高一高二學生之排列組合相關數學能力與成就探討

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授：謝豐瑞博士. 高一高二學生之排列組合相關數學能力與成就探討. 研究生：林世偉. 中華民國一百零一年六月.

(2) 謝誌人生就是不斷的在找尋自己的目標，好不容易一個短暫的目標又結束了。感恩我的指導教授謝豐瑞老師讓我選擇自己想做的論文題目，並在研究過程中時常與我討論指點我許多方向讓論文的架構更豐富嚴謹。我大學時期就覺得老師和我很投緣，所以在報考研究所前就已經詢問過老師指導論文的意願。一路上感恩老師的的安排和關心，最後讓我了解在論文中等待沉思的過程，是會讓人看待事物的角度變得更多元且深入。謝謝口試委員羅昭強教授、邱守榕教授、施皓耀教授的指導並提供我寶貴的意見。感謝書志學長，常常載我回家且在回家的路上總是解答我對研究這條路的疑惑。感謝佳叡學長、國亨學長、志瑋學長、慈宜學姐在研究中給我許多寶貴的意見。感恩跟我個性很像的婷瑩學姊一路上陪伴和協助，有麻煩的事情找你已經變成一種習慣了。我畢業後記得多愛自己一點然後祝您研究的路順利。感謝昭慧學長、啟台學長、佩蓁學姊、雅霙、筱芸、桂銘、旻怡、韋樺、鈺傑在論文討論和口試時給我的幫忙和協助。感謝我大學同學玉惇，有您在總是讓我覺得很快樂，我說過妳是可以讓我快樂的人之一。最後感恩一路走來，聽我報怨且幫我很多事情的嵐婷，對妳我有些話說不出口，但我會在下半學期妳論文要畢業前表達我對妳滿滿的感謝。.

(3) 摘要高中數學 99 課程綱要中將原高二的排列組合單元移至高一，本研究因而欲探究高一、高二不同年級學生在學習排列組合單元前是否有足夠的先備知識、學習後排列組合相關數學能力與學習成就的情況。本研究的研究對象為台北市和新北市的高一高二學生，按照學生就讀高中入學的基測最低錄取 Pr 值，將學生的來源分為高程度學校和中程度學校。高程度學校 Pr 值約 97，中程度學校 Pr 值約 80。在兩種程度學校中高一和高二學生各取三個班，約學生 400 人。利用發展出的問卷收集資料，透過學生答題情形及所提供的理由來評估學生學習前的先備知識及原生思想與數學能力的情況，學習後排列組合相關數學能力和學習成就的情況與差異。本研究的研究結果如下： 1.學習前高一高二學生大致上研究中唯有樹狀圖的先備知識需要複習。高程度學校的學生較具備完整的數學過程能力，對排列組合問題使用算式的比例較高。中程度學校的學生仍需要去使用列舉的數學模式去解決排列組合問題，並透過列舉的過程了解物件間的關係與連結。高一學生對應的數學模式以算式為主，高二學生則是以列舉的模式為主。 2. 高程度學校的高一學生對於不熟悉的排列組合問題較有意願去嘗試，但解題過程較不細膩。高二學生較有完整的數學過程能力相較於高一學生，學習成就也比高一學生來得好。 3. 中程度學校的高一學生在排列組合相關數學能力和學習成就上的表現皆贏高二的學生且高二學生的數學模式是很散亂的，尤其分不清楚如何將題目條件對應到 C mn 或 P mn 的數學模式。關鍵字：排列組合，數學能力，高一與高二學生的學習成就.

(4) 目錄目錄................................................................................................................................ I 表目錄.......................................................................................................................... III 圖目錄........................................................................................................................... V 第壹章緒論.................................................................................................................. 1 第一節研究動機.................................................................................................. 1 第二節研究目的與研究問題.............................................................................. 3 第三節名詞解釋.................................................................................................. 4 第貳章文獻探討.......................................................................................................... 6 第一節新課程綱要中排列組合課程的地位分析.............................................. 6 第二節新舊課程中排列組合單元在教科書內容上的差異............................ 11 第三節排列組合相關的研究............................................................................ 13 第四節數學解題................................................................................................ 17 第五節數學能力................................................................................................ 19 第参章研究方法........................................................................................................ 24 第一節研究架構................................................................................................ 24 第二節研究設計與方法.................................................................................... 33 第三節研究工具................................................................................................ 36 第四節研究對象................................................................................................ 37 第五節研究限制................................................................................................ 40 第肆章研究結果........................................................................................................ 41 第一節高一高二學生學習前先備知識與原生思想與數學能力分析............ 41 第二節高一高二學生學習後排列組合相關數學能力分析............................ 65 I.

(5) 第三節高一高二學生學習後數學學習成就分析.......................................... 101 第伍章結論與建議.................................................................................................. 107 第一節結論...................................................................................................... 107 第二節後續研究建議...................................................................................... 110 參考文獻.................................................................................................................... 112 附錄一前測問卷...................................................................................................... 114 附錄二後測問卷...................................................................................................... 116. II.

(6) 表目錄表 2.1-1 九九數學課程綱要中高一學生的數學課程規劃 ........................................ 7 表 3.3-1. 將研究工具的題目對應至研究問題中 .................................................... 36. 表 3.4-1. 研究對象的相關資料 ................................................................................ 38. 表 3.4-2. 前測問卷與後測問卷人數統計表 ............................................................ 39. 表 4.1-1. 學生在前測試題 1 的答對率 .................................................................... 41. 表 4.1-2. 學生在前測試題 2 的答對率 .................................................................... 42. 表 4.1-3. 學生在前測試題 3 的答對率 .................................................................... 44. 表 4.1-4. 學生在前測試題 3 的採用樹狀圖和列舉的比例 .................................... 44. 表 4.1-5. 學生在前測試題 4 的答對率 .................................................................... 47. 表 4.1-6. 學生在前測試題 4 的三種原生思想的比例 ............................................ 48. 表 4.1-7. 學生在前測試題 5 的答對率 .................................................................... 51. 表 4.1-8. 學生在前測試題 5 的四種原生思想的比例 ............................................ 55. 表 4.1-9. 學生在前測試題 6 的答對率 .................................................................... 57. 表 4.1-10. 學生在前測試題 6 的四種原生思想的比例 .......................................... 60. 表 4.1-11 學生在前測的重複組合問題中所採用原生思想的比例 ...................... 62 表 4.2-1. 學生在轉譯能力題組(A)第(1)題輸出的表徵 .......................................... 67. 表 4.2-2. 學生在轉譯能力題組(A)第(2)題輸出的表徵 .......................................... 69. 表 4.2-3. 學生在轉譯能力題組(A)第(3)題輸出的表徵 .......................................... 71. 表 4.2-4. 學生在轉譯能力題組(A)第(4)題輸出的表徵 .......................................... 73. 表 4.2-5. 學生在轉譯能力題組(A)第(5)題輸出的表徵 .......................................... 77. 表 4.2-6. 學生在轉譯能力題組(B)中第(1)、(2)題的答對率.................................. 81. 表 4.2-7. 學生答對轉譯能力題組(B)中第(1)題所使用方法的比例 ...................... 81 III.

(7) 表 4.2-8. 學生答對轉譯能力題組(B)中第(2)題所使用方法的比例 ...................... 83. 表 4.2-9. 學生在數學過程能力題組第(1)題的展現................................................ 90. 表 4.2-10 學生在數學過程能力題組第(2)題的展現................................................ 93 表 4.2-11 學生在重複組合選物類型題目的解題情形 ............................................ 95 表 4.2-12 學生在重複組合分物類型題目的解題情形 ............................................ 97 表 4.2-13 學生在重複組合中的三種類型題目的答對率 ........................................ 99 表 4.3-1. 學生在排列組合測驗中各題的答對率 .................................................. 103. 表 4.3-2. 學生在排列組合測驗中平均題數 .......................................................... 105. IV.

