發展微觀黏著-滑動模型以探討奈米碳管複合材料之阻尼性質

國 立 交 通 大 學

機械工程學系

碩 士 論 文

發展微觀黏著-滑動模型

以探討奈米碳管複合材料之阻尼性質

Development of Micromechanical Stick-lip Model to Characterize

the Damping Behaviors of Carbon Nanotube Composites

研 究 生 ：劉少淇

指導教授 ：蔡佳霖 博士

發展微觀黏著-滑動模型以探討奈米碳管複合材料之阻尼性質 Development of Micromechanical Stick-slip Model to Characterize the

Damping Behaviors of Carbon Nanotube Composites

研 究 生：劉少淇 Student：Shou-Chi Liu 指導教授：蔡佳霖 Advisor：Jia-Lin Tsai 國 立 交 通 大 學 機 械 工 程 學 系 碩 士 論 文 A Thesis

Submitted to Department of Mechanical Engineering College of Engineering

National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master

in

Mechanical Engineering

August 2012

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

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發展微觀黏著-滑動模型

以探討奈米碳管複合材料之阻尼性質

學生：劉少淇 指導教授：蔡佳霖

國立交通大學機械工程系碩士班

摘

要

本研究主要目的為發展微觀黏著-滑動模型以探討奈米碳管複合材料 (Carbon nanotube composite)之振動阻尼性質。在解析模型中，藉由考慮奈米 碳管與周圍基材產生滑動摩擦之現象來描述複合材料能量消散機制。此外， 在本研究中亦探討奈米碳管長徑比、界面間之鏈結強度以及摩擦力對複合 材料阻尼行為的影響。根據過去的研究指出，複合材料會因施加之循環負 載量改變使阻尼行為也隨之改變，故探討施加之循環負載量對複合材料阻 尼性質之影響亦為本研究之重點。 除了發展微觀力學模型之外，本研究也利用有限元素分析來驗證解析 模型預測之正確性。為了模擬奈米碳管複合材料接觸摩擦行為，建立有限 元素模型並在碳管與周圍基材間鋪設接觸元素。此外，透過比較界面間的 剪切應力與界面強度的步驟，來估計複合材料中因施加載重產生之碳管滑 移長度。其後，解析模型結果將會與有限元素模型進行驗證與比較。此外， 解析模型結果亦與文獻中之實驗數據進行比較與討論。

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Development of Micromechanical Stick-slip Model to

Characterize the Damping Behaviors of Carbon Nanotube

Composites

Student：Shou-Chi Liu Advisor：Jia-Lin Tsai Department of Mechanical Engineering

National Chiao Tung University

Abstract

This research aims to develop a micromechanical stick-slip model to investigate the damping property of carbon nanotube composites. By considering the slip-friction behavior between the CNTs and surround matrix, the energy dissipation mechanism in the composites was characterized in the analytical model. In addition, the effect of aspect ratio of CNTs, interfacial bonding strength, and interfacial friction on the damping behavior of composites were also accounted for in the study. It is noted that the amount of applied cyclic loading on the composites is also an essential factor on the damping behavior, which was also included in the investigation.

In addition to the development of micromechanical model, the corresponding finite element analysis was employed to validate the accuracy of the model predictions. A cylindrical FEM model with embedded contract element on the interface between the CNTs and surrounding matrix was created to simulate the contact friction behavior of the CNTs composites. Furthermore, the slip length of the CNTs in the composites in terms of the applied loading was evaluated by comparing the interfacial stress to the interfacial strength through

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the iteration process. The analytical results and finite element results were then compared with each other. Moreover, the experimental data was also included in the model prediction.

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誌謝

在交大兩年的碩士的生活，承蒙指導教授 蔡佳霖博士於學生碩士班 求學期間不遺餘力的用心指導，使我無論在學術面的精進或是對於研究精 神的建立，都有相當大的幫助。此外，感謝世華學長、政文學長、菁穗學 姐在我初入實驗室時的帶領，並感謝所有實驗室伙伴能夠在少淇需要幫助 時候，給予支持以及幫助，最後特別感謝嵩群、彥錕一路上的互相扶持及 陪伴。 在此，要特別感謝我的家人，對我百般包容以及支持，使少淇在碩士 班求學期間能夠無後顧之憂專心在學業上，謝謝外婆總是在我回家的時候， 給我最多的疼愛以及鼓勵，少淇永遠謹記在心。最後，感謝佩綺在我最艱 難的時候，給我鼓勵以及陪伴。 如今學生生涯告一段落，感謝一路使我成長茁壯的人，謝謝你們。 劉少淇 謹識于 新竹 中華民國 101 年 8 月

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目錄

中文摘要 ... i  英文摘要 ... ii  誌謝 ... iv  目錄 ... v  表目錄 ... vii  圖目錄 ... viii  第一章 序論 ... 1  1.1 研究動機 ... 1  1.2 研究背景與文獻回顧 ... 1  1.3 研究目標與方法 ... 10  第二章 微觀力學模型 ... 12  2.1 模型介紹 ... 12  2.2 模型建立方法 ... 13  2.3 碳管上應力、剪應力與基材上之應力 ... 14  2.4 損失因子(Loss factor)計算方法 ... 25  第三章 以有限元素法模擬受拉伸之奈米碳管複合材料 ... 34  3.1 奈米碳管複合材料之有限元素模型 ... 34 

vi 3.2 損失因子計算方法 ... 37  第四章 結果與討論 ... 42  4.1 有限元素模型驗證 ... 42  4.2 解析模型與有限元素模型比較 ... 45  4.3 解析模型參數影響 ... 47  4.4 解析模型與文獻結果之比較 ... 50  第五章 結論與未來展望 ... 58  5.1 結論 ... 58  5.2 未來展望 ... 59  參考文獻 ... 61  附錄 ... 65  附錄1 第一階段碳管應力推導 ... 65  附錄2 已滑開區域徑向正向力推導 ... 68  附錄3 第二階段 C 區碳管應力推導 ... 70  附錄4 已滑開區域長度計算程式碼 ... 72  附錄5 複合材料損失因子計算程式碼 ... 76  附表 ... 88  附圖 ... 96 

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表目錄

表4. 1 材料參數列表 1 ... 88 

表4. 2 界面剪切強度列表 ... 89 

表4. 3 基材與碳管交界面之剪切應力((a)Model 1 (b)Model 2 (c)Model 3) .. 90 

表4. 4 已滑開碳管壁上之平均剪切應力收斂性測試結果 ... 91  表4. 5 損失因子收斂性測試結果 ... 91  表4. 6 平均徑向之正向應力與施加外應力關係((a)Lt=50nm (b) Lt=100nm) 92  表4. 7 參數列表 2[1] ... 93  表4. 8 材料參數列表 3[5] ... 93  表4. 9 材料參數列表 4[4] ... 94  表4. 10 材料參數列表 5[18] ... 94  表4. 11 材料參數列表 6[26] ... 95 

