定...................... 119 表 4-16 實驗組高低分組組間變異數同質性檢定 ............................................. 120 表 4-17 實驗組高低分組共變數分析摘要表 .................................................... 120 表 4-18 實驗組不同性別學生學習成效之迴歸係數同質性檢定...................... 121 表 4-19 實驗組不同性別組間變異數同質性檢定 ............................................. 122 表 4-20 實驗組不同性別共變數分析摘要表 .................................................... 122 表 4-21 實驗組一般生與非一般生前後測描述統計 ......................................... 123 表 4-22 實驗組一般生及非一般生的學習成效組內迴歸係數同質性檢定 ...... 123 表 4-23 實驗組一般生與非一般生組間變異數同質性檢定 ............................. 124 表 4-24 實驗組一般生及非一般生之共變數分析摘要表 ................................. 125 表 4-25 實驗組雙親學生與非雙親學生前、後測描述性統計結果 .................. 125 表 4-26 實驗組雙親及非雙親學生的學習成效組內迴歸係數同質性檢定 ...... 126 表 4-27 實驗組雙親與非雙親組間變異數同質性檢定 ..................................... 127 表 4-28 實驗組雙親及非雙親學生之共變數分析摘要表 ................................. 127 表 4-29 實驗組放學後練習數學天數組內迴歸係數同質性檢定...................... 128 表 4-30 實驗組放學後練習數學天數變異量的同質性檢定 ............................. 129 表 4-31 實驗組放學後練習數學天數之共變數分析摘要表 ............................. 129 表 4-32 實驗組每次練習數學的時間之學習成效組內迴歸係數同質性檢定 .. 130 表 4-33 實驗組每次練習數學的時間組間變異數同質性檢定 ......................... 131 表 4-34 實驗組學生每次練習數學的時間之共變數分析摘要表...................... 131. VIII.

(13) 表 4-35 實驗組每天放學後使用電腦的時間之學習成效組內迴歸係數同質性檢定 .......................................................................................................................... 132 表 4-36 實驗組每天放學後使用電腦的時間組間變異數同質性檢定摘要表 .. 133 表 4-37 實驗組每天放學後使用電腦的時間之共變數分析摘要表 .................. 134 表 4-38 實驗組在校外是否有上數學課程之學習成效組內迴歸係數同質性檢定 .............................................................................................................................. 135 表 4-39 實驗組是否在校外上數學課組間誤差變異量的檢定 ......................... 135 表 4-40 實驗組是否在校外上數學課程之共變數分析摘要表 ......................... 136 表 4-41 實驗組學生喜不喜歡上數學課學習成效組內迴歸係數同質性檢定 .. 137 表 4-42 實驗組學生喜不喜歡上數學課組間變異數同質性檢定...................... 137 表 4-43 實驗組學生喜不喜歡上數學課之共變數分析摘要表 ......................... 138 表 4-44 背景變項內容與顯著性摘要表 ............................................................ 138 表 4-45 應用電腦化適性學習系統進行教學之意見調查表 ............................. 140 表 4-46 應用電腦化適性學習系統進行教學的想法持正向意見之結果分析 .. 140. IX.

(14) X.

(15) 圖目錄圖 2-1 圖 2-2 圖 2-3 圖 2-4 圖 2-5 圖 2-6 圖 3-1 圖 3-2 圖 3-3 圖 3-4 圖 3-5 圖 3-6 圖 3-7 圖 3-8 圖 3-9 圖 3-10 圖 3-11 圖 3-12 圖 3-13 圖 3-14 圖 3-15 圖 3-16 圖 3-17 圖 3-18 圖 3-19 圖 3-20 圖 3-21 圖 3-22 圖 3-23 圖 3-24 圖 3-25 圖 3-26 圖 3-27 圖 3-28 圖 3-29. 圖形縮放與比例尺教材地位................................. 14 二對一法 ............................................................................................... 20 反向法................................................................................................... 24 一對多法 ............................................................................................... 25 引入參考值法 ....................................................................................... 25 表徵法................................................................................................... 26 研究架構圖 ........................................................................................... 41 研究流程圖 ........................................................................................... 46 認知概念補救教學流程圖 .................................................................... 64 複習舊經驗 ........................................................................................... 67 計算出對應邊長 ................................................................................... 67 放大圖形面積計算 ............................................................................... 68 歸納整理小結論 ................................................................................... 68 類推計算三角形縮圖的對應邊長 ........................................................ 69 計算三角形縮圖的對應邊長 ................................................................ 69 類推計算三角形縮圖面積 .................................................................... 70 歸納類推小結論 ................................................................................... 70 重新佈題 ............................................................................................... 71 回饋與互動 ........................................................................................... 71 解答、回饋與互動 ............................................................................... 72 作答錯誤回饋與互動 ........................................................................... 72 解答回饋與互動 ................................................................................... 73 作答錯誤回饋與互動 ........................................................................... 73 強化正確解答基模 ............................................................................... 74 另佈新題 ............................................................................................... 74 正確回饋與互動 ................................................................................... 75 回饋與互動-解答篇 .............................................................................. 75 錯誤作答回饋與互動 ........................................................................... 76 回饋與互動-解答篇 .............................................................................. 76 重新佈題 ............................................................................................... 77 正確回饋與互動 ................................................................................... 77 強化基模觀念 ....................................................................................... 78 錯誤作答回饋與互動 ........................................................................... 78 強化正確解題思考基模........................................................................ 79 本概念教學完成 ................................................................................... 79. XI.

(16) 圖 3-30 圖 3-31 圖 3-32 圖 3-33 圖 3-34 圖 3-35 圖 3-36 圖 3-37 圖 3-38 圖 3-39 圖 3-40 圖 3-41 圖 3-42 圖 3-43 圖 3-44 圖 3-45 圖 3-46 圖 3-47 圖 3-48 圖 3-49 圖 3-50 圖 3-51 圖 3-52 圖 3-53 圖 3-54. 錯誤概念補救教學流程圖 .................................................................... 81 佈數學概念題 ....................................................................................... 83 呈現學生迷思概念 ............................................................................... 83 製造認知衝突 ....................................................................................... 84 建立正確數學概念 ............................................................................... 84 歸納重點 ............................................................................................... 85 澄清迷思概念 ....................................................................................... 85 回到原題重新作答 ............................................................................... 86 回饋與互動 ........................................................................................... 86 正確解答 ............................................................................................... 87 錯誤作答連結畫面 ............................................................................... 87 重看教學動畫 ....................................................................................... 88 正確解答 ............................................................................................... 88 佈此概念的練習題 ............................................................................... 89 回饋與互動 ........................................................................................... 89 呈現正確解答 ....................................................................................... 90 澄清迷思概念教學完成........................................................................ 90 顯示登入 ............................................................................................... 93 登入帳號密碼 ....................................................................................... 94 進入系統首頁 ....................................................................................... 94 選擇預測驗的版本 ............................................................................... 94 開始作答 ............................................................................................... 95 選取已完成之卷別 ............................................................................... 95 測驗的診斷報告 ................................................................................... 96 團班的診斷報告 ................................................................................... 96. XII.