(8) 圖目錄圖 3.1-1. 在解題歷程中的排列組合相關數學能力(研究架構圖) ......................... 25. 圖 3.1-2. 解排列組合問題解題歷程中的轉譯能力 ................................................ 27. 圖 3.1-3. 解排列組合問題解題歷程中的數學過程能力 ........................................ 30. 圖 4.1-1. 試題 1 的解法 ............................................................................................ 42. 圖 4.1-2. 試題 2 的解法 ............................................................................................ 43. 圖 4.1-3. 試題 3 列舉的解法 .................................................................................... 46. 圖 4.1-4. 試題 3 樹狀圖的解法 ................................................................................ 46. 圖 4.1-5. 數學過程能力的展現 ................................................................................ 47. 圖 4.1-6. 學生能轉譯「相同」條件對解題可能有影響 ........................................ 49. 圖 4.1-7. 數學過程能力的展現 ................................................................................ 50. 圖 4.1-8. 學生的原生思想 ........................................................................................ 51. 圖 4.1-9. 第二種原生思想的展現 ............................................................................ 54. 圖 4.1-10 第二種原生思想的展現 ............................................................................ 54 圖 4.1-11 第三種原生思想的展現 ............................................................................ 54 圖 4.1-12 第四種原生思想的展現 ............................................................................ 54 圖 4.1-13 第四種原生思想的展現 ............................................................................ 54 圖 4.1-14 列舉的解法 ................................................................................................ 58 圖 4.1-15 先列舉後使用算式 .................................................................................... 58 圖 4.1-16 先列舉後使用算式 .................................................................................... 59 圖 4.1-17 第四種思想 ................................................................................................ 60 圖 4.2-1. 同一學生在轉譯受題目中情境條件的影響情形 .................................... 81. 圖 4.2-2. 含有 Ckn 的數學模式解法 ......................................................................... 82 V.

(9) 圖 4.2-3. 列舉的解法 ................................................................................................ 83. 圖 4.2-4. 同一學生在(1)(2)題的解法 ....................................................................... 85. 圖 4.2-5. 同一學生在(1)(2)題的解法 ....................................................................... 85. 圖 4.2-6. 第一階段數學過程能力 ............................................................................ 88. 圖 4.2-7. 第二階段數學過程能力 ............................................................................ 88. 圖 4.2-8. 第二階段數學過程能力 ............................................................................ 89. 圖 4.2-9. 第三階段數學過程能力 ............................................................................ 89. 圖 4.2-10 第三階段數學過程能力 ............................................................................ 89 圖 4.2-11 高程度學校高二學生數學過程能力的展現 ............................................ 91 圖 4.2-12 第一階段數學過程能力 ............................................................................ 92 圖 4.2-13 第二階段數學過程能力 ............................................................................ 92 圖 4.2-14 第三階段數學過程能力 ............................................................................ 93 圖 4.2-15 第三階段數學過程能力 ............................................................................ 93. VI.

(10) 第壹章緒論. 第一節研究動機數學是研究各種規律性所發展出的語言，是人類理性思維的產物，也是自然科學與社會科學的共同基礎。計算機的發明，讓許多以往數學家視為困難的計算，在科技的輔助下變得輕而易舉。所以隨著時代日新月異，學習什麼樣的數學知識才有意義，是我們不斷必須去思索的問題。為了要適應社會的變遷及新時代的潮流，並銜接九年一貫課程，高中數學科的課程內容是有修改的必要及空間因此在這個時間點誕生了高中數學 99 課程綱要。新的課程綱要，做了不少幅度的改變。在課程的改變中又以排列組合單元從高二下拉到高一下來教學最讓我感興趣。首先根據研究者的教學經驗，排列組合是普遍高中生覺得較困難的一個課程。雖然學生在解排列組合題目時計算過程比較簡單，但是學生對算出來的答案會有高度的不確定性，不是不知道自己在寫什麼就是不知道自己寫的對不對？仔細推敲學生解題的思路往往都是「模仿」寫過的題目去進行思考，解排列組合問題對許多學生來說就是套用不同的題型。這讓我去思考一個問題，如果將課程拉到高一下學期教，該如何讓學生去接受此困難的課程？所以我訪問了很多在第一線教學的高中教師，討論這樣的課程改變對學生有何影響。教師對於課程的改變有許多不同的觀點，有教師認為這樣的改變對學生是沒有差別的，因為都是學一樣的東西；有教師認為有差，畢竟高一學生剛從國中的環境上來，對於數學的感覺還停留在選出正確答案，而不是思考出答案。學習排列組合有很多需要分段討論，分析條件的地方，這點高一學生可能較少訓練，加上排列組合是機率和統計的基礎，所以認為學生容易在往後的課程受挫。 1.

(11) 由於教師們的意見分歧且其實對新課程還沒真正在教學現場進行教學，所以研究者在拿到新課程的樣書後立刻翻閱了教師手冊，發現教師手冊中每個版本對排列組合的已習教材的分析皆會有出入，大致一樣的是寫計數概念、代數基本運算，有趣的是有些寫到數學推理(南一教師手冊)、數學語句的連接(康熙教師手冊)，所以這些已習教材是不會隨著課綱改變而變動。我又思考了另外一個問題，高一學生是否具備學習排列組合的數學能力呢？顯然教師手冊中的內容並不能解答上述問題，所以我查了大學入學考試中心的說明，說明中寫到排列組合單元需要的是分類與統整的能力(大學入學考試中心，民 93 年)，這樣的能力高一學生已經具備了嗎？還有在高中數學 99 課程綱要後面說明的部分，指出學生學習的困難常在於無法把文字敘述的題目，適當地「翻譯」與「對應」到該用的公式。學習翻譯與對應的同時，也應該強調分辨「計數對象是什麼」的重要性，也就是要分清楚「什麼跟什麼是不同的物件」，這樣的能力高一學生已經具備了嗎？所以是否學生在學習排列組合前只需要學習計數概念、代數基本運算等教師手冊所寫的內容就可以輕鬆有意義的學習？排列組合的課程安排在高一下這個時間點學習，跟以往在高二下學習對學生有差別嗎？如果有差別，學習後是高一學生表現較好，還是高二學生？學生學習排列組合需要哪些數學能力，年級不同會影響這些數學能力嗎？上述的這些問題，其實是還沒有確定的答案。另外今年剛好是高二學生和高一學生一同學習排列組合課程的時間點，這樣新課程上路對許多高一教師的教學來說，都是一項挑戰。所以希望能夠能進行研究回應自己心中的疑惑並提供一些資訊給其他第一線教師，也期盼最後忠實報導的研究結果對學生學習和教師教學都可以有所幫助。. 2.

(12) 第二節研究目的與研究問題研究目的：高中數學 99 課程綱要中將原高二的排列組合單元移至高一，本研究因而欲探究高一、高二不同年級學生在學習排列組合單元前是否有足夠的先備知識、學習後排列組合相關數學能力與表現的差異。根據以上研究目的，本研究的具體研究問題如下。. 研究問題： 1. 高一、高二學生學習排列組合單元前先備知識及原生思想與數學能力的情況為何？ 2. 高一、高二學生學習排列組合單元後，數學能力的情況為何？其差異為何？ 3. 高一、高二學生學習排列組合單元後學習成就的差異為何？. 3.

(13) 第三節名詞解釋 1.. 高中數學 99 課程綱要依照中華民國 97 年 1 月 24 日台中（一）字第 0970011604B 號令發布的普通高級中學必修科目「數學」課程綱要，因為在 99 學年度高一新生開始實施，所以稱為高中數學 99 課程綱要。有別於現在於九十五年實施的高中數學課程暫行綱要，在研究中為了方便性也稱「新課程」綱要。.. 2.. 排列組合單元按照高中數學 99 課程綱要的南一版數學第二冊課本第二章排列組合中 2-2 排列與組合的數學內容為本研究討論的排列組合單元。. 3.. 排列組合相關數學能力本研究從文獻中歸納分析數學能力，並在研究架構中定義出排列組合相關數學能力，分別是轉譯能力、數學過程能力、排列組合的知識型能力。資料報導時以在研究架構中所定義出學生學習排列組合相關的三種數學能力為主要關注的焦點。. 4.. 先備知識參考高中數學 99 課程綱要的內容，在學習排列組合之前要先學習邏輯、集合與計數原理和加法原理與乘法原理。邏輯就是介紹「或」、「且」、「否定」及笛摩根定律；集合包含了集合的定義、集合的表示法與操作；計數原理中包含了窮舉法、樹狀圖、一一對應原理。在研究中定義與上述內容相關的知識為先備知識。. 5.. 原生思想與數學能力研究中在學生學習排列組合單元前，設計了數學內容為「有相同物的排列」和「重複組合」的問題。原生思想定義是在學生學習上述數學內容前，自行解決上述問題時，會依過去的解題經驗與解題當下對題目的解讀為基礎產生 4.

(14) 的原始解題思想。數學能力指的是在研究中定義的排列組合相關數學能力。 6.. 學習成就本研究中按照高中數學 99 課程綱要的南一版數學第二冊課本中排列組合單元內容去設計排列組合測驗。測驗中題目的設計是經過研究者參考課本內容自行命題或修改課本例題或練習題再經與指導教授討論且修改，最後將試題整理而成一份測驗。以測驗中平均答對題數，來代表學生的學習成就。. 5.