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圖目錄

圖2. 1 Liu[18]模型碳管束與套筒示意圖 ... 96  圖2. 2 Liu[18]模型受均佈拉應力作用 ... 96  圖2. 3 模型受均佈拉應力作用 ... 97  圖2. 4 第一階段整體複合材料示意圖 ... 97  圖2. 5 整體複合材料自由體圖 ... 98  圖2. 6 奈米碳管力平衡示意圖 ... 98  圖2. 7 第二階段整體複合材料示意圖 ... 99  圖2. 8 第二階段Ｂ區域碳管自由體圖 ... 99  圖2. 9 複合材料之自由體圖 ... 100  圖2. 10 波松效應與界面間之正向力示意圖 ... 100 圖3. 1 八分之一複材模型 ... 101  圖3. 2 複材模型截面之網格 ... 101  圖3. 3 邊界條件示意圖((a)模型下視圖 (b)模型側視圖) ... 102  圖3. 4 基材與碳管界面尚未破壞之半模型 ... 103  圖3. 5 基材與碳管界面發生部份破壞之半模型 ... 103  圖3. 6 有限元素模型建立流程圖 ... 104  圖3. 7 將高斯積分點結果複製至節點上 ... 104 

ix 圖3. 8 碳管與基材交界面最上緣元素示意圖 ... 105  圖3. 9 未滑開碳管與基材交界面最上緣元素示意圖 ... 105  圖3. 10 元素鋪設示意圖 ... 106  圖3. 11 碳管與基材邊界滑動 ... 106  圖3. 12 已滑開碳管最外層元素示意圖 ... 107

圖4. 1 碳管上緣之網格((a) model 1 (b) model 2 (c) model 3) ... 108 

圖 4. 2 已破壞區域與鏈結區域交界處之網格((a) model 1 (b) model 2 (c) model 3) ... 109  圖4. 3 已滑開碳管壁上之平均剪力-基材與碳管相對位移量之關係圖 .... 110  圖4. 4 外應力與已滑開碳管長度關係圖((a)Lt=50nm (b) Lt=100nm) ... 111  圖4. 5 外應力與相對滑動長度關係圖((a)Lt=50nm (b) Lt=100nm) ... 112  圖 4. 6 外 應 力 與 滑 開 區 域 碳 管 壁 上 之 總 剪 力 關 係 圖 ((a)Lt=50nm (b) Lt=100nm) ... 113  圖4. 7 當外應力為 35MPa 時，碳管壁上剪切應力在已滑開碳管區域分佈圖 ((a)Lt=50nm (b) Lt=100nm) ... 114  圖4. 8 已滑開碳管區域剪切應力分佈圖((a)Lt=50nm (b) Lt=100nm) ... 116  圖4. 9 外應力與滑動所消粍之能量關係圖((a)Lt=50nm (b) Lt=100nm) ... 117  圖4. 10 外應力與整體複材之總應變能關係圖((a)Lt=50nm (b) Lt=100nm) 118  圖4. 11 比較因滑動所產生之損失因子以及基材材料之損失因子 ... 119  圖4. 12 外應力與整體複材之阻尼損失因子關係圖((a)Lt=50nm (b) Lt=100nm) ... 120 

x 圖4. 13 碳管長度與損失因子關係圖 ... 121  圖4. 14 複材幾何隨體積比改變示意圖((a)複材隨體積比改變基材突出厚度 (b)複材隨體積比改變基材半徑) ... 122  圖4. 15 碳管體積比與損失因子關係圖 ... 123  圖4. 16 已滑開界面摩擦係數與損失因子關係圖 ... 123  圖4. 17 基材與碳管界面鏈結強度與損失因子關係圖 ... 124  圖 4. 18 計算複材等效楊式模數((a)將 B 區域等效為一均質材料(b)將 A、B 區域等效為一均質材料) ... 125  圖4. 19 解析模型與文獻實驗[1]比較結果 ... 126  圖4. 20 解析模型與文獻實驗[5]比較結果 ... 126  圖4. 21 解析模型與文獻實驗及模擬[4]比較結果 ... 127  圖4. 22 解析模型與文獻解析模型[18]比較結果 ... 127  圖4. 23 解析模型與文獻解析模型[26]比較結果 ... 128  圖4. 24 解析模型相對位移量與碳管長徑比關係圖 ... 128 圖A. 1 厚壁筒受內外壓示意圖 ... 129

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第一章 序論

1.1 研究動機

複合材料(Composites)具有高度剛性、高強度、質量輕、耐高溫、抗腐 蝕等特性，近年來備受重視，並且在許多方面更替了傳統的金屬或是陶瓷 材料，已被廣泛地運用於不同工程領域上如航太工業、汽車工業、電子封 裝及運動用品等。而許多補強材料(Reinforcement)與高分子基材(Polymer matrix)的組合已陸續被研發以及應用，近十年來，由於奈米科技的蓬勃發 展，各種材料皆以奈米尺寸為目標，藉由分散技術將奈米尺寸的補強材料 散佈於基材中，此類材料被稱之為奈米複合材料(Nanocomposites)。高分子 複合材料中具有高阻尼(High damping)性能的基材以及異質的補強材料來 消耗振動中的能量，而常見的奈米補強材料有球狀的(Spherical)奈米粉體、 板狀(Platelet)的石墨以及管狀(Tube)的碳管等，藉由奈米補強材料的添加， 可使基材在物理性質以及化學性質上有明顯的增益，此類材料已成為學術 界、工業界熱門的研究發展方向。

1.2 研究背景與文獻回顧

在過去研究奈米碳管複合材料阻尼性質(Damping behavior)之文獻中 [1-7]，藉由拉伸試驗(Tensile test) 、拉伸壓縮試驗(Tension and compression test)、自由振動試驗(Free vibration test) 以及外力振動試驗(Force vibration

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test)，量測複合材料之儲存模數E’(Storage modulus)、損失模數E’’(Loss modulus)以及損失因子(Loss factor)，並探討在頻率及應變量等因素改變之 下，奈米碳管複合材料之阻尼性質變化。此外，動態黏彈機械分析(Dynamic mechanical analysis, DMA)也常被應用至量測阻尼性質[8-17]，並探討在溫度、 頻率及應變量等不同機制改變下，複合材料的阻尼性質之變化。在文獻回 顧中，著重在加入奈米纖維或管狀補強材料後對阻尼性質的影響，首先回 顧對複合材料改變應變量之實驗文獻，接著說明對複合材料改變溫度之實 驗文獻，最後介紹關於奈米碳管複材之模擬文獻。 Suhr等人[1]在聚碳酸脂(Polycarbonate)基材中加入1.5wt%單壁奈米碳 管，在拉伸範圍為1.2%之下進行動態黏彈機械分析，發現隨著試片拉伸之 應變量增加，純樹脂之損失模數並不改變，但奈米碳管複合材料之損失模 數上升，最大值時約為原本之3倍。 Dai和Liao[2]在樹脂基材中加入奈米碳管，在不同剪應變量下進行動態 黏彈機械分析，發現奈米碳管複合材料隨著剪應變量增加，純樹脂損失因 子改變量並不大，但奈米碳管複材隨之上升，在複材達到最大值之剪應變 量下，提高為純樹脂之20倍，其後當應變量繼續上升，損失因子反而下降 產生明顯之峰值。 Ogasawara等人[3]在聚醚醚酮(Poly-ether-ether-ketone, PEEK)中加入多 壁奈米碳管，在室溫下進行懸壁樑振動試驗(Cantilever beam vibration test)，

