第二章 文獻回顧
2.3 VaR 文獻之回顧
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2.3 VaR 文獻之回顧
VaR 是近年來風險控管的新趨勢，作為衡量與預測風險的標準化指標，用以 預測未來可能遭遇到的最大損失。VaR 的概念起源於下方風險，因此不論是任何 非常態分配的損益函數，我們都可以估計它們的風險值。VaR 是指在給定的信賴 水準
β
下，投資組合在持有期間內可能發生的最大損失值。Harlow (1991)提出了以下方風險作為測度的函數，將下方偏差動差(lower partial moments, LPMs)定義為低於目標損失(target)與目標損失差距的
n
階期望值，當
n
為 1 或 2 時，以最小化下方偏差動差為目標，當投資組合預期期望值不同 時，目標函數的下方偏差動差也會有所不同。研究結果顯示，當目標損失越大時，投資於股票市場的比例越大，無風險資產的比例越小，且最佳投資組合的期望值 與標準差結果皆比 MV 模型的最佳解要來的出色。
Campbell、Huisman 與 Koedijk (2001)以 VaR 取代變異數當作下方風險，建 立了如同夏普指數(Sharp ratio)的規劃模型。Campbell、Huisman 與 Koedijk (2001) 模型中的 VaR 定義為最小獲利值，將投資組合報酬與無風險利率的差距當作獲 益，無風險獲利扣除投資組合的 VaR 當作風險，將兩者相除後做為目標函數，
以最大化為目標，並實際運用於美國 S&P 500 指數與政府公債上。研究結果顯示 此模型求出的解與 MV 模型的解近乎相同。
Benati 與 Rizz (2007)以 Markowitz (1952)的模型做延伸，將 VaR 取代變異數 當作風險，提出了一個混和整數線性規劃模型。此模型會導致成為一個 NP-Hard 的問題，但是當觀測時間期數
T
與資產個數n
固定為一常數且該數並不大時，多 項式時間演算法(polynomial time algorithms)仍存在。此外，實證結果顯示：觀測 時間期數T
與資產個數n
大而風險值很小時，可在合理時間內求解。‧
所提出的 mini-max 投資組合模型。第二節為指數追蹤模型，Meade 與 Salkin (1989) 首先定義指數追蹤誤差測量函數；莊智祥(民 87)提出投資組合價格與市場指數 之價格的絕對偏差模型與其延伸。第三節則是 VaR 相關模型。Campbell、Huisman 與 Koedijk (2001)以 VaR 當作下方風險，建立了如同夏普指數(Sharp ratio)的規劃 模型。Benati 與 Rizz (2007)以 Markowitz (1952)的模型做延伸，將 VaR 取代變異 數當作風險，建立一混和整數線性規劃模型。3.1 資產配置的數學相關模型
投資組合選擇問題主要在探討如何做資產配置，以降低投資風險並獲得最大 投資報酬率。Markowitz (1952)所提出的 MV 模型，選定一個投資組合，使得投 資報酬率最大化與投資風險最小化。Markowitz 將投資組合內的報酬與風險分別
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(mean-variance model, MV 模型)，其定義如下：模型 A：Markowitz 的 MV 模型 (quadratic equation)，當變數過多時，會增加求解時間與困難度。
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deviation model, MAD 模型)，將風險函數定義成為投資組合報酬率的平均偏差。定義 3.1 (Konno 與 Yamazaki，1991)
L - norm 風險函數 1 w (x )
定義如下：‧
‧
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是相同的，亦即在特定條件下，Speranza (1993)所定義的權重風險函數模型和 Konno 與 Yamazaki (1991) 所定義的 MAD 模型是等價的。同時，Speranza (1993) 也發現歷史資料新舊程度對於投資組合的選取會造成不同的結果，因此 Speranza‧ 國
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0v t
,u t
0,t 1 , , T
參數：T
歷史資料觀測期數w t
時間參數
n
資產投資總數
r it
資產i
在時間t
之投資報酬率
r i
資產i
之期望報酬率，即
T
t it i
i r
R T E r
1
) 1 (
r i w
資產i
在T
期內的加權平均投資報酬率，即
t t t t it w
i w
r r w
最小需求投資報酬率
M 0
投資總額
U i
資產i
之投資金額上限 變數：
x i
資產i
之投資金額y t
偏差變數Young (1998)提出大中取小的投資組合選擇法(mini-max portfolio selection)，
不同於以往風險測量函數的選擇方式，大中取小法是在給定固定報酬率之下，由 歷史資料算出在觀測期間任一投資組合在不同時間的損失，選擇損失為最小的投 資組合，此即大中取小選擇法。換言之，若我們計算觀測期間內任一投資組合的 報酬率，選擇最小的報酬為最大的投資組合，即小中取大法。Young (1998)的模 型如下：
模型 E：Young 的 minimax 大中取小模型 max
m
s.t.
