本章一共分成三小節，每一節對應依序回答研究問題中的 1.2.3 小題。本節 欲回答高一、高二學生學習排列組合單元前先備知識及原生思想與數學能力的情 況為何？研究中採用了前測試卷做為研究工具，並對試卷進行分析。
本節進行前測試卷分析時，分成兩部分。第一部分的三題是對學生學習排列 組合單元前的先備知識與數學能力做報導分析，第二部分的三題是對學生學習排 列組合單元前的原生思想與數學能力做報導分析。
首先，我們先進行第一部份的三題做報導，為研究工具中前測問卷的 1.2.3 小題，報導時因為先就學生普遍答對率高且差異不大的題目報導，所以和問卷上 的試題順序有些許出入。因為施測時間點的關係，第一部份的三題是高一學生目 前正在學習的數學內容，。
1. A 地到 B 地有陸路 3 條、水路 1 條，從 B 地到 C 地有陸、水路各 2 條，則 從 A 地經 B 地至 C 地共有多少種走法？
表 4.1-1 學生在前測試題 1 的答對率
答對率分析：
本題學生答對率都很高，可見對於簡單的加法原理與乘法原理等先備知識，
高程度學校 中程度學校 1. 高一 高二 高一 高二
90.5% 88.4% 89.8% 80.8%
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對學生來說是普遍具備的。雖然本題在高程度學校和中程度學校的高一學生答對 率皆比高二學生高，但是因為施測時間點的關係我們無法判定是否為高一學生有 學習過相關內容的影響。由各組別的答對率可推測高程度學校和中程度學校的高 一高二學生普遍具備加法原理與乘法原理的先備知識。
學生數學能力分析：
在轉譯能力上，大部分學生可以分辨「陸路」和「水路」的差異與關連，瞭 解 A 地到 B 地、B 地到 C 地兩段路程的關係，也能恰當轉譯成乘法和加法原理 的算式，呈現出他們對此種排列組合問題構造出數學問題情境的轉譯能力。
學生要能成功解答本題，在解題時所需的監控、運算等數學過程能力並不複 雜，所以本題著重在觀察學生的轉譯能力。大部分學生轉譯出的數學模式幾乎都 是作圖輔助再利用算式運算，很少使用列舉的方法。下面的圖 4.1-1 就是學生在 本題中最常用的兩種方法。
2. 從 1 到 32 的正整數中有多少個正整數是 2 但不是 3 的倍數？
表 4.1-2 學生在前測試題 2 的答對率
答對率分析：
本題的數學內容是簡單的數學集合概念，十分特別的是不論學生程度，都是 高程度學校 中程度學校
2. 高一 高二 高一 高二 89.7% 91.7% 80.6% 82.7%
圖4.1-1 試題 1 的解法
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高二學生的答對率略勝高一，但答對率差異不大。題目是出自一般課本的習題，
雖然說新課程綱要中不再介紹整數中因數倍數的性質。但新課程的課本中還是有 類似的題目，高一學生有學習過相關內容。由各組別的答對率可推測高程度學校 和中程度學校的高一高二學生普遍具備簡單的集合和邏輯的先備知識。
學生數學能力分析：
從答對率來看學生對於轉譯題目中的「倍數」，「是 2 但不是 3」條件應該是 沒有問題。學生要能成功解答本題，在解題時所需的監控、運算等數學過程能力 並不複雜，所以本題著重在觀察學生的轉譯能力。觀察並比較不同年級學生的答 題情形，發現大部分學生轉譯出的數學模式有列舉或是用算式計算來解題，且高 二學生有較高的比例使用列舉的方法，尤其是中程度高二的學生有約一半的學生 使用列舉的方法解決問題。高一學生則是較高的比例用高斯符號，除法算式等來 解決問題，運算過程也比較較簡捷，推測高一學生選擇算式的數學模式是受到正 在學習相關數學內容的影響，可見學生在轉譯中對應數學模式會受到學生對何種 數學模式較熟悉所影響，列舉的方法是比較自然且在外在情境中學生較容易採用 的數學模式。另外各組別中均不到兩成的學生會使用文氏圖去輔助運算，可能是 題目數值或複雜度小讓學生不會使用文氏圖這個教師教學上常使用的數學模 式。下面圖 4.1-2 展現了不同的學生在本題的答題情形。
圖4.1-2 試題 2 的解法
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3. 甲、乙兩隊比賽籃球。如果每場都沒有和局，規定有一隊先連勝兩場或先勝 三場就結束，並且贏得比賽，則比賽所有可能的情形有幾種？
表 4.1-3 學生在前測試題 3 的答對率
答對率分析：
本題是前測中差異最大的一題，高一學生的答對率都遠高於高二。以下由學 生答題情形推測答對率差異極大可能的原因有較多高一學生能連結樹狀圖的知 識。高程度學校的高一學生有高達 88.9%用樹狀圖的方法來解題，且其中多數學 生皆能正確解題。但高程度學校高二學生只有 33.8%使用樹狀圖的方法來解題，