(17) 第一章. 緒論. 本研究是以國小六年級「圖形的縮放與比例尺」單元為研究範圍，依據教育部（2000）頒布之「國民小學九年一貫課程暫行綱要」，並參酌教育部（2008）公布「國民中小學九年一貫課程綱要」，進行部編版第 12 冊「圖形的縮放與比例尺」單元之電腦化適性補救教學實驗。主要目的在探討運用「智慧型雲端適性診斷測驗暨適性學習系統」為工具，分別進行認知概念、迷思概念及傳統教學三種不同的補救教學方式，對學生學習成效及認知負荷的影響，並比較以認知診斷模式編撰診斷測驗之辨識率，最後探討學生對電腦化適性補救教學之意見。本論文共分為五章：第一章為緒論；第二章為文獻探討；第三章為研究方法；第四章為研究結果與討論；第五章為結論與建議。本章將針對研究動機、研究目的、待答問題、名詞界定、研究範圍與限制等節次，分別說明闡述。. 第一節. 研究動機. 數學被公認為是科學、技術及思想發展的基石，而簡單的數學語言更是人與人溝通的橋樑，數學早已以多元的形貌融入在人類的生活中。在現今二十一世紀且處於高度文明化的世界中，數學知識及數學能力，已逐漸成為日常生活及職場裡應具備的基本能力（教育部，2003）。由「經濟合作暨發展組織國」（Organization for Economic Co-operation and Development ，簡稱OECD)主導「國際學生能力評量計劃」（Program for International Student Assessment ，PISA)，有系統地對即將完成基礎教育的國中生，在已習得的必備知識、技能和素養的程度進行多方面的評估，而數學素養即為檢測的項目之一，這些跨國與跨時間的評量成果，普遍受到各界的重視。臺灣於2006年開始參加國際PISA計畫，以臺灣PISA 2012精簡報告來看：臺灣學生PISA 2012表現尚佳，數學素養平均數為560分，相較於PISA. 1.

(18) 2009進步17分，但學生個別差異相當大，落後學生的比率也值得格外關注（臺灣 2015PISA國家研究中心，2014）。每一階段的教育應提供學生做有意義及有效率學習的機會，使學生能學好重要的核心數學題材（陳清溪，2011），學校教育不僅以來自生活知識為教學內容，更須將所學得的知識改良應用於生活中。教育部 2000年頒布「國民小學九年一貫課程暫行綱要」，2003年公布「國民小學九年一貫課程綱要」，2008年修訂總綱，皆強調學生基本能力的養成，教學內容注重生活實用性，培養可以帶得走的能力，是九年一貫教育的基本的精神。因此，對於國小學生學習較困難的單元，進行強化與補救教學，縮小學生個別差異是本研究動機之一。數學的學習是循序漸進的歷程，前一階段的學習是後一階段的基礎。因此，在課程中，知識必須統整在生活變化的脈絡中，成為培養學生基本能力的工具。教育部公布九年一貫課程暫行綱要中，數學學習領域能力指標成五大主題：數與量、圖形與空間、統計與機率、代數、連結（教育部，2000）。五大主題中數與量，圖形與空間融合了數學領域大部分的學習，其中幾何圖形及比例尺在生活中的應用非常廣泛，從最常見的文件、相片的放大與縮小；各機關、公共場所如車站、學校的位置平面圖；空間設計圖、建築藍圖、國土的測量等，都是圖形縮放與比例尺的應用。在中小學的學習主題中，例如：分數、單價、速率、（公）因（倍）數、相似三角形、比與比值和百分率，皆是學生在其數學課程中會接觸到與比例相關課程（教育部，2000）。然而圖形的縮放與比例尺是屬於圖形與空間的概念，其基本能力比與比值則屬於為數量關係的概念，這多元複雜的內涵往往讓學生感到學習困難；比例概念也是整數過渡到有理數的階段，學生若在「圖形的縮放與比例尺」單元，學得正確的概念，對於日後的學習將更順暢（張靜惠， 2011），此為研究動機之二。學生對於「圖形的縮放與比例尺」的觀念在應用上有許多困難，因為它不只是比與比值的問題、相似圖形點、邊、角對應關係，也涉及一維長度的換算及二. 2.

(19) 維平面圖形面積的計算，這些環環相扣的能力，學生不見得都已具備。若是有評量工具在教學實務上立刻診斷出學生能力的有無，即時提供教師教學後的回饋及補救，必能提升教學成效，學生學得輕鬆又有自信。隨著科技輔具的普及，近年來已有許多學者專家運用科技輔具的優勢來提升教學成效，例如葉啟村、葉淑慧及曾建勳（2004）以「面積保留概念」為主題，應用資訊科技與電腦化測驗，研發出一套面積保留概念診斷工具，來探討國小二年級學童面積保留概念發展的情形；郭伯臣等（2005）以知識及試題結構為基礎，研發具有診斷學習者錯誤概念的電腦化診斷測驗，這一套系統可以進一步診斷出同分但不同錯誤類型的學生，提供更精確的資訊，作為教學者之參考。因此如何運用電腦化測驗的優勢，提升有效教學、差異化教學、適性化教學之成效，是本研究動機之三。電腦化測驗發展如雨後春筍，大多是提供學習者在班上的能力高低，無法精確提供學生亟需補強的概念。因此，Nichols（1994）為改良傳統評量，結合認知科學（cognitive science）與心理計量學（Psychometrics）所提出的認知診斷評量（cognitive diagnostic assessment, CDA），便受到學界的廣泛應用。CDA這一種診斷評量方式主要討論受試者潛在的特質與作答反應的關係。de la Torre（2009）之研究指出：認知診斷模型（cognitive diagnostic models，CDMs）能有效測量受試者的學習狀態。CDMs運用在教育上，以知識概念作為診斷的目標，旨在診斷學生精熟了那些知識概念，提供教學者對於學生學習成果的訊息，且能即時回饋立即進行補救教學，節省測驗的題目數量。其中以DINA（Deterministic Input, Noisy “and” Gate Model）模型、 GDINA（generalized. DINA)模型、DINO ( deterministic. input, noisy “or＂ gate model) 模型等，在模型與試題上皆有不錯之適配度（曾建銘，2013）。這些認知診斷模型在評估受試者能力時，考慮粗心(slip)及猜測(guess) 兩參數，理論簡單且容易解釋（de la Torre & Douglas，2004），結果亦能做為補救教學之依據，加強適性化教學之成效，提供教師設計補救教材之參考（張靜惠，. 3.

