最小化風險值之投資組合選擇模型 - 政大學術集成
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(2) 誌謝 喔，讀了三年的碩士班，現在終於要畢業了。要感謝的人好多，一生大概只 有一次，那就來多言幾句吧！ 首先要感謝指導教授劉明郎博士這三年來對學生的照顧。不論是授課時的細 心講解，撰寫論文前的引導，撰寫論文時的字字斟酌與指點，讓學生看見做研究 應有的態度，使學生獲益良多。同時也感謝口試委員吳柏林博士與劉宣谷博士撥 空參與論文口試，對本篇論文提出許多寶貴的建議，使論文更加完善。 於系上修課三年，感謝系上姜志銘主任、陳天進老師、宋傳欽老師、張宜武 老師、符聖珍老師與蔡炎龍老師在課業上對於學生的指導，感謝老師！. 政 治 大 感謝碩班同學照誠在實變上對於我的指點，感謝雅慧與琬甯在資格考時對我 立 的幫助，若沒有你們的幫忙我大概很難順利畢業，感謝你們。. ‧ 國. 學. 感謝勝平學長與政儒學長週末常回來研究室指點，讓研究室充滿了我們歡樂. ‧. 的笑聲，開心一下午。. al. er. io. sit. y. Nat. 感謝陳亮、家盛、宣緯、玫芳、盈穎、雅雯、佳緯、虹仲、彥宏總是與我閒 話家常，也特別感謝丞偉總是陪我打桌球，並讓我有地方可以住，感謝你！. v. n. 碩二修習教育學程時，很高興能認識王淑俐老師。王淑俐老師不只在課堂上 對於學生傳道授業解惑，私下更時不時關心同學們的生活，讓學生見識到一位教 育工作者難能可見的態度，謝謝老師對於學生的指導。同時，在修課期間認識方 婕、令婕、宣麟、怡蕙這幾位好夥伴，使得在上課的過程中總是充滿歡笑，與你. Ch. engchi. i Un. 們一起修課真是一件開心的事情。更感謝師資培育中心的陳玄惠助教，總是讓我 在師培中心內“予取予求”，感覺就像是家一樣，給我很大的自由。 感謝來台北後最照顧我的黃叔叔與二舅一家人，把我照顧的無微不至，感謝 你們！ 感謝在政大三年週末常帶我去基隆釣魚的阿賢大哥與吳大哥，讓我釣了好多 軟絲與龍蝦，可以與大家分享，哈哈！也感謝花蓮的釣魚朋友黃老先生、阿山哥、 阿順仔與彭大哥，放假回花蓮時能與三五好友一起到海邊甩個幾竿，真是一件快 樂的事情。. II.
(3) 在此特別感謝張宣苹、張良卉這兩位張氏宗親，有你們的陪伴，讓我在苦悶 的研究生生活中充滿了歡樂，與你們兩位在一起相處真的是一件很快樂的事情， 認識你們真好！ 呼～要謝謝的人好多。最重要的要感謝我的家人，我的爸爸、媽媽、姊姊以 及我家可愛的小狗張小乖，還有從小到大帶我去釣魚的 uncle 老任，謝謝你們總 是默默的支持我，讓我能無後顧之憂的在政大唸書，完成我的碩士學位。 在此謹將本篇論文，獻給曾經幫助過我的老師、朋友、同學與學弟妹，謝謝 你們！. 立. 政 治 大. 張殷華 謹誌 國立政治大學應用數學系 中華民國一百年六月. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. III. i Un. v.
(4) 最小化風險值之投資組合選擇模型. 張殷華 摘. 要. 被動式管理是指共同基金採用追蹤市場指數或特定標的指數的投資策略，這 類型的共同基金近年來廣受投資人的歡迎。其建構方式係從股票市場內選定少數 代表性股票種類，希望利用少數股票種類即可代表被追蹤指數的整體績效，使其. 政 治 大. 與被追蹤指數的報酬率的追蹤誤差(tracking error)降至最低。風險值(Value-at-Risk,. 立. VaR)是近年來風險控管的新趨勢，是一種衡量與預測風險的指標，用來預測潛在. ‧ 國. 學. 可能的損失預估值。本論文結合指數追蹤與 VaR 之概念，將指數報酬率與投資 組合報酬率的偏差視為損益，目標函數為最小化偏差之 VaR，建立一兼具指數追. ‧. 蹤與控管 VaR 的投資組合選擇模型。最後使用台灣股票市場的歷史資料做為實. Nat. sit. y. 證的資料，用以驗證模型之可行性與效能。實證結果顯示當被追蹤指數呈現盤整. al. n. 數。. er. io. 震盪與持續下跌趨勢時，本模型所建立之投資組合的表現能有效超越被追蹤指. Ch. engchi. 關鍵字：指數追蹤、VaR、混合整數非線性規劃. IV. i Un. v.
(5) Portfolio Selection Model Based on Minimizing Value-at-Risk. Yin-Hua Chang. Abstract Passive management is an investment strategy that a mutual fund is constructed to track the market or benchmark index. This type of mutual fund becomes popular for investors recently. The construction method of this type of mutual fund is to select relative few stocks from the market such that the performance of constructed mutual fund will be as close as the performance of benchmark index by minimizing the tracking error between mutual fund and benchmark. Value-at-Risk (VaR) is a. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. widely used risk measure recently. VaR can be used as standardized risk indicators to predict the potential loss in the future. In this paper, we combine the concepts of index tracking and VaR into our portfolio selection model. The risk (loss) in this model is defined as the difference of index return and portfolio return. We propose a. n. al. er. io. sit. y. Nat. mathematical programming model to construct a portfolio that will both track a given benchmark and minimize the VaR value of loss. The proposed model will be applied in Taiwan's stock market to verify the effective and efficient of the model. The empirical results show that the performance of constructed portfolio is better than the benchmark index when the market is consolidation and bearish.. Ch. i Un. v. Key words: index tracking, Value-at-Risk, mixed integer nonlinear program. engchi. V.
(6) 目 誌 摘. 錄. 謝....................................................................................................................... II 要..................................................................................................................... IV. Abstract ........................................................................................................................ V 目 錄 ................................................................................................................ VI 圖 目 錄 ............................................................................................................... VII 表 目 錄 .............................................................................................................. VIII 第一章 緒論 ...............................................................................................................1 1.1 前言...............................................................................................................1 1.2 研究目的與架構...........................................................................................4. 政 治 大 資產配置文獻之回顧...................................................................................5 立 指數追蹤文獻之回顧...................................................................................8. 文獻回顧 .......................................................................................................5. 2.1 2.2 2.3. VaR 文獻之回顧 ........................................................................................10. ‧ 國. 學. 第二章. ‧. 第三章 數學模型探討 .............................................................................................11 3.1 資產配置相關模型探討.............................................................................11 3.2 指數追蹤相關模型探討.............................................................................22 3.3 VaR 相關模型模型探討 ............................................................................30. er. io. sit. y. Nat. al. v. n. 第四章 建立與調整投資組合的數學規劃模型 .....................................................35 4.1 最小化風險值之投資組合選擇模型.........................................................35 4.2 調整投資組合的數學規劃模型.................................................................38. Ch. engchi. i Un. 第五章 實證研究 .....................................................................................................41 5.1 檢測模型最適信賴水準.............................................................................42 5.2 檢測模型最適累積偏差報酬率容忍值.....................................................45 5.3 檢測模型最適調整週期.............................................................................48 5.4 不同時間投資組合之成效與表現.............................................................51. 第六章. 結論與建議 .................................................................................................55. 參考文獻......................................................................................................................57 附錄 附表 .................................................................................................................59 VI.
(7) 圖 目 錄 圖一 在樣本時間段台灣股票市場指數走勢圖........................................................41 圖二 在 T1 時間段不同信賴水準下投資組合走勢圖 .............................................43 圖三 在 T2 時間段不同信賴水準下投資組合走勢圖 .............................................43 圖四 在 T3 時間段不同信賴水準下投資組合走勢圖 .............................................44 圖五 在 T1 時間段不同累積偏差報酬率容忍值下投資組合走勢圖 .....................45 圖六 在 T2 時間段不同累積偏差報酬率容忍值下投資組合走勢圖 .....................46 圖七 在 T3 時間段不同累積偏差報酬率容忍值下投資組合走勢圖 .....................47. 政 治 大 圖九 在 T2 時間段不同調整週期下投資組合走勢圖 .............................................49 立 圖八 在 T1 時間段不同調整週期下投資組合走勢圖 .............................................49. ‧ 國. 學. 圖十 在 T3 時間段不同調整週期下投資組合走勢圖 .............................................50 圖十一 在 T1 時間段投資組合與指數走勢圖 .........................................................51. ‧. 圖十二 在 T2 時間段投資組合與指數走勢圖 .........................................................52. n. al. er. io. sit. y. Nat. 圖十三 在 T3 時間段投資組合與指數走勢圖 .........................................................53. Ch. engchi. VII. i Un. v.
(8) 表 目. 錄. 附表一 台灣股票市場候選成份股............................................................................60 附表二 T1 時間段投資組合表現 ..............................................................................61 附表三 T2 時間段投資組合表現 ..............................................................................62 附表四 T3 時間段投資組合表現 ..............................................................................63. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. VIII. i Un. v.
