第二章 文獻回顧與評析
2.2 統計分析
1. 線性迴歸分析
迴歸分析(Regression Analysis)是一種統計分析方法，它將所要研究的變數區分為 依變數(Dependent Variable)與自變數(Independent Variable)，並根據相關理論建立依變 數為自變數的函數，然後利用所獲得的樣本資料去估計函數中參數之方法。迴歸的主 要目的是做預測，目標是發展一種能以一個或多個預測變數的數值來做為依變數預測 之方法。
本研究將探討「簡單」迴歸模式，也就是只用一個獨立變數X 去預測依變數 Y 的 模式。所謂建立模式，就是找出Y 與 X 的函數關係式，即函數 f 滿足 Y=f(X)最常用 的函數f 是線性函數，即 Y=f(X)= β0+β1X 稱為簡單線性迴歸(Simple Linear Regression) 模式；二次式(或多次式)函數為 Y=f(X)= β0+β1X+β2X2+...，指數函數為Y = β0eβ1X 。 此類函數因為只有一個自變數，因此稱為簡單迴歸模式。其中β1、β2稱為迴歸係數，
β0表示截距。並以最小平方法求取 β0 和 β1（參數估計）；當估計得到 β0和 β1後，即 可求出估計的迴歸方程式。當得出估計的迴歸方程式之後，即可求出預測值、擬合值 和殘差等，並可評估模式擬合的好壞。觀察值與擬合值的差距稱為殘差。要評估模式
擬合的好壞，最常用的方法是畫殘差圖。所謂殘差圖就是殘差對預測變數的散佈圖，
或是殘差對擬合值的散佈圖。殘差圖愈亂表示模式擬合得愈好。拿到資料的第一步就 是先畫散佈圖，了解Y 與 X 的關係是否呈現線性或其他形狀。算出迴歸線後畫殘差圖，
看看模式是否良好，如果良好就作解釋、預測或控制，如果模式不良就作修正。一般 統計模式皆有：觀察值＝母體參數＋抽樣誤差。條件常態分配：誤差項ε 有大有小，
我們假設它的分佈是常態分配，因此給定X 之後，Y 的分配也是常態分配。此種給定 X 後，所有同樣的 X 對應 Y 的分配為常態分配，稱為條件常態分配。
一般來說條件常態分配都具有均質性，就是不同的預測變數的母體具有相同的變 異數。其次是獨立性，誤差項具有獨立性，即每一誤差項不會受到其它誤差項的影響。
然後是線性，不同的預測變數所對應的應變數的平均數的連接線是一直線。在迴歸分 析中，我們可以知道的事是，到底所找的預測變數X 對準則變數 Y 有沒有解釋能力？
如果有，其解釋能力有多大？預測變數X 對準則變數 Y 有沒有解釋能力，也就是預測 變數與準則變數有無相關，可寫成假設檢定如下：
H0：β1 = 0 H1：β1 ≠ 0
上式的含意為：若β1＝0，表示 X 對 Y 沒有貢獻，不論提供的 X 值是多少，對 Y 值的 預測都沒有幫助，Y 對 X 是一常數，即：Y= β0，也就是模式Y＝β0+ β1X 中的迴歸係 數 β1＝0。變異數分析主要的功能是分析因素（或變數）是否重要，它所使用的工具 是分解平方和。如果都不用預測變數的訊息時，Yi與Y的變異稱為總平方和，以SSTO 表示。如果用上預測變數X 的訊息，則 Yi與Yˆi的變異稱為殘差平方和，以SSE 表示。
而SSTO－SSE＝SSR，稱為迴歸平方和，表示用了預測變數後總變異降低的部份。如 要檢定H0：β1 = 0，可以利用 F 統計量檢定之：
F ＝ MSR / MSE
X 對 Y 的解釋能力，我們是以 SSR / SSTO 來量測，它表示由於預測變數 X 進入 模式後，Y 的變異降低的比例，我們稱它為 X 對 Y 的解釋能力（更正確的說法是解釋 變異的能力），通常以R2表示，稱R2為判定係數。SSTO 是沒有利用預測變數 X 時 Y 的變異，SSE 是有利用預測變數 X 時 Y 的變異，因此 R2的分子部份是變數X 進入模 式後變異降低的部份，而分母是Y 的總變異，二者的比值即為由於變數 X 進入模式後 Y 變異降低的比例。判定係數 R2 的存在著一些特性，如下：
(1) 0 ≤ R2 ≤ 1 。
(2) R2 愈大，表示 X 提供的訊息對 Y 愈有用。
(3) 調整的 Adj-R2其定義為：
數為Ｓ12