(20) 2011；尤怡雯，2011）。本研究所採用的認知診斷模型為 DINA認知診斷模型來檢測學生認知屬性之有無；同時再以Bug-DINO（Bug deterministic input, noisy “or” gate model) 認知診斷模型來檢測學生錯誤類型。希望結合認知診斷測驗及電腦化學習系統之優點，將以APOS理論及認知衝突為為基礎的編製教學簡報整合於「智慧型雲端適性測驗暨適性學習系統」，學生能在系統進行線上診斷與適性化補救教學，提供教師有關學生學習結果相關數據，協助學生適性化、差異化及有效的學習，提升教學成效，此為研究動機之四。. 第二節. 研究目的. 基於第一節之研究動機，本研究以國小六年級「圖形的縮放與比例尺」單元為範圍，運用「智慧型雲端適性學習系統」探討不同補救教學方式，對學生學習成效之影響。研究目的詳列如下：一、探討認知診斷模型之辨識率。二、探討三種補救教學方式對學生學習成效之影響。三、探討實驗組學生認知負荷之差異。四、探討實驗組不同教學方式對於背景相異之學生其學習成效之影響。五、實驗組學生對電腦適性補救教學的學習意見。. 第三節. 待答問題. 依據上述研究目的，本研究待答問題陳述如下：一、DINA 與 Bug-DINO 認知診斷模型辨識率與專家效標相符程度如何﹖ 二、實施不同補救教學方式之學生，其學習成效是否有顯著差異﹖ 三、實施不同補救教學方式之學生，其認知負荷是否有顯著差異﹖ 四、實驗組中，不同教學方式對背景相異學生其學習成效之影響如何﹖. 4.

(21) 五、實驗組學生，對電腦適性補救教學的學習意見如何﹖. 第四節. 名詞界定. 壹、電腦化適性補救教學本研究實驗組所採用的補救教學系統是使用臺中教育大學教育資訊與測驗統計研究所所開發的「智慧型雲端適性診斷測驗暨適性學習系統」（郭伯臣、江鴻鈞、曾彥鈞，2014）。本系統是以認知診斷測驗為模式的線上測驗系統，受試學生經由網路連結到系統平台，點選欲參加診斷的單元開始測驗。實驗中所謂的適性補救教學，是指學生測驗結束後，本系統可以根據學生的作答反應診斷出學生認知概念不足、或具有迷思概念的地方，每一位學生都可從結果報告，得知自己需要補救的概念或需要破除的迷思，教師從結果報告書，了解學生的優弱勢。因為每個學生需要加強的概念或需破除的迷思，不盡相同，所以，學生一人一機，透過回饋畫面，依自己需要補救的概念或需破除的迷思，對應點選個人需補救教學動畫進行學習，達到適性補救教學之目的。. 貳、認知診斷模式認知診斷模式（cognitive diagnostic models， CDMs）結合認知科學（cognitive science）與心理計量學（Psychometrics）的認知測量模式，目的是在解釋，分析受試者的個別狀態。運用在教育上，以知識概念作為診斷的目標，旨在了解學生技能之有無、認知過程，還有解決問題的策略（涂金堂，2003），提供教學者對於學生學習成果的訊息，其結果亦能做為補救教學之依據，提升適性化教學之成效。本研究採用 DINA 與 Bug-DINO 認知診斷模式，此二種認知診斷模式評估受試者能力時，皆受到粗心(slip)及猜測(guess)兩參數影響，診斷結果可推測受試者所具備的認知概念，提供教師設計補救教材之參考。. 5.

(22) 叁、認知概念認知概念(cognitive attributes)是指學生在學習某一單元時，必須要具備的基本能力，本研究是以國小六年級「圖形的縮放與比例尺」單元為研究範圍，在國民小學九年一貫課程暫行綱要所對應的分年細目為「幾何 6-s-02 能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度的影響，並認識比例尺」。本實驗參考相關文獻，共彙整出 9 個認知概念，來檢測學生是否具備該基本能力。. 肆、迷思概念學生在形成概念的過程中，常因一知半解、或用自己以為正確的想法去解讀學習的內容，產生了不正確的概念結構，此即迷思概念（misconception），而這些概念大都不完整且錯誤(曾建銘，2013)。故打破迷思概念，有助於提升學習成效。本研究參考相關文獻並與此領域資深教師及專家討論，彙整出 13 個迷思概念。. 伍、認知負荷認知負荷（cognitive load ）的理論源自歐美的人因工程(human factor)主要從心理認知層面探討任務對執行者之影響（莊謙本，2011）。Sweller 等人將認知負荷定義為:將特定工作加諸於個體認知系統時，個體所產生的負荷量(Sweller et al.,1998)。當相關工作或任務出現時，個體會運用自己現有的能力去面對，個體覺知要付出的努力越多，則認知負荷愈大。本研究探討的認知負荷分為：內在負荷、外在負荷及增生負荷。內在負荷與學習者本身的心智程度、先備經驗有關；外在負荷是指教材難易程度、呈現方式、教學活動等；增生負荷則是教學者協助學習者建立學習模式及自動化，此種負荷可增加學習成效。學習過程中，教學者應提升學習者的內在負荷及有效增生負荷，降低外在負荷（蘇國章，2011）。. 6.

(23) 陸、診斷辨識率認知診斷模式之診斷辨識率（diagnosis accuracy rate, DAR），主要目的是計算受試者在認知診斷模式下評估的認知概念之有無與專家判定結果（真值）的一致性之比率，作為診斷辨識率。兩者一致性愈高，則辨識率愈高。辨識率的計算方式如下表（楊智為、卓淑瑜、郭伯臣、陳亭宇，2011）：表1-1 辨識率計算方法表診斷結果分佈答對（1）. 答錯（0）. 答對（1）. 𝑛11. 𝑛10. 答錯（0）. 𝑛01. 𝑛00. 專家判斷（真值）因此，診斷辨識率的計算公式為： DAR＝. 𝑛11 +𝑛00 𝑁. 其中. N ：為本實驗有效樣本數。 𝑛𝑖𝑗 ：代表專家判斷（或真值）的結果為𝑖且診斷估計結果為𝑗的事件總數。. 第五節. 研究範圍與限制. 壹、研究範圍本研究依據教育部 2000 年公布之「國民小學九年一貫課程暫行綱要」，數學領域分年細目為「幾何 6-s-02 能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度的影響，並認識比例尺。」以國小六年級「圖形的縮放與比例尺」單元為研究範圍，旨在探討三種補救教學方式對學生學習成效之影響、學生性別、高低分組學習成效之差異、實驗組補救教學方式對學生認知負荷之影. 7.