(9) 第一章 緒論 1.1 前言 「你不理財，財不理你。」投資理財已是全民共同關注之議題。善用投資理 財，除了能累積財富外，更可實現人生理財目標。藉由不同的管道，涉略各種生 財之道，提高投資理財能力；依個人經濟負擔能力進行投資，同時採取適當的保 險措施；對於每個人不同的需求，找出最適合自己的投資方式，實為投資理財之 上策。. 股票市場成立後，除了是許多企業籌資管道之外，亦為一般投資人作為投資. 政 治 大. 理財的一項標的。傳統主動式投資理財觀念當中，如何於股票市場內賺取最多的. 立. 報酬，一向是投資人關心之焦點。投資單一股票有時獲利驚人，行情有利時能明. ‧ 國. 學. 顯擴大其獲利範圍，但未來的表現不一定如過去績效同樣良好，所謂：「站的越 高，跌的越深」。行情不利時單一股票損失跌幅將難以預期。俗話說：「不要將. io. sit. y. Nat. 理策略。. ‧. 所有雞蛋放在同一個籃子裡」，「分散投資」實為最有效降低投資風險之投資管. n. al. er. 為了改善主動式管理的缺失，近年來，被動式管理觀念孕育而生，ETF. i Un. v. (exchange traded funds)股票指數基金逐漸興起，採用追蹤市場指數或標的指數的. Ch. engchi. 投資策略，其建構方式係從股票市場內選定少數代表性股票種類，希望利用少數 股票種類即可代表被追蹤指數的整體績效，使其與被追蹤指數的報酬率的追蹤誤 差(tracking error)降至最低。被動式管理最終目的不在於追求最多的財富，而是穩 定的投資報酬，不但可以掌握投資趨勢，省去選擇單一個股的麻煩；更能分散投 資風險，降低交易成本，對投資者來說，在不穩定的時代賺取穩定的獲利，實為 保守投資人之最佳投資策略。. ETF 複製指數的策略最常見的有三種：完全複製法、代表性複製法、合成複 製法。. 1.
(10) 1.. 完全複製法(Fully Replication Method) 完全依照追蹤指數的成份及比重進行投資，當指數成份股變動時，持有股份. 作相同權重調整。完全複製法的好處在於誤差值最小，追蹤指數效果最佳，但大 多數投資人無足夠之資金購買所有股票，且股票太多時買賣交易成本與管理成本 會提高。. 2.. 代表性複製法(Representative Replication Method) 從股票市場中選出一些具代表性的成份股，建立一投資組合來貼近被追蹤指. 數。此方法選出股票數量較少，可降低交易成本，但與完全複製法相比較容易產 生一定程度的追蹤誤差。. 學. ‧ 國. 3.. 政 治 大 合成複製法(Synthetic Replication) 立 投資組合成份不光只有股票，同時運用衍生性金融商品，如期貨、選擇權…. 等，同樣達到了追蹤標的指數的效果。. ‧. 1989 年，加拿大多倫多交易所首先推出指數型商品─多倫多指數參與單位，. sit. y. Nat. 這是最早具有 ETF 概念的指數商品，但並沒有完善的商品整體設施；1993 年由. er. io. 道富環球投資發行 SPDR S&P 500 為全球第一檔 ETF，在美國證券交易所上市，. al. 追蹤 S&P 500 指數，是目前市值最大的 ETF；而台灣第一檔 ETF 亦於民國 92 年. n. iv n C 6 月 30 日由寶來投信發行，寶來台灣卓越 基金（台灣 50ETF）上市。回顧 h e n g c50 hi U ETF 之發展歷史，2000 年前以單一市場、單一國家、產業或區域性 ETF 為主， 成份多為股票；2000 年後開始出現債券或期貨商品為標的指數的 ETF，世界各 地 ETF 資產規模大幅增加。 自首檔 ETF 發行至今 ETF 已經盛行十餘年，ETF 迷人的魅力在於 ETF 可如 同一般股票在證券交易所內進行交易，並可以平盤進行放空動作，作為避險工具 之使用。由於 ETF 是一種指數追蹤產品，內含不同產業與股票，與投資單一股 票相比，更具有分散投資風險效果，且交易成本比主動式管理手續費或管理費用 要來的低廉，大幅降低買賣成本，增加投資利潤。. 2.
(11) 風險值(Value-at-Risk, VaR)是近年來風險控管的新趨勢，作為衡量與預測風 險的標準化指標。國際清算銀行(Bank of International Settlements, BIS)自西元 1996 年起，已經將 VaR 列為衍生性金融產品的必要公告事項。VaR 是指在給定 的機率範圍（信賴水準 β ）下，投資組合在持有期間內可能發生的最大損失值。 例如，某投資組合在 99%的信賴水準下，其 VaR 為 50 萬新台幣，則表示預測該 投資組合在未來 100 天內損失超過 50 萬新台幣的次數最多只有一次。. VaR 的實務運用最早是由 J.P. Morgan 的前總裁 Dennis Weatherstone 要求業 務部門於每日交易結束後繳交一份報告，預測該公司在市場行情變動的風險，提 供預測公司未來二十四小時之內潛在的損失預估值。我們可根據過去歷史資料或. 政 治 大 數─共變異數(variance-covariance method)、歷史模擬法(historical simulation)、蒙 立. 經由模擬，以統計的方式加以預測並計算出 VaR。常見的 VaR 計算方法有變異. 地卡羅模擬法(Monte Carlo simulation)、以及極端值理論(extreme value theory,. ‧ 國. 學. EVT)，而股票市場常以歷史模擬法當作 VaR 的主要計算方式。. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 3. i Un. v.
(12) 1.2 研究目的與架構. 本論文結合指數追蹤與 VaR 之概念，將觀測期內指數報酬率與投資組合報 酬率之偏差視為損益，以最小化偏差值之 VaR 為目標函數，建立一兼具指數追 蹤與控管 VaR 的投資組合選擇模型。我們以歷史模擬法算出在給定信賴水準 下 ，各單一股票在觀測期內的 VaR，選取 VaR 最小的前段少數種股票作為投資組 合的候選股。在建構投資組合的過程中，採用了 0-1 決策變數，計算指數報酬率 與投資組合報酬率之偏差值超過觀測偏差 VaR 的次數，也加入了交易手續費用 的限制式。我們將模型應用在台灣加權股價指數的歷史資料上，用以驗證模型在 股票市場中的表現與可行性。. 立. 政 治 大. 此篇論文的主要架構簡述如下：. ‧ 國. 學. 第一章為緒論。介紹本篇論文的研究動機與目的，以及內文架構。 第二章為文獻回顧。針對資產配置、指數追蹤與 VaR 的相關文獻，進行統. ‧. 整性的回顧與歸納。. y. Nat. 第三章為相關數學模型的探討。本章將延續第二章文獻回顧內所提及的數學. io. sit. 規劃模型進行探討。此章分成三部分：第一部分為資產配置選擇問題發展之歷程；. n. al. er. 第二部分為指數追蹤模型之演進；第三部分則是以 VaR 作為風險測度之相關模 型探討。. Ch. engchi. i Un. v. 第四章為建立最小化風險值之投資組合選擇模型。我們將觀測期內指數報酬 率與投資組合報酬率之偏差視為損益，以最小化偏差值之 VaR 為目標函數，建 立一投資組合選擇模型。同時加上交易手續費用限制，建構調整投資組合的數學 規劃模型。 第五章為實證研究的結果與分析。本章以第四章所提出之規劃模型，實際應 用於台灣加權股價指數歷史資料上，對模型之最適信賴水準、最適累積偏差容忍 值、最適調整週期與模型建構投資組合之成效和表現進行分析與探討。 第六章為結論與建議。針對本文所實際驗證之研究結果作歸納與統整，並提 出可供後續研究與改進之建議。. 4.
(13) 第二章 文獻回顧. 現代投資組合理論主要針對在單位風險下，以獲得的最大化報酬為目的來進 行資產配置，又稱為主動式管理。在平均值─變異數(mean-variance)風險架構下， 投資者將標準差(standard deviation)當作最適合的風險測度，以預測未來可能的獲 益與損失。與主動式管理相比，被動式管理則在追求貼近標的指數的績效，追蹤 誤差便是一種評估投資組合與指數績效差距的風險評估方式。近年來 VaR 常被 用來預測投資組合在持有期間內可能發生的最大損失，是一種新興的下方風險評 估方式。. 政 治 大. 本章針對學者對風險評估的衡量方式，將文獻分成資產配置、指數追蹤與. 立. VaR 三部分來介紹。. ‧ 國. 學 ‧. 2.1 資產配置文獻之回顧. y. Nat. io. sit. 投資組合規劃模型文獻中，最早是由 Markowitz (1952)提出投資組合選擇問. n. al. er. 題(portfolio selection problem)。Markowitz (1952)要求投資組合至少需超過某個給. i Un. v. 定的投資報酬率 下，將報酬率的變異數 2 視為投資風險做為規劃模型內的目. Ch. engchi. 標函數，尋找滿足給定投資報酬率且變異數最小的投資組合，此即平均變異數模 型(mean-variance model, MV 模型)。此處的風險函數為變異數，是二次函數，故 又稱為 L2 - norm。. 許多研究結果發現損益函數往往是非常態分配(non-normal distribution)，往 往有不同的偏態(skewness)與峰態(kurtosis)，更進一步來說，許多基金經理人將 損失與獲益視為非對稱性的。在財務上利用平均值─變異數策略來選取最佳投資 組合，對於似乎已經是不太適合的選擇。因此，財務上需要一套對所有非常態分 配損益函數更適合的風險測度評估方式，而出現了像是半變異數(semi-variance) 為了單獨測量損失部分建構出的風險測度。. 5.
