研究目的

發展出概念詮釋結構模式(concept advanced interpretive structural modeling, CAISM)及電腦化分析軟體，能具體將個別學生的概念階層結構圖呈現出 來。Lin, Hung, Huang and Li (2009)更進一步提出多元計分測驗資料之運算 方法，並發展出網路版認知診斷之測驗分析即時服務系統，提供教學者依 據 S-P 表評估測驗品質和診斷學生的學習類別，更能藉由作答反應組型和 概念屬性矩陣，得到學生的個別化概念階層結構圖，以作為補救教學的參 考。已有研究者透過 S-P 表探究學生的學習類型，結果均能讓教學者了解 學生的學習類型及試題的好壞(施杏芬、林原宏，2007；葉律吟，2009；陳 慶恩，2010)；也有不少研究者透過 CAISM 的分析方法了解學生個別概念 階層結構及結構圖中關聯指向情形，結果均能有效圖繪及分析學生的知識 結構，有益教學上的診斷和補救(王佩芬、易正明、林原宏，2008；莊惠雯，

2009；李彩瑞、林原宏、易正明，2010；謝兆程，2011)，故以此二方法來 探究學生加減文字題的個人概念表現有實質上的效益。

綜合上述，本研究依據甯平獻(2009 )之分類法，將加減法文字題細分 為「合」、「分」、「比先後」、「比多少」、「位移」五大類型，以國小 一年級學生為對象，參考各版本教科書之教材，自編加減文字題作為測驗 工具以進行評量，藉由評量結果應用認知診斷之測驗分析即時服務系統，

圖繪出個人化的概念階層結構圖，並應用多元計分 S-P 表分析理論將學生 依學習類型分類，探究各類別學生加減文字題的概念階層結構之特徵，希 望能夠增進概念詮釋結構模式理論可應用的範疇，並提供教學者實務上之 參考。

第二節 研究目的

基於上述原因，本研究有下列主要研究目的：

一、 了解國小一年級受試者在各類型加減文字題的解題表現。

二、 受試者在不同的作答方式下加減文字題的解題表現。

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三、 在不同的作答方式下各學習類型之受試者加減文字題的解題表現。

四、 分析受試者在不同作答方式之概念階層結構特徵。

第三節 名詞釋義

一、國小一年級學生

本研究之國小一年級學生，是指於九十九年學年度就讀國小一年級的 學生。

二、不同作答方式

甯平獻(1993a)指出把文字問題以數的運算形式加以表達的活動就是 就是列算式，九年一貫課程之能力指標 A-1-02 中說明，學生應有將具體情 境中的單步驟問題列成算式填充題，並解釋算式與原問題情境關係的能力 (教育部，2003)，因此學生在面對加減文字題要能順利轉譯題目，並用數 學符號表徵出算式是一個重要的目標，但在無法轉譯成功時，學生要能善 用 其 他 表 徵 方 式 協 助 作 答 ， 如 實 際 情 境 (real-world situations) 、 圖 畫 (pictures)、教具操作(manipulative aids)、口語符號(spoken symbols)、書寫 符號(written symbols)等方式(Lesh, 1979)。故本研究的不同作答方式，係指 一份測驗將限定學生必須列算式作答，另一份測驗將不限定學生的作答方 式，以此探討學生在解題表現上的差異。

三、加減文字題

本研究的加減文字題，係指以文字描述的具體情境問題，也是可用整 數之加法或減法的單步驟算式填充題解決的問題。甯平獻(1993a) 指出「算 式」是量的操作活動之記錄，「算式填充題」是算式的某一構成成分，是 一種要求解題者將未知求出的問題，可用來做文字題的列式之用，其中包 含兩個整數量以及兩個整數量之間關係的描述(古明峰，1999)，如：a＋( )=

