第三章 資料來源與研究方法
第二節 研究方法
一、 本質泡沫模型
Floot and Obstfeld(1991)對於股價泡沫的形成觀點著重於理性泡沫是基
（Intrinsic Bubble）」， 在股票的泡沫研究當中，這類型的本質泡沫完全只 是股利的所推動，一般而言， 內在泡沫與基本價值之間呈現正相關，當股 利上升時，泡沫也會跟著成長，這一類的內在泡沫合理解釋由股票基本條 件變化所引發價格過度反應和波動的現象。其中股票的基本價格應是由未 來 的 投 資 人 可 獲 得 固 定 成 長 股 利 用 固 定 的 折 現 率 求 出 折 現 值 的 Gordon(1962)現值模型求得。
根據現值模型的定義，本期股票的價格與股利應該存在著以下的關 係：
𝑃𝑡 = 𝑒−𝑟𝐸𝑡(𝐷𝑡 + 𝑃𝑡+1) (3.2.1)
其中𝑃𝑡為第 t 期的實質股票價格，𝐷𝑡為第 t 期至第 t+1 期發放的實質 股利，𝑒−𝑟為連續時間的貼現因子，經過無數次的疊代，本期股票的現值如 下：
𝑃𝑡𝑝𝑣 = ∑∞𝑠=𝑡𝑒−𝑟(𝑠−𝑡+1)𝐸𝑡(𝐷𝑠) (3.2.2)
上式為隨機微分方程式的現值模型(3.2.1)的特殊解，若要求有唯一解的 存在，必須符合傳遞條件(transversality condition)
lim𝑠→∞𝑒−𝑟𝑠𝐸𝑡(𝐷𝑠) = 0 (3.2.3)
則觀察值將會在疊代的過程中，會成功收斂(3.2.1)式至滿足(3.2.2)式，
但(3.2.1) 式仍會有其他的解。若在每一期之間的股票與股利的關係皆滿足 (3.2.1)式，但是不滿足(3.2.2)式，此時存在一個隨機變數序列{𝐵 }∞ 滿足：
𝐵𝑡 = 𝑒−𝑟𝐸𝑡(𝐵𝑡+1) (3.2.4) 本文視 K 值為 Gordon 靜態股利模型現值模型解。Floot and Obstfeld (1991) 定義泡沫為股利的非線性關係為B(𝐷𝑡) = c𝐷𝑡𝜆，且服從理性泡沫，代入左式 則(3.2.4)式可改寫成B(𝐷𝑡) = 𝑒−𝑟𝐸𝑡[𝐵(𝐷𝑡+1)] ，由(3.2.4)式可推導出 λ 值。
𝑒−𝑟𝐸𝑡[𝐵(𝐷𝑡+1)]
= 𝑒−𝑟𝐸𝑡[𝑐𝐷𝑡+1𝜆 ] = 𝑒−𝑟𝐸𝑡[𝑐(𝑒𝜇𝐷𝑡)𝜆] = 𝑒−𝑟[𝑐 (𝑒𝜆𝜇+𝜆
2𝛿2
2 𝐷𝑡𝜆)]
= 𝑒−𝑟[𝑐(𝑒𝑟𝐷𝑡𝜆)] = c𝐷𝑡𝜆 = B(𝐷𝑡) (3.2.7)
由(3.2.7)式得知在方程式(3.2.4)式成立之下，λ值必須滿足𝜆2 ∗𝜎22+ 𝜆𝜇 − 𝑟 = 0且根據股利會產生泡沫的假設，λ 滿足方程式的正根，c 為任意常數。
根據以上的定義
𝑃𝑡 = 𝑃𝑡𝑝𝑣 + 𝐵𝑡+ 𝜀𝑡 = 𝑐0𝐷𝑡+ 𝑐𝐷𝑡𝜆+ 𝜀𝑡 (3.2.8) 其中𝑐0為股價除以股利的估計值，為了避免迴歸式的多重共線性的問題，
對(3.2.8) 式除以𝐷𝑡，將(3.2.8)的股價泡沫模型中股價轉換成股價除以股利值
（或可稱為本殖比）形式，下列就是一般的本質泡沫模型。
𝑃𝑡
𝐷𝑡 = 𝐾 + c𝐷𝑡𝜆−1+ 𝜂𝑡 (3.2.9)
其中𝜂𝑡 = 𝜀𝑡/𝐷𝑡，且同時假設𝜂𝑡服從常態分配，無條件期望值為 0，說明 了𝜂𝑡具有異質性與自我相關的性質。虛無假設為本質泡沫不成立的條件為 𝑐0 = 𝐾，c=0；如果 c >0 代表有股利泡沫的存在；若𝑐0 ≠ 𝐾代表使用 Gorden (1962)靜態股利現值模型估計出來的 K 值與實際值𝑐0不同，可能是模型設 定參數過少或是實際股票市場並不遵循固定的折現率與股利成長率的假 設。