3 發現隨著多壁奈米碳管的含量增加至15%，損失模數在最大值時比起純樹脂 增加約1.2倍。此外，控制應變量範圍在0.5%內，隨著振幅增加，當試片上 下緣之應變量提升，複材損失模數之最大值為初始值之3.5倍。 Zhou等人[4]在環氧樹脂中加入了單壁奈米碳管，在室溫下進行懸壁樑 振動試驗，發現隨著振動的振幅增加，阻尼比(Damping ratio)也隨之增加， 其最大值提升至6.5倍，其後振幅繼續增加，但阻尼比反而下降產生明顯之 峰值。並且也發現阻尼性質會隨著單壁奈米碳管的含量提升，在碳管含量 為1wt%的複合材料中，其阻尼比最大值較碳管含量為0.5wt%之複合材料高 出2倍。 Koratkar等人[5]在雙酚A-聚碳酸酯(Bisphenol-A-polycarbonate)中加入 了未改質以及氧化(Oxidized)改質之單壁奈米碳管，在室溫下進行動態黏彈 機械分析，發現加入2wt%之改質碳管時，整體複材的損失模數最高，其最 大值分別高出加入1wt%之改質碳管、1wt%之未改質碳管以及純樹脂2.3倍、 4倍以及11.5倍。此外，控制應變量範圍在1.2%內，加入2wt%之改質碳管複 合材料，隨著拉伸應變量的增加，損失模數隨之上升，其最大值比起未拉 伸之複合材料增加至11倍。 Khan等人[6]在環氧樹脂中加入0.5%以及1%之多壁奈米碳管，在室溫下 振幅在10mm至40mm之間進行懸壁樑振動試驗，隨著振幅上升，阻尼比也 隨之上升，其最大值提升至初始之1.2倍，此外，當最大振幅固定在40mm

4 時，加入1%奈米碳管之複合材料其阻尼比，約為加入0.5%碳管之複合材料 以及純樹脂的1.3倍以及1.5倍。 由以上文獻發現，奈米碳管複合材料會因受力變形後，應變量增加而 產生更好之阻尼性質。Rajoria和Jalili[7]使用黏著滑動 (Stick-slip) 理論來對 碳管複合材料其阻尼性質隨拉伸應變大幅增加的現象加以解釋，其中增加 的阻尼性質來自於奈米碳管與基材的交界面因應變量增加所產生的滑動現 象以及界面之間的剪切應力消粍了更多的能量所造成。此外，當奈米碳管 與基材間的鏈結若越弱時，受到相同外力作用時會產生更大的相對滑動距 離，進而消粍更多的能量，所以能得到更好的阻尼性質。當碳管與基材間 的鏈結較強時，滑動需要更大的剪切應力，所以改質後的碳管複合材料若 有足夠的外力作用之下，可以得到更好的阻尼性質。

Ramanathan 等 人 [8] 在 聚 甲 基 丙 烯 酸 甲 酯 (Poly-methyl methacrylate, PMMA) 中 加 入 1wt% 已 改 質 以 及 未 改 質 的 單 壁 奈 米 碳 管 (Single-walled carbon nanotube, SWNT)，在室溫至170℃的範圍內進行動態黏彈機械分析， 發現隨著溫度增加，純樹脂試片、已改質以及未改質之單壁奈米碳管複合 材料之損失因子快速上升，至玻璃轉換溫度(Glass transformation temperature) 時達到最高點，均約為純樹脂室溫時的10倍。

Mitchell等人[9]在聚甲基丙烯酸甲酯中加入0.014wt%的單壁奈米碳管， 在-150℃~100℃的溫度範圍內進行動態黏彈機械分析，隨著溫度的增加，損

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失因子上升至3倍，且加入碳管後之損失因子比起純樹脂高出1.2倍。 Fisher等人[10]在聚碳酸脂中加入含量為1wt%以及2wt%之多壁奈米碳 管(Multi-walled carbon nanotube, MWCNT)，在室溫至180℃的溫度範圍內進 行動態黏彈機械分析，發現隨著溫度增加，損失模數上升約15倍，另外也 發現，在溫度約為70℃時，含量為1wt%之複合材料其損失模數約為純樹脂 的2倍。

Jang 等 人 [11] 在 環 氧 樹 脂 (Epoxy) 中 ， 添 加 奈 米 級 碳 纖 維 (Carbon nanofiber, CNF)與微米級二氣化矽(Silicon dioxide, SiO2)球型顆粒，奈米級碳 纖維半徑及長度尺寸分別界於200-500nm及10-40μm之間，球型顆粒半徑約 等於12μm。在-50℃~130℃之間進行動態黏彈機械分析，發現隨著補強材料 含量增加能提升複合材料的阻尼性質，在室溫下添加物含量為3wt%(Weight fraction)的二氧化矽與3wt%的碳纖維時，與純環氧樹脂相較下提高阻尼損失 因子高達15.6%，並且得到加入管狀的補強材普遍可以得到比加入球狀顆粒         ong等人[12]在聚合物(Polymer)基材中加入 Gong等人[12]在聚合物(Polymer)基材中加入1wt%之奈米碳管，並在-60 ℃~100℃間進行動態黏彈機械分析，發現奈米碳管複合材料之玻璃轉換溫 度從63℃大幅提升至88℃，並且損失因子比起純樹脂高出1.6倍。 Thostenson和Chou[13]在聚苯乙烯(Polystyrene)中加入5wt%多壁奈米碳 管，並利用擠壓的技術將奈米碳管在基材中排列成軸向(Aligned)，與隨機分

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散的奈米碳管複合材料在0~120℃間，進行拉伸動態黏彈機械分析。發現隨 著溫度上升，損失模數上升至6倍。

Gojny和Schulte[14]在樹脂中加入了0.05~0.75wt%之多壁奈米碳管，在 -120℃~160℃之間進行動態機械熱分析(Dynamic-mechanic thermal analysis, DMTA)，並比較氨基改質以及無改質之多壁奈米碳管複合材料之差異。發 現隨著溫度上升，損失模數上升，此外隨著含量增加，損失模數也會跟著 上升，分別在無改質碳管含量為0.25wt%以及改質碳管含量為0.1wt%時損失 的能量為最大，均約為純樹脂之8.5倍。 Ramamurthy等人[15]在聚苯胺(Polyaniline, PANI)基材中加入多壁奈米 碳管，在100℃~250℃之間進行動態機械熱分析，發現溫度上升以及含量提 升，在含量為1wt%時損失因子達到最大，約為室溫時的20倍以及同溫度時 純樹脂之1.8倍。 Xiong等人[16]在聚氨脂(Polyruethane, PU)基材中加入多壁奈米碳管，在 -100℃~50℃之間進行動態機械熱分析，發現在多壁奈米碳管含量為2wt%時， 損失因子高出純樹脂約10倍，且玻璃轉換溫度由-5.4℃提升至6.2℃。 Ma等人[17]在環氧樹脂中加入硅酮(Silane)改質多壁奈米碳管以及未改 質之多壁奈米碳管，在室溫至170℃進行動態黏彈機械分析，發現隨著溫度 的提升，整體複合材料之損失因子也隨之提升，在到達玻璃轉換溫度時， 在加入0.5%之未改質碳管時，有最好的阻尼性質，約為室溫時之20倍。另

7 外發現加了0.5%未改質碳管比起加入0.05%之改質碳管的阻尼性質高出1.5 倍。 由以上文獻皆可以發現在玻璃轉換溫度時，複合材料會因基材間的流 動性提高，而損失更多的能量，損失模數因此而快速升高，產生更好的阻 尼性質，且加入奈米碳管後，在玻璃轉換溫度時，整體複合材料之阻尼性 質也比純樹脂來得略高。比較兩部份之實驗文獻，發現奈米碳管複合材料 若施加外力，使碳管與基材間產生摩擦現象，複合材料之阻尼性質對比於 純樹脂基材將呈倍數成長，但相較之下，若是在溫度改變之下，碳管複合 材料比起純樹脂所提升的阻尼性質並不會太大。 在阻尼性質的研究上，除了動態黏彈機械分析以及各種試驗方法外， 也 有 許 多 研 究 使 用 解 析 模 型(Analytic solution)以 及 數 值 分 析 (Numerical analysis)方法來預測複合材料的阻尼性質[4, 18-26]。 在Zhou等人[4]的研究中，利用解析模型將碳管滑動所消粍的能量等效 為一損失因子，將此損失因子當成已滑動碳管之材料性質，並與未滑動之 碳管兩種材料添加至樹脂基材中，利用Mori-Tanaka模型計算整體複合材料 之阻尼損失因子，發現當已滑動碳管所佔體積比提升，整體複合材料之阻 尼性質也大幅度的提升。 Liu等人[18]在環氧樹脂中加入改質單壁奈米碳管束，並利用黏著-滑動 的概念建立微觀力學模型，考慮內碳管與外層碳管之間以及外層碳管與基