(15) 第貳章文獻探討. 第一節新課程綱要中排列組合課程的地位分析在九九年高中數學課程綱要中，將九五課程綱要中第四冊的排列組合課程拉至數學 II 也就是提前至高一下學期讓學生學習此課程。主要的理由為高一數學（數學 I, II）定位為與生活關聯或其他學科需要用到的數學，以建立學生在各學科進行量化分析所需要的基礎。高一上處理連續量相關的課題，而高一下處理離散量相關課題，包括數列與級數、排列組合，以及生活中所常見的古典機率及其他學科所常用到的數據分析相關的課題。希望藉由這樣的安排，學生的數學學習能與其九年一貫的數學銜接，並與其生活經驗結合，以提升其整體的量化分析與理性思考的能力。數學 II 自成一個體系，且所涉及的先備知識已於國中完成，因此不會發生因變動順序而產生的邏輯錯亂的教學問題。(節錄高中數學課程綱要 Q&A ，民 97) 課綱中有弱化排列組合的課程難度，將情境不合理或太難的題型刪除。刪除了環狀排列，因為此部分為非必要的題材，也容易衍生出較困難的題目。所以在新課綱中明確指出排列組合的定位在處理生活中常見的計數問題，並作為學習古典機率的準備。(參考普通高級中學必修科目「數學」課程綱要) 下頁附上為九九數學課程綱要，節錄了高一學生在學習排列組合前，學過的數學內容。. 6.

(16) 表 2.1-1 九九數學課程綱要中高一學生的數學課程規劃第一學年：數學 I（函數）、4 學分主題. 子題 1.數與數線. 內容. 備註. 1.1 數線上的有理點及其十進位表示法 1.2 實數系：實數的十進位表示 1.2 不含非十進位的法、四則運算、絕對值、大. 表示法. 一、數與式. 小關係 1.3 乘法公式、分式與根式的運算 2.數線上的幾何 2.1 數線上的兩點距離與分點公式 2.2 含絕對值的一次方程式與不等式 1. 簡單多項式函 1.1 一次函數數及其圖形. 1.2 二次函數 1.3 單項函數：奇偶性、單調性和 1.3 僅介紹 4 次（含）圖形的平移. 以下的單項函數. 2. 多項式的運算 2.1 乘法、除法（含除式為一次式 2.1 不含最高公因式二、多項式函數. 與應用. 的綜合除法）、除法原理（含. 與最低公倍式、. 餘式定理、因式定理）及其應. 插值多項式的次. 用、插值多項式函數及其應用. 數不超過三次. 3.多項式方程式 3.1 二次方程式的根與複數系. 3.1 不含複數的幾何意涵. 3.2 有理根判定法、勘根定理、n a 的意義 3.3 實係數多項式的代數基本定. 7.

(17) 主題. 子題. 內容. 備註. 理、虛根成對定理 4. 多項式函數的 4.1 辨識已分解的多項式函數圖 4.1 不含複雜的分式圖形與多項式. 形及處理其不等式問題. 不等式. 不等式 1.指數. 1.1 指數為整數、分數與實數的指數定律. 2.指數函數. 2.1 介紹指數函數的圖形與性質（含定義域、值域、單調性、. 三、指數、對數函數. 凹凸性） 3.對數. 3.1 對數的定義與對數定律 3.2 換底公式不宜牽. 3.2 換底公式. 涉太過技巧性與不實用的問題 4.對數函數. 4.1 介紹對數函數的圖形與性質（含定義域、值域、單調性、凹凸性）. 5. 指數與對數的 5.1 對數表（含內插法）與使用計 5.1 不含表尾差應用. 算器、科學記號 5.2 處理乘除與次方問題 5.3 等比數列與等比級數 5.4 由生活中所引發的指數、對數方程式與不等式的應用問題. 附錄. 認識定理的敍述介紹命題、充分條件、必要條件、與證明. 充要條件、反證法（含 2 為無理數的證明）. 8.

(18) 數學 II（有限數學）、4 學分主題. 子題 1.數列. 內容 1.1 發現數列的規律性. 備註 1.1 只談實數數列、不含二階遞迴關. 一、數列與級數. 係 1.2 數學歸納法. 1.2 不等式型式的數學歸納法置於數學甲/乙 I 數列與極限中討論. 2.級數. 2.1 介紹 Σ 符號及其基本操作. 1.邏輯、集合與計 1.1 簡單的邏輯概念：介紹「或」、數原理. 「且」、「否定」及笛摩根定律 1.2 集合的定義、集合的表示法與操作 1.3 基本計數原理（含窮舉法、樹. 二、排列、組合. 狀圖、一一對應原理） 1.4 加法原理、乘法原理、取捨原理 2.排列與組合. 2.1 直線排列、重複排列. 2.1 不含環狀排列. 2.2 組合、重複組合本章節要避免情境不合常理、過深、或同時涉及太多觀念的題型 3.二項式定理. 3.1 以組合概念導出二項式定 3.1 不含超過二項的. 三、機率. 理、巴斯卡三角形 1. 樣本空間與事 1.1 樣本空間與事件件 9. 展開式.

(19) 主題. 子題. 內容. 2. 機率的定義與 2.1 古典機率的定義與性質性質 3. 條件機率與貝 3.1 條件機率、貝氏定理、獨立事氏定理. 件. 10. 備註 2.1 不含幾何機率.

(20) 第二節新舊課程中排列組合單元在教科書內容上的差異 1.. 加入了一一對應原理(參考龍騰版第二冊課本). 一一對應原理設 A 與 B 是兩個元素個數為有限個的集合﹒若集合 A 與 B 之間可以建立一一對應的關係﹐則這兩個集合的元素個數必相等﹐即 n ( A ) = n ( B ) ﹒. 範例：學校舉辦桌球單打比賽﹐每場比賽必分出勝負﹐採單敗淘汰賽（即任何一位選手只要輸一場比賽就被淘汰出局）﹒在每一輪比賽中﹐將選手盡可能的配對比賽﹐若遇該輪為奇數位選手時﹐則讓剩下的一位輪空﹒求如果 16 人參賽時總共要比賽幾場才能產生冠軍。. 解法：設 A 為所有比賽場次組成的集合， B 為所有淘汰者組成的集合。因為每一場比賽只會產生一個淘汰者，而且每位選手最多只淘汰一次，所以比賽場次與淘汰者之間有一一對應的關係，即集合 A 與 B 之間可以建立一一對應的關係。根據一一對應原理可知，n ( A ) = n ( B ) 。因為最後只有冠軍一個人從來不曾淘汰，所以淘汰者的人數 n ( B ) 為 16 − 1 = 15 人。故共要比賽 n ( A ) = 15 場才能產生冠軍。. 根據研究者的教學經驗，特別多去介紹這個原理的原因是，教師在教學中說明將 4 本相同的筆記本，全數分給甲、乙、丙 3 人的分法時，大部分會將分法一一對應至方程式 x + y + z = 4 的非負整數解。新課程將這個地方特別提出來講，可見有注意到學生思考的細節。在解決排列組合問題時，有時這樣的思考轉換是很重要的。. 2.. 重複組合的符號表徵 H nk 刪除，直接用 C nk + k −1 取代。教材中不再出現 H nk 的符號，但相關數學內容並沒有減少。 11.

(21) 3.. 排容原理名稱換為取捨原理。何謂取捨原理，其實就是舊有教材中的排容原理。改名的原因是因為看到就. 有教材中把 Principle of Inclusion and Exclusion （PIE）翻譯為「排容原理」，或「容斥原理」。但中文裡原來沒有「排容」或「容斥」這類習慣說法，且這些名詞無法明確表達這個數學概念的真正意涵。一般我們只有在傳統習慣的文辭中沒有恰當翻譯法時，才去生造或杜撰新名詞。其實 Inclusion and Exclusion 就是在做「取捨」，因此把 PIE 翻譯為「取捨原理」較為恰當，新課程中最多只考慮三個集合間的取捨。. 4.. 刪除了環狀排列的數學內容最後在課綱後面補充說明的部分，指出學生學習的困難常在於無法把文字敘. 述的題目，適當地「翻譯」與「對應」到該用的公式。學習翻譯與對應的同時，也應該強調分辨「計數對象是什麼」的重要性，也就是要分清楚「什麼跟什麼是不同的物件」。這種將語文轉化為數學的題材，應在教材中詳細闡述，同時教師於課堂上也需按部就班引導學生，並讓學生多做閱讀練習，以建立學生在此方面的轉化能力。上述的補充說明，根據研究者比較前後教科書在文字說明的部分，會認為新課綱的教科書會有較多的文字說明。. 12.

