本節欲回答高一高二學習排列組合單元後，數學能力的情況與差異。由於後 測進行的時間點都是高一高二學習完排列組合的一周內。在試題設計時特別針對 轉譯能力、數學過程能力和排列組合的知識型能力等數學能力設計。本節先對這 些題目做排列組合相關數學能力進行分析和答對率的報導。此外，本研究也會在 本節中觀察並報導不同年級、不同程度的學生在學習成就上的差異。
1. 轉譯能力
首先先觀察學生在轉譯能力上的表現，根據研究架構轉譯能力分成三部分，
第一部分將外在排列組合問題藉由讀題的階段成為內在的排列組合問題再建構 成內在的問題情境。第二部分透過內在問題情境對應適當的數學模式，是內在解 題過程中的動作。第三部分是將內在的數學模式輸出到外在的數學模式。由於在 本研究中要藉由設計題目和收集學生的解題過程，去推論學生的轉譯能力。所以 設計了下列轉譯能力題組(A)與(B)，觀察學生在轉譯能力的展現。在題組(A)中 為了降低學生因為數學過程能力的不足導致答案不對，所以設計選擇題讓學生選 擇。另外觀察學生的答題表現時，也會以學生是否有正確的表徵為主，不會去觀 察後面的計算過程。
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題組設計如下：
轉譯能力題組(A)
請將適當的答案選項(A、B、C)配對至下列的題目 A. C73 B. P73 C. 其他 (1) 舞蹈社有社員七人，要選出三人當社長、副社長、總務的選法有多少種？
(2) 方程式
x + + + = 4 y z w
有多少組非負整數解？(3) 將黑棋 3 顆，白棋 4 顆排成一直線，有多少種排法？
(4) 袋中有編號 1~7 的號碼球各 5 顆，同號的球大小顏色都一樣。從袋中任 取 3 球，取出的球有幾種可能的結果？
(5) 將不同的 5 本書全部分給甲、乙、丙三人(可以有人沒得或全得)，問 3 人拿到的書本數量有幾種可能的結果？
如果選其他，請寫出該選項的算法
其中(1)(2)(3)小題，屬於學生較熟悉的排列組合問題情境是教學現場教師會使用 的題目。在後面的分析中，可以發現大部分的學生在讀這樣的排列組合題目時所 抓取的數學資訊是很一致，至於對應到什麼數學模式，則是要看學生對這樣的數 學模式內容的了解。在輸出數學模式時，學生出錯的比率也相當的低。
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(對應)
在轉譯中忽略了三人有不同的職位的條件，或是不清楚數學模式C73 的意義。高 一高二學生沒有明顯的差異，答對率的差異的關鍵在不同程度的學校上。我們可 以很清楚的看出學生在讀題時，都是抽取了 7 和 3 這兩個數字，對應到的數學模 式也較一致。
從本題的答對率觀察，可推測中程度學校的學生。可能在對應數學模式
m
Cn 、Pmn 時，這部分都是很高的比率會出現問題。
數學模式C73 數學模式P73
轉譯能力
七人選出三人的問題情境
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數，和相加等於 4。並沒有看到 7、3 兩個數值。雖然本題未答率十分高，但學 生不容易向前面的題目一樣將C73 誤選成P37 。
推測如果學生沒有在讀題後，從建構的問題情境中知道是重複組合內容的試 題，這樣的學生中大部分就不會繼續去嘗試對應數學模式，選擇放棄或是猜測。
學生如果能知道是重複組合內容的試題，才能繼續從題目中抓取相關的數值去解 決問題。
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可能的成因是學生在轉譯中對應了何種數學模式，會決定他用何種表徵輸出答 案。寫出C73 表徵的學生，可能讀題後建構出了七個位置，要挑三個位置放入黑 棋而剩下的四個位置就放白棋，所以選擇了Cmn 的數學模式。寫出 7!
3!4!表徵的學 生，可能讀題後建構出的是四顆白棋、三顆黑棋的排列法，對應到n!的數學模式 再由有相同物的排列的模式去寫出 7!