如果股利能影響泡沫，且泡沫會隨著時間成長，Floot and Obstfeld (1991) 修改(3.2.8)式，並定義泡沫為股利和時間因子的非線性值為B(𝐷𝑡) = 𝑐𝐷𝑡𝑒𝜆𝑡， 加入時間泡沫的因素後可改寫成下式：
𝑃𝑡 = 𝑃𝑡𝑝𝑣 + 𝐵𝑡 + 𝜉𝑡 = 𝑐0𝐷𝑡+ 𝑏𝐷𝑡𝑒(𝑟−𝜇−𝜎
2
2 )𝑡 + 𝜉𝑡 (3.2.10)
最後，我們以 K 值作為判斷有無泡沫存在的依據，如果指數的股價股利 比大於 K 值，就代表在研究期間內，該指數有泡沫的現象，並計算泡沫比 例為股票市場價格減掉股票基本價值後再除以股票基本價值，算式如下：
(指數的股價股利比－K 值)/K 值 (3.2.11)
由計算ｋ值的公式可知，K 值會隨著投資人要求的報酬率的高低與股利 的成長率和變異不同而有所變化。當投資人要求的報酬率提高時，K 值會 下降；則股利的高成長會提升 K 值，K 值的上升代表在相同股利的情況下，
投資人願意給予股票更高的評價或價格，也就是股票的基本價值會提升，
若實際市場求得的股價股利比大於 K 值，表示市場投資人對於股票或商品 給予過高的評價，表示市價偏離了基本價值，而市價與基本價值的差距就 是泡沫價格，無法用基本面的資訊去解釋。
二、 追蹤資料分析法
在統計的觀點上，迴歸分析的目的在於利用已知的變數 (X) 解釋與預測 我們有興趣的被解釋變數 (Y)，一般的線性迴歸模型可以表示如下：
𝑌𝑖𝑡 = 𝛼 + ∑𝐾𝑘=1𝛽𝑘𝑋𝑘𝑖𝑡 + 𝜀𝑖𝑡 (3.2.11)
其中，i＝1, 2, ..., N 個股市，t＝1, 2, ..., T 期，k＝1, 2, ..., K 個解釋變數，
𝑌𝑖𝑡為被解釋變數，𝑋𝑘𝑖𝑡為解釋變數，上式表示每個城市的迴歸式具有相同的 截距項，因此較不具有彈性，可能會因為忽略股市個別效果或時間效果而 產生估計偏誤。追蹤資料分析法可以藉由截距項表現橫斷面資料間的差異 或時間序列資料間的差異，能處理資料有系統趨勢及調整資料差異性的優 勢，因為同時考慮了橫斷面與時間序列之資料，可以提供更多訊息，降低 變數之間共線性問題，擁有較多自由度使估計能更精確。追蹤資料分析法 分為固定效果模型與隨機效果模型，其差異在於截距項設定之定義不同，
若截距項與解釋變數間有存在相關性，稱為固定模型；若截距項與解釋變 數間不存在相關性，稱之為隨機效果模型。
固 定 效 果 模 型 又 稱 為 最 小 平 方 虛 擬 變 數 模 型 (least square dummy variable model, LSDV)，此模型同時考慮了橫斷面與時間序列之資料，模型 中假設母體內橫斷面相似程度低，並允許城市間可有差異性的存在，以截 距項代表每個股市不同的結構，保留每個股市的特質且不隨著時間改變，
稱為股市效果；同時也可允許時間點不同的差異，即截距項會依不同時間
而改變，但不會隨股市不同而變化，稱為時間效果。其做法為每一個國家 對應一組虛擬變數，當對應到不同股市的樣本時，其他剩餘股市的虛擬變 數為零，迴歸式可表示為：
𝑌𝑖𝑡 = 𝛼 + ∑𝑁𝑗=1𝛾𝑗𝐷𝑗 + ∑𝑇𝑙=1𝛿𝑙𝐷𝑙 + ∑𝐾𝑘=1𝛽𝑘𝑋𝑘𝑖𝑡 + 𝜀𝑖𝑡 (3.2.12)
其中，i＝1, 2, ... N 個股市，t＝1, 2, ... T 期，k＝1, 2, ..., K 個解釋變數，