r x M
n i
i
i
1
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參數：
P t
投資組合在時間t
的報酬率I t
標的指數在時間t
的報酬率
希望超越標的指數報酬率的常數N 1
第一步驟選出的股票種類數r jt
股票 j 在時間t
的報酬率B
買進股票時所需的比例交易費用S
賣出股票時所需的比例交易費用V jT j 股票在決策時間 T
的價格M
投資人在時間T
的總資產x~ j
未調整前持有股票 j 的張數R
上一期交易後剩下的現金 U
單一股票投資比重上限 L
單一股票投資比重下限K U
涵蓋股票種類數的上限K L
涵蓋股票種類數的下限T
用來追蹤資料的時間長度 變數：y t
負偏差變數x j
調整後持有股票 j 之張數b j
買進股票 j 之張數s j
賣出股票 j 之張數
其他當 0
0
1
j
j
d x
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u i
0,v i
0,i 1 , , n
參數：
T
歷史資料觀測期數n
股票投資總數
k i
買進每單位股票i
的交易成本k i
賣出每單位股票i
的交易成本x i 0
原投資組合中，股票i
的投資金額
Z 0
原指數基金投資組合所具有的追蹤誤差值
投資者所能容忍的誤差程度，即0 0
Z Z Z
I t
市場指數在時間t
的價值
p it
股票i
在時間t
之價格
N 0
投資組合所選取股票總數之上限
M i
表一正數，即i
it t
t t
i w
p
M I
} { min
} {
max ，
w 為股票 i i
之投資權重變數：
x i
股票 i 的購買數量
d t
在時間t
時投資組合價值與市場指數價值之正偏差d t
在時間t
時投資組合價值與市場指數價值之負偏差
其他
當 0
0
1 i
i
y x
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3.3 VaR 的數學相關模型
VaR 除了可視為未來可能遭受到的最大損失外，亦可視為未來可能得到之最
低獲利。在條件限制下，VaR 函數具有非凸集(nonconvex)、非平滑(nonsmooth)、與多重相對極值(multi-extremum)的特性，造成求解上之困難。到目前為止，研 究學者仍無法發展出一套有效率求出 VaR 的演算法。
我們令
X
表示投資組合未來的報酬，為一隨機變數，令f X
()為X
的機率密 度函數，F X
()表示X
的累積分配函數，則該投資組合對應信賴水準
的 VaR，定義為該累積分配函數累積機率為
時，相對應X
的值。定義 3.9 (Jorion，1997) 令
( 0 , 1 )
，則X
相對應信賴水準
的 VaR 定義為：} ) ( inf{
) (
VaR
X x F X
如果
F X
()為一連續且嚴格遞增函數，則VaR ( X ) F X 1 ( )
。舉例來說，假設給定信賴水準
為 95%，表示投資組合未來可能發生損失不 超過VaR ( X )
的機會為 95% ，投資組合未來損失超過VaR ( X )
的機會為 5% 。機 率 密 度 函 數
投資組合損失
VaR 最大損失
1 － β
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立了如同夏普指數(Sharp ratio)的規劃模型，以最大化為目標。其模型如下：模型 N：
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固定期望報酬下，求最小風險，因此，Benati 與 Rizz(2007)同時提出了另一個新 的混合整數線性規劃模型：‧ 國
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x t
投資組合在時間t
之報酬率r it
資產i
在時間t
之投資報酬率
r 資產 i i
之期望報酬率，即
T
t it i
i r
R T E r
1
) 1 (
r min
每期投資組合最低報酬率，即r min 100 %
VaR
投資組合之信賴水準p t
投資組合在時間t
之報酬率發生的機率 變數：
r VaR
投資組合之風險值 i
資產i
的投資權重
其他當 1
0
x r VaR
y t t
‧
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變數：
R t
投資組合在時間t
的投資報酬率
r VaR
指數報酬率與投資組合報酬率之偏差 VaRx i
股票 i 的投資金額
m
剩餘現金
其他當 1
0
I R r VaR
d t t t
4.2 調整投資組合的數學規劃模型
由於股票市場瞬息萬變，一開始建立的投資組合，隨著建立的時間變長，其 報酬率可能與標的指數報酬率差距有擴大的趨勢，這時就必須經由調整投資組合 的成份與比重，使投資組合能再度滿足指數追蹤及 VaR 最小的需求。