(24) 響、實驗組不同背景之學生對學習成效之影響及實驗組學生對電腦適性補救教學的學習意見。因此，除上述以外之其他因素，皆不在本研究討論之範圍，研究結果不宜過度推論。. 貳、研究限制本研究受限於人力、環境、時間、資源以及其他主客觀因素影響，研究限制如下：一、施測樣本的限制本研究預試的施測對象為已學習過六年級「圖形的縮放與比例尺」單元的學生，使用紙本的測驗，所選取的樣本為臺中市國小一所、南投市國小一所，合計 12 個班，共 333 名受試者，測驗題本共 27 題選擇題，施測時間為一節課 40 分鐘，視學生作答狀況延長時間，在扣除無效的作答樣本之後，有效樣本共有 321 份。正式施測樣本為臺中市國小一所，合計 3 個班，共 62 名受試者。由於受試對象為中、投地區二所小學，若要將測驗結果推論到其他區域之學生，宜考慮受試對象不同所造成的影響。二、診斷測驗選項的限制實驗組補救教學是透過「智慧型雲端適性診斷測驗暨適性學習系統」（郭伯臣、江鴻鈞、曾彥鈞，2014）。來檢測，本系統可在測驗結束後，根據學生的作答反應診斷出學生認知概念或迷思概念的有無，立即給予受試學生作答回饋。唯目前系統規劃作答選項為四個，無法將所有的錯誤概念設計於作答選項中。三、研究時間之限制因實際教學時間之限制，研究者僅用二節課時間，進行補救教學，部分觀看影片速度較慢的學生會稍微耽誤下課時間。. 8.

(25) 第二章. 文獻探討. 本研究以國小六年級「圖形的縮放與比例尺」單元為研究範圍，編製認知診斷測驗及補救教學媒體，運用電腦化測驗暨適性補教學習系統，進行補救教學，採用 DINA 及 Bug-DINO 認知診斷模式分析，估計受試者的認知屬性與專家效標之一致性，並藉由不同的補救教學方式來探討學生的學習成效、高低分組、不同背景學生學習效果之差異、認知負荷及電腦化適性補救教學之學生意見。本章共分為五節，將針對教材分析、補救教學、電腦化適性教學、認知診斷模型、認知負荷、進行文獻探討，以作為本研究之發展方向及學理之基礎。. 第一節. 圖形縮放與比例尺之教材分析與相關研究. 國小六年級下學期的「圖形縮放與比例尺」單元，教材內容植基於低年級的感官具體操作，藉以實測、估測及用一階普遍單位描述一個量；中年級則須了解並具體表徵幾何圖形全等時邊、角的關係；六年級至七年級要學習類化並具體表徵分數的算則、大單位面積的計算、比與比值等諸多單元；而上述能力正是八至. 九年級以符號表徵來解決幾何問題的核心能力（教育部 2000）。這些概念依照 Maslow （1996）認知發展理論循序發展與成熟，多元複雜卻又與生活息息相關，在數學學習上佔有重要地位，以下就教材內容及相關研究加以討論。. 壹、教材重點依據教育部（2000）頒布之「國民中小學九年一貫課程暫行綱要」，圖形的縮放、比例尺相關能力指標為 S-3-04 能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並認識比例尺，分年細目為幾何 6-s-02 能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度和面積的影響，並認識比例尺。茲將國中小各階段和「圖形縮放與. 9.

(26) 比例尺｣相關的能力指標、分年細目及詮釋的內容彙整如表 2-1。表 2-1 國中小各階段圖形縮放與比例尺相關之能力指標與分年細目對應表階段/年級. 分段能力指標（註一）. 分年細目（註二）. N-1-9 能透過感官活動感覺. 1-n-10 能利用間接比較或以個別. 一個量，並能對兩個同類量. 單位實測的方法比較物體的長. 作直接比較，進而對一個量. 短。. 作複製活動(量：長度、容. 2-n-15 能認識長度單位「公分」、. 量、重量、角度、面積、體. 「公尺」及其關係，並能做相關. 積)。. 的實測、估測與同單位的計算。. N-1-10 能使用生活中常用. 2-n-18 能認識面積。(同 2-s-04). 的測量工具(刻度尺的方. 3-n-14 能認識長度單位「毫米」. 式，即不涉及其結構)，以一. 及「公尺」、「公分」、「毫米」間. 階普遍單位描述一個量. 的關係，並做相關的實測、估測. (量：長度、容量、重量、角. 與計算。. 第一階段/ 度、面積、體積；普遍單位： 3-n-17 能認識角，並比較角的大米、厘米、分公升、千克、小。(同 3-s-04) 國小一至三年級. 克、度、平方厘米、立方厘. 3-n-18能認識面積單位「平方公. 米)。. 分」，並做相關的實測與計算。(同 3-s-05). S-1-3 能複製二維、三維的基 1-s-03 能描繪仿製平面圖形。本形體。 2-s-04 能認識面積。(同 2-n-18) 2-s-05 認識簡單平面圖形的邊長關係。 3-s-03 能使用圓規畫圓，認識圓的「圓心」、「圓周」、「半徑」與「直徑」。 3-s-04 能認識角，並比較角的大小。(同 3-n-17) （續下頁）. 10.

(27) 表 2-1 國中小各階段圖形縮放與比例尺相關之能力指標與分年細目對應表（續）階段/年級. 分段能力指標（註一）. 分年細目（註二） 3-s-05 能認識面積單位「平方公分」，並做相關的實測與計算。(同 3-n-18). N-2-9 能在保留概念形成後，進行兩個同類量的間接比較(利用完整複製)及個別單位的比較(利用等量合成的複製)(量：長度、容量、重量、角度、面積、體積)。第二階段/ N-2-10 能認識各種量的普遍國小單位，應用在生活中的實測和四至五年估測活動，並培養出量感(普級遍單位：千米、毫米、公升、毫公升、時、分、秒)。. 4-n-16 能認識角度單位「度」，並使用量角器實測角度或畫出指定的角。(同 4-s-04) 4-n-17能認識面積單位「平方公尺」，及「平方公分」、「平方公尺」間的關係，並做相關計算。 4-n-18能理解長方形和正方形的面積公式與周長公式。 (同 4-s-09) 5-n-14 能認識比率及其在生活中. 的應用(含「百分率」、「折」)。 5-n-17 能認識面積單位「公畝」、「公頃」、「平方公里」及其關係，並做相關計算。 5-n-18 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。(同5-s-05) S-2-1 就給定的幾何形體，能確認並說出組成要素的名稱，並在檢驗後適當地描述其要素間的關係。. 4-s-01 能運用「角」與「邊」等構成要素，辨認簡單平面圖形。 4-s-03 能認識平面圖形全等的意義。（續下頁）. 11.