(14) Konno 與 Yamazaki (1991)以 Markowitz (1952)的 MV 模型為基礎，提出了平 均絕對偏差模型(mean-absolute deviation model, MAD 模型)，將風險函數定義成 為投資組合報酬率的平均絕對偏差(mean-absolute deviation)定為風險，以最小化 為目標。由 Konno 與 Yamazaki (1991)所定義的風險函數屬於 L1 - norm，雖然可 以替代 Markowitz (1952)定義之 MV 模型，但仍非一線性規劃模型，但經由引進 一組新的變數，可以將原先之非線性轉換為線性規劃模型。此線性規劃模型去除 了 MV 模型需計算投資組合變異數矩陣的困擾，大幅降低求解困難度；同時，當 投資組合報酬率呈多變量常態分配(multivariate normally distributed )時，L1 - norm 與 L2 - norm 有倍數關係。. 政 治 大 (upside risk)與下方風險(downside 立 risk)，重新定義了半平均絕對值偏差(mean. Speranza (1993)將Konno與Yamazaki (1991)的平均絕對偏差分為上方風險. ‧ 國. 學. semi-absolute deviation)模型，將上方風險和下方風險分別視為平均報酬率的獲利 與損失，並給予不同之權重，建立一權重風險函數 N (x) 。此權重風險函數可提. ‧. 供投資人對風險趨避(risk aversion)、風險中立(risk neutral)、或風險愛好(risk loving. y. Nat. )此三種不同風險忍受程度，選擇適當的風險權重。在上方風險與下方風險權重. io. sit. 參數為一比一時，權重風險函數 N (x) 與MAD模型相等價。同時Speranza (1993). n. al. er. 也發現歷史資料新舊程度對於投資組合的選取會造成不同的結果，因此Speranza. i Un. v. (1993)在模型內加入了時間參數，對於觀測資料的新舊，給予不同的時間權重參. Ch. engchi. 數 wt ，同時將投資標的投資報酬率予以加權平均，建立了一個新的時間權重參 數模型。研究結果發現，距離觀測時間越近，資產影響投資組合選取程度越大。. 為了更符合股票市場交易實務運作，Speranza (1996)考量股票市場實際交易 問題，如單位交易成本和最低交易單位限制，建立一整數規劃模型，並實際運用 於米蘭股市。該模型內變數皆為整數，並使用0-1變數代表股票的投資與否，為 一混合整數線性規劃(mixed integer linear programming, MILP)模型。研究結果顯 示只有在候選股票數量低於15至20時才能於合理時間內求解。因此Speranza (1996)發展出一套啟發式算法(heuristic algorithm)。啟發式算法除了可加快求解速 度外，當投資金額增加時所求出之解誤差也會減少。. 6.
(15) Young (1998)提出大中取小的投資組合選擇法(mini-max portfolio selection)， 不同於以往風險測量函數的選擇方式，大中取小法是在給定固定報酬率之下，由 歷史資料算出在觀測期間任一投資組合在不同時間的損失，選擇損失為最小的投 資組合。由結果得知，當投資標的報酬率呈現常態分配時，大中取小法所建構之 線性規劃模型之解近似於 MV 模型最佳解。. 朱志達(民 99)利用建構指數基金的方法以及大中取小的概念，建立一超越 指數報酬率績效為目標的投資組合選擇模型，在模型中同時考慮實務上交易所需 的買賣交易手續費、整數交易單位與資產總類數等限制，為一混合整數非線性規 劃問題(mixed integer nonlinear programming, MINLP)。當候選股數量過多時，容. 政 治 大 中篩選出滿足限制條件的股票當作候選股，再利用已篩選過較少量的股票進行整 立 易遭遇求解效率不佳甚至無解的情形，因此朱志達(民 99)先從眾多的股票種類. 數規劃求解。. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 7. i Un. v.
(16) 2.2 指數追蹤文獻之回顧. 與主動式管理追求超越標的指數的績效相比，被動式管理採取追蹤市場指數 或標的指數的投資策略。被動式管理經理人要求投資組合與標的指數的表現要相 接近，希望利用少數股票種類即可代表股票市場整體績效，其目的在於縮小投資 組合與市場指數或目標指數報酬率誤差。指數追蹤問題在於如何從股票市場中找 出數種股票來複製指數的表現，而追蹤誤差就是一種測量投資組合與標的指數彼 此間績效的評估方式。. Meade與Salkin (1989)首先定義了 ε1 ( P) 追蹤誤差，是測量投資組合投資報酬. 政 治 大. 率與市場指數報酬率差距的一種函數，希望投資組合的報酬率與市場指數報酬率. 立. 之間的平方誤差總和為最小。此追蹤誤差與Markowitz (1952)定義之MV模型類似. ‧ 國. 學. ，皆為二次函數，當變數過多時求解會有困難。. ‧. 莊智祥(民 87)參考 Konno 與 Yamazaki (1993)中對 L1 - norm 風險函數的觀念. y. Nat. ，將 Meade 與 Salkin (1989)提出的追蹤誤差重新定義一個新的測度函數 ε 2 ( P) ，. io. sit. 將追蹤誤差定義成投資組合之價格與市場指數之價格的絕對偏差，且證明 ε1 ( P). n. al. er. 函數會不大於 ε 2 ( P) 函數的固定常數倍。莊智祥(民 87)並引進偏差變數，將目標. Ch. i Un. v. 函數線性化，並考量股票市場實際買賣情形，建構一整數規劃模型。. engchi. 白惠琪(民 91)以莊智祥(民 87)定義的追蹤誤差為基礎，考量股票市場實際 交易情形，如：最小交易量、股票買賣數量為交易單位或最小交易量之整數倍。 模型內投資數量皆為整數，提出一混合整數線性規劃問題。當變數過多時，無法 求得其最佳解。白惠琪(民 91)應用切面法(cutting-plane method)加入合理不等式， 縮小可行解區域後，再根據模型內的對偶問題，發展一套有效率之啟發式演算法， 研究結果發現切面法及啟發式演算法對 MILP 求解都有極佳的效率表現。. 8.
(17) 蘇代利(民 93)以莊智祥(民 87)定義的指數追蹤誤差，與白惠琦(民 91)發展 出的啟發式演算法做為建構指數基金的方法，根據過一段時間後的新資料、新數 據及目標規劃，來調整指數基金配置，進而達到最小化交易成本目的，探討調整 指數基金投資組合的最佳時機。研究結果發現調整投資組合的時間如距離投資組 合建立的時間越遠，所支付的交易成本越高；當調整成本小於追蹤誤差時，可考 慮調整指數基金的投資組合。. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 9. i Un. v.
(18) 2.3 VaR 文獻之回顧. VaR 是近年來風險控管的新趨勢，作為衡量與預測風險的標準化指標，用以 預測未來可能遭遇到的最大損失。VaR 的概念起源於下方風險，因此不論是任何 非常態分配的損益函數，我們都可以估計它們的風險值。VaR 是指在給定的信賴 水準 β 下，投資組合在持有期間內可能發生的最大損失值。. Harlow (1991)提出了以下方風險作為測度的函數，將下方偏差動差(lower partial moments, LPMs)定義為低於目標損失(target)與目標損失差距的 n 階期望值 ，當 n 為 1 或 2 時，以最小化下方偏差動差為目標，當投資組合預期期望值不同. 政 治 大 投資於股票市場的比例越大，無風險資產的比例越小，且最佳投資組合的期望值 立. 時，目標函數的下方偏差動差也會有所不同。研究結果顯示，當目標損失越大時，. ‧ 國. 學. 與標準差結果皆比 MV 模型的最佳解要來的出色。. ‧. Campbell、Huisman 與 Koedijk (2001)以 VaR 取代變異數當作下方風險，建 立了如同夏普指數(Sharp ratio)的規劃模型。Campbell、Huisman 與 Koedijk (2001). y. Nat. sit. 模型中的 VaR 定義為最小獲利值，將投資組合報酬與無風險利率的差距當作獲. n. al. er. io. 益，無風險獲利扣除投資組合的 VaR 當作風險，將兩者相除後做為目標函數，. i Un. v. 以最大化為目標，並實際運用於美國 S&P 500 指數與政府公債上。研究結果顯示. Ch. engchi. 此模型求出的解與 MV 模型的解近乎相同。. Benati 與 Rizz (2007)以 Markowitz (1952)的模型做延伸，將 VaR 取代變異數 當作風險，提出了一個混和整數線性規劃模型。此模型會導致成為一個 NP-Hard 的問題，但是當觀測時間期數 T 與資產個數 n 固定為一常數且該數並不大時，多 項式時間演算法(polynomial time algorithms)仍存在。此外，實證結果顯示：觀測 時間期數 T 與資產個數 n 大而風險值很小時，可在合理時間內求解。. 10.
(19) 第三章 數學相關模型探討. 本章節將針對第二章文獻回顧內所提及之數學規劃模型進行探討，將數學模 型分成資產配置、指數追蹤與 VaR 三大類來介紹。第一節為資產配置的數學規 劃模型，Markowitz (1952) 所提出的 MV 模型；而後 Konno 與 Yamazaki (1991) 提出 MAD 模型，以及其線性規劃模型與相關模型之延伸；最後則是 Young (1998) 所提出的 mini-max 投資組合模型。第二節為指數追蹤模型，Meade 與 Salkin (1989) 首先定義指數追蹤誤差測量函數；莊智祥(民 87)提出投資組合價格與市場指數 之價格的絕對偏差模型與其延伸。第三節則是 VaR 相關模型。Campbell、Huisman 與 Koedijk (2001)以 VaR 當作下方風險，建立了如同夏普指數(Sharp ratio)的規劃. 政 治 大. 模型。Benati 與 Rizz (2007)以 Markowitz (1952)的模型做延伸，將 VaR 取代變異. 立. 數當作風險，建立一混和整數線性規劃模型。. ‧ 國. 學 ‧. 3.1 資產配置的數學相關模型. y. Nat. io. sit. 投資組合選擇問題主要在探討如何做資產配置，以降低投資風險並獲得最大. n. al. er. 投資報酬率。Markowitz (1952)所提出的 MV 模型，選定一個投資組合，使得投. i Un. v. 資報酬率最大化與投資風險最小化。Markowitz 將投資組合內的報酬與風險分別. Ch. engchi. 定義為個別資產期望報酬之線性組合，與投資組合報酬率的變異數，其定義如 下： n. n. n. i 1. i 1. i 1. 報酬函數： r ( x1, ..., xn ) E ( Ri xi ) E ( Ri ) xi ri xi. 2 風險函數： L2 ( x1 , ..., xn ) σ ( x1 , ..., xn ) n n E Ri xi E ( Ri xi ) i 1 i 1 n. n. n. xi2σ i2 2 xi x j σ ij i 1 n. i 1 j i. n. σ ij xi x j i 1 i 1. 11. 2.