(22) 第三節排列組合相關的研究關於排列組合的研究，大部分以「解題」為主，或是觀察教師不同的形式的教學對學生學習的排列組合的影響，在設計問卷題目和試卷分析時，從下列這些論文啟發靈感。由於相關資料十分豐富，所以研究者將資料整理並分成四類條列如下： A.. 學生解題會發生的排列組合錯誤類型分析研究相關論文關於錯誤類型之分析研究為數不少，可見學生在解排列組合問題的過程中是. 有一定的困難。下面從劉宏輝(民 83)，蔡佳茹(民 94)，莊淑貞(民 96)、吳宜憲(民 98)等人的研究中整理出學生常見的錯誤類型和原因：學生在處理排列組合單元問題發生的錯誤類型主要有： 1. 計數方法錯誤。 2. 忽略題目部分條件或解讀題意錯誤。 3. 受到題目數字的干擾。 4. 隨意套用類似題型方法解題。 5. 符號使用與認識不清。 6. 計算錯誤或不太會計算符號。 7. 學生的分類能力不佳。對於需要分成好幾類計算的問題，容易犯以下的錯誤：(1) 分類不完全的錯誤；(2) 重複分類(3) 正確分類後分類項計數錯誤。 8. 環狀排列錯誤。學生在排列組合單元發生錯誤的主要原因是： 1. 學生對於各種不同的計數方法所使用的時機混淆不清。 2. 使用「排列」或「組合」的時機不清楚。 3. 學生的分類討論的能力不佳。 13.

(23) 4. 關於綜合問題，學生的主要錯誤是不知道要用什麼計數方法計算，造成學生用猜測、找關鍵字等方法來決定自己的解題方向。 5. 重複組合的錯誤類型中有大部分的學生不知道符號 H kn 中， n 和 k 代表的意義。 6. 題目無法對應到生活情境。 B.. 布題語句與情境對高中生解加法、乘法原理題目之影響黃文慶(民 91)探探討高中生在學習排列組合單元中之加法原理與乘法原理. 時，常見的生活情境與布題語句對解題的影響其學習前和學習後的想法。從研究結果中發現：學生對排列組合中一些差異性的語句無法釐清，例如：語句「不完全」與「完全不」易對學生的解題造成困擾，而經過教學後，對語句「不完全」亦不見明顯的改善等。另外布題情境與生活的實際情況不能相契合時，會對學生的解題想法造成影響。還有學生對語句「相同」與「不同」的解讀有所不清。生活經驗的不同，若於題目中未加以說明，會對學生的解題造成困擾。 C.. 高二學生解排列組合問題後設認知行為之研究余志祥(民 94)探討高二學生解決排列組合問題之後設認知行為。解題的過. 程，主要有定位、組織、執行與驗證四個階段；解題者在定位階段讀題，在組織階段組織解題策略，在執行階段執行解題計畫，在驗證階段評估計畫的適切性、合理性與正確性。探討在解題的四個階段後設認知行為後，有以下的研究結果，但由於內容過於豐富經筆者整理後如下：1. 定位階段：較成功的解題者讀題時，較能掌握由題目所獲得的資訊。2. 組織階段： (1) 較成功的解題者，擬訂子計劃確認模糊的觀念，顯示出自我監控能力對局部計畫的執行有明顯的相關性。(2) 解題者多利用舊經驗以列舉或代數字的方式探索問題，3. 執行階段：(1) 較不成功的解題者監控局計畫與整體計畫的能力較為薄弱，解題者多無法找到有利的解題資料，也無法組織更有益的解題策略。(2) 執行的過程中，部分解題者無法評估局部計畫與整體計畫的正確性，有時則選擇放棄，有時則盲目地選擇錯誤的策 14.

(24) 略。(3) 後設認知能力幫助部份解題者釐清內在的表徵與外顯的表徵行為不一致的混淆。4. 驗證階段：(1) 較為成功的解題者，「組織─執行─驗證」這樣的循環次數也相當多，較不成功的解題者，驗證的方式較不完整，或只是單純的驗證自己的執行，而不是整體計畫重新評估。(2) 解題者對問題答案的信心，也是影響驗證的因素之一；較簡單的問題，解題者在有信心的情況下，最後一次的驗證動作，在答案寫出來的同時，驗證的動作就被忽略了，計數的錯誤往往發生在其中。 D.. 高中生重複組合學習歷程中之數學思維研究楊宜蓁(民 98)。探討高二學生學習『重複組合』時數學思維的啟動、轉化，. 以及造成這些現象的原因。學生學習的歷程中，為了使 H nm 轉換為 Cmn +n −1 合理化，. n 的非負整數解的連結，或是搭配半具體物、隔往往借助代數式 x1 + x2 + .... + xm = 板的輔助，並仰賴先前不盡相異物直線排列(或組合)的思維。學生對於整個重複組合思維引動、轉化或養成，受到舊思維影響頗深，每一個子思維的串聯，都會受到舊經驗的干擾。教師如果能透過拋問、討論、單純化的教學方式，將有助於新思維的建立；自行練習的歷程對學生形式化的程序思維的轉化有助益；若教師未提供各種重複組合方式與組合數的一般化結論，部份學生較不易推衍、抽象出思維；重複組合選物思維：從 m 類不同的事物中選取 n 個為一組(每類均至少有 n 個，且可重複選取)的組合數 H nm 、重複組合分物思維：將 n 個相同事物全部分給 m 個人(相異)且每人可兼得的分法有 H nm 種、代數式思維三者間的連結不完全緊密。 E.. 相同情境排列組合的對照起始例對高二學生學習的影響王筱惠(民 99)探討使用相同情境的對照性起始例來連結學生容易誤用的「排. 列」與「組合」類型，對高二學生在排列組合單元概念理解與解題能力的影響。研究結果發現，相同情境的對照性起始例幫助學生區辨不同的排列組合類型，在「單一」概念試題表現較好。所以依據研究結果，建議教師以情境相同但結構不 15.

(25) 同的對照性起始例啟發學生對排列組合的分類與區辨。提供情境式的對照性起始例題，讓學生容易利用真實情況來連結兩個不同的數學概念，進而發展抽象的數學問題所需的模型。在引入起始例後，若學生對各排列組合概念尚未能夠一般化至數字大的情況，則需發展表面相似、結構相同的「第二例題」強化學生對概念的理解。從這些相關排列組合研究中，「解題」一直都是研究的核心，在我的研究工具中使用的試卷設計有些會參考這些相關論文，此外本研究也是收集學生的答題情形進行分析，所以會參考上述的論文。. 16.

(26) 第四節數學解題 Polya(1945)出版的「怎樣解題」(How to solve it)，中將問題解決分為四個步驟： 1. 了解問題(Understanding the Problem)：了解問題的敘述，並指出問題的主要部分，包括題目的已知、未知及條件等。 2. 設定計畫(Plan)：找出已知數與未知數之間的關聯，根據條件設定解題計畫。 3. 執行計畫(Carrying out the plan)：實現解題計畫。 4. 回顧解答(Looking back)：嘗試使用不同方法檢查所得答案是否正確。後期的學者更進一步把解題歷程分得更細以外，還特別強調後設認知的成分。Lester(1980)把數學解題分為下列六個階段： 1. 問題的知覺(problem awareness)：解題者感覺到問題的存在。 2. 問題的理解(problem comprehension)：解題者將問題轉譯並且內化。 3. 目標分析(goal analysis)：解題者對內化的問題進行分析。 4. 計畫的發展(plan development)：解題者訂出解題計畫，包含程序、策略、方法。 5. 計畫的執行(plan implementation)：解題者執行解題計畫。 6. 程序和解答評估(procedure and solution evaluation)：檢核答案的合理性並且回顧整個解題歷程。從台灣的解題相關研究報告來看，由大學入學考試中心委託陳創義、黃文達、許志農教授、黃淑琴博士、林佳蓉、陳儀君老師（1999）高中數與代數三級分所做研究報告。有針對高中生的解題能力進行分類。對於具體的實際問題，通常我們都是採用數學模式的方法來求解，利用數學模式來解決實際問題，我們可區分成下列工作： 1. 根據實際問題的特點，構造適當的數學模式。 2. 在適當的數學模式上，進行邏輯推理或數學演算，求出所需的解答。 17.