(28) 表 2-1 國中小各階段圖形縮放與比例尺相關之能力指標與分年細目對應表（續）階段/年級. 分段能力指標（註一）. 分年細目（註二）. S-2-7 能辨認平面圖形上的 4-s-07 能認識平行四邊形和梯線對稱關係。形。 A-2-4 能使用中文簡記式(簡 5-s-03 能認識圓心角認識扇形。字式)描述長方形、長方體之 5-s-04 能認識線對稱與簡單平面長度、面積、體積等幾何量。圖形的線對稱性質。 6-n-09 能認識比和比值，並解決生活中的問題。 N-3-4 在具體情境中，解決分數乘以分數的問題，進而形成分數倍的概念。第三階段/ 國小六至七（國中一）年級. N-3-10 認識生活中使用的 7-n-13能理解比、比例式、正比、大的測量單位，如：千公斤反比的意義，並能解決生活中有 (公噸)、千公升(公秉)、百關比例的問題。平方米(公畝)、千平方米(公頃)。 S-3-8 能瞭解平面圖形線對 6-s-01 能利用幾何形體的性質解稱的意義。決簡單的幾何問題。 S-3-9 能辨識基本圖形間對 6-s-02能認識平面圖形放大、縮應邊長成比例時的形狀關小對長度、角度的影響，並認識係。. 比例尺。. S-4-7 能辨別檢驗兩圖形是 8-s-06能理解線對稱的意義，以否相似。. 及能應用到理解平面圖形的幾何性質。（續下頁）. 12.

(29) 表 2-1 國中小各階段圖形縮放與比例尺相關之能力指標與分年細目對應表（續）階段/年級. 分段能力指標（註一）. 分年細目（註二）. S-4-9 能根據直尺、圓規操作第四階段/ 過程的敘述，完成尺規作圖. 8-s-11能認識尺規作圖並能做基. 八至九（國. 本的尺規作圖。. 中二至三） 9-s-01能理解平面圖形縮放的意. 年級. 義。 9-s-02能理解多邊形相似的意義。註一：九年一貫暫行課程綱要之能力指標註二：九年一貫課程綱要之分年細目能力指標以三碼編碼，第一碼表示主題，分別以英文字母 N、S、D、A 表示「數與量」、「圖形與空間」、「統計與機率」和「代數」四個主題；第二碼表示階段，分別以 1,2,3,4 表示第一、二、三和四階段，；第三碼則是能力指標的流水號，表示該細項下指標的個數。幾何是數學教育中的重要課題，由上表內容得知，九年一貫課程暫行綱要（教育部，2000）及九年一貫課程綱要（教育部，2008）皆從國小一年級就從感官具體操作課程(Piaget, J., & Inhelder, B.，1974)，來體驗幾何的概念。幾何是典型的視覺影像處理的過程，例如：直線、圖形的點、邊、面、平行與垂直、對稱、全等圖形對之操作、放大縮小、圖形識別等，國小階段幾何形體的理解包含覺、操作、構造等諸面向（張靜惠，2011）。本研究除檢測學生的幾何能力外，亦根據分年細目來評估學生在數與量之基本概念。. 貳、教材地位圖形縮放與比例尺，其教材地位如圖 2-1。由教材地位圖可得知：學習「圖形縮放與比例尺」需要先具備全等圖形點、邊、角對應關係的基本概念、並. 13.

(30) 能理解乘數為分數的意義、算則以及認識圓心角、扇形等認知屬性，而且「圖形縮放與比例尺」是學習「相似多邊形點、邊、角對應關係」的先備知識。第八冊第 6 章 能認識平面圖形全等時的邊、角關係。 能理解平面圖形邊、角關係。. 第十冊第 2 章 能理解乘數為分數的意義及算則。. 第十冊第 3 章 認識圓心角及扇形。. 第十二冊第 5 章 能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度和面積的影響，並認識比例尺。. 國中第五冊 能對簡單的相似多邊形指出對應邊成比例、對應角相等的性質。. 圖 2-1 圖形縮放與比例尺教材地位圖（摘錄自部編版教師手冊，2013）. 叁、認知概念分析認知概念是指學生在學習本單元結束後，應習得的知識、概念或技能，認知診斷模型可以診斷學生的認知概念是否精熟，本研究的範圍是針對九年一貫暫行綱要六年級分年細目. 6-s-02能認識平面圖形放大、縮小對長度、. 14.

(31) 角度的影響，並認識比例尺。本研究參考諸多文獻並與專家學者討論後，歸納出本單元之認知概念，如表2-2。表 2-2 圖形縮放與比例尺分年細目與認知概念對照表分年細目內容. 認知概念. 6-s-02 能認識平面圖. 【K1】能了解平面圖形（含圓形、扇形）放大（或. 形放大、縮小. 縮小）N 倍時，原圖與放大圖（或縮小圖）. 對長度、角度. 的形狀相同，邊長（半徑或直徑）是成 N. 的影響，並認. 倍的關係。. 識比例尺。. 【K2】能找出原圖與放大圖（或縮小圖）的對應點、對應角及對應邊。【K3】了解平面圖形（扇形）放大（或縮小）時，原圖與放大圖（或縮小圖）的內角角度（圓心角）相等（不變）。【K4】了解圖形放大（或縮小）N 倍後，新圖形的邊長（半徑或直徑）或面積之算法。【K5】了解平面圖形放大（或縮小）N 倍時，原圖與放大圖（或縮小圖）的面積，是成 N ×N（平方）倍的關係。【K6】了解畫平面圖形的放大（或縮小）N 倍圖形之步驟。【K7】了解各式比例尺的表示方法。【K8】能利用給定的比例尺，算出圖長或實長。【K9】能利用給定的比例尺，算出實際面積。. 15.

(32) 肆、迷思概念分析迷思概念是指學生在形成概念的過程中，常會以個人認知、經驗等先入為主的觀念來學習，而這觀念有別於正統教科書所定義，與專家認定的概念不相容的概念，即是所謂迷思概念（尤怡雯，2011）。對於本單元的錯誤類型與迷思概念，許多學者也提出了相關研究，茲將相關文獻歸納如下表2-3：表 2-3 圖形縮放與比例尺相關迷思概念或錯誤類型文獻整理研究主題. 研究者. 錯誤類型/迷思概念或其成因. 兒童對數學比例問魏宗明、劉祥 1. 忽略問題部份資訊。題的建構. 通 (2003). 2.依照數字出現順序，任意的運算。 3.誤解題意，不懂比值的意義。. 情境式學習軟體在. 1.比例尺意義的不瞭解。. 國小比例尺教學之. 2.比例尺表示法間的轉換與單位換. 應用. 算的錯誤。黃國鴻 (2008). 3.乘、除法能力不足影響比例尺問題解題能力。 4.比的概念不清楚導致輔助計算方法的誤用。 5.比和比值概念是否健全影響比例尺概念的學習。. 以合作學習應用互. 1.單方向的放大與縮小當作整個圖. 動式白板在國. 形的放大縮小。高俊豐. 2.圖形的放大縮小不包含全等。. (2009). （續下頁）. 16.