(20) 其中為 xi 第 i 項資產的投資金額， Ri 為隨機變數，表示第 i 項資產的投資報 酬率； ri 表示第 i 項資產的期望報酬率， ij 表示資產 i 與資產 j 投資報酬率的共 變異數， i2 則為資產 i 投資報酬率的變異數，亦可表示成為 ii 。. 為了要獲得投資組合的最大報酬與最小的投資風險，Markowitz (1952)要求 在給定最小需求投資報酬率 下，求最小風險的投資組合，此即平均變異數模型 (mean-variance model, MV 模型)，其定義如下：. 模型 A：Markowitz 的 MV 模型 n. min. n. 政 治 大. ij xi x j i 1 j 1. 立. n. ‧ 國. 學. ri xi M 0. s.t.. i 1. n. ‧. xi M 0 i 1. 資產投資總數. ij. 資產 i 與資產 j 投資報酬率之共變異數. ri. 資產 i 之期望報酬率，即 ri E ( Ri ) . . 最小需求投資報酬率. M0. 投資總額. Ui. 資產 i 之投資金額上限. n. al. er. sit. y. n. io. 參數：. Nat. 0 xi U i , i 1, , n. Ch. engchi. i Un. v. 1 T rit T t 1. 變數：. xi. 資產 i 之投資金額. Markowitz 所提出的 MV 模型，因目標函數內變異數為二次型方程式 (quadratic equation)，當變數過多時，會增加求解時間與困難度。. 12.
(21) Konno 與 Yamazaki (1991) 提 出 了 平 均 絕 對 值 偏 差 模 型 (mean-absolute deviation model, MAD 模型)，將風險函數定義成為投資組合報酬率的平均偏差。. 定義 3.1 (Konno 與 Yamazaki，1991) L1 - norm 風險函數 w(x) 定義如下： n n w( x) E Ri xi E ( Ri xi ) i 1 i 1 . 定義 3.2 (Konno 與 Yamazaki，1991) L2 - norm 風險函數 (x) 定義如下： n n ( x) E Ri xi E ( Ri xi ) i 1 i 1. 2. 政 治 大 定理 3.3 (Konno 與 Yamazaki，1991) 當( R , ..., R )呈多元常態分配時，則 立 1. ( x). ‧. ‧ 國. . 學. 2. w( x) . n. 由上述定理得知，當( R1, ..., Rn )呈多元常態分配時， w(x) 與 (x) 呈現一個固. Nat. n. al. er. io. 與 Yamazaki (1991) 的 L1 - norm 模型定義如下：. sit. y. 定倍數關係，也就是說最佳化 L1 - norm 與最佳化 L2 - norm 是相等價的。Konno. i n C U 模型Ｂ：Konno 與 Yamazaki 的 Lh norm 模型 i 1 -e ngch min. n n w( x) E Ri xi E ( Ri xi ) i 1 i 1. s.t.. E ( Ri ) xi M 0. n. i 1. n. xi M 0 i 1. 0 xi U i , i 1, , n 參數： n. 資產投資總數. . 最小需求投資報酬率. 13. v.
(22) M0 Ui. 投資總額 資產 i 之投資金額上限. 變數：. xi. 資產 i 之投資金額. 由於 Konno 與 Yamazaki (1991)所定義的風險函數 L1 - norm，雖然可以代替. L2 - norm，但仍非一線性規劃模型，在求解上仍有其困難度，仍需要做進一步線 性轉換步驟。Konno 與 Yamazaki (1991)引進另外一組新的偏差變數 yt ，經由轉 換過程，將 L1 - norm 轉換成等價 MAD 線性規劃模型，其定義如下：. 政 治 大. 模型Ｃ：Konno 與 Yamazaki 的 MAD 線性規劃模型. 立. n. 學. 1 T yt T t 1. ‧ 國. min. ‧. ri xi M 0. s.t.. i 1 n. y. sit. io. n. yt ait xi 0 , t 1,, T. al. n. i 1 n. Ch. engchi. yt ait xi 0 , t 1,, T. er. i 1. Nat. xi M 0. i Un. v. i 1. ait rit ri , i 1,, n , t 1,, T 0 xi U i , i 1,, n. yt 0 , t 1,, T 參數：. T. 歷史資料觀測期數. n. 資產投資總數. ri. 資產 i 之期望報酬率，即 ri E ( Ri ) . 14. 1 T rit T t 1.
(23) rit. 資產 i 在時間 t 之投資報酬率. . 最小需求投資報酬率. M0. Ui. 投資總額 資產 i 之投資金額上限. 變數：. xi. 資產 i 之投資金額. yt. 偏差變數. MAD 模型去除了 MV 模型需計算投資組合變異數矩陣的困擾，大幅降低求 解困難度，在實務運用上比 MV 模型更具有便利性與實用性。. 立. 政 治 大. 此外 Konno 與 Yamazaki 提出的 L1 - norm 風險函數可進一步改寫成為：. n. sit. y. ‧ 國. n R x E ( R x ) i i i i i 1 i 1 . ‧. n R x E ( i i Ri xi ) max 0, i 1 i 1 n. Nat. E min 0, . 學. n n w( x) E Ri xi E ( Ri xi ) i 1 i 1 . er. io. 上式的前項即投資報酬率小於期望報酬率的部份稱之為下方風險(downside. al. n. iv n C hengchi U 大多數投資人而言，希望上方風險越多越好，相反的，下方風險則是越少越好。 risk)，後項即投資報酬率大於期望報酬率的部份稱之為上方風險(upside risk)。對. 在最小化 L1 - norm 風險函數的過程中，也同時最小化上方風險與下方風險的和。 對於投資人忍受風險程度的不同，Speranza (1993)分別給予上方風險與下方風險 不同的權重，重新定義了一個新的風險函數：. 定義 3.4 (Speranza，1993) 權重風險函數 N (x) 定義如下： n n n n N ( x) E α min 0, Ri x i E ( Ri xi ) β max 0, Ri x i E ( Ri xi ) i 1 i 1 i 1 i 1 . 其中 α 與 β 表示風險權重，為一實數。. 15.
(24) 此權重風險函數，可提供投資人對不同的風險忍受程度選擇適當的風險權重 。此外 Speranza (1993)也在論文提及權重風險函數 N (x) 與 L1 - norm 風險函數的 關聯性。. 定理 3.5 (Speranza，1993) 當 ( R1, ..., Rn ) 呈多重變異常態分配時，則 N ( x) . 2. w( x). 由上述定理可知，當 α 1 時，權重風險函數 N (x) 與 L1 - norm 風險函數 是相同的，亦即在特定條件下，Speranza (1993)所定義的權重風險函數模型和. 治 政 也發現歷史資料新舊程度對於投資組合的選取會造成不同的結果，因此 Speranza 大 立 (1993)在模型內加入了時間參數 w ，對於觀測資料的新舊，給予不同的時間權重 Konno 與 Yamazaki (1991) 所定義的 MAD 模型是等價的。同時，Speranza (1993). t. ‧ 國. 學. 參數 wt ，同時將投資標的投資報酬率予以加權平均，建立了一個新的時間權重. ‧. 參數模型，其模型如下：. Nat. n. s.t.. sit. al. n. t 1. io. wt yt. er. T. min. y. 模型Ｄ：Speranza 的時間權重模型. riw xi M 0. Ch. i 1. engchi. n. xi M 0 i 1. n. yt ait xi 0 , t 1,, T i 1. ait rit ri , i 1,, n , t 1,, T 0 xi U i , i 1,, n. yt 0 , t 1,, T 0 wt 1 , t 1,, T 0 xi U i , i 1,, n. 16. i Un. v.
(25) vt 0 , ut 0 , t 1,, T 參數：. T. 歷史資料觀測期數. wt. 時間參數. n. 資產投資總數. rit. 資產 i 在時間 t 之投資報酬率. ri. 資產 i 之期望報酬率，即 ri E ( Ri ) . riw. w 資產 i 在 T 期內的加權平均投資報酬率，即 ri . . 最小需求投資報酬率. 立. 資產 i 之投資金額上限. 變數：. yt. 偏差變數. ‧. 資產 i 之投資金額. er. io. sit. y. Nat. xi. t wt rit t wt. 學. Ui. 投資總額. 政 治 大. ‧ 國. M0. 1 T rit T t 1. al. iv n C 不同於以往風險測量函數的選擇方式，大中取小法是在給定固定報酬率之下，由 hengchi U n. Young (1998)提出大中取小的投資組合選擇法(mini-max portfolio selection)，. 歷史資料算出在觀測期間任一投資組合在不同時間的損失，選擇損失為最小的投. 資組合，此即大中取小選擇法。換言之，若我們計算觀測期間內任一投資組合的 報酬率，選擇最小的報酬為最大的投資組合，即小中取大法。Young (1998)的模 型如下：. 模型 E：Young 的 minimax 大中取小模型 max. m n. s.t.. ri xi M i 1. 17.
