本研究在分析時主要分成三部分。第一部分是藉由前測試題觀察學生的先備 知識和原生思想與數學能力，第二部分是藉由高一和高二學生在後測排列組合問 題的答題情形觀察數學能力，第三部分是藉由後測試題的答對率報導來探討高一 高二學生的學習成就。因為本研究關注學生的數學能力，從相關文獻得知數學能 力的範圍太廣且太大，我們首先得要將能力分類。關於數學能力的分類，參考了 蘇聯心理學家克魯切茨基還有丹麥學者 Mogens Niss 兩種分類，這兩位學者的數 學能力的較偏向心理型的能力，所謂偏心理型的能力就是可以應用在各種數學內 容的能力，例如 Mogens Niss 的數學能力分類中掌握數學思維的能力是適用在所 有數學內容，這樣的範圍太過廣泛，研究中希望可以更精確找到哪些數學能力在 學習排列組合單元時特別需要。除了定義出的數學能力是學習排列組合單元時特 別需要外，也希望這些數學能力對學習排列組合單元是關鍵的能力，例如克魯切 茨基的數學能力組成假說中運算能力在排列組合學習中是需要的，但這樣的數學 能力又太一般且大部分學生皆具備，探討這樣的數學能力不容易分辨出高一高二 學生的差異性。所以本研究中會參考上述兩位學者的數學能力分類，除了從中抓 取需要數學能力外，還希望抓取出的數學能力是學生學習排列組合成敗的關鍵能 力。
以文獻探討中丹麥學者 Mogens Niss 的數學能力和克魯切茨基所定義的數學 能力還有 Lester 數學解題為藍本加上研究者分析一般的高中教材和內容，歸納分 析出下面三種數學能力：轉譯能力、數學過程能力、排列組合的知識型能力，在 研究中將這三種數學能力定義為排列組合相關數學能力。
25 了讓數學能力方便觀察，所以在研究中數學能力的描述上大致採用 Mogens Niss 對數學能力的描述，文獻中說明數學能力的運作都會牽涉到個人內在和外在的過 程，Mogens Niss 將每個數學能力盡量做行為化的描述，讓數學能力可以觀察並 把焦點放在一個人的可以做到何種行為才能代表擁有這項能力。
當然學生的答題情形絕對不是只有一種數學能力展現，可能是很多數學能力 綜合的展現只是研究中關注在排列組合相關數學能力。在研究架構中除了去整理 歸納出排列組合相關數學能力外，下面將描述如何將這些數學能力應用在學生解 排列組合問題的解題歷程中，各階段有什麼關鍵性的影響 。
修改 Kaput 在 Linking Representations in the Symbol Systems of Algebra 文章 中圖 Building a cognitive system to model a physical situation，修改為較符合本研 究架構圖並將排列組合相關數學能力融合放入解題歷程。
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28 成中的數學表徵(Representing mathematical entities)：能解讀、詮釋及區別的數學 物件、現象和情境的不同表徵方式。個人從外在的排列組合問題進入內在時要先 過程。參考 Mogens Niss 的數學能力組成中分析與發展數學模式(Modelling mathematically)中在給定情境中，發展適當的數學模式，並解決情境中的問題。
這邊的對應隱含了創造的歷程，並不是單純去對應學習過的數學模式，而是有嘗 試將排列組合問題條件連結到數學模式。
第三部分是將內在的數學模式輸出到外在的數學模式。內在的數學模式和外 在的數學模式可能相異，個人會去選擇較合適的表徵去表現。參考從 Mogens Niss 的數學能力組成中的數學表徵(Representing mathematical entities)：可以在表徵之 間進行選擇與轉化。
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在表徵輸出。如果這個表徵是C105 ，輸出時要能辨認表徵的結構，如表徵的樣式，
數值該如何填寫等問題。
2. 數學過程能力：
在排列組合問題的解題歷程中，常常會有一個疑問？學生可以讀懂題目，也 知道該用何種數學模式，但還是不能成功的解決排列組合問題。從對應到的數學 模式再輸出到完整解決出排列組合問題過程中，到底還需要什麼樣的數學能力？
這樣的數學能力從文獻探討中的 Lester(1980)數學解題中的執行解題計畫 (plan implementation)、監控解題歷程(procedure and solution evaluation)、克魯切 茨基數學能力組成中運用數字與其他符號進行運算的能力組合構成，定義出的數 學能力在研究中稱之為數學過程能力。譬如學生解排列組合問題時，這項能力好 的學生能在執行解題計畫的過程中發現更一般化的規律(遞迴、等差、等比)、分 段討論所有可能的情形或是將不符合的情形排除等等，數學過程能力是在整段解 題歷程中都會影響學生。但因為我們是藉由答題情形去評估數學能力，所以在研 究中關注的數學過程能力是偏向解題方面且偏向外在的，但並不是說沒有內在的 歷程。因為學生在執行過程時，本來就是會把內在的想法和外在的解法連結反 思，但研究中我們觀察學生可展現的外在答題情形中觀察數學過程能力。所以將 研究架構圖 3.1-1 簡化並聚焦在本研究欲觀察的數學過程能力上做成圖 3.1-3。
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(2) 列舉可能分法。
(3) 將可能的分法與代數式x1+x2+x3 =5的非負整數解對應。
(4) 利用五個半具體物「○」代表相同的球，2 個分隔記號「|」分出三人，接 著將 5○2|的排列數去對應x1+x2+x3 =5的非負整數解個數。
(5) 複習有相同物的排列的公式並算出 5○2|的排列數為 7!
5!2!，轉換成
C 。
57 (6) 將C 轉換成
57H 。寫出
53H
53=C3+5 15 − 。(7) 轉換一般化的情形，方程式
x
1+ + ⋅⋅⋅ +x
2x
n = 的非負整數解個數為k H ，且
kn
H
kn =C
kn k+ −1。從上面教學流程可以看出學生從尚未學習排列組合前，列舉的方法開始到最 後使用較簡捷的數學模式
H 或
knC
kn k+ −1來處理問題，中間的過程表徵和式子的轉 換頻繁，結構十分複雜。所以在排列組合的知識型能力的報導上，會以重複組合 的思想為主。在研究中會設計一些具有重複組合思想的題目，探測學生的答題情 形。最後在研究中以學生答題歷程及所提供的理由來評估學生的數學能力時，會 以這三種能力為主，但不代表學生沒有其他數學能力，而是本研究關注在這對於 學習排列組合最重要的三種能力上面。
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