(33) 表 2-3 圖形縮放與比例尺相關迷思概念或錯誤類型文獻整理（續）研究主題. 研究者. 小高年級數學縮. 錯誤類型/迷思概念或其成因 3.圖形放大或縮小不容許方向改變或翻. 圖與比例尺單元之. 轉。. 成效研究. 4.放大縮小比例受到面積影響。. 數位教材與電腦適. 1.以為原圖邊的長度當成對應邊的長度。. 性診斷測驗融入教. 2.以對應邊邊長縮放倍數當對應邊長度。. 學之探討－以國小. 林美秀. 六年級數學「放大. (2009). 3.混淆邊長縮放倍數計算方法（誤用二維當成邊長縮放倍數）。. 縮小比例尺」單元為例國小六年級縮圖、. 1. 學生易犯下與面積有關的迷思. 放大圖與比例尺單. 概念，且無論是縮小圖或是放大. 元. 圖，計算所求圖形的面積與計算. 之二階段電腦化診. 是原圖面積的幾倍，後者的題型. 斷測驗之研發. 對學生更加困難。張靜惠. 2. 學生會將比例的前項與後項錯置。. (2011). 3. 長度與面積的單位，學生會引用錯誤，或是單位換算產生錯誤。 4. 學生誤認面積比是縮放倍數比，顯示不了解邊長是一維的變化，面積是二維的變化。. （續下頁）. 17.

(34) 表 2-3 圖形縮放與比例尺相關迷思概念或錯誤類型文獻整理（續）研究主題. 研究者. 錯誤類型/迷思概念或其成因 1. 不瞭解放大圖為原圖之長和寬等比例. 結合二階段測驗. 放大：水平或垂直方向放大倍率不一. 之電腦適性補救教. 樣。. 學設計與應用成效. 2. 不瞭解對應點對應的概念：以為對應. -以縮圖、放大圖與. 點是相關位置錯誤之對應點、同圖的. 比例尺為例. 其他點。 3. 不瞭解對應邊對應的概念：以為對應尤怡雯邊是鄰邊、對應圖的對邊、同圖對邊、（2011）同圖之相鄰邊、對應圖之相鄰邊。 4. 不瞭解相似圖對應角大小的概念：縮小後的相似圖所有對應角大小皆不變，誤解全部或有些角度大小會跟著縮小。 5. 長度、面積的單位引用、換算錯誤。 6. 誤認面積比是縮放倍數比。. 綜合以上多位學者的研究與九年一貫能力指標，並與教育專家、高年級資深教師諮詢討論後，彙整六年級學生在「圖形縮放與比例尺」單元，較容易產生的迷思概念的面向有：圖形縮放的倍數概念、圖形縮放的相對關係、圖形縮放的對應關係、一維長度與二維面積的倍數關係、平面幾何圖形面積的計算、比與比值及長度與面積的單位換算。本研究整理出此單元之錯誤類型，如下表2-4。. 18.

(35) 表 2-4 六年級圖形縮放與比例尺之錯誤類型代號. 錯誤類型未能將圖形的放大圖（或縮小圖）水平、垂直方向長度（或. B1. 半徑、直徑）之倍數，同時放大（或縮小）N 倍。. B2. 不了解原圖是放大圖的縮小圖；原圖是縮小圖的放大圖。. B3. 將半徑誤以為直徑；直徑誤以為半徑。. B4. 不了解圖形的對角、對應角之概念。. B5. 不了解圖形的對邊、對應邊之概念。誤以為圖形放大（或縮小），對應角（圓心角）亦隨之放大（或. B6. 縮小）。平面圖形面積計算公式引用錯誤（邊長×邊長、底×高÷2、底×. B7. 高…）對應邊（半徑或直徑）放大（或縮小）的 N 倍，與面積放大. B8. （或縮小）的 N×N 倍混淆。. B9. 原圖與放大圖（或縮小圖）對應邊長，前後項錯置。. B10. 未能找到圖形的對應點（或圓心）。. B11. 未了解比例尺的意義。. B12. 無法理解題意，任意用題幹上之數字計算。. B13. 單位換算錯誤。. 本研究將根據上述 13 個錯誤類型，編撰測驗試題及補救教學媒體。. 19.

(36) 第二節. 適性教學教材相關研究. 誠如上述，許多文獻研究，近年來應用電腦輔助教學，可提升教學的成效教學。為落實教育部個別化、差異化的補救教學方案，本節將對本研究之適性補救教學媒體相關文獻做進一步的說明，以為學理之基礎。. 壹、APOS 理論本實驗之認知概念補救教學動畫，是以 APOS 理論為基礎，編撰教學設計流程。APOS 理論是數學教育家 Dubinsky（1991）植基於建構主義的知識觀、學習觀和數學觀基礎上，為強調透過行動與反思來建構數學知識的動態學習觀（黃鶯枝，2012）。APOS 是指學生在數學學習各階段的大寫英文字首：分別是 A-行動（Action）階段、P-過程（Process）階段、O-物件（Object）階段、S-基模（Scheme）階段。運用應用在教學設計流程上，首先複習學生舊經驗，讓學生對感知外在物件的產生而採取行動(Action)，其次是佈題，把學生須學習的認知屬性融入題目中，引導學生思考與練習，使其內化為一個過程(Process)，亦即完成內在建構可以用來執行相同的行動；接著是再次佈題，引導學生反省特定過程的一些行動時，能夠把整個過程視為一個總體而形成物件(Object)，最後在生活情境中，不斷反覆物件的過程，變成基模(Scheme)，亦即學生能確實了解數學問題的描述，以及該如何解答這個問題的過程，APOS 理論運作模型如圖 2-2。. 圖 2-2. APOS 理論運作模型（Dubinsky，1991）. 20.

(37) 依上述認知運作模式，學生會思考如何將數學問題與生活情結合，建構出解決問題的行動、過程和物件，然後將整個過程組織成一個解題的基模，最後再使用基模來解決問題。彭建勛（2010）運用 APOS 理論於國中生動態幾何環境教學發現：實驗組學生，心智中能產生動態圖像，並在解題時能作為解題策略之一；廖鳳蘭（2008）研究指出：將 APOS 基本流程應用於正負數的教學中，可為學生搭起學習的架構，協助學生不斷轉換與提升自己的心智結構。本研究以 APOS 為理論基礎，設計認知概念補救教學簡報，實驗組學生完成前測之後，各自依據成果報告點選自己缺乏的認知概念，進行個別化、適性化的補救教學。茲將電腦化適性教學相關文獻彙整如如表 2- 5。表2-5 電腦化適性教學相關主題及成效研究主題. 研究者. 電腦化適性教學成效 1. 採用電腦化適性教學，對國小資源班學生整數四則單元之學習具有立即成效。. 電腦化適性教學對國小. 2. 採用電腦化適性教學，對國小資源. 資源班學生整數四則運. 林代淇. 班學生整數四則單元之學習具有維. 算學習之成效. （2010). 持成效。 3. 使用BNAT系統能分析學生的錯誤類型，且使用電腦化適性教學能提升國小資源班學生對數學學習的動機與意願。 1.依據課程綱要及分年細目，建置電. 電腦化適性測驗與補救教學模式之研究—以小四分數為例. 陳清溪（2011）. 腦化適性測驗。 2.教師可於線上預約施測單元、日期及時間，上網進行測驗。（續下頁）. 21.