(26) n. rit xi m ,. t 1,, T. i 1 n. xi M i 1. xi 0 , i 1,, n 參數： T. 歷史資料觀測期數. n. 資產投資總數. ri. 資產 i 之期望報酬率，即 ri E ( Ri ) . rit. 資產 i 在時間 t 之投資報酬率. i 1. 資產 i 之投資金額. io. sit. y. Nat. xi. n. 投資組合在觀測期間 t 內最小報酬，即 m min rit xi. ‧. m. 學. 變數：. er. M. 治 政 最小需求投資報酬率 大 立 原始資產總額 ‧ 國. . 1 T rit T t 1. al. 朱志達(民 99)利用建構指數基金的方法以及大中取小的概念，建立一超越. n. iv n C 指數報酬率為目標的投資組合選擇模型，在模型中同時考慮實務上交易所需的買 hengchi U 賣交易手續費、整數交易單位與資產總類數等限制，其模型如下：. 模型 F： T. min. Z yt t 1. s.t.. yt ( Pt I t ) 0 , t 1,, T Pt . N1. r jtV jT. j 1. M. . x j , t 1,, T. N1. (1 B ) x jV jT M j 1. 18.
(27) x jV jT U d j M , j 1, , N1 x jV jT L d j M , j 1, , N1 N1. d j KU j 1. N1. d j K L j 1. yt 0 , t 1,, T x j Z {0} , j 1, , N1. d j {0, 1} , j 1, , N1 參數：. 立. 政 治 大. It. 標的指數在時間 t 的報酬率. . 希望超越指數報酬率的常數. N1. 第一步驟選出的股票種類數. r jt. 股票 j 在時間 t 的報酬率. B. 買進股票時所需的比例交易費用. ‧. n. Ch. j 股票在決策時間 T 的價格. engchi. M. 投資人在時間 T 的總資產. U. 單一股票投資比重上限. L. 單一股票投資比重下限. KU. 涵蓋股票種類數的上限. KL. 涵蓋股票種類數的下限. T. 用來追蹤資料的時間長度. 變數：. yt. 負偏差變數. xj. 買進股票 j 之張數，為一整數變數. 19. er. io. al. sit. y. Nat. V jT. ‧ 國. 投資組合在時間 t 的報酬率. 學. Pt. i Un. v.
(28) 1 當 x j 0 dj 0 其他. 為了更符合股票市場的走勢，必須對所建立的投資組合做調整。因此朱志達 (民 99)考慮股票市場買賣條件，建立調整投資組合的數學規劃模型，其模型如 下： 模型 G： T. min. Z yt t 1. yt ( Pt I t ) 0 , t 1, , T N1. Pt r jt. x jV jT. j 1. , 立 M. 政 治 大 t 1, , T. x jV jT U d j M , j 1, , N1. 學. ‧ 國. ‧. x jV jT L d j M , j 1, , N1 N1. y. io. N1. sit. j 1. Nat. d j KU. d j K L a. er. s.t.. n. iv l C n U ~ x j bj s j x j , h j e1,n g , Nc 1 hi j 1. b j s j 0 , j 1, , N1 N1. N1. N1. j 1. j 1. j 1. B b jV jT S s jV jT x jV jT M N1. ~x jV jT R M j 1. yt 0 , t 1, , T x j , b j , s j Z {0} , j 1, , N1. d j {0, 1} , j 1, , N1. 20.
(29) 參數：. Pt. 投資組合在時間 t 的報酬率. It. 標的指數在時間 t 的報酬率. . 希望超越標的指數報酬率的常數. N1. 第一步驟選出的股票種類數. r jt. 股票 j 在時間 t 的報酬率. B. 買進股票時所需的比例交易費用. S. 賣出股票時所需的比例交易費用. M. ~x j. j 股票在決策時間 T 的價格. 政 治 大 未調整前持有股票 j 的張數 立 投資人在時間 T 的總資產. U. 單一股票投資比重上限. L. 單一股票投資比重下限. KU. 涵蓋股票種類數的上限. KL. 涵蓋股票種類數的下限. T. 用來追蹤資料的時間長度. ‧. ‧ 國. 上一期交易後剩下的現金. 學. R. io. sit. y. Nat. n. al. 變數：. Ch. engchi. yt. 負偏差變數. xj. 調整後持有股票 j 之張數. bj. 買進股票 j 之張數. sj. 賣出股票 j 之張數. 1 當 x j 0 dj 0 其他. 21. er. V jT. i Un. v.
(30) 3.2 指數追蹤的數學相關模型. 指數追蹤是指選定一個投資組合，希望利用少數股票價格變動，即可代表股 票市場整體績效，使其與市場指數或指數報酬率追蹤誤差降至最低。亦即能「複 製」標的指數，使投資人得以獲取該指數之報酬率，縮小投資組合與市場指數或 目標指數報酬率誤差。指數追蹤問題在於如何從股票市場中找出數種股票來複製 指數的表現，而追蹤誤差就是一種測量投資組合與標的指數彼此間績效的評估方 式。其追蹤效果的好壞程度以追蹤誤差當作測量準則，傳統追蹤誤差的定義方式 如下:. 政 治 大. 定義 3.6 (Meade 與 Salkin，1989) 追蹤誤差 1 : R n R 是測量投資組合 P 投資報. 立. 學. ‧ 國. 酬率與市場指數報酬率差距的一種函數。令 RtI 與 RtV 分別代表市場指數與投資組 合在第 t 期的報酬率，則傳統追蹤誤差之定義為：. ‧. ( RtV RtI ) 2 t 1. V Vt 1 I t I t 1 ， RtV t ， I t 和 Vt 分別代表市場指數和投資組合在 Vt 1 I t 1. y. sit. n. al. er. io. 第 t 期的價格。. Nat. 其中， RtI . 1 ( P) . T. Ch. engchi. i Un. v. 莊智祥(民 87)參考 Konno 與 Yamazaki (1993)文中對 L1 - norm 風險函數的觀 念，提出一個新的測度方法 2 ( P) ，用來衡量追蹤指數的誤差，其定義如下： 定義 3.7(莊智祥，民 87) 令 pit R ， xi {0} ， pit 和 xi 分別表示股票 i 在時 間 t 的價格及股票 i 的購買數量。則追蹤誤差為： T. T. n. 2 ( P) Vt I t pit xi I t t 1. t 1 i 1. 由定義 3.7 可知，莊智祥(民 87)將 2 ( P) 定義為投資組合之價格與市場指數 之價格的絕對偏差，使用目標規劃的技巧，將絕對值函數轉換成線性函數，以方. 22.
(31) 便求解。莊智祥(民 87)並探討 1 ( P) 與 2 ( P) 兩函數間的關聯性。. 定理 3.8 (莊智祥，民 87) 對任一投資組合 P 為指數基金建構模型中之一可行解 (feasible solution )，且 2 ( P) ， R ，則. 1 ( P) K 2 ( P) 其中 K . I max 2 I min. , I max max {I t } , I min min {I t ,Vt } 1t T. 1t T. 莊智祥(民 87)考量股票市場實際買賣情形，設定股票 i 的買賣張數為正整數 或 0， yi 表示購買股票 i 與否的二元變數，其目標為最小化追蹤誤差，建構一整. 政 治 大. 數規劃模型，其模型描述如下：. 立. ‧ 國. T. min. 學. 模型 H：. n. pit xi I t n. ‧. t 1 i 1. y. sit. io. xi M i yi , i 1, , n. n. a. 參數：. xi Z {0}, l yi {0,1}, i 1, , n C. hengchi. T. 歷史資料觀測期數. n. 股票投資總數. It. 市場指數在時間 t 的價值. pit. 股票 i 在時間 t 之價格. N0. 投資組合所選取股票總數之上限. Mi. 表一正數，即 M i . i Un. v. max t {I t } wi ， wi 為股票 i 之投資權重 min t { pit }. 變數：. xi. er. i 1. Nat. yi N 0. s.t.. 股票 i 的購買數量. 23.
(32) 1 當 xi 0 yi 0 其他. 莊智祥(民 87)引進偏差變數 dt 與 dt ，分別代表在時間 t 指數基金的投資組 合與市場指數價值的正負偏差，將目標函數線性化，其轉換後的目標規劃模型如 下：. 模型Ｉ： T. min. z (d t d t ) t 1. I t , t 1治 , , T pit xi dt d t 政 n. s.t.. i 1 n. ‧ 國. 學. yi N 0. 立. 大. i 1. xi M i yi , i 1, , n. ‧. xi Z {0}, yi {0,1}, i 1, , n. Nat. sit. n. al. er. io. 參數：. y. dt 0, dt 0, t 1, , T. T. 歷史資料觀測期數. n. 股票投資總數. It. 市場指數在時間 t 的價值. pit. 股票 i 在時間 t 之價格. N0. 投資組合所選取股票總數之上限. Mi. 表一正數，即 M i . Ch. engchi. i Un. v. max t {I t } wi ， wi 為股票 i 之投資權重 min t { pit }. 變數：. xi. 股票 i 的購買數量. d t. 在時間 t 時投資組合價值與市場指數價值之正偏差. d t. 在時間 t 時投資組合價值與市場指數價值之負偏差. 24.
(33) 1 當 xi 0 yi 0 其他. 由於 MILP 問題求解較為困難，白惠琦(民 91)為了加快上述 MILP 模型之求 解速度，提出了一套有效率的啟發式演算法。假設已知一組 yi 解，則模型 I 可改 寫成下列模型：. 模型Ｊ： T. min. z (d t d t ) t 1. n. I t , t 1治 , , T pit xi dt d t 政. s.t.. i 1. 立. xi M i , i N1. 大. (3.2). ‧ 國. 學. xi {0}, i N1 dt 0, dt 0, t 1, , T. ‧. 參數：. (3.1). 歷史資料觀測期數. n. 股票投資總數. It. 市場指數在時間 t 的價值. pit. Ch 股票 i 在時間 t 之價格. Mi. 表一正數，即 M i . N1. 已知投資股票之集合，即 N1 { i yi 1, i 1, , n } N. sit. n. er. io. al. y. Nat. T. engchi. i Un. v. max t {I t } wi ， wi 為股票 i 之投資權重 min t { pit }. 變數：. xi. 股票 i 的購買數量. d t. 在時間 t 時投資組合價值與市場指數價值之正偏差. d t. 在時間 t 時投資組合價值與市場指數價值之負偏差. 25.