(27) 3. 連結實際問題，對所得的答案進行深入討論，作出評價和解釋，返回到原來的實際問題中去，形成最終的判斷。從上面這些分析，我們可將數學解題歷程中所需的能力，分成下面四大部分： 1.. 連結與轉換的能力：這種能力是指上述基本架構之構造能力，實際問題與數學模式的連結能力，. 數學模式與方法型或結構型數學模式間的轉換能力。 2.. 策略與程序的選擇能力：這種能力是指上述基本架構中，數學模式的選擇能力，方法型或結構型數學. 模式間的策略選擇能力。 3.. 分析推理和歸納的能力：這種能力是指上述基本架構中，單一數學模式中的分析，推理和歸納的能力。. 4.. 運算與估算的能力：這種能力是指上述基本架構中，單一數學模式中的運算與估算的能力。. 或許解決數學問題是一個很重要的學習歷程，學生的數學學習也習慣透過解題。但學生能成功學習排列組合，解題這項能力可能只是必要條件，本研究更想要知道哪些數學能力是學習排列組合的充分條件。. 18.

(28) 第五節數學能力由於本研究的重點是從學生的答題情形分析高一高二學生排列組合相關數學能力的情況，所以要探討排列組合相關數學能力之前，我們先來討論什麼是能力能力(ability)有兩種定義(張春興，2008)： 1.. 指個人在遺傳或成熟的基礎上，經由環境中訓練或教育而獲得的知識或技能。此類能力可由行為上表現出來，作為與別人比較高低的依據，此類實際在行為上表現出來的能力，也稱為成就(achievement)。. 2.. 指個人學習某物所具備的潛在能量。採用廣義的看法可視為智力 (intelligence)；如採用狹義的定義則稱為性向(aptitude) 本研究對能力的探討傾向第一種定義，就是指個人在遺傳或成熟的基礎上，. 經由環境中訓練或教育而獲得的知識或技能。此類能力可由行為上表現出來，所以可以假定透過個人外在行為可以觀察其能力。在數學的領域中，數學能力也是在數學教育中學者廣為探討的議題。從實務面去看，學生如何將他們的數學能力展現出來進而評斷優劣，常用的方法就是透過測驗來了解學生的數學能力。因為的研究對象是高中學生，目前每年七月登場的大學指定科目考試是高中生升大學的一次升學測驗，高中學生可以藉由指定科目考試的成績去做為選擇大學志願的排序。下面是大學考試中心在指定科目考試數學科訂定的測驗目標： 1.. 概念性知識：能辨認某概念；能確認概念中的基本數學原理。. 2.. 程序性知識：能讀圖、查表、或運用適當公式與步驟解題。. 3.. 閱讀與表達能力：能讀懂題目，並以數學語言表達題目的涵意及解題的過程。. 4.. 連結能力：能融會貫通不同領域的概念，或連結數學之外其他學科知識或生活經驗。 19.

(29) 5.. 推理論證的能力：能應用數學模型與邏輯思考進行正確的推理或證明。. 6.. 解決問題的能力：能應用數學知識，選擇有效策略及推理能力解決問題，並能檢驗結果的合理性與正確性。由前面的新課程綱要和上列專家學者定義出的測驗目標就是某種程度表現. 出希望高中學生能夠從學習中學習到什麼數學能力或知識。另外從上述的目標中有數學能力和數學知識，就可以這兩者對學生而言缺一不可，一方面能力是在掌握知識的過程中形成和發展的，離開了學習和訓練，任何能力都不可能發展；另一方面，掌握知識又必須以一定的能力為前提。這也是我在做研究時有深思的問題，有沒有什麼樣的知識對排列組合的學習相當重要的。除了大考中心的測驗目標中對數學能力定義上外，本研究從希望從數學教育的立場看數學能力。以下介紹兩位數學教育學者對數學能力的研究，第一位是蘇聯心理學家克魯切茨基依據數學思維基本特徵而做成的數學能力組成假說： 1.. 使數學材料形式化的能力：從外在內容中抽出形式，運用形式結構和聯繫的結構進行運算。. 2.. 概括數學材料的能力：能從不相關的材料中抽出最重要的東西，以及從外表不同的材料中看出共同點的能力。. 3.. 運用數字與其他符號進行運算的能力。. 4.. 邏輯推理的能力。. 5.. 簡捷思考的能力：用縮短的結構進行思維的能力。. 6.. 逆向思考的能力：正方向的思維轉到逆方向的思維。. 7.. 彈性思考的能力：從一種心理運算轉向另一種心理運算的能力，對於創造性活動是很重要的能力。. 8.. 數學記憶的能力：對形式化結構和邏輯模式的記憶。. 9.. 空間概念的能力 20.

(30) 從克魯切茨基的假說，可以看出這些列舉的能力中，他試圖屏除那些一般性的東西(例如抽象思維能力)，而是設法把一般性的東西分解更為精確，更具體。而且該假說另一個特點就是透過數學思維，從思維的定義(張春興，2008)，思維是內在的心理認知歷程。思維有三個特點：(1) 思維是內在心理活動，非外顯的行為表現；(2) 思維是由認知的事件引起，引起思維的認知事件有面對困難情境，對過去事情的檢討，對未來的計畫等等。(3) 思維在心理運作的，不是認知事件的本身，而是經表象過程中抽象化的心理活動。所以我們可推論克魯切茨基的數學能力組成假說是心理型的能力。. 另一位丹麥學者 Mogens Niss，所提出的 Mathematical competencies and the learning of mathematics，1999。提出了 8 種數學能力，下面是研究者參考謝豐瑞教授對文章的翻譯：這 8 種數學能力可以被分為兩組，第一組是去處理問(ask)和回答(answer)數學問題的能力： 1. 掌握數學思維，如： 1.1 能提出有數學意義的問題，並能辯識何種答案為數學答案。 1.2 了解和處理已知概念的適用範圍和限制。 1.3 能藉由抽象化和類化擴展數學概念的範圍。 1.4 能辨識各類的數學敘述 (包含條件、數量敘述、假設、定義、定理、推測、實例)。 2. 提出與解決數學問題，如： 2.1 能確認、提出與詳細說明不同類型的數學問題(純數的或應數的；開放的或封閉的問題)。 2.2 能解決自己或別人提出的不同類型數學問題。 2.3 能用不同的可行方法解決數學問題。 3. 分析與發展數學模式，如： 21.

(31) 3.1 分析現有模式的基礎和特性。 3.2 轉化與解讀現有模式在現實世界中的意義，並評估該模式適用的範疇。 3.3 在給定情境中，發展適當的數學模式，並解決情境中的問題。 4. 數學推理，如： 4.1 能理解別人論證的條理，並能評估論證是否有效。 4.2 知道什麼是數學證明，並能區分數學證明與直觀的不同。 4.3 能從論證的條理中找出基本的想法。 4.4 能將直觀論證轉化成有效的數學證明。. 另一組能力是處理(deal with)與管理(manage)數學語言和工具的能力： 5. 數學表徵，如： 5.1 能解讀、詮釋及區別的數學物件、現象和情境的不同表徵方式。 5.2 了解相同數學物件不同表徵間的關係，並掌握不同表徵的優勢與限制。 5.3 可以在表徵之間進行選擇與轉化。 6. 掌握數學符號與形式，如： 6.1 解讀與詮釋數學語言的符號與形式，了解其與日常語言的關係。 6.2 了解數學語言的語法與語意。 6.3 日常語言和數學語言間的轉換。 6.4 處理和操弄包含符號與公式的敘述與表示式。 7. 數學溝通，如： 7.1 了解別人以書寫、視覺及口語所傳達的數學資訊。 7.2 能使用精確的數學語言表達自己的意思(書寫、視覺或口語)。 8. 使用工具，如： 22.

(32) 8.1 知道存在的數學活動工具或輔具的特性，並清楚其使用的範圍及限制。 8.2 能反思地使用這些工具或輔具。從上述學者的數學能力中，給了本研究一些啟發。 1. 嘗試將數學能力行為化分析能力時，研究中會參考 Mogens Niss 對數學能力的定義。以何種學生的行為來去定義學生是否具備該項能力。 2. 數學能力可以是很多不同細項數學能力的聯集從 Mogens Niss 和克魯切茨基兩位學者對於數學能力的分類就知道，兩位學者的分類不一致。但是皆對數學能力有了更細項的討論，不同學者的數學能力間也是彼此有關連。從 Mogens Niss 的數學能力中，也可以看出一項行為可能涉及的數學能力也不指一種，八種數學能力中也非互斥的關係。 3. 本研究會以兩位學者的能力為藍圖。從兩位學者分類的數學能力中找尋在排列組合中所需要且最重要的數學能力，對高中學生做分析探討。. 23.