8 材間的摩擦行為，討論施加外應力對阻尼性質之影響。發現加入碳管束之 後的複合材料隨著拉伸應力增加，其損失因子提升6倍。並比較碳管軸向排 列以及隨機排列的複合材料，發現軸向排列之奈米碳管複合材料，其阻尼 性質約為隨機排列之奈米碳管複合材料之2倍。 Dunn[19]為了預測複合材料在各種形狀之補強材料隨機分佈下的阻尼 性質，利用Mori-Tanaka之模型，針對球狀、板狀以及管狀補強材料進行模 擬，並透過計算複合材料之儲存模數以及損失模數，探討阻尼性質的改變， 其研究發現在補強材形狀為扁狀圓板時，阻尼性質最佳。 Brinson和Lin[20]針對以軟硬兩種材料製成之複合材料，以Mori-Tanaka 模型以及有限元素(Finite element, FEM)模型來探討其阻尼性質隨振動頻率 改變之影響，發現微觀力學模型與有限元素模型可以得到相同趨勢。並且 討論當軟硬兩種材料之體積比改變，其儲存模數隨之變化，當較軟之材料 體積比較高時，儲存模數較低，反之當較硬之材料體積比較高時，能得到 較高之儲存模數。 Fisher和Brinson[21]在針對以三相材料(Three-phase)製成的複合材料之 阻尼性質研究中，比較Mori-Tanaka模型與Benveniste模型[22]及有限元素模 型之模擬結果，研究振動頻率對損失模數的影響，並且令補強材料性質維 持不變，使用一軟一硬的黏彈材料當作基材以及交界面(Interface)。發現在 基材的材料性質與補強材料相比為較軟時，兩數值模型的預測結果與有限

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元素法模型的預測結果相當接近，若是交界面材料為最軟的情況之下，則 準確度便出現分岐，並以Mori-Tanaka模型較為有效。

Finegan和Tibbetts[23]在聚丙烯(Polypropylene)中加入單向排列的氣相 奈米碳纖維(Vapor grown carbon nanofiber)，並使用Halpin–Tsai微觀力學模 型進行預測並且與動態黏彈機械分析結果進行比較。發現隨著碳管的體積 比增加，儲存模數會隨之上升，此結果預測值與實驗值相當接近，但其整 體複材之損失因子，卻隨體積比增加而下降，當長徑比(Aspect ratio)較大時， 其下降幅度更大，換句話說，添加了短纖維之複材其阻尼性質較添加了長 纖維來得好。 Liu和Brinson[24]在聚甲基丙烯酸甲酯中加入單壁奈米碳管，並綜合有 限元素法以及Mori-Tanaka模型分析複合材料之阻尼性質，其模型包括樹脂 基材、奈米碳管以及包覆著碳管之黏彈界面層三種材料，界面層之材料性 質與基材相似，但其擁有更好的阻尼性質。研究發現當振動頻率增高以及 溫度提升，會使界面層與基材流動性提升，對複合材料阻尼性質有相當大 的影響，使得奈米碳管複合材料比起純樹脂擁有更好之阻尼性質。 Friebel等人[25]在多相材料的阻尼性質研究中，利用Mori-Tanaka模型將 兩種材料等效為一複合材料，並預測其阻尼性質後，將此等效材料加入樹 脂基材中，並分別使用Mori-Tanaka模型以及Voigt模型進行預測其整體複合 材料之阻尼性質，並利用有限元素模型為基準進行比較。發現複合材料的

10 阻尼性質的確會因加入補強材料而得到改善，但是此兩步驟的預測方法， 無法有效區分多相複合材料是數種材料混合而成或是添加物上有不同材料 之界面層，導致預測結果與有限元素比較出現較大的誤差。 Dwaikat等人[26]在奈米碳管複合材料之阻尼性質研究上，利用經驗公 式假設碳管與基材受到拉伸後所產生之相對位移量，並依據黏著-滑動之概 念，發展微觀力學模型進行阻尼性質的預測。發現在固定的拉伸外力之下， 隨著奈米碳管長徑比增加，阻尼損失因子會隨之上升，一旦長徑比過大， 固定的拉伸外力所提供之能量不足以使碳管與基材間產生破壞，奈米碳管 與基材間相對滑動之位移量減少，阻尼損失因子反而下降。

1.3 研究目標與方法

本研究主要目標為探討複合材料之阻尼性質隨拉伸外力改變之變化， 並針對補強材含量、碳管長度、碳管與基材間之摩擦力以及鏈結強度等等 因素，對複合材料阻尼性質的影響進行探討。並且經由複合材料中能量的 消粍及應變能之變化，了解碳管與基材摩擦之力學現象以及其含義。 為了研究奈米碳管複合材料之阻尼性質，本研究利用微觀力學模型進 行模擬，從複合材料各部份之應力計算，延伸至能量消粍以及應變能的預 估，著重在奈米碳管與基材界面的摩擦現象對阻尼性質的影響，模型理論 將會在第二章做詳細的描述與推導。為了驗證解析模型，進而在第三章中

11 建立有限元素模型與第二章之解析模型進行比較。第四章中，將針對有限 元素模型驗證、有限元素模型與解析模型之比較、解析模型中各參數之影 響、文獻之實驗結果與解析模型之比較以及文獻之微觀力學模型與解析模 型之比較等部份加以討論，並說明其中的力學現象及之間的差異。 最後，在第五章將對所有的結果做概括性的總結，以及說明未來之研 究方向以及需要繼續完成之工作。

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第二章 微觀力學模型

在第一章中，回顧過去奈米碳管複合材料阻尼性質的研究，就先前的 研究中可以歸納出，主要能量的消粍來自於基材本身的阻尼性質以及碳管 與基材之間的摩擦。因此本研究在第二章建立解析模型，由能量的觀點計 算奈米碳管複合材料之阻尼性質，其中著重在碳管對基材間摩擦所消粍的 能量對整體複合材料阻尼性質的影響。

2.1 模型介紹

在過去的研究中[4, 18, 27-29]，為了研究施加外力與奈米碳管複合材料 阻尼性質的關係，根據黏著滑動(Stick-slip)理論[30]，探討碳管與基材間所 產生之摩擦現象，隨著外力逐漸增加將其模型分成數個階段進行討論。其 模型在基材中加入碳管束如圖 2.1 所示，施加均勻拉伸應力於基材上如圖 2.2 所示。隨著拉伸應力逐漸增加，假設碳管與基材之間鏈結破壞之區域與 拉伸應力成正比增加，並假設在此區域內之碳管，其上的剪應力與拉伸方 向應力都保持定值。其後計算碳管與基材之間滑動所消粍的能量，進而得 到整體複合材料之損失因子。而本章介紹的模型是根據以上的研究進行公 式推導，將單根奈米碳管放入基材中如圖2.3 所示，推導施加外力對奈米碳 管複合材料阻尼性質的影響。在過去的研究中，假設基材之正向應力在徑 向上皆為定值，其大小等於同斷面上碳管外緣之正向應力，且在碳管上之 剪應力大小皆為碳管外緣之剪應力，此二假設在本研究中，為了更符合實