(34) 令 t 與 i 分別為對應限制式(3.1)與(3.2)的對偶乘子(dual multiplier)，其轉換 後之對偶模型如下：. 模型Ｋ： max. T. n. t 1. i 1. W I t t M i i T. pitt i 0,. s.t.. i N1. t 1. t 1, t 1, , T t 不限正負值, t 1, , T. 政 治 大. i 0, i N1. 立. 參數：. 歷史資料觀測期數. n. 股票投資總數. It. 市場指數在時間 t 的價值. pit. 股票 i 在時間 t 之價格. Mi. 表一正數，即 M i . N1. 已知投資股票之集合，即 N1 { i yi 1, i 1, , n } N. Nat. max t {I t } wi ， wi 為股票 i 之投資權重 min t { pit }. n. er. io. al. sit. y. ‧. ‧ 國. 學. T. 變數：. Ch. engchi. t. 限制式(3.1)的對偶乘子. i. 限制式(3.2)的對偶乘子. i Un. v. 白惠琦(民 91)使用切平面法，加入合理不等式以縮小其解集合空間，進而 提高求解速率。接著將局部放鬆所求得之實數解調整為合理之整數解，此演算法 稱之為啟發式演算法。. 26.
(35) 蘇代利(民 93)以莊智祥(民 87)定義的指數追蹤誤差，與白惠琦(民 91)發 展出的啟發式演算法做為建構指數基金的方法，再以最小化交易成本的概念，根 據過一段時間後的新資料、新數據及目標規劃，來調整指數基金配置，進而達到 交易成本最小化的目的，其模型如下:. 模型Ｌ： n. min. n. C ( x x 0 ) ki xi xi0 ki xi xi0 . i 1. . i 1. T. Z (d t d t ) Z 0 (1 ). s.t.. t 1. I t , t 1治 , , T pit xi dt d t 政 n. i 1 n. 立. ‧ 國. 學. yi N 0. 大. i 1. xi M i yi , i 1, , n. ‧. xi Z {0}, yi {0, 1}, i 1, , n. Nat. sit. y. d t 0, d t 0, t 1, , T. al. n. 參數：. Ch. engchi. er. io. a max{a, 0} , a min{a, 0}. i Un. v. T. 歷史資料觀測期數. n. 股票投資總數. k i. 買進每單位股票 i 的交易成本. k i. 賣出每單位股票 i 的交易成本. xi0. 原投資組合中，股票 i 的投資金額. Z0. 原指數基金投資組合所具有的追蹤誤差值. . 投資者所能容忍的誤差程度， . It. 市場指數在時間 t 的價值. pit. 股票 i 在時間 t 之價格. 27. Z Z0 Z0.
(36) N0. 投資組合所選取股票總數之上限. Mi. 表一正數，即 M i . max t {I t } wi ， wi 為股票 i 之投資權重 min t { pit }. 變數：. xi. 股票 i 的購買數量. d t. 在時間 t 時投資組合價值與市場指數價值之正偏差. d t. 在時間 t 時投資組合價值與市場指數價值之負偏差. 1 當 xi 0 yi 0 其他. 政 治 大. 由於此模型之目標函數並不是線性函數，蘇代利(民 93)引進一組變數 ui、vi. 立. ，使得. ‧ 國. 學. x xi ui vi , x xi ui vi , ui 、 vi 0 , ui vi 0 其中 ui vi 0 , i 1, , n 為互補限制式(complementarity constraints)，消去後可得. ‧. 下述 MILP 模型：. n. al. n. i 1. T. s.t.. n. C ( x x 0 ) ki ui ki vi. er. io. min. sit. y. Nat. 模型Ｍ：. ni C h i 1 U engchi. Z (d t d t ) Z 0 (1 ) t 1. n. pit xi dt dt I t ,. t 1, , T. i 1 n. yi N 0 i 1. xi M i yi , i 1, , n. xi xi0 ui vi , i 1, , n xi Z {0}, yi {0, 1}, i 1, , n d t 0, d t 0, t 1, , T. 28. v.
(37) ui 0, vi 0, i 1, , n 參數：. T. 歷史資料觀測期數. n. 股票投資總數. k i. 買進每單位股票 i 的交易成本. k i. 賣出每單位股票 i 的交易成本. xi0. 原投資組合中，股票 i 的投資金額. Z0. 原指數基金投資組合所具有的追蹤誤差值. . 投資者所能容忍的誤差程度，即 . Z Z0. N0. 投資組合所選取股票總數之上限. Mi. 表一正數，即 M i . 學 ‧. max t {I t } wi ， wi 為股票 i 之投資權重 min t { pit }. y. Nat. 變數：. 0. sit. It. ‧ 國. pit. 治 Z 政 市場指數在時間 t 的價值 大 立 股票 i 在時間 t 之價格. d t. 在時間 t 時投資組合價值與市場指數價值之正偏差. d t. 在時間 t 時投資組合價值與市場指數價值之負偏差. n. al. er. 股票 i 的購買數量. io. xi. Ch. engchi. 1 當 xi 0 yi 0 其他. 29. i Un. v.
(38) 3.3 VaR 的數學相關模型. VaR 除了可視為未來可能遭受到的最大損失外，亦可視為未來可能得到之最 低獲利。在條件限制下，VaR 函數具有非凸集(nonconvex)、非平滑(nonsmooth)、 與多重相對極值(multi-extremum)的特性，造成求解上之困難。到目前為止，研 究學者仍無法發展出一套有效率求出 VaR 的演算法。. 我們令 X 表示投資組合未來的報酬，為一隨機變數，令 f X () 為 X 的機率密 度函數， FX () 表示 X 的累積分配函數，則該投資組合對應信賴水準 的 VaR， 定義為該累積分配函數累積機率為 時，相對應 X 的值。. 立. ‧. ‧ 國. 學 VaR. 最大損失. y. Nat. sit. 1－β. n. al. er. io. 機 率 密 度 函 數. 政 治 大. Ch. engchi. i Un. v. 投資組合損失. 定義 3.9 (Jorion，1997) 令 (0, 1) ，則 X 相對應信賴水準 的 VaR 定義為：. VaR ( X ) inf{ x FX () } 1 如果 FX () 為一連續且嚴格遞增函數，則 VaR ( X ) FX ( ) 。. 舉例來說，假設給定信賴水準 為 95%，表示投資組合未來可能發生損失不 超過 VaR ( X ) 的機會為 95% ，投資組合未來損失超過 VaR ( X ) 的機會為 5% 。. 30.
(39) Campbell、Huisman 與 Koedijk (2001)以 VaR 取代變異數當作下方風險，建 立了如同夏普指數(Sharp ratio)的規劃模型，以最大化為目標。其模型如下：. 模型 N：. rp r f. max. Sp . s.t.. W0 B xi Pi 0. ( c, p ) n. i 1. Pr{W0 W (T , p) VaR *} (1 c). E(W (T, p)) (W0 B)(1 rp ) B(1 r f ). 政 治 大. n. rp xi ri i 1. 立. ‧ 國. 學. (c, p) W0 r f VaR (c, p). n. ‧. W0 (VaR * VaR (c, p' )) B (c, p' ). y. sit. i 1. Nat. xi 1. al. n. 參數：. er. io. xi 0, i 1, , n. Ch. engchi. n. 資產投資總數. rf. 無風險利率. c. 給定信賴水準. ri. 資產 i 之期望報酬率，即 ri E ( Ri ) . pit. 資產 i 在時間 t 之價格. B. 無風險資金. W0. 原始投資總額. Pi 0. 資產 i 的原始價格. VaR *. 原本投資組合的 VaR 值. 31. i Un. v. 1 T rit T t 1.
(40) VaR (c, p) 投資組合 p 在定信賴水準 c 下的 VaR 值. 變數： W (T , p). 投資組合 p 最後的總額. xi. 資產 i 投資權重. rp. 投資組合報酬率. Benati 與 Rizz (2007)以 Markowitz (1952)的模型做延伸，將 VaR 取代變異數 當作風險，提出了一個混和整數線性規劃模型。. 模型Ｏ： T. max. pt xt. 立. t 1. 政 治 大. n. ‧ 國. 學. xt i rit , t 1 , , T. s.t.. i 1. T. ‧. xt r min (r VaR r min ) yt , t 1 , , T. i 1. al. y. n. i 1. sit. io. n. er. t 1. Nat. pt (1 yt ) VaR. CT y {0, 1}, t 1, ,h t. engchi. i Un. v. i 0 , i 1, , n 參數：. T. 歷史資料觀測期數. n. 股票投資總數. xt. 投資組合在時間 t 之報酬率. rit. 資產 i 在時間 t 之投資報酬率. ri. 資產 i 之期望報酬率，即 ri E ( Ri ) . 1 T rit T t 1. 每期投資組合最低報酬率，即 r min 100% r min . 32.
(41) VaR 投資組合之信賴水準 pt. 投資組合在時間 t 之報酬率發生的機率. 變數： 投資組合之風險值 r VaR . i. 資產 i 的投資權重. 0 當 xt r VaR yt 1 其他. 除了考慮固定風險下求最大報酬，同時也可仿 Markowitz (1952)的模型，在 固定期望報酬下，求最小風險，因此，Benati 與 Rizz(2007)同時提出了另一個新. 政 治 大. 的混合整數線性規劃模型：. 立. ‧ 國. min. 學. 模型Ｐ：. r VaR. ‧. T. y. sit. t 1. Nat. pt xt r *. s.t.. K. xt r. min. al. n. i 1. (r. er. io. xt i rit , t 1 , , T. C rhmin ) yt , t 1 , , TU n i engchi. VaR. T. pt (1 yt ) VaR t 1 n. i 1 i 1. yt {0, 1}, t 1, , T. i 0 , i 1, , n 參數：. T. 歷史資料觀測期數. n. 股票投資總數. r*. 最小需求投資報酬率. 33. v.