(38) 表2-5 電腦化適性測驗與教學相關主題及成效（續）研究主題. 電腦化適性教學成效. 研究者. 3.測驗完成後，系統會呈現學習報告書，說明學生等級及迷思概念，提電腦化適性測驗與補救. 陳清溪. 教學模式之研究—以小. （2011）. 供教師進行適性補救教學之依據。 4.提供學生版及教師版適性補教教學. 四分數為例. 動畫影片，教師版於畫面上方及下方增加教學重點及教學提示。 1.使用電腦適性補救教學之實驗組學生，其補救教學後的後測成績顯著優於使用傳統補救教學之控制組學生，顯示此種補救教學模式有助於. 結合二階段測驗之電腦適性補救教學設計與應用成效-以縮圖、放大圖與比例尺為例. 提升補救成效。尤怡雯. 2.中低能力組之補救教學成效有顯著差異，顯示對中低能力組學生而言. （2011）. 電腦適性補救教學成效優於傳統補救教學。 3.實驗組學生對電腦適性補救教學之意見，大多數學生對電腦適性補救教學活動有良好的認同。 1. 此適性測驗系統，可診斷高中生矩陣單元學習狀況，鑑別學生個別盲. 高中數學之電腦化適性診斷與學習系統－－以矩陣單元為例. 點，輔以針對性補救教學結構，進俞克斌（2012）. 行適性補救教學。 2.電腦化適性測驗組比紙筆測驗組平均高 4.579 分，且達統計上顯著之意義。(P<0.05)。（續下頁）. 22.

(39) 表2-5 電腦化適性測驗與教學相關主題及成效（續）研究主題. 電腦化適性教學成效. 研究者. 3.各組在前後測成績差異部分，後測的平均成績顯著高於前測逾 20 分高中數學之電腦化適性診斷與學習系統－－以矩陣單元為例. 俞克斌、施淑娟、許天維. (P<0.05)。 4.線上適性補救比傳統團班補救成績. （2012）. 高達 10.161 分，統計上達顯著差異。. 由上表資料得知，採用電腦化適性教學，可提升教學成效。在多元的電腦化適性教學系統中，劉育隆（2012）所探討的「智慧型雲端診斷測驗與適性學習路徑模式系統」，以大學一年級的微分算則為研究範圍，其結果顯示：運用此系統進行補救教學、可節省 20%的題目，有效縮短施測時間；而應用於 SKILL 結構學習路徑線上補救教學與 BUG 結構學習路徑線上補救教學比 SKILL 列表學習路徑線上補救教學與 BUG 列表學習路徑線上補救教學成效要好。葉惠貞（2013）應用相同的系統進行五年級體積單元之補救教學，亦發現在教學介入處理後，各組後測成績均有進步，其中電腦化適性動態補救教學組學生的學習成效顯著優於適性動畫補救教學組及傳統班級補救教學。本研究採用「智慧型雲端適性診斷測驗及適性學習系統」，來進行學生的補救教學。此系統有別於其他電腦化適性系統，它的特點為：以知識結構為基礎，應用 DINA 認知診斷模型，在學生完成前測以後，系統依據作答反應，可立即分析判定學生是否已習得認知概念，診斷報告畫面清楚呈現，不但學生個人馬上得到學習狀況的回饋，教師亦能從診斷報告，獲知各個學生能力的優劣勢，作為學生補救教學之依據。認知概念補教教學組之學生，根據以 APOS 為理論基礎所編撰的教學簡報，一人一機依個人所缺乏的認知概念，點選觀看相對應的教學媒體進行補救教學，逐步完成個別化、適性化的補救教學活動。. 23.

(40) 貳、認知衝突理論本實驗之澄清迷思概念補救教學動畫，是以認知衝突理論為基礎，編撰教學設計流程。張春興（1996）認為：所謂認知衝突是指「智能發展過程中原有概念（或認知結構）與現實情境不符時，在心理上產生的衝突現象。近年來認知心理蓬勃發展，許多專家學者致力於探討學習歷程，相關研究都指出：藉由認知衝突，引發學習者認知的不平衡狀態，促使學習者思考反省，進而形成概念的改變，是有效的學習策略之一（吳金聰、劉曼麗，2013；阮正誼，2002；許琇雅，2004）。學者劉曼麗（2005）具體提出的認知衝突策略共有五種，分別是（一）二對一法（二）反向法（三）一對多法（四）引入參考值法（五）表徵法。茲針對各種策略加以說明如下：（一）二對一法針對學生回答問題Q1的錯誤答案A，再舉另一問題Q2，使其答案也為A，以製造認知衝突，如圖2-3所示（化聚問題）。. 𝑄1.  . 𝑄2. A. Q1：0.8 是幾個0.01？ A：8個。 Q2：0.08 是幾個0.01？（或0.8是幾個0.1？） A：8 個。. 圖 2-3 二對一法（引自劉曼麗 2005）. （二）反向法針對學生錯誤答案A1，再由A1這個答案反問回去，得到答案A2，並對照原問題Q1，以製造認知衝突，如圖2-4所示（小數與分數的互換問題）。. 24.

(41) . 𝑄1. A1. A1：0.75。 Q2：0.75 化成分數是多少？. . 𝐴2. 75 Q1：化成小數是多少？ 1000. 𝑄2 A2：. 75 100. 。. 圖 2-4 反向法（引自劉曼麗 2005）（三）一對多法針對同一問題Q1，同時出現若干答案A1、A2、A3…，透過學生間的質疑辯證，以製造認知衝突，如圖2-5所示（單複名數轉換問題）。 Q1：1 公尺5公分是等於幾公尺呢？ 𝑄1. . A1.  . A1：15 公尺。 A2：1.5 公尺。. A2 A3. A3：1.05 公尺。 Q2：辯證想法。圖 2-5 一對多法（引自劉曼麗 2005）. （四）引入參考值法針對學生錯誤答案A1，引入一個參考值R讓學生比較其答案A1與R，以製造認知衝突，如圖2-6所示（小數與分數的互換問題）。 Q1：5.3 化成分數是多少？ 3. 。 5 3 Q2：有沒有比1 大？ 5. A1：. A2：沒有。. 25.

(42) 𝑄1. . A1. R′ 𝑄2. . 𝐴2. Q2：5.3 有沒有比1 大？ A2：有。 Q2：. 3 5. 比1 小，5.3 比1 大，5.3 化成. 分數，答案有可能是. 3 5. ？. A2：不可能。圖 2-6 引入參考值法（引自劉曼麗 2005）（五）表徵法針對學生錯誤答案A1，引入表徵R’的操作結果，來比較答案A1，以製造認知衝突，如圖2-7所示（比大小問題）。 Q1：0.25 和0.5，誰比較大 A1：0.25，因為25比5大。 Q2：這是一張百格板，那0.25張百格板要拿哪些積木？ A2：2條橘色積木和5個白色積木。 𝑄1. . A1. R 𝑄2. . Q2：那0.5張百格板呢？ A2：5條橘色積木。. 𝐴2. Q2：誰比較多？ A2：0.5比較多。圖2-7 表徵法（引自劉曼麗2005）. 註：Qi：教師的佈題，Ai：學生的答案，R：參考值，R’：表徵。 Q1：佈題，Q2：關鍵性問話，用以製造學生的認知衝突。. 26.