3!4!的答案。
由上述三題，學生在熟悉的布題情境下。影響答對率最大的是對應的數學模式和 對所對應的數學模式的理解。
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75 會立刻放棄, 而會對此難題作出一種解難過程 (problem solving process)，去找出 一個自己認為比較接受的解決辦法。譬如輸出7 的學生可能在解題過程中抓取了3
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的學生輸出
C 的表徵。學生將球總顆數用 7 5
335 × =35 算出，從中任取 3 球所以用35
C 的表徵輸出。輸出
3 C353 的學生從藉由抓取題目的條件中對應到是組合的數學 模式，也同樣在轉譯題目時對「同號的球大小顏色都一樣」和「每種同號的球各 5 顆」的條件刻意忽略或是未抓取。另外中程度學校高一學生有 5.0%的學生，高 二有 4.9%的學生輸出7 3
5
C
或是35 3
5
C
的表徵。推測寫出這類形式的表徵，應該是學 生在轉譯題目中抓取有「相同號碼的球」對解題的影響，答案數會變少。只是不 知道要如何去計算，所以將題目的數值 5 用上。當然高程度學校的學生也會輸出 上述出錯的表徵，但是較中程度學校學生的比例低。最後從學生錯誤的輸出表徵中觀察，本題學生從轉譯題目的條件中選取以
「組合」的數學模式的比例較高，推測可能的原因學生對於題目條件中任取 3 球，讀題階段到對應到生活情境的過程中，任取 3 球不容易產生要排列的思想，
不容易去對應到排列的模式。中程度學校的學生在輸出每種錯誤表徵皆有一定的 比例，可見學生在轉譯題目中對應的數學模式散亂。可以發現在未熟悉的佈題情 境中，學生在讀題階段就不知道要擷取何種材料。
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從學生的錯誤的輸出表徵中可以發現，學生會集中選擇3 、7 C73 和P73 這三 種表徵。 其中以輸出3 的比例最高，從學生的解題情形可以發現學生從題目中7 將不同的 7 本書全部分給甲、乙、丙三人(可以有人沒得或全得)，問 3 人拿到的 書本數量有幾種情形？大部分只有擷取前面的資料不同的 7 本書，分給甲、乙、
丙三人而忽略了最後題目的條件是要問每個人拿到的書本數量的情形。這樣的情 形，不論高程度的學校或中程度的學校高一的學生會比高二的學生更加明顯，高 程度學校高一學生比高二學生多了 15.5%，中程度學校高一學生比高二學生多了 13.0%集中答案表徵在3 。根據研究者的教學經驗去推測可能的原因，學生在讀7 題階段擷取數學材料時，往往受到以前解題或練習題目的因素造成學生僅擷取關 鍵字，對應到固定的數學模式。學生將解決排列組合問題形成一個固定的解題歷 程，沒有思考題目條件的改變的情形，高一學生會比高二學生的解題模式固定。
高程度學校的學生又比中程度學校的學生解題模式固定，但這邊根據前面轉譯能 力題目的答對率和分析可能是中程度學校學生對數學模式的混淆，造成選擇數學 模是沒有固定的頃向，可以看到中程度學校的高二學生有近三成是未答的，且選 擇題目選項的C73、P73 數學模式的比例也是最高的，學生沒有去抓取題目中重複 分配的思想在本題的解題歷程中。.
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題目時出現了問題，所以首先先看本題組學生的答對率和答對的學生所使用的方 法的比例，參閱表 4.2-6 和表 4.2-7。
表 4.2-6 學生在轉譯能力題組(B)中第(1)、(2)題的答對率
高程度學校 中程度學校
高一 高二 高一 高二
第(1)題 62.0% 68.6% 44.6% 31.4%
第(2)題 64.5%(3.3%) 51.7%(7.6%) 29.7%(3.0%) 14.7%(3.9%) 註：( )裡面的比例代表與原本設計的答案不一樣但答對占全體學生的比例
因為有部分學生在解決第(1)題時會將相同的字母會想成相同物，但在思考 企鵝車廂時，將企鵝車廂編了號碼，或許這樣的想法在一般學生的學習過程中可 能為了要標準答案而否定掉，但其實在一般外在的生活情境中本來就不會有完全 相同的兩個物品。所以在研究中我們統計了第(2)題中有記錄下如圖 4.2-1 將企鵝 車廂視為相異物的學生的比例，加到第(2)題中。
表 4.2-7 學生答對轉譯能力題組(B)中第(1)題所使用方法的比例
高程度學校 中程度學校
高一 高二 高一 高二
圖4.2-1 同一學生在轉譯受題目中情境條件的影響情形
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5
4! C× 2 56.2% 66.1% 44.6% 30.4%
6! 5!
2!− 5.8% 2.5% 0.0% 1.0%
先從第(1)題來看學生的轉譯能力，學生從讀題中抓取「排列」和「相同字 母不相鄰」的條件，答對的學生中對應數學模式有兩種。第一種是使用4! C× 25的 數學模式，答對的學生的使用這種數學模式占了很大的比例，學生先將except中 不同的四個字母 x 、 c 、p、 t 做排列，得到 4!。再由這四個字母排列中所產生 的五格間隔中挑兩個間隔放入 e 使用C25的數學模式表示。這個數學模式的解題想 法是將題目中「相同字母不相鄰」的條件，由先排列進去的相異字母後插入造成 不相鄰的條件。這樣的想法對學生而言並不簡單，學生使用的比例很高的原因是 這樣的想法是一般教科書和教師教學時所採用的。可以觀察圖 4.2-2 的解法，大 部分的學生皆會如圖中寫出 x 、 c 、p、 t 做出間隔放入 e 。
第二種數學模式是使用6! 5!
2!− ，可以看到學生採用這樣的方法比例不高。學
生先將except做排列，因為有相同物的排列所以使用6!
2!再扣掉相同字母相鄰的 情形為 5!。第二種數學模式的解題想法是學生從讀題中抓取「排列」和「相同字 母不相鄰」的條件，搭配排列組合的先備知識集合的思想，將題目中「相同字母 不相鄰」的條件轉換成所有可能的情形扣掉相同字母相鄰的情形。根據研究者的 圖4.2-2 含有Ckn 的數學模式解法
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教學經驗，「相鄰」的條件會比「不相鄰」的條件容易思考。
表 4.2-8 學生答對轉譯能力題組(B)中第(2)題所使用方法的比例
高程度學校 中程度學校
高一 高二 高一 高二
4
3! C× 2 49.6% 43.2% 24.8% 12.7%
5! 4!
2!− 14.0% 5.9% 0.0% 2.0%
列舉 0.8% 2.5% 5.0% 0.0%
接著看學生第(2)題的表現，從學生整體的答對率可以看到會受第(2)題中較 隱含的題目條件干擾，導致答對率較低。從學生所使用的方法也可以看出本題在 學生答題情形中會多出現一種數學模式。多出的第三種數學模式是列舉，參考下
接著看學生第(2)題的表現，從學生整體的答對率可以看到會受第(2)題中較 隱含的題目條件干擾，導致答對率較低。從學生所使用的方法也可以看出本題在 學生答題情形中會多出現一種數學模式。多出的第三種數學模式是列舉，參考下