(42) xt. 投資組合在時間 t 之報酬率. rit. 資產 i 在時間 t 之投資報酬率. ri. 資產 i 之期望報酬率，即 ri E ( Ri ) . 1 T rit T t 1. 每期投資組合最低報酬率，即 r min 100% r min . VaR 投資組合之信賴水準 pt. 投資組合在時間 t 之報酬率發生的機率. 變數： 投資組合之風險值 r VaR 資產 i 的投資權重. 0 當 xt r VaR yt 1 其他. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. io. sit. y. Nat. n. al. er. i. Ch. engchi. 34. i Un. v.
(43) 第四章 建立最小化風險值之投資組合選擇模型 ETF 指數基金是投資選擇的新選項之一，藉由挑選少數代表性股票，即可達 到追蹤標的指數報酬率之效果；而 VaR 可視為衡量與預測風險的標準化指標， 做為預估投資組合未來可能發生的損失。本章節中，將標的指數報酬率與投資組 合報酬率之偏差視為損益，使用 VaR 的概念，預估投資組合未來報酬率低於標 的指數報酬率的最大可能值，以最小化偏差 VaR 為目標，建構一最佳投資組合 模型。當變數與限制式過多時，求最佳解時常有效率不佳或無法求出可行解的情 況，因此我們首先減少建立投資組合時的候選股。在給定信賴水準 下，首先計 算在觀測期 T 內各單一股票的 VaR，選取 VaR 最小的前段少數種股票作為投資組. 政 治 大. 合的候選股當成模型的輸入資料，藉以求出最佳投資組合。. 立. ‧. ‧ 國. 學. 4.1 最小化風險值之投資組合選擇模型. Nat. y. 我們考慮投資組合 x ( x1,, xn ) ，其中 xi 表示股票 i 的投資金額。股票 i 與標. n. Ch. pit pi ,t 1 pi ,t 1. e int git c1 h i. It . er. io. al. rit . sit. 的指數 I 在時間 t 的投資報酬率 rit 與 I t 分別定義為：. i Un. v. it 1. 其中 pit 表示股票 i 在時間 t 的價格， it 表示指數在時間 t 的觀測值，我們可以根據 上述定義來表示投資組合 x 在時間 t 的投資報酬率 Rt ： n. Rt rit i 1. xi W. W 表示可使用的資金總額。我們將為指數報酬率與投資組合報酬率的偏差值 I t Rt 視為損益，當 I t Rt 值為正時，表示在時間 t 時指數報酬率比投資組合報 酬率要來的好；當 I t Rt 值為負時，表示在時間 t 時投資組合報酬率比指數報酬 率要來的出色。我們從股票市場中，選出少數股票種類構成投資組合，計算觀測. 35.
(44) 期 T 內偏差 VaR，因此得到以下限制式：. I t Rt (r VaR r max ) dt r max 此處 r. max. 表示指數報酬率與投資組合報酬率之偏差值的最大值， r. VaR. 為偏差. VaR。上式可解釋成找到一組投資組合，在觀測期 T 內當偏差值小於偏差 VaR 時，. d t 值為 1，當偏差值大於偏差 VaR 時， d t 值為 0，在此 d t 為 0-1 變數。在給定信 賴水準 下，觀測測期 T 內偏差值大於偏差 VaR 發生的次數不可超過 T (1 ) 次 ，因此，我們又有底下的限制式： T. (1 d t ) T (1 ) t 1. 累積偏差值越大，表示投資組合的獲利越低；累積偏差值越小，表示投資組合的. 政 治 大. 獲利越高。為了控制損失，在此我們要求在觀測期 T 內指數報酬率與投資組合報. 立. 學. ‧ 國. 酬率的累積偏差值要在某個範圍之內，因此得到下式： T. (It Rt ) t 1. ‧. 其中 為指數報酬率與投資組合報酬率的累積偏差容忍值，表示在觀測期 T 內累. sit. y. Nat. 積的損失不可超過 。除此之外也要考慮購買股票的交易費用，交易費用金額與. io. n. al. n. (1 B) xi W. Ch. i 1. engchi. er. 投資股票總額之和不可超過可使用的資金總額，因此有底下限制式：. i Un. v. B 表示購買股票時所需要之交易手續費比例，同時，我們允許不把所有資金投入. 股票市場，將剩餘現金 m 視為投資組合的一部分，關係式如下： n. m W (1 B) xi i 1. 0 m W. 為可存放於銀行現金之最大比例。在建立投資組合時，為了符合分散投資以降 低風險的原則，也限制了單一股票投資比例限制：. 0 xi W 其中 為單一股票可投資現金的最大比例，同時股票禁止放空。根據以上關係式， 我們希望在觀測期內偏差值函數的 VaR 為最小，所建立出之規劃模型如下：. 36.
(45) <模型一> min. r VaR. s.t.. Rt rit. n. i 1. xi , t 1 , , T W. (4.1). I t Rt (r VaR r max ) dt r max , t 1 , , T. (4.2). T. (1 dt ) T (1 ). (4.3). t 1 T. (It Rt ) . (4.4). t 1. n. (1 B) xi W i 1. 立. n. (4.5). 政 治 大. m W (1 B) xi. (4.6). i 1. ‧ 國. 學. 0 m W dt {0, 1}, t 1, , T. (4.10). n. al. er. io. sit. ‧. Nat. r VaR R. (4.9). y. (4.8). 0 xi W , i 1, , n. 參數：. v. T. 歷史資料觀測期數. n. 候選股票總數. It. 指數在時間 t 的報酬率. . 指數報酬率與投資組合報酬率的累積偏差容忍值. rit. 股票 i 在時間 t 之投資報酬率. Ch. (4.7). engchi. i Un. 指數報酬率與投資組合報酬率之偏差值的最大值 r max . 信賴水準. W. 可使用的資金總額. . 單一股票可投資現金的最大比例. B. 買進股票的交易費用比例. . 可存放於銀行現金之最大比例. 37.
(46) 變數：. Rt. 投資組合在時間 t 的投資報酬率. r VaR 指數報酬率與投資組合報酬率之偏差 VaR. xi. 股票 i 的投資金額. m. 剩餘現金. 0 當 I t Rt r VaR dt 1 其他. 4.2 調整投資組合的數學規劃模型. 立. 政 治 大. 由於股票市場瞬息萬變，一開始建立的投資組合，隨著建立的時間變長，其. ‧ 國. 學. 報酬率可能與標的指數報酬率差距有擴大的趨勢，這時就必須經由調整投資組合 的成份與比重，使投資組合能再度滿足指數追蹤及 VaR 最小的需求。. ‧. sit. y. Nat. 調整投資組合的數學規劃模型如同模型一，首先，在給定信賴水準 下，先. io. er. 計算各股票在觀測期 T 內各股票的 VaR，選取 VaR 最小的前段少數種股票作為投 資組合的候選股，並從這些股票中，建立投資組合使得在觀測期 T 內投資組合報. n. al. Ch. i Un. v. 酬率與指數報酬率偏差值的 VaR 為最小。經過一段時間後，重新調整投資組合. engchi. 各股票的投資金額。假設 xˆi 表示股票 i 在調整前的資產金額，在新的投資組合當 中，因投資比重重新調整，股票 i 的投資金額可能與前一期所累積下來的金額會 有所不同，因此股票 i 新的投資金額與調整前資產金額會有以下關係：. xˆi bi si xi , i 1, , n. (4.11). xi 為新投資組合中股票 i 的投資金額，bi 表示股票 i 在新一期需多投入的資金總額 ， si 表示股票 i 在新一期減少的投資金額。在正常的情況下，投資人對單一股票 不會同時進行買進與賣出的動作，所以 bi 與 si 有以下關係：. bi si 0. (4.12). 買進與賣出的交易手續費比例也不相同，調整後投資組合的資產總額與手續費用. 38.
(47) 總和必須小於或等於未調整前的總資產，因此有底下關係式： n. n. n. i 1. i 1. i 1. B bi S si xi W. (4.13). 其中 B 為買進股票的交易費用比例， S 為賣出股票的交易費用比例，W 為當時股 票總資產加上前期存放於銀行之現金，根據上敘限制式，我們建立調整的數學規 劃模型如下：. <模型二> min. r VaR. s.t.. Rt rit. n. i 1. xi , t 1 , , T W. (4.1). 政 治 大 ) d r , t 1 , , T. I t Rt (r VaR r max. 立. max. (4.2). t. T. ‧ 國. 學. (1 dt ) T (1 ) t 1. (It Rt ) . ‧. Nat. y. T. t 1. sit. xˆi bi si xi , i 1 , , n. anl. n. n. er. io. bi si 0, i 1 , , n n. B bi S si xi W i 1. i 1. Ch. engchi. i 1. n. n. n. i 1. i 1. i 1. m W ( B bi S si xi ). i Un. v. (4.3). (4.4) (4.11) (4.12) (4.13). (4.14). 0 m W. (4.7). dt {0, 1}, t 1, , T. (4.8). 0 xi W , i 1, , n. (4.9). r VaR R. (4.10). 參數：. T. 歷史資料觀測期數. n. 候選股票總數. It. 指數在時間 t 的報酬率. 39.
