第二章 文獻回顧
2.1 資產配置文獻之回顧
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第二章 文獻回顧
現代投資組合理論主要針對在單位風險下，以獲得的最大化報酬為目的來進 行資產配置，又稱為主動式管理。在平均值─變異數(mean-variance)風險架構下，
投資者將標準差(standard deviation)當作最適合的風險測度，以預測未來可能的獲 益與損失。與主動式管理相比，被動式管理則在追求貼近標的指數的績效，追蹤 誤差便是一種評估投資組合與指數績效差距的風險評估方式。近年來 VaR 常被 用來預測投資組合在持有期間內可能發生的最大損失，是一種新興的下方風險評 估方式。
本章針對學者對風險評估的衡量方式，將文獻分成資產配置、指數追蹤與 VaR 三部分來介紹。
2.1 資產配置文獻之回顧
投資組合規劃模型文獻中，最早是由 Markowitz (1952)提出投資組合選擇問 題(portfolio selection problem)。Markowitz (1952)要求投資組合至少需超過某個給 定的投資報酬率
下，將報酬率的變異數 2
視為投資風險做為規劃模型內的目 標函數，尋找滿足給定投資報酬率且變異數最小的投資組合，此即平均變異數模 型(mean-variance model, MV 模型)。此處的風險函數為變異數，是二次函數，故 又稱為L - norm。 2
許多研究結果發現損益函數往往是非常態分配(non-normal distribution)，往 往有不同的偏態(skewness)與峰態(kurtosis)，更進一步來說，許多基金經理人將 損失與獲益視為非對稱性的。在財務上利用平均值─變異數策略來選取最佳投資 組合，對於似乎已經是不太適合的選擇。因此，財務上需要一套對所有非常態分 配損益函數更適合的風險測度評估方式，而出現了像是半變異數(semi-variance) 為了單獨測量損失部分建構出的風險測度。
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Konno 與 Yamazaki (1991)以 Markowitz (1952)的 MV 模型為基礎，提出了平 均絕對偏差模型(mean-absolute deviation model, MAD 模型)，將風險函數定義成 為投資組合報酬率的平均絕對偏差(mean-absolute deviation)定為風險，以最小化 為目標。由 Konno 與 Yamazaki (1991)所定義的風險函數屬於
L - norm，雖然可 1
以替代 Markowitz (1952)定義之 MV 模型，但仍非一線性規劃模型，但經由引進 一組新的變數，可以將原先之非線性轉換為線性規劃模型。此線性規劃模型去除 了 MV 模型需計算投資組合變異數矩陣的困擾，大幅降低求解困難度；同時，當 投資組合報酬率呈多變量常態分配(multivariate normally distributed )時，L - norm 1
與L - norm 有倍數關係。 2
Speranza (1993)將Konno與Yamazaki (1991)的平均絕對偏差分為上方風險 (upside risk)與下方風險(downside risk)，重新定義了半平均絕對值偏差(mean semi-absolute deviation)模型，將上方風險和下方風險分別視為平均報酬率的獲利 與損失，並給予不同之權重，建立一權重風險函數
N (x )
。此權重風險函數可提 供投資人對風險趨避(risk aversion)、風險中立(risk neutral)、或風險愛好(risk loving )此三種不同風險忍受程度，選擇適當的風險權重。在上方風險與下方風險權重 參數為一比一時，權重風險函數N (x )
與MAD模型相等價。同時Speranza (1993) 也發現歷史資料新舊程度對於投資組合的選取會造成不同的結果，因此Speranza (1993)在模型內加入了時間參數，對於觀測資料的新舊，給予不同的時間權重參 數w t
，同時將投資標的投資報酬率予以加權平均，建立了一個新的時間權重參 數模型。研究結果發現，距離觀測時間越近，資產影響投資組合選取程度越大。為了更符合股票市場交易實務運作，Speranza (1996)考量股票市場實際交易 問題，如單位交易成本和最低交易單位限制，建立一整數規劃模型，並實際運用 於米蘭股市。該模型內變數皆為整數，並使用0-1變數代表股票的投資與否，為 一混合整數線性規劃(mixed integer linear programming, MILP)模型。研究結果顯 示只有在候選股票數量低於15至20時才能於合理時間內求解。因此Speranza (1996)發展出一套啟發式算法(heuristic algorithm)。啟發式算法除了可加快求解速 度外，當投資金額增加時所求出之解誤差也會減少。
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Young (1998)提出大中取小的投資組合選擇法(mini-max portfolio selection)，
不同於以往風險測量函數的選擇方式，大中取小法是在給定固定報酬率之下，由 歷史資料算出在觀測期間任一投資組合在不同時間的損失，選擇損失為最小的投 資組合。由結果得知，當投資標的報酬率呈現常態分配時，大中取小法所建構之 線性規劃模型之解近似於 MV 模型最佳解。
朱志達(民 99)利用建構指數基金的方法以及大中取小的概念，建立一超越 指數報酬率績效為目標的投資組合選擇模型，在模型中同時考慮實務上交易所需 的買賣交易手續費、整數交易單位與資產總類數等限制，為一混合整數非線性規 劃問題(mixed integer nonlinear programming, MINLP)。當候選股數量過多時，容 易遭遇求解效率不佳甚至無解的情形，因此朱志達(民 99)先從眾多的股票種類 中篩選出滿足限制條件的股票當作候選股，再利用已篩選過較少量的股票進行整 數規劃求解。