13 際情況，將根據 Tsai 和 Lu[31]在奈米碳管複合材料之分析，將沿半徑方向 之基材應力表示為二次曲線分佈。此外，在過去的研究中，推導碳管與基 材在已滑動區域的應力時，是藉由鏈結尚未破壞之公式進而計算其平均值， 在本研究中認為此方式有所失真，故在此考慮碳管與基材間之鏈結已遭受 外力破壞，進而推導界面間應力之分佈。此外，為了計算碳管與基材交界 面間的正向力，將模型考慮為厚壁圓筒，並利用彈性力學[32]之厚壁筒受內 外壓之變形公式進行推導。

2.2 模型建立方法

此模型建立是將單根奈米碳管放入基材中，並假設碳管與基材皆為連 續體，碳管形狀為實心圓柱如圖2.3 所示，則碳管體積V_t與基材體積V_m分別 表示為： t t t

r

L

V





2 (2.2.1) t i o m r L r L V 



2 



2 (2.2.2) 其中，rt為奈米碳管半徑，Lt為碳管的長度，ro、ri及

L

分別為基材區域的 外半徑、內半徑及長度，且ri  rt 。碳管在基材中為軸向排列。在碳管上 下緣斷面與基材並無鏈結，換句話說，碳管上之應力完全由基材與碳管表

14 面之作用力所傳遞。在此假設碳管上之正向應力為均勻分佈，在基材區域 之剪應力由碳管壁呈線性分佈至基材外側為零。而碳管上剪應力因其值相 當微小，故只考慮碳管壁上之剪切應力。

2.3 碳管上應力、剪應力與基材上之應力

整體複合材料因受到外力拉伸，碳管與基材將會產生變形，隨著外力 逐漸增加，可將其分成二個階段來做說明。第一階段為碳管與基材之間的 鏈結尚未發生破壞，其擁有相同之拉伸應變量。第二階段為碳管與基材之 間的鏈結由碳管上下緣處發生破壞，而隨著外力上升，破壞之界面區域逐 漸延展並且產生相對的滑動。因模型之對稱性，故在此分析中只取一半之 模型(half model)進行分析。

2.3.1 第一階段 碳管與基材尚未發生滑動

在第一階段中，將模型分成上部之基材以及與碳管同高度兩個區域考 慮其應力狀況，如圖2.4 所示。在 A 區之正向應力 A m



可以表示為：





A  m (2.3.1) 其中， 為施加在複材上緣平面之均佈拉伸應力。在 B 區域中，由於 基材區域剪應力隨半徑r 由碳管壁上之剪應力線性下降至基材外緣為零，則 可將基材區域剪應力



mB表示為：

15 b r r b _i B t B m ) (   





_(2.3.2) 其中，



tB為碳管壁上之剪應力，b  ro ri，

r

的範圍介於ro與ri之間。基 材區域剪應力也可表示為剪力模數(Shear modulus)與剪應變乘積，再由軸方 向位移與剪應變關係代換之後，可表示為： dr dw G G B m m B m m B m 







_(2.3.3) 其中，Gm與 B m



分別為基材之剪力模數以及剪應變，wmB為基材 z 方向之位 移。由方程式(2.3.2)與方程式(2.3.3)聯立後對基材區域之 r 方向積分，則將 碳管壁上剪應力



tB表示為： ) ( 2 B i B o m B t G w w b  



(2.3.4) 其中woB、 B i w 分別為基材外緣處(r  ro) 之 z 方向位移以及基材內緣處 ) (r  r_i 之z 方向位移。將方程式(2.3.4)代入方程式(2.3.2)： ) )( ( 2 2 B i B o o m B m r r w w b G _{ } 



_(2.3.5)

16 由方程式(2.3.3)與方程式(2.3.5)聯立後對基材區域之 r 方向積分，則可以將 基材區域z 方向之位移 B m w 表示為： ) ]( 2 2 [ 1 2 2 2 B i B o o i i B i B m br r rr r w w b w w        _(2.3.6) 又將方程式(2.3.6)對 z 方向進行一次微分後，方程式等號左右各乘上基材之 楊氏係數E_m，則可以得到基材區域之應力



mB： ) ]( 2 2 [ 1 2 2 2 B i B o o i i B i B m br r rr r b









       _(2.3.7) 其中，



oB及 B i



分別為基材外緣處(r  r_o) 之拉伸應力以及基材內緣處 ) (r  r_i 之拉伸應力。基材區域又因為在碳管與基材之交界面處有相同之應 變量，則藉由應力應變關係可以將基材最內緣之應力



iB表示為： B t t m B i E E





 _(2.3.8) 其中，



tB為碳管之拉伸應力，Et 及Em分別為碳管及基材之楊氏模數。其 後將方程式(2.3.8)代入方程式(2.3.7)後得到:

17 ) ]( 2 2 [ 1 2 2 2 B t t m B o o i i B t t m B m E E r r r r br b E E

_

_

_



       _(2.3.9) 因方程式(2.3.9)中， B o



仍為未知函數，藉由整體複合材料之自由體圖(Free body diagram)，如圖 2.5 所示，可以列出平衡方程式：

 





o r i r 2 0 2 o B m B t 2 t

rd

dr

r

r













_(2.3.10) 將方程式(2.3.9)代入方程式(2.3.10)，則可將基材最外緣應力 B o



表示為： )] 2 ( [ 5 8 6 ) ( 2 2 2 2 i B t t m i B t o i B t t m B o b br E E r r b br E E z            (2.3.11) 又由奈米碳管之自由體圖如圖2.6 所示，列出碳管應力與剪應力之平衡方程 式： 0 dz 2 r ) -d ( _{ } 2 _ B _ t t t B t B t B t









r





(2.3.12) 經過移項整理後得到：

0

r

2

dz

d

_

_

t B t B t





(2.3.13)

18 且在此複合材料中，假設碳管所受到的力完全由基材與碳管壁間之作用力 傳遞，碳管並沒有直接受到外應力作用，則可以列出邊界條件： 0 ) 2 (  t  t L z



_(2.3.14) 0 ) 0 (z   t



(2.3.15) 為了求解第一階段 B 區的碳管應力 B t  及剪應力 B t  ，由方程式(2.3.4)、 (2.3.8)、(2.3.11)、(2.3.13)以及邊界條件 (2.3.14)、(2.3.15)進行推導，詳細內 容見附錄1，則碳管上應應力 B t  及剪應力 B t  可表示為：           ) 2 / cosh( ) cosh( 1 1 2 t B t L z k k









_(2.3.16)          ) 2 / cosh( ) sinh( 1 t B t L z c









_(2.3.17) 其中          ) 1 )( 5 8 ( 12 ₂ 1₃ 2 m t t b r b v r k



_(2.3.18)

19 1 2 2 1 k r k r c t t  



_(2.3.19) ) 2 ( 2 2 1 t t m t b br E E r k    _(2.3.20) 2 2 ro k  (2.3.21) 其中，



m為基材之柏松比。此外，由碳管之拉伸應力 B t



代回方程式(2.3.11)， 再將基材外緣處之拉伸應力



oB與碳管之拉伸應力 B t



代回方程式(2.3.9)，便 可以得到基材區域拉伸應力之分佈



mB。其後，將碳管之剪切應力 B t  代入方 程式(2.3.2)，可以得到基材區域之剪應力分佈 B m



。

2.3.2 第二階段 碳管與基材開始滑動

當碳管所受到最大剪應力在碳管上下緣處( ) 2 L z  t 到達破壞剪切應力 c



時碳管開始滑動，由方程式(2.3.17)碳管上之剪切應力到達



c 得到：         ) 2 / cosh( ) sinh( 1 t c c L z c









_(2.3.22) 此時所施加的外應力



c經由方程式(2.3.22)移項後可以表示為：

20

)