(33) 第参章研究方法. 第一節研究架構本研究在分析時主要分成三部分。第一部分是藉由前測試題觀察學生的先備知識和原生思想與數學能力，第二部分是藉由高一和高二學生在後測排列組合問題的答題情形觀察數學能力，第三部分是藉由後測試題的答對率報導來探討高一高二學生的學習成就。因為本研究關注學生的數學能力，從相關文獻得知數學能力的範圍太廣且太大，我們首先得要將能力分類。關於數學能力的分類，參考了蘇聯心理學家克魯切茨基還有丹麥學者 Mogens Niss 兩種分類，這兩位學者的數學能力的較偏向心理型的能力，所謂偏心理型的能力就是可以應用在各種數學內容的能力，例如 Mogens Niss 的數學能力分類中掌握數學思維的能力是適用在所有數學內容，這樣的範圍太過廣泛，研究中希望可以更精確找到哪些數學能力在學習排列組合單元時特別需要。除了定義出的數學能力是學習排列組合單元時特別需要外，也希望這些數學能力對學習排列組合單元是關鍵的能力，例如克魯切茨基的數學能力組成假說中運算能力在排列組合學習中是需要的，但這樣的數學能力又太一般且大部分學生皆具備，探討這樣的數學能力不容易分辨出高一高二學生的差異性。所以本研究中會參考上述兩位學者的數學能力分類，除了從中抓取需要數學能力外，還希望抓取出的數學能力是學生學習排列組合成敗的關鍵能力。以文獻探討中丹麥學者 Mogens Niss 的數學能力和克魯切茨基所定義的數學能力還有 Lester 數學解題為藍本加上研究者分析一般的高中教材和內容，歸納分析出下面三種數學能力：轉譯能力、數學過程能力、排列組合的知識型能力，在研究中將這三種數學能力定義為排列組合相關數學能力。 24.

(34) 本研究主要是藉由透過學生答題情形及所提供的理由來評估學生的排列組合相關數學能力。這些能力除了用在解題外，也是學生在學習排列組合單元的重要能力，更甚至是學生在日常生活中遇到需要計算數量時也會用到這些能力。為了讓數學能力方便觀察，所以在研究中數學能力的描述上大致採用 Mogens Niss 對數學能力的描述，文獻中說明數學能力的運作都會牽涉到個人內在和外在的過程，Mogens Niss 將每個數學能力盡量做行為化的描述，讓數學能力可以觀察並把焦點放在一個人的可以做到何種行為才能代表擁有這項能力。當然學生的答題情形絕對不是只有一種數學能力展現，可能是很多數學能力綜合的展現只是研究中關注在排列組合相關數學能力。在研究架構中除了去整理歸納出排列組合相關數學能力外，下面將描述如何將這些數學能力應用在學生解排列組合問題的解題歷程中，各階段有什麼關鍵性的影響。修改 Kaput 在 Linking Representations in the Symbol Systems of Algebra 文章中圖 Building a cognitive system to model a physical situation，修改為較符合本研究架構圖並將排列組合相關數學能力融合放入解題歷程。. 數學模式. 問題情境. ). 知識型能力. 輸(出. 外在. 數學過程能力. 內在. (對應). 轉譯能力 (建構) 排列組合問題. (讀題). 數學模式. (解決). 問題的外在情境. 排列組合問題 (表徵). 圖 3.1-1 在解題歷程中的排列組合相關數學能力(研究架構圖). 25.

(35) 上述的研究架構圖有以下幾點說明： 1. 上述的解題歷程在研究中主要是由排列組合問題開始，排列組合問題就是問卷上面的排列組合題目，但是不能排除學生可能會面對的排列組合問題是由外在情境中所引發，或是想藉由簡化的排列組合問題去解決外在的複雜情境。另外在研究中沒有去探討排列組合問題和外在情境的關聯，但是為何不排除這部分呢？那是因為外在情境會影響個人解題歷程，舉例來說：將 5 本相同的筆記本，全部分給甲、乙、丙 3 人，有多少種分法？會有學生在解題歷程中排除有人沒有分到筆記本的情況，可能因為在一般生活情境中當要分配的東西多於人時，通常每個人會分到。 2. 從外在的排列組合問題經讀題階段，可能擷取有用的材料或刪除無關的資訊，是一段解碼的歷程。外在的排列組合問題和個人在內在的排列組合問題會不一致。，另外由個人認知的排列組合問題去建構出問題情境，情境是內在的，極有可能和個人經驗的不同而有差異，和問題的外在情境有所區分。 3. 在問題情境對應數學模式的情形，這邊的數學模式為個人之前學習或經歷過的數學內容而內化的思想或想法。例如討論 5 個物品中有 3 個相同物的直線排列時，如果學習完排列組合後可以知道答案須套用. m! 或是有相同物幾個要在原來 n!. 排列模式中除 n ! 等等數學模式。但如果尚未學習前排列組合前，學生在解題歷程中可能會去對應以前學過的列舉或是樹狀圖等方法去處理。同樣的外在排列組合問題經轉譯過程對應到的數學模式會因人而異，就算個人對類似的內在問題情境也可能對應不只一種數學模式且每次不一定相同。 4. 由內在數學模式輸出到外在的數學模式，在本研究的定義為由個人需從數學模式中進行選擇然後輸出的過程。解題歷程進行到確認問題情境是對應到組合相關的數學模式，在數學模式中選擇用 Cmn 的表徵輸出，在輸出到外在時須清楚. Cmn ， m 該放入何種數值， n 該放入何種數值。 26.

(36) 5. 最後的部分是由外在的數學模式解決排列組合問題的歷程。在這邊我們先來思考一個問題，學生如果明確知道用樹狀圖的數學模式去解決題目，為何有些人可能得到對的答案，而有些人不行？所以在這段歷程中，似乎有一種數學能力是不可欠缺的，於是我們定義出數學過程能力去討論這段歷程。 6. 最後的部分是在解決排列組合的問題中在解題歷程的每個階段都有影響排列組合的知識型能力，在解題歷程中該用何種數學模式去對應，該用何種表徵輸出，怎樣知道在題目中該擷取什麼資訊這些問題和排列組合中的知識型能力息息相關。例如：學生在學習排列組合前，並不知道「相同」和「不同」兩個條件在排列組合中的差別，在讀題時忽略這項資訊。學習後，學生大部分都會考慮「相同」和「不同」的條件差異，甚至有些學生會在這兩者下面做標記提醒自己在解題歷程中要注意這樣的條件有沒有放進去。下面是對如何從文獻探討中定義出的排列組合相關數學能力做更進一步的說明： 1. 轉譯能力：. 數學模式. (對應). 問題情境 (建構). 內在. 輸(出. 外在. ). 轉譯能力. 排列組合問題 (讀題). 數學模式. 排列組合問題. (解決). 圖 3.1-2. 解排列組合問題解題歷程中的轉譯能力. 27.

(37) 轉譯能力是一種偏心理型的能力，可分為三部分。將研究架構圖 3.1-1 簡化並聚焦在轉譯能力上做成圖 3.1-2。第一部分將外在排列組合問題藉由讀題的階段成為內在的排列組合問題再建構成內在的問題情境。簡而言之，是由外在輸入內在的過程。參考蘇聯心理學家克魯切茨基數學能力組成中概括數學材料的能力和 Mogens Niss 的數學能力組成中的數學表徵(Representing mathematical entities)：能解讀、詮釋及區別的數學物件、現象和情境的不同表徵方式。個人從外在的排列組合問題進入內在時要先從題目中概括數學材料，可能是刪去無用的資訊或是從外表不同的材料中看出共同特性。接著利用這些材料去構造內在的問題情境，內在問題情境除了融合了從題目中抓取的數學材料，並連結物件和物件的關係外，所構造的情境是會受到個人經驗所影響的。第二部分透過內在問題情境對應適當的數學模式，是解題歷程中的一個內在過程。參考 Mogens Niss 的數學能力組成中分析與發展數學模式(Modelling mathematically)中在給定情境中，發展適當的數學模式，並解決情境中的問題。這邊的對應隱含了創造的歷程，並不是單純去對應學習過的數學模式，而是有嘗試將排列組合問題條件連結到數學模式。第三部分是將內在的數學模式輸出到外在的數學模式。內在的數學模式和外在的數學模式可能相異，個人會去選擇較合適的表徵去表現。參考從 Mogens Niss 的數學能力組成中的數學表徵(Representing mathematical entities)：可以在表徵之間進行選擇與轉化。例如：個人在思考排列組合問題男生 10 人中選出一個 5 人小組的共有多少種選法的時候，透過讀題概括了男生 10 人中選出 5 人的材料，結合生活中有過選幹部或是股長的經驗，在內在建構出生活中曾經有過的選人的情境，可能會思考情境中男生 10 人應該都不會一樣。可能會用心中的數學模式知道是組合的問題，組合的問題在心中可能會想到 C nk 或比排列數少等等連結，最後選擇一個外 28.

