第三章 以有限元素法模擬受拉伸之奈米碳管複合材料
3.1 奈米碳管複合材料之有限元素模型
在此有限元素模型建立過程中，利用實體元素建立八分之一的碳管與 基材模型，為了模擬碳管與基材間的滑動現象，在碳管邊緣已滑動區域鋪 上接觸元素，使此區域之碳管與基材發生滑動現象，再透過均佈應力對模 型進行拉伸測試。
3.1.1 建立碳管與基材之實體模型
為了透過有限元素軟體模擬奈米碳管複合材料，在此將圓柱狀之奈米 碳管埋入圓柱狀基材中，碳管在基材中為軸向排列。在碳管上下緣斷面與 基材並無鏈結，換句話說，碳管上之應力完全由基材與碳管表面之作用力 所傳遞。因模型之對稱性，故只需取八分之一之大小進行分析，以降低程 式計算量，如圖3.1-3.2 所示。圖 3.1 及 3.2 分別為八分之一模型及模型之下 視圖，其中紫紅色區域為碳管，藍色區域為基材，碳管的上緣部份與基材 並無連結，
L
t及L
分別為為碳管及基材區域的高度，r
t及r
o分別為奈米碳管 及基材區域的半徑，並以八節點立體元素 SOLID45 建立其有限元素網格，35
該元素上每個節點僅有 x、y、z 三個方向的位移自由度，並使網格長寬比
約等於1。本研究在建立有限元素網格時，已進行收斂性測試，其相關結果
將在4.1 節進行討論。
3.1.2 邊界條件設定
在進行拉伸試驗模擬時，為了避免在求解過程中發生剛體運動，須設 定適當的邊界條件後求解。在此建立之模型為八分之一模型，邊界條件設 定如圖 3.3 所示，圖 3.3(a)表示在 x=0 之平面，其 x 方向自由度被固定住，
另外在y=0 之平面，其 y 方向自由度被固定住，圖 3.3(b)表示在 z=0 平面，
其 z 方向自由度被固定，並且施加大小為
之均佈拉伸應力在模型最上緣
2
z L
平面。3.1.3 以接觸元素模擬碳管與基材間之滑動
在鋪設接觸元素之前，必須先判定碳管與基材間在外力做用下的滑動 情形，若拉伸強度較小，基材與碳管之間的界面尚未發生破壞，則碳管與 基材間均保持鏈結，如圖3.4 所示。一旦外應力加大，使基材與碳管之間的 剪切應力超過鏈結強度
c，界面將有部份發生滑動，則將碳管分成鏈結已 破壞區域以及尚未破壞區域兩個部份，如圖3.5 所示。為了決定在固定外力下，受破壞區域之高度
L
slip/ 2
，其模型建立流程 如圖3.6 所示。在流程中，首先假設碳管與基材間的鏈結尚未破壞，並建立 如圖3.4 之模型，施加邊界條件及拉伸外力並求解高斯積分點位置之應力值，36
並使用 ERESX 指令，使節點上讀取的結果即為積分點上的結果，如圖 3.7 所示。接著，讀取碳管上緣最外層處高斯積分點上之剪切應力，如圖3.8 中 a 點位置所示，但發現在碳管上緣最外層之高斯積分點，會產生應力集中之 現象而無法收斂，故讀取相鄰節點上之剪切應力，如圖3.8 中之 b 點，以避
免應力集中現象影響結果，並與鏈結強度
c 進行比較，若未超過
c ，代表 基材與碳管之間仍保持鏈結，則模型建立完畢，若已超過
c，代表界面有 部份已經發生破壞。若基材與碳管間鏈結已遭受破壞，先根據解析模型中，方程式(2.3.38)
反算後之結果，假設鏈結破壞長度
L
slip/ 2
，並建立如圖 3.5 之模型。與判 斷滑動相似地，在施加邊界條件及固定外力並求解，且使節點上讀取的結 果即為積分點上的結果後，讀取未滑開碳管上緣最外層處節點上之剪切應 力，如圖3.9 所示。相似地，圖 3.9 中 c 點會產生應力集中之現象，故讀取 相鄰之 d 點之剪切應力，並檢查其是否等於鏈結強度
c，來判斷假設之鏈 結破壞長度L
slip/ 2
是否正確，若超過鏈結強度則增加鏈結破壞長度，若低 於鏈結強度則減少鏈結破壞長度。重覆上述動作，直到讀取的值與鏈結強 度
c一致，則此時受破壞區域之高度定義為L
slip/ 2
，未滑開區域的高度為2
L
stick/
。在建立實體模型時，因為在鏈結尚未破壞區域，基材以及碳管體積互相連接，相對的，在鏈結已破壞區域，使基材及碳管體積互相分離。
接下來針對體積互相分離的區域，利用一組平面與平面接觸所使用之
37
四節點接觸元素CONTA173 以及目標元素 TARGE170 分別在碳管最外緣以 及基材最內緣建立一層有限元素網格，其網格鋪設在立體元素SOLID45 上，
並與立體元素共用節點如圖 3.10 所示。在接觸元素的設定中，接觸剛度介 於 0.01-1 之間，因在此施加之外力為正向力，故設定為 1 使其與真實情況 接近。摩擦係數由為兩接觸物間之粗糙程度決定，在此與解析模型一致皆 假設為 0.1。因在外力作用下，應變量估計會到達 1%，因此開啟幾何大變 形分析。在求解之步階設定上，當步階越細其結果越精確，但計算量將大 幅增加，在此設定為20 步來求解。