2

/

tanh(

1 t c c

L

c









_(2.3.23) 換句話說當施加應力到達



c時，第一階段結束進入第二階段，則在此階段 可將複合材料分成上方之純基材區域、碳管與基材界面發生破壞滑動之區 域以及碳管與基材界面尚未發生破壞之區域三個部份加以考慮，如圖2.7 所 示。並定義因外力所造成之界面破壞長度為Lslip，基材與碳管仍保持鏈結之

長度為Lstick，且Lslip Lstick Lt，而其計算方式在其後詳述。與第一階段相

似，在第二階段A 區之正向應力 A m



可以由方程式(2.3.1)得到。又在 B 區域 中，因碳管與基材已無鏈結存在，故碳管與基材界面之摩擦力



tB可以表示 為： p B t



0



 (2.3.24) 0



、

p

分別為界面間的摩擦係數以及徑向之正向力，在此假設在外力固定 下，碳管與基材界面之摩擦力



tB及徑向之正向力

p

在滑移區域內(B 區)為 一定值，換句話說，徑向之正向力

p

在 B 區域的碳管上為均勻分佈。因界 面摩擦力



tB為均勻分佈，則由 B 區碳管之力平衡，如圖 2.8 所示，可以求 得線性分佈之碳管之正向應力



tB為：

21 2 ' 0 ' 2 ) ' ( slip t B t B t L z z r z 



 



_(2.3.25) 在此定義一新座標

z

'

以 A、B 區交界面為基準平面，朝下為正。將方程式 (2.3.25)對已滑開長度取平均，可將 B 區之碳管平均正向應力



tB表示為： t B t slip L B t slip B t r L dz L slip 2 ' 2 ₂ 0











 _(2.3.26) 由整體複材之自由體圖如圖 2.9 所示，可求得 B 區基材區域之平均正向應 力



mB： 2 2 2 2 i o i B t o B m r r r r   







_(2.3.27) 值得一提的，因 B 區基材與碳管已經分離，在此並不考慮基材之正向應力 B m



在半徑方向的變化。而界面間徑向之正向力

p

仍為未知數，為了求得徑 向之正向力，考慮彈性力學[32]中厚壁筒受到內外壓所產生之徑向變形以及 拉伸後波松效應之徑向變形，如圖2.10 所示，其詳細推導內容請見附錄 2， 則碳管與基材在半徑方向之位移可分別表示為： t t t t B t t t B t E p r E r u 









_(2.3.28)

22























_m i o i o m i m B m i m B m

r

r

r

r

E

p

r

E

r

u





_{2 2}



2 2 (2.3.29) 在基材與碳管交界面中，徑向之位移連續，故由方程式(2.3.28)以及方程式 (2.3.29)相等，可將徑向之正向力

p

表示為：            t B t t m B m m m t t m t E E E E c E E p











2 (2.3.30) 其中 m i o i o r r r r c 



   ₂2 ₂2 2 (2.3.31) 為了求解界面間徑向之正向力

p

，將方程式(2.3.24)、(2.3.26)及(2.3.27)代入 方程式(2.3.30)，經移項整理後得到： 5 4 3 ) ( k k k p  





_(2.3.32) 其中

23 i o m t

r

r

E

k

₃



2



2 (2.3.33) i i o m t t

E

r

r

r

E

c

k

₄



(

₂





)(

2



2

)

(2.3.34) )] ( [ 2 2 2 0 5 Lslip Et mri Em t ro ri k 









 (2.3.35) 與第一階段相似，基材區域之剪應力



mB仍假設為由碳管壁上之剪應力呈線 性分佈至模型外緣為零，由方程式(2.3.2)可以得到。在 C 區域中，碳管與基 材間之鏈結尚未破壞，故與第一階段之B 區域類似，但 C 區碳管最上緣並 非應力為零，而是與第二階段B 區碳管下緣應力連續，詳細推導請見附錄 3，此時碳管之正向應力



tC及剪應力 C t



分別表示為：







L

2



z

1

k

k

2

L

z

r

pL

stick 1 2 stick t slip 0 C t



































/

cosh

cosh

/

cosh

cosh















_(2.3.36)                 ) / ( cosh ) sinh( 2 L z 2 pL c stick slip 0 1 C t











_(2.3.37) 當施加外應力大小超過



c時，C 區域碳管最上緣應力到達破壞剪切應 力



c ，可由方程式(2.3.37)改寫為：

24 ) / ( tanh L 2 2 pL c₁ 0 slip _stick c









_         _(2.3.38) 其中



及

c

1由方程式(2.3.18)及(2.3.19)可以得到，值得一提的是，

p

中也含 有因外力所造成之界面破壞長度Lslip，也因此無法經移項得到Lslip，於是利 用數值運算軟體Matlab7.1，由方程式(2.3.38)反求得到界面破壞長度Lslip， 而當外應力大小等於



c時，方程式(2.3.38)可以簡化為方程式(2.3.22)，此時 之界面破壞長度Lslip等於零，詳細內容請見附錄 4。而基材與碳管仍保持鏈

結的長度

L

stick，可以由Lstick  Lt Lslip得到。接下來，與第一階段中方程式

(2.3.9)相似，基材區域拉伸應力之分佈



mC可以表示為： E E r r r r br b E E z r _tC t m C o o i i C t t m C m [ 2 2 ]( ) 1 ) , ( 2 2 2            (2.3.39) 其中，第一階段之碳管應力



tB代換為此時之碳管應力 C t



。而基材區域最外 緣

(

r



r

o

)

之應力 C o



與第一階段中方程式(2.3.11)相似，並將碳管應力 B t



代 換為此時之碳管應力



tC後表示為： br b E E r r b br E E z _tC _i t m i C t o i C t t m C o _{8 5} [ ( 2 )] 6 ) ( 2 2 2 2            (2.3.40) 而基材區域之剪應力分佈



mC與方程式(2.3.2)相似，並將方程式中碳管剪應 力



tB代換為此時之碳管剪切應力 C t



後表示為：

25 b r r b _i C t C m ) (   





_(2.3.41)

2.4 損失因子(Loss factor)計算方法

在此微觀力學模型中，利用能量的觀點來計算損失因子，並且根據2.3 節所計算出之碳管與基材之應力與剪應力，分成二個階段考慮基材正向應 力所消粍之能量、基材剪應力所消粍之能量以及碳管與基材交界面摩擦消 粍之能量。

2.4.1 第一階段 碳管與基材尚未發生滑動

一般複合材料在計算損失因子



的方法，係由複合材料所損失之能量 W  與複材中所儲存之總應變能W 的比值表示，而複合材料所損失之能量 由材料之應變能乘上其損失因子得到[33]：





   _n i i i n i i W W W W





(2.4.1) 其中



i 及

W

i 分別為各材料之損失因子及儲存之應變能。在第一階段 A 區域中，因為只有拉伸應力作用，故所儲存之應變能WA可以表示為：

26 A m A m t o A L L r W



( )





2 2 _  _(2.4.2) 其中，



mA為A 區之拉伸應力，可由方程式(2.3.1)得到， A m



為 A 區之拉伸應 變，因材料為線彈性，故可由拉伸應力及楊氏模數之關係相互轉換。而 A 區所損粍的能量WA由正向力所儲存之應變能與基材之損失因子的乘積得 到： A m A m t o m A L L r W