(43) 本研究實驗組澄清迷思概念補救學組是運用認知衝突理論來編撰教學媒體，以「智慧型雲端適性診斷測驗及適性學習系統」（郭伯臣、江鴻鈞、曾彥鈞，2014）來進行學生的補救教學。此系統的特點為：以知識結構為基礎，應用 Bug-DINO 認知診斷模型，在學生完成前測以後，系統依據作答反應，可立即分析判定學生是否具有迷思概念，診斷報告畫面清楚呈現，不但學生個人馬上得到學習狀況的回饋，教師亦能從診斷報告，獲得各個學生的優劣勢，作為學生補救教學之依據。澄清迷思概念補教教學的學生，再根據以認知衝突策略所編撰的教學簡報，一人一機依個人具有的迷思概念點選觀看教學簡報，進行破除迷思概念、立即回饋、適性化及有效的補救教學。本實驗中迷思概念與認知衝突策略對照表，於第三章研究工具章節詳加說明。. 第三節認知診斷模型認知診斷模型（cognitive diagnostic model,CDM）一般用於單元測驗，透過分析受試者之認知反應組型，瞭解學生的學習狀況，包括認知概念或技能精熟程度，作為現場教師補救教學分組參考（曾建銘，2013）。認知診斷模型為Nichols （1994），結合認知科學（cognitive science）以及心理計量學（Psychometrics）所提出的認知評量模型，是近年來蓬勃發展的心理計量研究領域。肇始於美國在2002年1月8 日簽署了一份美國聯邦法案-沒有落後的孩子（No Child Left Behind Act of 2001），簡稱為NCLB（陳珮英，2010）。此法案要求全美三年級至八年級公立學校的學生，每一年皆須接受標準化測驗，以診斷學生在閱讀及數學各領域的概念或能力屬性是否已達精熟，並提供學生優勢與劣勢的相關訊息（陳珮英，2010）。因此理論清楚簡明，以認知屬性或認知概念作為診斷目標的認知診斷模式漸漸受到重視。認知診斷模型運用在教育上，是以認知屬性作為診斷的目標，採用二元計分的方式，此模式透過測驗將受試者認知概念的表現分為精熟（masters）與未精熟. 27.

(44) （non-masters），旨在診斷受試者學會或已具備了那些認知概念，提供教學者對於學生學習成果的訊息，其結果亦能做為補救教學之依據，提升適性化教學之成效。編製認知診斷測驗前，要先設計單元的認知概念。從吳慧珉、施淑娟、曾建銘（2012）的研究報告中，有更清楚的說明：假設有一份診斷 K 個認知概念的測驗，認知診斷模型會給受試者一個二元分數，通常以向量𝛼𝑖 =（𝛼𝑖1 ,𝛼𝑖2 ,𝛼𝑖3 ,…,𝛼𝑖𝑘 ）來表示受試者是否精熟了每一個認知概念。如果𝛼𝑖𝑘 =1 表示第 i 位受試者精熟了第 k 個認知概念；𝛼𝑖𝑘 =0 則表示第 i 位受試者對於第 k 個認知概念尚不精熟。因為診斷 K 個認知概念，故受試者會有2𝑘 種可能出現的反應組型。例如 K=2，則受試者會有22 共 4 種可能的反應組型，分別為：（1,1）（1,0）（0,1）（0,0,）當𝛼3 =（1,0,）表示編號 3 的受試者，在 2 個認知概念中，對於第 1 個認知概念是精熟的，而第 2 個認知概念尚不精熟。為了清楚表示試題和認知概念之間的關係，認知診斷模型常使用 Q 矩陣(Q-matrix) 做為試題和認知概念間的對照表，清楚的表示試題和認知概念之間的關係（Tatsuoka,1985）。Q 矩陣通常是由學科專家(subject matter experts, SMEs)建立的，矩陣中表示試題 j 所具備的認知概念 k，若𝑄𝑗𝑘 =1，代表受試者在試題 j 中能答對此試題，具備認知概念 k；若𝑄𝑗𝑘 = 0，則表示受試者在試題 j 中答錯此試題，不具備認知概念 k。舉例說明 Q 矩陣為 3×2 矩陣如下：. 𝑄𝑗𝑘. 1 0 = [0 1] 1 1. 這是表示有 3 個試題，2 個概念。當受試者答對第一題時，須具備第一個認知概念（診斷單一認知概念）；當受試者答對第三題時，必須具備第一個及第二個認知概念。認知診斷模式評估受試者能力時，以粗心(slip)及猜測(guess)兩參數作為主要參考值，診斷結果可推測受試者所具備的認知概念，提供教師規劃補救教材之依據。由於認知診斷模式理論清晰易懂，近年來 CDMs 來發展出許多模式，. 28.

(45) 目前較常用於測驗分析的模式大致有 DINA 模式（deterministic input, noisy “and” gate model）、G-DINA 模式（generalized deterministic input, noisy. “and”gate. model）、DINO 模式（deterministic input, noisy “or” gate model）等，皆用於測量受試者是否精熟重要的認知概念，近年來國內也有修正部分模式，探討錯誤類型模式的研究（吳國禎，2014），例如 Bug-DINO（Bug deterministic inputs, noisy “or” gate model）模式可以診斷出學生是否使用某些迷思概念，下一段針對 DINA 模式用於概念的診斷、Bug-DINO 模式用於迷思概念的診斷做進一步的介紹。. 壹、DINA 模式 DINA 模式（deterministic input, noisy “and” gate model）是許多認知診斷模式的基礎，是一種適用於二元計分的方式來進行評估，其創建與流行則是開始於 Junker & Sijtsma（2001）的研究（楊智為，2011）。本研究參考用吳慧珉（2012）之研究報告來說明 DINA 模式。DINA 模式是假設受試者完全具備診斷的認知蓋念，就會答對試題，答錯的機率會受到粗心(slip)的影響；受試者缺乏其中任一概念時，便會答錯，答對的機率會受到猜測(guessing)影響。DINA 模式簡明清晰，公式定義如下： 𝑛𝑖𝑗 1−𝑛𝑖𝑗 g𝑗. P(𝑋𝑖𝑗 = 1|𝛼, 𝑠, g) = (1 − 𝑠𝑗 ) 其中， 𝐾. 𝑞𝑗𝑘. 𝜂𝑖𝑗 = ∏ 𝛼𝑖𝑘 𝑘=1. 𝜂𝑖𝑗 =P(𝑋𝑖𝑗 = 0|𝜂𝑖𝑗 = 1). 29.