(38) 在表徵輸出。如果這個表徵是 C 10 5 ，輸出時要能辨認表徵的結構，如表徵的樣式，數值該如何填寫等問題。. 2. 數學過程能力：在排列組合問題的解題歷程中，常常會有一個疑問？學生可以讀懂題目，也知道該用何種數學模式，但還是不能成功的解決排列組合問題。從對應到的數學模式再輸出到完整解決出排列組合問題過程中，到底還需要什麼樣的數學能力？這樣的數學能力從文獻探討中的 Lester(1980)數學解題中的執行解題計畫 (plan implementation)、監控解題歷程(procedure and solution evaluation)、克魯切茨基數學能力組成中運用數字與其他符號進行運算的能力組合構成，定義出的數學能力在研究中稱之為數學過程能力。譬如學生解排列組合問題時，這項能力好的學生能在執行解題計畫的過程中發現更一般化的規律(遞迴、等差、等比)、分段討論所有可能的情形或是將不符合的情形排除等等，數學過程能力是在整段解題歷程中都會影響學生。但因為我們是藉由答題情形去評估數學能力，所以在研究中關注的數學過程能力是偏向解題方面且偏向外在的，但並不是說沒有內在的歷程。因為學生在執行過程時，本來就是會把內在的想法和外在的解法連結反思，但研究中我們觀察學生可展現的外在答題情形中觀察數學過程能力。所以將研究架構圖 3.1-1 簡化並聚焦在本研究欲觀察的數學過程能力上做成圖 3.1-3。. 29.

(39) (對應). 數學模式. 問題情境 (建構) 排列組合問題. 數學過程能力. ). 外在. 輸(出. 內在. (讀題). 數學模式. (解決). 圖 3.1-3. 排列組合問題. 解排列組合問題解題歷程中的數學過程能力. 另外雖然數學過程能力由三項能力構成，但在本研究中較不會去討論學生運用數字與其他符號進行運算的能力，因為原則上學生如果能寫出數學模式為 Pkn 、 Ckn ，後續的步驟 Pkn =. n! n! ， Ckn = 幾乎都能做正確符號的運算。 (n − k )! (n − k )!k !. 這樣的能力並不是學生成功解題的關鍵。在研究中關注在學生從對應到數學模式後執行數學模式和監控所執行的數學模式這兩項數學過程能力。. 3. 排列組合的知識型能力：在學習排列組合單元前，學生面對排列組合問題時。在學生的解題歷程中，所謂的數學模式就是透過列舉或是一些簡單的計數方法去處理。但學習排列組合單元後，大部分學生面對題目時，都會透過使用一些符號的運算如 Pkn ， Ckn ，去加快自己的思考過程，更能夠去思考一些更複雜的題目。例如：學生學習完排列組合後，思考將 except 中的字母任意排列，相同字母不相鄰的排法時，不再使用列舉的方法。而是去思考數學模式中排列的模式有哪些？可能是利用 n ! 去操作。接著會去想有相同事物在排列上的差異，還有如何將不相鄰的條件對應在到排列 30.

(40) 的數學模式中。所以學生學習排列組合後，在選擇何種數學模式上會有極大的差異，造成解題歷程產生質的改變，學生會透過學習排列組合單元後從中擷取一些的簡捷的數學模式去思考問題。這些簡捷的數學模式我們可以稱為一種思想，隱含在學生的數學模式中，專屬於排列組合這個單元。所以在研究中我們將這些思想稱之為排列組合的知識型能力，這項能力與前面兩項能力較有差異的點是這項能力在其他的數學內容上沒有辦法一致性的展現或使用。在解題歷程中這樣的能力，對學生轉譯能力和數學過程能力的展現上密不可分。同樣的在研究中也是要從學生的答題情形觀察知識型能力，為了研究的方便我們將排列組合的知識型能力分成以下幾種思想： (1) 先備知識的思想：列舉，樹狀圖，集合的概念 (2) 排列思想：將 n 個不同物件任選 k 個排成一列。內部還有一些連結的子思想 . 有相同物件的排列思想. . 重複排列的思想：物件可重複出現. (3) 組合思想：將 n 個不同物件任選 k 個成一組 (4) 重複組合的思想：由以下三種子思想構成 . 選物思想：從 n 類不同物件中選取 k 個成一組（每類的個數均至少 k 個且可以重複選取）。. . 分物思想：將 k 個相同的物件全部分成 n 類的分法。. . 代數思想：n 元一次方程式 x1 + x2 + ⋅⋅⋅ + xn = k 的非負整數解。依照研究者本身教學經驗，在排列組合的知識型能力中以重複組合的思想對. 學生最為複雜，探究可能的原因。參考重複組合許多教科書的寫法和教師的教學，大致上舊課程高二重複組合教學時為以下的流程：. (1) 生活化的情境例題引入。例題：5 個相同的球全數分給甲、乙、丙三個人，有多少分法？ 31.

(41) (2) 列舉可能分法。 (3) 將可能的分法與代數式 x1 + x2 + x3 = 5 的非負整數解對應。 (4) 利用五個半具體物「○」代表相同的球，2 個分隔記號「|」分出三人，接著將 5○2|的排列數去對應 x1 + x2 + x3 = 5 的非負整數解個數。. (5) 複習有相同物的排列的公式並算出 5○2|的排列數為. 7! ，轉換成 C57 。 5!2!. −1 。 (6) 將 C57 轉換成 H 53 。寫出 H 53 =C3+5 5. (7) 轉換一般化的情形，方程式 x1 + x2 + ⋅⋅⋅ + xn = k 的非負整數解個數為 H kn ，且. H kn = Ckn + k −1 。從上面教學流程可以看出學生從尚未學習排列組合前，列舉的方法開始到最後使用較簡捷的數學模式 H kn 或 Ckn + k −1 來處理問題，中間的過程表徵和式子的轉換頻繁，結構十分複雜。所以在排列組合的知識型能力的報導上，會以重複組合的思想為主。在研究中會設計一些具有重複組合思想的題目，探測學生的答題情形。最後在研究中以學生答題歷程及所提供的理由來評估學生的數學能力時，會以這三種能力為主，但不代表學生沒有其他數學能力，而是本研究關注在這對於學習排列組合最重要的三種能力上面。. 32.

(42) 第二節研究設計與方法本研究為描述性(Descriptive)的研究，研究方法採用問卷調查法。研究設計了兩份問卷，一為前測問卷，一為後測問卷。前測問卷施測的目的為探知高一、高二學生在尚未學習排列組合單元前，有哪些解題想法和學生去思考排列組合問題的起點行為。透過前測了解高一、高二學習排列組合前先備知識、原生能力的差異。經過在學生學習排列組合後，透過後測的答對率去分析高一、高二學生的學習成就和透過學生答題情形去探測本研究所關注的數學能力。在前測的問卷設計上，以數字小好計算的題目為主，共設計六題。前三題出題的數學內容是排列組合的先備知識。參考高中數學 99 課程綱要的內容，在學習排列組合之前要先學習邏輯、集合與計數原理和加法原理與乘法原理，所以設計了加法原理與乘法原理一題，計數原理中的樹狀圖一題，集合和邏輯一題。後三題出題的數學內容是有相同物的排列，重複組合的選物問題和分物問題。探測學生在未學習過排列組合前，面對排列組合問題時，展現怎樣的解題過程，藉以分析其先備知識與原生能力高一和高二的學生實施前測問卷的時間點一致，都是第一次段考前一周。但由於課程的關係，高一學生正在學習新課程中的排列組合的基礎（對照南一版課本為 2-1 邏輯、集合與計數原理），高二學生學習舊課程中的圓錐曲線。由於擔心高一學生因為正在學習的排列組合的基礎，可能有補習的學生會學習到排列組合單元，所以在問卷中設計了請學生勾選是否在補習時學過直線排列或更後面的內容，統計勾選學生的比例，希望能更精準確認學生的答題情形是未學習排列組合單元前。請學校教師配合當成一次小考，發下去給學生作答，當成小考的目的是希望學生能展現學生應該有的水準，測驗時間是三十分鐘，時間設計較一般學校測驗長，原因是因為有學生尚未學習過相關數學內容的題目，希望學生能有時間思考且解決題目。完整的前測問卷請參考附錄一。 33.