而 22.2%的學生是使用樹狀圖的方法來解題且答對，另外有 48.7%的學生在解題 使用列舉的方法，而 19.8%的學生是使用列舉的方法並且答對。中程度學校高一 學生有高達 92.9%使用樹狀圖的方法來解題，且其中多數學生皆能正確解題。但 中程度學校高二學生只有 4.8%使用樹狀圖的方法來解題，而 3.8%的學生是使用 樹狀圖的方法來解題且答對，另外有 81.6%的學生在解題使用列舉的方法，而 16.3%的學生是使用列舉的方法並且答對。
表 4.1-4 學生在前測試題 3 的採用樹狀圖和列舉的比例
註：( )裡面的比例代表採用該種方法且答對的學生占全體學生的比例 高程度學校 中程度學校
3. 高一 高二 高一 高二 70.6% 42.1% 83.7% 20.2%
高程度學校 中程度學校
高一 高二 高一 高二
樹狀圖 88.9% (69.0%) 33.8%(22.2%) 92.9%(82.7%) 4.8%(3.8%) 列舉 9.5% (1.6%) 48.7% (19.8%) 5.1% (1.0%) 81.6% (16.3%)
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甲隊贏代表乙隊輸的條件。學生解題時，必須同時考慮這些較複雜的條件。若學 生連結到樹狀圖的數學模式去執行解題計畫，則只需要逐步考慮比賽過程，將之 有次序地記錄下來，而樹狀圖中，從頭順著分岔走到結尾，其實就是對應到一個 列舉的情形。但學生如果選擇列舉的方法去執行解題計畫，列舉是每次要將比賽 的結果記錄下來，所以學生在每一次列舉時都要從頭回想，還要同時考慮先連勝 兩場或先勝三場比賽即結束，所以較容易出錯。以圖 4.1-3 中的學生解法為例，
他選擇列舉的數學模式後去執行解題計畫，但在列舉討論中多算了兩種情形，在 圖中有畫線的位置標示出學生出錯的地方。學生甲隊贏得比賽的列舉情形中有一 種情形是贏輸贏輸贏，另一種情形是輸贏輸贏輸沒有考慮或是忽略了這兩種列舉 情形是一場比賽結果的兩面。
另外，圖 4.1-4 中呈現出學生在轉譯能力上可能出現的現象。該生可能將在 題目中比賽所有可能的情形的這句敘述轉譯成比賽場數所以解答寫出 5 種的答 案，跟出題者當初要分甲隊贏或乙隊贏的情形不一致，但是比賽所有的情形這段 敘述的解讀會依學生的經驗而有不同，所以在研究中將學生的解法視為答對。
最後觀察下面圖 4.1-5 的高二學生選擇列舉的數學模式展現很較好的執行數 學計畫的能力，學生可以預期最後是幾場結束比賽，也可以分清自己所使用的符 號可能代表甲贏或是乙贏。有條列地執行自己的解題計畫，但是就在比賽 4 場 的列舉情況中出錯了，他所列出的情況並未滿足結束比賽的條件，然而，他並沒 有監控、察覺出所犯的錯誤，故數學過程能力中除了執行解題計畫外仍需要監控
圖4.1-3 試題 3 列舉的解法 圖4.1-4 試題 3 樹狀圖的解法
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自己所執行解題的計畫，才能夠完整解決排列組合的問題。
從前面的分析中可看出就本題而言，學生的解題歷程中能選擇樹狀圖的數學 模式後去執行解題計畫或是選擇列舉的數學模式後搭配上好的數學過程能力是 本題答對的關鍵。
下面三題屬於排列組合後段的教材，從學生的答題情形和研究者的教學經驗 學生大部分沒有學過這邊的內容。但由於學生可能藉由補習學習較後面的數學內 容，對學生的解題過程產生影響。問卷中有設計讓學生勾選是否學過直線排列或 更後面的內容，其中高程度學校高一有 41.2%的學生、高二有 14.0%的學生，中 程度學校高一有 26.5%的學生、高二有 8.6%的學生學習過排列組合較後面的內 容，可以看出高一學生學習過後面的內容比高二學生多，高程度學校又比中程度 學校多。
4. 將黑棋三顆，白棋兩顆排成一直線，有多少種排法？
表 4.1-5 學生在前測試題 4 的答對率
高程度學校 中程度學校 4. 高一 高二 高一 高二
61.1% 52.1% 30.6% 38.5%
圖4.1-5 數學過程能力的展現
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答對率分析：
本題從數學內容來看為有相同物的排列，答對率在高程度學校是高一學生贏 過高二學生，但在中程度學校是高二學生贏過高一學生。從高程度學校高一學生 補習的比例和答題情形推測高程度學校高一學生的答對率高可能是因為學習過 相關內容的影響。觀察資料中學生的答題情形，可以發現學生在轉譯中選擇的數 學模式，以列舉，使用數學算式和樹狀圖為主。
學生原生思想與數學能力分析：
雖然本題有部分學生受到補習的因素影響，但是本題對大多數的學生還是尚
未學習過的數學內容，所以還是採用原生思想去進行報導。觀察學生所採用的數 學模式推測學生所具有的原生思想有三種。
第一種原生思想是使用算式去解題，在學生的答題情形中沒有列舉的紀錄而
第一種原生思想是使用算式去解題，在學生的答題情形中沒有列舉的紀錄而