α 代表一般截距項，𝛾𝑗代表每個股市有不同結構的截距項，以虛擬變數表示，
當當 j＝i 時，𝐷𝑗＝1；當 j≠i 時，𝐷𝑗 = 0。𝛿𝑙代表隨時間不同而變動的截 距項，同樣以虛擬變數表示，當l = t 時，𝐷𝑙 = 1，當l ≠ t 時，𝐷𝑙 = 0，𝑋𝑘𝑖𝑡代表 第 i 股市第 t 期的第 k 個解釋變數，𝜀𝑖𝑡~𝑖𝑖𝑑(0, 𝜎𝜀2) 代表誤差項。
隨機效果模型又稱為誤差成分模型 (error component model)，其同時考 慮了橫斷面與時間序列並存的資料，模型中假設母體內的橫斷面差異較小，
相似程度較高，也允許股市間或時間序列間可有差異性的存在，此模型假 設每個股市的截距項是隨機的，且不隨時間改變，迴歸式可表示為：
𝑌𝑖𝑡 = 𝛼 + ∑𝐾𝑘=1𝛽𝑘𝑋𝑘𝑖𝑡 + 𝜀𝑖𝑡 = 𝛼̅ + 𝜇𝑖 + 𝛾𝑡+ ∑𝐾𝑘=1𝛽𝑘𝑋𝑘𝑖𝑡 + 𝜀𝑖𝑡 (3.2.13)
其中，i＝1, 2, ..., N 個股市，t＝1, 2, ... T 期，k＝1, 2, ..., K 個解釋變數，
截距項中之𝛼̅表示母體平均截距，而𝜇𝑖~𝑖𝑖𝑑(0, 𝜎𝜇2) 為橫斷面中個別差異無法 觀察的隨機誤差項，𝛾𝑡~𝑖𝑖𝑑(0, 𝜎𝛾2) 為時間差異無法觀察的隨機誤差項，𝜀𝑖𝑡 代表誤差項。
在應用上雖然固定效果與隨機效果模型皆能求得估計值，但兩者之間的 理論仍有差異，應有準則來判斷何種模型為最適選擇，最簡單的判斷方法 是以樣本是否有經過抽樣，若樣本即是母體或是沒有經過抽樣，則採用固 定效果模型較佳；若樣本經過更大的母體抽樣取得，則採用隨機效果模型 較佳。
由於固定效果模型與隨機效果模型的差異在於隨機效果模型中的誤差 項𝜇𝑖 與解釋變數間是否具有相關性，若兩者具有相關性時，固定效果模型 之估計會具有一致性與有效性，故應採用固定效果模型；若兩者不具有相 關性時，隨機效果模型之估計會具有一致性與有效性，故應採用隨機效果 模型。Hausman (1978) 提出之檢定為檢測資料適合固定效果模型或隨機效 果模型，其虛無假設、對立假設與檢定統計量為：
H0：E(𝜇𝑖, 𝑋𝑖𝑡) = 0，表示截距項之誤差與解釋變數無關採用隨機效果模型 H0：E(𝜇𝑖, 𝑋𝑖𝑡) ≠ 0，表示截距項之誤差與解釋變數有關採用固定效果模型
H = (𝛽̂𝑓𝑖𝑥 − 𝛽̂𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚)(𝛴𝑓𝑖𝑥 − 𝛴𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚)−1(𝛽̂𝑓𝑖𝑥 − 𝛽̂𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚)~𝜒2(k) (3.2.14)
其中，𝛽̂𝑓𝑖𝑥、𝛽̂𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚 為固定效果模型與隨機效果模型之估計參數，
𝛴𝑓𝑖𝑥、𝛴𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚 為固定效果模型與隨機效果模型之共變異矩陣，k 為卡方檢
定之自由度亦為解釋變數個數，若 H 大於卡方檢定值時，應拒絕虛無假設，
表示資料適合採用固定效果模型，反之則採用隨機效果模型。