( )





2 2 _    _(2.4.3) 在 B 區域中，因碳管上之剪應力所儲存應變能相當微小，將之忽略不 計，則總應變能WB分成基材區域拉伸應力、基材區域剪應力以及碳管區域 拉伸應力三個部份計算：







   B t B t B t B m B m B m B m B m B m B dV dV dV W













2 1 2 1 2 1

 

_{ }

 

_{ }

 

 

      i r L_t t L B t t o r i r t L t L B m m o r i r t L t L B m m rdrdz E rdrdz G rdrdz E ₀ 2 / 2 / 2 2 / 2 / 2 2 / 2 / 2













(2.4.4) 其中，



mB、 B m



及



tB為基材的拉伸應力、剪應力及碳管的拉伸應力，可分 別由方程式(2.3.7)、方程式(2.3.2)及方程式(2.3.16)得到。基材中損粍之能量

27 B W  ，可由其儲存之應變能與基材之損失因子乘積，在此不考慮碳管所消 粍之能量：





   B m B m B m m B m B m B m m B dV dV W













2 1 2 1

 

 

 

 

      o r i r t L t L B m m m o r i r t L t L B m m m rdrdz G rdrdz E 2 / 2 / 2 2 / 2 / 2       (2.4.5) 第一階段之總應變能

W

total以及消粍之總能量W 由A 區及 B 區總合得到， 分別表示為： B A total W W W   (2.4.6) B A W W W    (2.4.7) 則第一階段之損失因子可以表示為： total comp W W  



(2.4.8)

2.4.2 第二階段 碳管與基材開始滑動

與第一階段相似，在第二階段 A 區域中，因為只有拉伸應力作用，故

28 所儲存之應變能WA可以由方程式(2.4.2)得到。而 A 區所損粍的能量 A W  由 方程式(2.4.3)得到。在 B 區域中，因碳管上之剪應力所儲存應變能相當微小， 將之忽略不計，則總應變能WB分成基材區域拉伸應力、基材區域剪應力以 及碳管區域拉伸應力三個部份計算：







   B t B t B t B m B m B m B m B m B m B dV 2 1 dV 2 1 dV 2 1 W













 

_{ }

 

_{ }

 

 

   2 0 0 2 2 0 2 2 0 2 ' 2 ' 2 ' 2 Lslip ri B t t slip L r_o i r B m m slip L r_o i r B m m rdrdz E rdrdz G rdrdz E       (2.4.9) 其中，



mB、 B m



及



tB 為基材的平均拉伸應力、剪應力及碳管的平均拉伸應 力，可分別由方程式(2.3.27)、方程式(2.3.2)及方程式(2.3.26)得到。基材中 損粍之能量WB，可由其儲存之應變能與基材之損失因子乘積，在此不考 慮碳管所消粍之能量：





   B m B m B m m B m B m B m m B dV dV W













2 1 2 1  

 

 

 

 

 

o r i r slip L B m m m o r i r slip L B m m m rdrdz G rdrdz E 2 0 2 2 0 2 ' 2 ' 2



_

_



_



_(2.4.10) 另外在B 區域中，還有因碳管與基材摩擦所消粍之能量Wslip，將在其 後介紹。接下來，與 B 區域相似，C 區域中碳管上剪應力所儲存之應變能

29 相當微小，將之忽略不計，則總應變能WC分成基材區域拉伸應力、基材區 域剪應力以及碳管區域拉伸應力三個部份計算：







   C t C t C t C m C m C m C m C m C m C dV dV dV W













2 1 2 1 2 1

 

 

 

 

 

 

      i r L_stick stick L C t t o r i r stick L stick L C m m o r i r stick L stick L C m m rdrdz E rdrdz G rdrdz E ₀ 2 2 2 2 2 2 2 2 2       (2.4.11) 其中，



mC、 C m



及



tC為基材的拉伸應力、剪應力及碳管的拉伸應力，可分 別由方程式(2.3.39)、方程式(2.3.41)及方程式(2.3.36)得到。基材中損粍之能 量WC，可由其儲存之應變能與基材之損失因子乘積，在此不考慮碳管所 消粍之能量：





   C m C m C m m C m C m C m m C dV dV W













2 1 2 1

 

 

 

 

      o r i r stick L stick L C m m m o r i r stick L stick L C m m m rdrdz G rdrdz E 2 2 2 2 2 2       _(2.4.12) 第二階段之總應變能Wtotal與基材部份所損粍的能量Ws由 A 區、B 區及 C 區總合得到，表示為：

30 C B A total W W W W    (2.4.13) C B A s W W W W     (2.4.14) 根據Zhou[4]之研究，因拉伸產生滑動現象之複材，其損失因子可以分成滑 動所產生之損失因子以及基材本身所產生之損失因子兩部份計算： s slip comp







  (2.4.15) 則整體複合材料中，因基材材料所產生之損失因子



s 可表示為： total s s W W  



_(2.4.16) 另外在B 區域中，因碳管與基材摩擦所消粍之能量Wslip，由交界面之剪力 做的功計算： W_slip 



F du _(2.4.17) 其中，剪應力

F

由B 區碳管表面積與剪切應力之乘積得到： B t slip tL r F 2





(2.4.18)

31 而微小之相對位移量du由基材與碳管的相對位移之微分表示：























d d d E d d E L d L du B t t B m m slip t m slip               1 ( ) 1 ( ) _(2.4.19) 其中， _      





d d _mB 與 _      





d d _tB 分別對方程式(2.3.27)與方程式(2.3.26)進行微分。 值得一提的是，已滑開區域之長度Lslip為定值，因為當施加外應力由零增加 至最大值



max時，已滑開區域之長度Lslip便已 產生，接著才計算在一完整 週期中所消粍之能量，故得到： ) )( ( 2 2 2 _{4 5} 3 0 2 2 2 k k r r r k L r r r d d i o i slip i o o B m     







(2.4.20) ) ( 2 _{4 5} 3 0 k k r k L d d t slip B t  







(2.4.21) 其中，



0為碳管與基材間的摩擦係數，k3、k4 與k5分別由方程式(2.3.33)、 方程式(2.3.34)與方程式(2.3.35)得到。將方程式(2.4.20)及方程式(2.4.21)代入 方程式(2.4.19)後，聯同方程式(2.4.18)代回方程式(2.4.17)，並將外應力範圍 介於零到 之間代入積分上下限，整理後得到：

32 





 



_





_



d



d d E d d E L r W B t t B m m slip B t t slip             



2 2 1 ( ) 1 ( ) 0 ) ( 2 1 8 7 6 2 k k k   



_(2.4.22) 其中 ) )( ( ) ( 2 5 4 2 2 2 3 0 2 6 k k r r E L k r r k i o m slip i o   





_(2.4.23) 2 5 4 2 2 3 2 3 2 0 2 7 ) )( ( ) ( k k r r E L k r k i o m slip i   





_(2.4.24) 2 5 4 3 2 3 2 0 8 ) ( ) ( k k E L k k t slip  



_(2.4.25)

在第二階段中因滑動所產生之阻尼容量



slip(Damping capacity)，可以表示為

一完整週期摩擦所消粍能量與週期內應變能最大值之比值[4]： total slip slip W W    4



(2.4.26) 由方程式(2.4.26)得到滑動所產生之阻尼容量，則滑動所產之損失因子



slip 可由阻尼容量除以2



得到[34]：

33 total slip slip slip W W    









2 2 (2.4.27) 而在第二章所介紹之解析模型，其詳細程式碼請見附錄5。

34

第三章 以有限元素法模擬受拉伸之奈米碳管複合材料

在第二章中，以解析模型分析奈米碳管複合材料進行拉伸試驗時複材 中應力分佈情形，進而以能量觀點計算整體複合材料之阻尼性質。在本章 節中，我們使用有限元素軟體ANSYS13.0 建立微觀模型，同樣在受均佈拉 伸應力作用下進行分析，並將分析結果與第二章之解析模型對照比較。