(43) 在後測的問卷設計上，分成兩個部分。第一部分是觀察學生在本研究架構中定義的三種數學能力的表現，有轉譯能力、數學過程能力、排列組合的知識型能力。其中排列組合的知識型能力，在研究中以重複組合的知識型能力為主要報導的知識型能力。第二部分是觀察學生在學習過排列組合單元後的學習成就，本研究參考 99 課綱中的南一版教科書第二冊，從 2-2 排列與組合的單元中抽出十題做為評定學生學習成就的測驗試題。按照 99 課綱中的南一版教科書第二冊，2-2 排列與組合的單元的課本例題和相關概念的編排。排列的內容可以依序分為相異物的排列、有相同物的排列、重複排列。組合的內容可以依序分為相異物的組合、重複組合。從上述內容中參考課本例題，習題，加上閱讀文獻探討中排列組合的相關研究找出學生容易出錯的題型和根據研究者本身教學經驗設計題目，最後將設計的題目跟指導教授討論修改編製成十題，來測定學生在學習排列組合單元後的學習成就。整份後測試題，將兩個部份的試題合起來，但是要注意的是在研究中觀察學生數學能力和學習成就的題目並不是完全獨立的，有些題目會同時具備可觀察學 4 有多少生數學能力和學習成就的條件，就像在後測問卷中方程式 x + y + z + w = 組非負整數解這題在後面的資料報導中，數學能力和學習成就都會有所分析與報導。在設計觀察學生數學能力的題目時，也會與學習成就的題目不一樣，像是在觀察學生的轉譯能力時，設計了袋中有編號 1~7 的號碼球各 5 顆，同號的球大小顏色都一樣。從袋中任取 3 球，取出的球有幾種可能的結果的題目。刻意讓題目多了不會在答案算式中出現的數值資訊，學生要能有將轉譯能力中的概括數學材料的能力展現出來，才能完整解題。當然如同研究架構所說的在資料分析中如果沒有報導學生其他的數學能力，並不代表學生沒有相關的數學能力，而是我們把焦點放在研究架構中定義的數學能力和所對應設計的數學題目所做的詳盡報導。最後，後測問卷會再加上一些其他排列組合的問題，讓題目數量達當一般學校測驗的水平。完整的後測問卷 34.

(44) 請參考附錄二。後測問卷施測的時間點，是以學校教師教完排列組合單元的後一週。請學校教師配合當成一次小考，發下去給學生作答，當成小考的目的是希望學生能展現學生應該有的水準，後測測驗時間為五十分鐘。. 35.

(45) 第三節研究工具本研究以自行編制的前測問卷和後測問卷，詳細的問卷請參考附錄一和附錄二。下面的表 3.3-1 是將研究中欲探討的試題對應到研究問題中。表 3.3-1 將研究工具的題目對應至研究問題中. 學習前. 先備知識. 前測試題 1.2.3. 原生思想與能力. 前測試題 4.5.6. 學習後. 排列組合相關數學轉譯能力. 後測試題. 能力. 2(2).9(1-5).10(1). 學習成就. 數學過程能力. 後測試題 7(1).7(2). 知識型能力. 後測試題 5.8(1).9(2). 後測試題 3(1).4(2).5.6(2).7(1).8(1).9(1-3).10(1). 後測試卷中有些題目沒有對應到上表，是因為在研究初期有設計一些課堂不教的補充教材來測驗學生的學習成就，但測驗出來不論高程度學校或中程度學校的高一高二學生答對率都很低。如第 10 題的第(2)小題將 pallmall 中的字母任意排列，相同字母不相鄰的排法有多少種。高程度學校高一和高二學生的答對率皆在兩成左右，中程度學校高一和高二學生皆沒有人答對。所以在研究中後測問卷的題目並不是每一題都有做報導和分析。. 36.

(46) 第四節研究對象本研究的研究對象為台北市和新北市的高一高二學生，按照學生就讀高中入學的基測最低錄取 Pr 值，將學生的來源分為高程度學校和中程度學校。因為研究者目前為台北市高中現職教師，以研究的方便性來說，取本校的學生為研究對象是最好的選擇，本校學生入學最低 Pr 值為 98。但本校都是男學生，為了降低性別對本研究造成的誤差，又選擇了高中入學基測錄取最低 Pr 值 97 的台北市女校學生加入研究對象，以上為高程度學校的資料。至於中程度組，選擇學生高中入學的基測最低錄取 Pr 值 80 左右，男女合校，位於新北市的綜合高中。選定兩所學校後由於學生高二時會依興趣選擇，編入不同的三個類組，其中第一類組為社會組，第二、三類組為自然組。一般來說，社會組的學生對學習數學的興趣比自然組的學生低，自然組的學生的數學程度平均也會比社會組的學生好，所以無論是舊課程還是新課程社會組的數學課程難度也比自然組數學課程難度低。研究中每個年級都取三個班級的學生，其中在高程度學校的部分，女校高二的社會組和自然組的班數大概比是 1：1，而男校的部分高二的社會組和自然組的班數大概比是 1：3，所以在高程度學校的高二班級樣本挑選上，是選擇兩個自然組班級和一個社會組班級。至於在中程度學校，由於當屆高二的社會組和自然組的班數比是 2：1，所以在中程度學校的高二班級樣本中也是選擇兩個社會組班級和一個自然組班級。挑選自然組或社會組班級的目的，是期望同一程度學校中高二的研究樣本可以近似於高一的研究樣本不要有太大的差異。另外因為本研究的著重點不是不同教師教學對學生的影響，所以在選擇班級時盡量去挑選同時任教高一、高二的教師，以期能降低不同教師教學對學生的影響。高程度學校高一和高二男女生比例大概都是二比一，共有三位教師 A、B、 C 任教，其中兩個年級女生班的部分都是由 C 教師任教。中程度學校則是由 D、 E 兩位老師所負責，D 老師負責高二自然組班和高一兩個班，E 老師負責兩個高 37.

(47) 二社會組班和高一的一個班。下面的表格是對研究對象的分類，按照實際接受前測和後測人數及扣除掉學生在雙面問卷中有一面問卷未作答的人數，才是本研究中的有效樣本，但不論高程度學校或中程度學校每個年級的樣本數都在一百人左右。表 3.4-1 研究對象的相關資料. 高程度學校高一. 高二. 前測. 後測. 教師. 前測. 後測. 教師. 類組. 43. 42. B. 41. 40. A. 二. 42. 41. B. 37. 37. A. 一. 41. 38. C. 43. 41. C. 三. 中程度學校高一. 高二. 前測. 後測. 教師. 前測. 後測. 教師. 類組. 30. 31. E. 43. 43. D. 三. 32. 34. D. 30. 27. E. 一. 36. 36. D. 31. 32. E. 一. 38.

(48) 表 3.4-2 前測問卷與後測問卷人數統計表. 高程度學校高一. 高二. 前測人數. 後測人數. 前測人數. 後測人數. 126. 121. 121. 118. 中程度學校高一. 高二. 前測人數. 後測人數. 前測人數. 後測人數. 98. 101. 104. 102. 39.

(49) 第五節研究限制 1. 本研究因取樣方便，取樣的學生以台北地區為主，故所得的結果推及全國高一、高二學生時可能有誤差。 2. 本研究高程度學校和中程度學校定義在入學 Pr 值。非學生目前本身的數學程度或學習狀況，所以所得結果建議只要推及到相同或類似的情況。 3. 本研究以學生答題情形推估學生數學能力或學習成就，所以如果學生沒有將思考歷程或解法寫出來，無法讓研究者觀察數學能力或學習成就，就會視為學生不具備數學能力或學習成就。在研究中可能會忽略有些運算能力很強或忘了寫過程或算式的學生的表現。 4. 本研究未探究補習班教學和不同老師教學或學生性別等其他變向對學生答對率或數學能力的影響。. 40.

(50) 第肆章研究結果. 第一節高一高二學生學習前先備知識與原生思想與數學能力分析本章一共分成三小節，每一節對應依序回答研究問題中的 1.2.3 小題。本節欲回答高一、高二學生學習排列組合單元前先備知識及原生思想與數學能力的情況為何？研究中採用了前測試卷做為研究工具，並對試卷進行分析。本節進行前測試卷分析時，分成兩部分。第一部分的三題是對學生學習排列組合單元前的先備知識與數學能力做報導分析，第二部分的三題是對學生學習排列組合單元前的原生思想與數學能力做報導分析。首先，我們先進行第一部份的三題做報導，為研究工具中前測問卷的 1.2.3 小題，報導時因為先就學生普遍答對率高且差異不大的題目報導，所以和問卷上的試題順序有些許出入。因為施測時間點的關係，第一部份的三題是高一學生目前正在學習的數學內容，。. 1.. A 地到 B 地有陸路 3 條、水路 1 條，從 B 地到 C 地有陸、水路各 2 條，則從 A 地經 B 地至 C 地共有多少種走法？表 4.1-1 學生在前測試題 1 的答對率. 高程度學校 1.. 中程度學校. 高一. 高二. 高一. 高二. 90.5%. 88.4%. 89.8%. 80.8%. 答對率分析：本題學生答對率都很高，可見對於簡單的加法原理與乘法原理等先備知識， 41.