(48) . 指數報酬率與投資組合報酬率的累積偏差容忍值. rit. 股票 i 在時間 t 之投資報酬率. 指數報酬率與投資組合報酬率之偏差值的最大值 r max . 信賴水準. W. 在時間 T 的資產總額. xˆ. 調整前股票 i 的資金總額. . 單一股票可投資現金的最大比例. B. 買進股票的交易費用比例. S. 賣出股票的交易費用比例. . 可存放於銀行現金之最大比例. 變數：. 立. 投資組合在時間 t 的投資報酬率. r VaR 指數報酬率與投資組合報酬率之偏差 VaR. bi. 調整後股票 i 增加的投資金額. si. 調整後股票 i 減少的投資金額. m. 剩餘現金. ‧. 調整後股票 i 的投資金額. n. sit er. io. 0 當 I t Rt a lr VaR dt Ch 1 其他 engchi. y. Nat. xi. 學. ‧ 國. Rt. 政 治 大. i Un. v. 由於變數與限制式過多時，求 VaR 最佳解常有效率不佳或無法求出可行解 的情況，因此我們首先減少要選取投資組合的候選股。在給定信賴水準 下，首 先計算各股票在觀測期 T 內各股票的 VaR，選取 VaR 最小的前數種股票作為投資 組合的候選股後，使用模型一與模型二建立與調整投資組合。. 40.
(49) 第五章 實證研究. 本論文以台灣股票市場為實證研究的對象，採用台灣發行量加權股價指數做 為標的指數，用以驗證模型之可行性與有效性。在發行量加權股價指數資料上， 我們使用朱志達(民 99)相同的研究資料，資料內包含摩台指、台灣 50 及寶來與 富邦證券發行的 ETF 中 173 家股票資料當作投資標的，這些候選股在市值、公 眾流通量與流動性均通過嚴格的篩選程序。朱志達(民 99)使用資料的樣本時間 段為 2004/01/01~2010/05/27 共 329 週除權息調整後週資料，資料來源取自於 TEJ 台灣經濟新報資料庫；因樣本時間段較長，在 173 家成分股中有 11 家投資標的. 政 治 大. 於 2004/01/01 尚未上市，刪除 11 家後選擇其中 162 家股票當作投資組合內的投 資標的，列於附表一：. 立. ‧ 國. 學. 台灣股票市場2004/01/02-2010/05/02指數走勢圖. sit. io. 6000. er. 8000. 指 數 值. y. Nat. 10000. ‧. 12000. al. n. 4000. Ch. 2000. engchi. i Un. v. 2010/05/02. 2010/01/02. 2009/09/02. 2009/05/02. 2009/01/02. 2008/09/02. 2008/05/02. 2008/01/02. 2007/09/02. 2007/05/02. 2007/01/02. 2006/09/02. 2006/05/02. 2006/01/02. 2005/09/02. 2005/05/02. 2005/01/02. 2004/09/02. 2004/05/02. 2004/01/02. 0. 時間. 圖一. 台灣股票市場指數走勢圖. 由圖一可知，在樣本期間內指數呈現大幅上漲，持續下跌與盤整震盪的走勢。 我們選擇於樣本時間內其中三個時段作為我們驗證模型的時間段，資料起訖如 下：. 41.
(50) T1：2004/08/16~2005/10/21 在此時間段內指數呈現盤整震盪趨勢。 T2：2008/05/16~2008/11/21 在此時間段內指數呈現大幅度下跌趨勢。 T3：2009/01/21~2010/01/15 在此時間段內指數呈現大幅度上漲趨勢。. 實證研究分為底下四部分： 1. 檢測模型最適信賴水準 。 2. 檢測模型最適累積偏差報酬率容忍值 。 3. 檢測模型最適調整週期。 4. 驗證模型於三個時間段之成效與表現。. 政 治 大 利用 GAMS (Brooke, Kendrick, and Meeraus，1988)軟體中的 DICOPT 模組求出規 立 本論文實證研究於 Intel Core Duo CPU i5 2.40GHz 的筆記型電腦下進行，並. 劃模型之解，所得驗證結果與討論分析如下：. ‧. ‧ 國. 學. 5.1 檢測模型最適信賴水準. sit. y. Nat. er. io. VaR 的定義是在給定信賴水準 下，觀測值可能遭受到的最大損失。在本節 中我們要探討信賴水準 與投資組合表現之關係，我們使用 T1、T2、T3 三個資. al. n. iv n C W為 料時間段進行討論。首先我們對於第四章節內的模型參數做設定，起始資金 hengchi U. 1000 萬，內樣本時間段 T 為 30 週，指數報酬率與投資組合報酬率之偏差值的最 大值 r max 設定為 14%，累積偏差容忍值 設定為 0.1 ，買進股票固定交易費用 比例 B 為 0.1425%，賣出股票固定交易費用與稅金比例 S 為 0.4425%， 單一股票 投資的最大比例上限 為 10%，存放於銀行現金最大比例 為 30%，即表示投資 組合內最少有 8 種以上候選股組成。在給定 95% 的信賴水準下，我們先計算觀測 期內各股票的 VaR，選取 VaR 最小的前 20 種股票當作投資組合的候選股，利用 模型一建構投資組合，並且每隔 8 週後利用模型二重新調整投資組合。我們將模 型內信賴水準 分別設定為 95% 、 90% 與 85% ，驗證在不同信賴水準 下投資 組合之表現。. 42.
(51) 9000 8000 市場指數 指 7000 數 值 6000. β = 95% β = 90% β = 85%. 5000 4000 1. 5. 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 時間 (週). 圖二. T1 時間段不同信賴水準下投資組合走勢圖. 政 治 大 圖二表示 T1 時間段內在不同信賴水準 下投資組合的表現，橫軸部分為投 立. ‧ 國. 學. 資時間 t ，以週為單位；縱軸表示市場指數與投資組合的指數值。我們於第一週 時將市場指數與投資組合正規化，使市場指數與投資組合指數值相同。從圖形資. ‧. 料可看出三組投資組合的表現差異性不大，平均表現以 95% 與 85% 較為 出色。在三十七週前三組投資組合表現差異不大，三十七週後 95% 與 85%. y. Nat. sit. 稍微拉開了與 90% 的差距。表現最佳的為 85% ，於樣本時間段結束時收. n. al. er. io. 在 7324.8 點；投資組合最低的則為 90% ，最後收在 7007.52 點，兩者相差了 317.28 點，年化報酬率相差約 4.71% 。. Ch. engchi. i Un. v. 10000 9000 8000. 市場指數. 指 7000 數 值 6000. β = 95% β = 90% β = 85%. 5000 4000 3000 1. 3. 5. 7. 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 時間 (週). 圖三. T2 時間段不同信賴水準下投資組合走勢圖. 43.
(52) 圖三表示在 T2 時間段內不同信賴水準 下投資組合的表現，表現最佳的為. 95% ， 90% 與 85% 的表現則相距不遠。二十六週前三者表現差異不 大，二十六週後 95% 的表現拉開了與另外兩組投資組合的差距。當樣本時間 段結束時投資組合表現最佳為 95% ，最後收在 6595.17 點；表現最低的為. 85% ，收在 6192.13 點，兩者相差了 403.04 點， 95% 比 85% 減少了 約 7.13% 的年化報酬率損失。. 9000 8000 7000 指 數 6000 值 5000. 3000. 5. 9. β = 85%. 13. 17. 21 25 29 時間 (週). 37. 41. 45. 49. y. Nat. io. sit. T3 時間段不同信賴水準下投資組合走勢圖. er. 圖四. 33. ‧. 1. β = 90%. 學. 4000. ‧ 國. 立. 市場指數 β = 95%. 政 治 大. al. 圖四表示在 T3 時間段內不同信賴水準 下投資組合的表現。從圖形資料可. n. iv n C 看出三組投資組合的表現差異性不大，以 h e n g ch90i %U的表現最為出色，於樣本時間 段結束時收在 7944.97 點。投資組合表現最佳的 90% 與投資組合表現最低的. 95% 僅僅相差了一百多點，年化報酬率相差約 3.05% ，並沒有明顯差距過大 的表現。. 深入分析給定不同信賴水準 下，在三組樣本時間段內投資組合的表現。當. 95% 時，要求條件較為嚴苛，於觀測期內指數報酬率與投資組合報酬率之偏 差值超過偏差 VaR 的次數累積只有一次，條件嚴格；而 90% 與 85% 時， 指數報酬率與投資組合報酬率之偏差值超過偏差 VaR 的次數分別為三次與四次， 條件較寬鬆。從三個時間段投資組合的表現來看，表現其實差不多，推測其原因. 44.
(53) 在於觀測期時間段僅僅只有 30 天，在給定信賴水準 下，我們以觀測期時間段 VaR 最小的前 20 種股票做為候選股，資料本身有較佳的時效性，選出之投資組 合相類似。. 從三組不同信賴水準下投資組合的表現來看，差異性不大。綜合表現來看，. 95% 的限制條件較為嚴苛，建議模型內選用 95% 做為投資組合之信賴水 準。. 5.2 檢測模型最適累積偏差容忍值. 政 治 大 設定不同累積偏差容忍值，會影響到投資組合中應該積極進場或保守觀望的 立. ‧ 國. 學. 投資策略。本節主要在驗證不同累積偏差容忍值 下投資組合之表現。我們同樣 使用 T1、T2、T3 三個資料時間段進行討論，並將模型內不同累積偏差容忍值 . ‧. 設定為 0.05、 0.1 與 0.15，即在觀測期內投資組合報累積酬率比指數累積報 酬率分別多出 5% 、 10% 與 15% ，信賴水準 設定為 95% ，建立投資組合後每 8. y. Nat. n. al. er. io. 9000 8000. sit. 週重新調整一次投資組合，其餘參數設定相同。. Ch. engchi. i Un. v. 市場指數. 指 7000 數 值 6000. ρ =－0.15 ρ =－0.10. ρ =－0.05 5000 4000 1. 5. 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 時間 (週). 圖五. T1 時間段不同累積偏差容忍值下投資組合走勢圖. 圖五表示在 T1 時間段內不同累積偏差容忍值 下投資組合的表現。從圖形. 45.
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