3.1 奈米碳管複合材料之有限元素模型

在此有限元素模型建立過程中，利用實體元素建立八分之一的碳管與 基材模型，為了模擬碳管與基材間的滑動現象，在碳管邊緣已滑動區域鋪 上接觸元素，使此區域之碳管與基材發生滑動現象，再透過均佈應力對模 型進行拉伸測試。

3.1.1 建立碳管與基材之實體模型

為了透過有限元素軟體模擬奈米碳管複合材料，在此將圓柱狀之奈米 碳管埋入圓柱狀基材中，碳管在基材中為軸向排列。在碳管上下緣斷面與 基材並無鏈結，換句話說，碳管上之應力完全由基材與碳管表面之作用力 所傳遞。因模型之對稱性，故只需取八分之一之大小進行分析，以降低程 式計算量，如圖3.1-3.2 所示。圖 3.1 及 3.2 分別為八分之一模型及模型之下 視圖，其中紫紅色區域為碳管，藍色區域為基材，碳管的上緣部份與基材 並無連結，

L

t及

L

分別為為碳管及基材區域的高度，

r

t及

r

o分別為奈米碳管 及基材區域的半徑，並以八節點立體元素 SOLID45 建立其有限元素網格，

35 該元素上每個節點僅有 x、y、z 三個方向的位移自由度，並使網格長寬比 約等於1。本研究在建立有限元素網格時，已進行收斂性測試，其相關結果 將在4.1 節進行討論。

3.1.2 邊界條件設定

在進行拉伸試驗模擬時，為了避免在求解過程中發生剛體運動，須設 定適當的邊界條件後求解。在此建立之模型為八分之一模型，邊界條件設 定如圖 3.3 所示，圖 3.3(a)表示在 x=0 之平面，其 x 方向自由度被固定住， 另外在y=0 之平面，其 y 方向自由度被固定住，圖 3.3(b)表示在 z=0 平面， 其 z 方向自由度被固定，並且施加大小為 之均佈拉伸應力在模型最上緣











 

2

L

z

_平面。

3.1.3 以接觸元素模擬碳管與基材間之滑動

在鋪設接觸元素之前，必須先判定碳管與基材間在外力做用下的滑動 情形，若拉伸強度較小，基材與碳管之間的界面尚未發生破壞，則碳管與 基材間均保持鏈結，如圖3.4 所示。一旦外應力加大，使基材與碳管之間的 剪切應力超過鏈結強度



c，界面將有部份發生滑動，則將碳管分成鏈結已 破壞區域以及尚未破壞區域兩個部份，如圖3.5 所示。 為了決定在固定外力下，受破壞區域之高度L_slip /2，其模型建立流程 如圖3.6 所示。在流程中，首先假設碳管與基材間的鏈結尚未破壞，並建立 如圖3.4 之模型，施加邊界條件及拉伸外力並求解高斯積分點位置之應力值，

36 並使用 ERESX 指令，使節點上讀取的結果即為積分點上的結果，如圖 3.7 所示。接著，讀取碳管上緣最外層處高斯積分點上之剪切應力，如圖3.8 中 a 點位置所示，但發現在碳管上緣最外層之高斯積分點，會產生應力集中之 現象而無法收斂，故讀取相鄰節點上之剪切應力，如圖3.8 中之 b 點，以避 免應力集中現象影響結果，並與鏈結強度



c 進行比較，若未超過



c ，代表 基材與碳管之間仍保持鏈結，則模型建立完畢，若已超過



c，代表界面有 部份已經發生破壞。 若基材與碳管間鏈結已遭受破壞，先根據解析模型中，方程式(2.3.38) 反算後之結果，假設鏈結破壞長度L_slip /2，並建立如圖 3.5 之模型。與判 斷滑動相似地，在施加邊界條件及固定外力並求解，且使節點上讀取的結 果即為積分點上的結果後，讀取未滑開碳管上緣最外層處節點上之剪切應 力，如圖3.9 所示。相似地，圖 3.9 中 c 點會產生應力集中之現象，故讀取 相鄰之 d 點之剪切應力，並檢查其是否等於鏈結強度



c，來判斷假設之鏈 結破壞長度L_slip /2是否正確，若超過鏈結強度則增加鏈結破壞長度，若低 於鏈結強度則減少鏈結破壞長度。重覆上述動作，直到讀取的值與鏈結強 度



c一致，則此時受破壞區域之高度定義為Lslip /2，未滑開區域的高度為

2

L

_stick

/

。在建立實體模型時，因為在鏈結尚未破壞區域，基材以及碳管體 積互相連接，相對的，在鏈結已破壞區域，使基材及碳管體積互相分離。 接下來針對體積互相分離的區域，利用一組平面與平面接觸所使用之

37 四節點接觸元素CONTA173 以及目標元素 TARGE170 分別在碳管最外緣以 及基材最內緣建立一層有限元素網格，其網格鋪設在立體元素SOLID45 上， 並與立體元素共用節點如圖 3.10 所示。在接觸元素的設定中，接觸剛度介 於 0.01-1 之間，因在此施加之外力為正向力，故設定為 1 使其與真實情況 接近。摩擦係數由為兩接觸物間之粗糙程度決定，在此與解析模型一致皆 假設為 0.1。因在外力作用下，應變量估計會到達 1%，因此開啟幾何大變 形分析。在求解之步階設定上，當步階越細其結果越精確，但計算量將大 幅增加，在此設定為20 步來求解。

3.2 損失因子計算方法

在此有限元素微觀模型中，利用能量的觀點來計算損失因子，並且根 據3.1 節所建立之模型受拉伸後所計算出之碳管與基材之應力與剪應力，分 成二個階段考慮基材正向應力所消粍之能量、基材剪應力所消粍之能量以 及碳管與基材交界面摩擦消粍之能量。

3.2.1 第一階段 碳管與基材尚未發生滑動

與第二章模型相似，由方程式(2.4.1)得知，計算整體複合材料之阻尼損 失因子，可以由複材中各材料所消粍之能量與總能量之比值計算。當拉伸 應力值較小，碳管與基材之間的鏈結尚未被破壞時，整體複合材料所儲存 之最大應變能

W

total可以表示為基材區域及碳管區域之拉伸應變能與剪應變

38 能之總合：







   _{z z m yz yz m xz xz m} total V 2 1 V 2 1 V 2 1 W



















   _{z z t yz yz t xz xz}V_t 2 1 V 2 1 V 2 1

_

_

_

_

_

_

(3.2.1) 其中，



_z、



yz及



xz分別代表各元素上 z、yz 及 xz 方向之應力，係由八 個高斯積分點平均得到。



_z、



yz及



xz分別代表各元素上 z、yz 及 xz 方向 之應變，係由八個節點平均而得。在讀取元素之結果之前，必須選取欲讀 取之區域，

V

m及

V

t分別為基材區域內各元素之體積及碳管區域各元素之體 積。而整體複材所消粍的能量W 為基材之應變能與損失因子乘積，可以 表示為：       _{ }    _m



_{z z m}



_{yz yz m}



_{xz xz}V_m 2 1 V 2 1 V 2 1 W















(3.2.2) 故第一階段之損失因子可以表示為： total comp W W  



_(3.2.3)