b、a－( )= b 或 a＋b=( )、a－b=( )。

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四、多元計分 S-P 表分析理論

林原宏(2009)針對多元計分(polytomous)試題，將佐藤隆博(Takahiro Sato)在 1975 年提出的 S-P 表(學生問題表)分析理論推廣為多元計分 S-P 表 分析理論(polytomous student-problem chart analysis theory, PS-P chart)，突破 了二元計分的限制，使得當試題不只有對或錯二種答案，亦可應用多元計 分 S-P 表進行分析，簡稱 PS-P 表。其利用受試者對每個試題的「作答反 應組型」(item response pattern)進行分析，目的在分析學生注意係數、試題 注意係數、整份測驗的差異係數和同質性係數，用來協助教學者診斷學生 表現、測驗品質的工具，教學者可依據此作為改進教學、命題或輔導學生 的參考(林原宏，2009)。

五、多元計分概念詮釋結構模式

Lin, Hung and Huang(2006)提出之概念詮釋結構模式(concept advanced interpretive structural modeling, CAISM)，主要根據教學者所提供該測驗的 受試者作答反應資料和試題屬性資料進行分析，計算出每位受試者於各概 念的精熟度，並以數值及圖形呈現個人化概念階層結構 (individualized concept hierarchy structure)，因此可得到每位受試者個人化的概念階層結構 圖。針對多元或混合的計分方式，Lin, Hung, Huang and Li(2009)將 CAISM 推廣至適用於多元計分的模式，使其應用範圍更廣泛，即為多元計分概念 詮釋結構模式(Polytomous concept advanced interpretive structural modeling, PCAISM)。

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第二章 文獻探討

本研究旨在應用集群分析及概念詮釋結構模式分析方法，探討個別受 試者在加減文字題中所呈現的概念結構，及分析不同作答方式和不同學習 類型之概念結構圖特徵，因此第一節先介紹文字題的相關知識；第二節陳 述加減文字題的類型及其相關研究；第三節探討 PS-P 表分析理論；第四 節則說明多元計分概念詮釋結構模式理論。

第一節 文字題的相關知識

一、數學文字題的性質

數學是幫助學生與周遭環境產生意義的一種工具(林碧珍，2003)，也 是研究從具體世界的特殊事物中抽象化出一種形式和秩序的學問(林清 山，1977)，更是科學之母，它以語文型態存在數學課程中，也以無形的型 態存在日常生活中。Thomas(1980)將數學問題依種類分為五項(古明峰，

1998)，以我國國小數學課程常遇到的問題為例說明如下：

1、認知問題：認知或回憶定義、定理或特殊事實的問題。如：3 公尺 是幾公分？

2、運算法則問題：可以按步驟用運算規則解出來的問題。如：X+3=5，

X 是多少？

3、應用問題：必須將問題轉化為數學符號算式，再解算式的問題。

4、探索式問題：不含解題策略提示的問題。如：畫出圖形的對稱軸。

5、情境問題：提出問題情境，然後要求學生思考，或自行提出問題再 回答。如：帶 50 元到便利商店購物，你想買什麼物品？該如何進 行買賣？

數學文字題(mathematic word problem)就是早期被稱為應用題的數學 問題(李貞慧、葉啟村，2003)，其本意就是要應用數學的計算能力來解決

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生活中的問題。文字題是一種特殊的文體，學生在解題時常需要具備計算 和理解兩種能力(古明峰，1999)。文字題有如「阿偉有 2 顆糖果，老師又 給阿偉 3 顆，阿偉共有幾顆糖果？」和「阿偉有 2 顆糖果，老師比阿偉多 3 顆，老師有幾顆糖果？」兩個問題，其列式均為「2+3=？」，所得答案同 樣為「5 顆糖」，但卻代表著不同的意義：一是指「阿偉有 5 顆糖」、另一 則是指「老師有 5 顆糖」；計算題單以「2+3=？」的形式存在，答案「5」