調整投資組合的數學規劃模型如同模型一，首先，在給定信賴水準
下，先 計算各股票在觀測期T
內各股票的 VaR，選取 VaR 最小的前段少數種股票作為投 資組合的候選股，並從這些股票中，建立投資組合使得在觀測期T
內投資組合報 酬率與指數報酬率偏差值的 VaR 為最小。經過一段時間後，重新調整投資組合 各股票的投資金額。假設xˆ i
表示股票i
在調整前的資產金額，在新的投資組合當 中，因投資比重重新調整，股票i
的投資金額可能與前一期所累積下來的金額會 有所不同，因此股票i
新的投資金額與調整前資產金額會有以下關係：i i i
i b s x
x ˆ
,i 1 , , n
(4.11)x i
為新投資組合中股票i
的投資金額，b i
表示股票i
在新一期需多投入的資金總額，
s i
表示股票i
在新一期減少的投資金額。在正常的情況下，投資人對單一股票 不會同時進行買進與賣出的動作，所以b i
與s i
有以下關係： 0
i
i s
b
(4.12)買進與賣出的交易手續費比例也不相同，調整後投資組合的資產總額與手續費用
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指數報酬率與投資組合報酬率的累積偏差容忍值r it
股票i
在時間t
之投資報酬率
r max
指數報酬率與投資組合報酬率之偏差值的最大值
信賴水準
W
在時間T
的資產總額xˆ
調整前股票i
的資金總額
單一股票可投資現金的最大比例B
買進股票的交易費用比例
S
賣出股票的交易費用比例
可存放於銀行現金之最大比例變數：
R t
投資組合在時間t
的投資報酬率
r VaR
指數報酬率與投資組合報酬率之偏差 VaRx i
調整後股票i
的投資金額
b i
調整後股票i
增加的投資金額s i
調整後股票i
減少的投資金額m
剩餘現金
其他當 1
0
I R r VaR
d t t t
由於變數與限制式過多時，求 VaR 最佳解常有效率不佳或無法求出可行解 的情況，因此我們首先減少要選取投資組合的候選股。在給定信賴水準
下，首 先計算各股票在觀測期T
內各股票的 VaR，選取 VaR 最小的前數種股票作為投資 組合的候選股後，使用模型一與模型二建立與調整投資組合。‧ 國
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第五章 實證研究
本論文以台灣股票市場為實證研究的對象，採用台灣發行量加權股價指數做 為標的指數，用以驗證模型之可行性與有效性。在發行量加權股價指數資料上，
我們使用朱志達(民 99)相同的研究資料，資料內包含摩台指、台灣 50 及寶來與 富邦證券發行的 ETF 中 173 家股票資料當作投資標的，這些候選股在市值、公 眾流通量與流動性均通過嚴格的篩選程序。朱志達(民 99)使用資料的樣本時間 段為 2004/01/01~2010/05/27 共 329 週除權息調整後週資料，資料來源取自於 TEJ 台灣經濟新報資料庫；因樣本時間段較長，在 173 家成分股中有 11 家投資標的 於 2004/01/01 尚未上市，刪除 11 家後選擇其中 162 家股票當作投資組合內的投 資標的，列於附表一：
圖一 台灣股票市場指數走勢圖
由圖一可知，在樣本期間內指數呈現大幅上漲，持續下跌與盤整震盪的走勢。
我們選擇於樣本時間內其中三個時段作為我們驗證模型的時間段，資料起訖如 下：
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
2 0 0 4 /0 1 /0 2 2 0 0 4 /0 5 /0 2 2 0 0 4 /0 9 /0 2 2 0 0 5 /0 1 /0 2 2 0 0 5 /0 5 /0 2 2 0 0 5 /0 9 /0 2 2 0 0 6 /0 1 /0 2 2 0 0 6 /0 5 /0 2 2 0 0 6 /0 9 /0 2 2 0 0 7 /0 1 /0 2 2 0 0 7 /0 5 /0 2 2 0 0 7 /0 9 /0 2 2 0 0 8 /0 1 /0 2 2 0 0 8 /0 5 /0 2 2 0 0 8 /0 9 /0 2 2 0 0 9 /0 1 /0 2 2 0 0 9 /0 5 /0 2 2 0 0 9 /0 9 /0 2 2 0 1 0 /0 1 /0 2 2 0 1 0 /0 5 /0 2
指 數 值
時間
台灣股票市場2004/01/02-2010/05/02指數走勢圖
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T1：2004/08/16~2005/10/21 在此時間段內指數呈現盤整震盪趨勢。
T2：2008/05/16~2008/11/21 在此時間段內指數呈現大幅度下跌趨勢。
T3：2009/01/21~2010/01/15 在此時間段內指數呈現大幅度上漲趨勢。
實證研究分為底下四部分：
實證研究分為底下四部分：