並沒有具體的意義，這是計算題與文字題最大的不同處。九年一貫數學課 程綱要中明確訂出國民中小學之課程理念應以生活為中心，強調學習數學 的目的並非在於擁有計算能力(教育部，2008)，而是學習轉換文字描述的 生活問題為數學符號表徵再加以列式計算，以具備解決生活問題的能力，

因此數學文字題正是學習數學符號表徵的連結工具，更是反映生活情境的 具體教材。

二、加減文字題的重要性

九年一貫能力指標中 N-1-02「能理解加法、減法的意義，解決生活中 的問題」和分年細目 1-n-05「能熟練基本加減法」(教育部，2003)，可知 學生在九年一貫第一階段課程便要能理解加減法列式的意義，第一階段的 第一年更是以熟練加減法為目標，顯示加減法是最容易被學生接受的計 算，加減法的應用情境也是學生在生活中最常面臨的問題，更是學生學習 數學文字題的根本。可用一個加法或減法之算式表示的數學文字題很單 純，容易讓教學者協助學生學習數學符號表徵的轉換，更容易讓學生釐清 題目和題目間之差異(Carpenter, 1981)。數學文字題所佔的比重隨著學生年 級增長而增加(黃秀玉，2008)，如果在加減文字題階段無法幫助學生熟練 其應用，學生面對數學的挫敗感會隨著年齡增長而加深，更會逐漸降低學 習數學的興趣(張再明，1994)，再加上熟練加、減法有助於乘、除法的學 習，因此學習加減文字題的階段可說是數學文字題的解題基礎。

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三、文字題的解題

學生在學前就具備簡單的解題策略，如非正式的直接模擬策略(direct modeling strategy)( 以 實物或手指進行加法或減法 )和計數策略 (counting strategy)(向上數或向下數)，到了小學一年級階段才進一步將解決問題的過 程轉換成正式的數學算則(黃湘婷，2007)。九年一貫課程綱要中指出教學 者應協助學生發展數學溝通能力，溝通能力包含理解和表達(教育部，

2008)，亦即在國民教育階段應培養的數學溝通能力，一方面要能了解別人 以書寫、圖形、或口語中所傳遞的數學資訊，另一方面也要能以書寫、圖 形、或口語等形式，運用精確的數學語言表達自己的意思，所以數學解題 除了要有計算能力外，還包含解題者的語文理解及數學問題理解、表達的 歷程(Kintsch & Greeno, 1985)，是一種很複雜的思維、歸納和演繹之理解 過程(何縕琪、林清山，1994)，因此了解學生的解題歷程，有助於診斷學 生之解題困難。以下就相關之解題歷程理論分述如下：

1、Polya啟發法(Heuristic Methods) 的解題歷程模式

Polya(1945)在著作「怎樣解題」(How to Solve It)中，歸納出了解問題、

擬定計畫、執行計畫和回顧驗證四個解題步驟，強調利用啟發的方法讓學 生透過自我尋找達到解題的目標(蔡坤憲譯，2000)，各步驟的內容說明如 表2-1-1所示。表2-1-1中參考曹宗萍(1988)舉例說明之適合國小學生解題的 提示用語，作為教學者引導學生思考並解決問題之參考。

Polya提出的解題過程並不是按步驟循序漸進，每一步驟實行的份量會 因題目的因素而有所不同，有時需要來回反覆實行(黃招華，2010)，才能 達到解決問題的目的。因此進行這四個步驟時，其關係的是雙向的(謝淡 宜，1998)，利用圖2-1-1更能說明Polya數學解題的啟發式歷程。圖2-1-1中

Polya提出的解題過程並不是按步驟循序漸進，每一步驟實行的份量會 因題目的因素而有所不同，有時需要來回反覆實行(黃招華，2010)，才能 達到解決問題的目的。因此進行這四個步驟時，其關係的是雙向的(謝淡 宜，1998)，利用圖2-1-1更能說明Polya數學解題的啟發式歷程。圖2-1-1中