第二章、 文獻探討與理論基礎
第四節、 國中數學圖像
圖形不僅是幾何問題的對象，而且對於解答所有各類問題都有很大的幫助（閻育蘇
譯，1993）。數學中的圖像一般有二種，一是幾何形象，二是示意性質的非幾何圖形。雖 然數學體系是建立在嚴密的邏輯基礎上，但在獲得這些結果的思考過程中，圖形直觀常 能啟發和開導人們的思路（夏聖亭，1998）。
一、數字圖像
數的概念和計數方法遠在有文字記載以前就已發展（歐陽絳譯，1993）。數字圖像是 學習數學的第一步，數字概念不斷的擴展以至於其圖像化更加複雜，學習者必需用不同 的眼光來看待數字。以下根據國立編譯館（2001）所編著之國民中學數學教師手冊，列 出國中數學中數字的視覺圖像呈現。
自然數：
最容易被看到的數字 1： 、2： 、3： 。 整數：
0： 、1： 、-1： 、2： 、-2： 。 分數：
3
1 、
4
1 ：在觀察上必需先知道 、 代表 1。
有限小數：
0.1 、0.2
在觀察上要必需先知道 代表 1，同時必需知道小數是切割成 10 等分。
0.243
當小數點後數字越多時，在圖像的呈現上切割越多次，操作越來越困難，觀察上要
先知道 代表 1。
無限小數：
呈現方式與有限小數相同，但無法在有限的操作下完成切割，因此，無限小數圖像 已經無法明確呈現。
無限循環小數 0.333333333……=
3 1
=
無限不循環小數 0.32456…更難以呈現了。
根號數：
如下圖，取第一個正方形代表單位面積為 1，再畫面積為 4、9 的正方形較簡單，且 在面積 1 和 4 間有面積為 2、3 的正方形，在面積 4 和 9 間有面積為 5、6、7、8 的 正方形。以數學幾何作圖的角度而言，必需以尺規作圖方式繪製圖形，並以幾何證 明的方式進一步說明。以正方形的邊長代表
2
、 3 、…等數。例如：以線段長代表根號數
如下圖
OA = 2
、OB
= 5、OC
= 10、OD
= 17。如下圖
DA = 2
、DB
= 3、DC = 4 = 2
例如：以面積大小代表根號數
面積為
2
的矩形，代表2
。 面積為 2× 5 = 10的矩形，代表 10 。配合圓內冪性質 配合畢氏定理
綜合上述，首先，數字圖像呈現可以點代表數、線代表數、面代表數。其次，數字 圖像的繪製(1)先確定單位 1 所代表的圖形意義（基本圖像的建立）。(2)利用尺規作圖進 行圖像操作。(3)根據理論，例如配合畢氏定理及圓內冪性質，說明繪製圖形所代表的數 字。最後，對數字圖像的視知覺(1)看出數字：認識自然數、整數。(2)看出比例及操作 順序：認識分數、有限小數與無限小數。(3)看出抽象化：創造想像的視覺圖像並與實際 理論的視覺操作相結合。
二、數量圖像
數學的實際應用中，學者們根據自己研究對象和領域的特性，或者把數當作連續性 來看待，或者把數當作離散性來處理。例如，研究時間、空間、運動有關的科學時，一 般地是討論著連續性的數；而在統計學或電子計算機計算中，則寧可處理離散的數，更 符合於實用。當人們研究著複數甚至＂四元數＂的時候，數的概念就更高度地抽象化為 一種有特殊運算法則的符號體系（楊弢亮，1992）。
數學的發展初期以離散的數字為主：由自然數到整數。但數字的發展並不限於此，
更朝向連續的數字或數量發展。如下左圖代表 + + + 8 1 4 1 2
1 …。如下中圖呈現，圓周率π 是 3.14…。如下右圖代表等面積的兩個四邊形。這些圖像中數量概念的意義各有不同，
學習者必需理解比例關係與切割組合，才能進一步的理解相關的數字與數量。
(Æ□) (3.14…) (相等)
綜合上述，數量圖形的繪製為（1）先確定基本單位所代表的圖形意義。（2）進行圖 像操作，操作包括切割、比較、想像無限次的操作表現…等。（3）根據理論，例如配合 極限性質及比例關係，說明繪製圖形所代表的數量。其此，對數量圖像的視知覺為（1）
看出數量、看出比例及操作順序：認識無限小數、無理數、π。（2）看出抽象化：創造 想像的視覺心像並與實際理論的視覺操作相結合，將想像以基礎理論建構出來。
三、數學視覺化工具
在數學內容中如果遇到不易圖像化的對像時便會發展相關工具加以呈現，稱為數學 視覺工具，例如：直角坐標將二元一次方程式以圖形的方式呈現，是屬於數學的視覺化 工具之一。
四、數學操作工具
教師實施教學，對於某些事物的性質、概念等的真正意義，常會使學生不能完全了
解，以致於印象模糊、似是而非、學習困難、興趣索然、不易記憶；為了補救這些缺點，
使學習任何事物，由感官的看和聽來輔助，那就是應用實物實事，或圖表、模型等，來 協助教學；這種教學上的輔助器材，都是教學設備（李嘉淦，1984）。此處稱這類輔助器 材中必需應用肢體操作的器材為操作工具。
（一）操作工具
利用一些隨手可得的教具，使得問題更實際、有趣，從而誘發學習動機，對了解問 題大有助益，進而有效地解決問題（張靜嚳、念家興譯，1996）。畫圖除了筆之外，尺、
圓規等作圖工具是必要的。講解方程式我們最初會用到天平來講解。測量需要體重計或 溫度計，這些都是間接或直接的呈現數學概念或數字的操作工具，利用操作工具操作圖 形或是藉由工具呈現數字進而呈現出圖形，直接或間接的我們都必需對圖像進行操作。
這是數學學習上很重要的一個過程。
（二）操作流程
三角形全等性質就是我們利用尺規作圖畫出全等三角形的程序，以符號簡化為 AAS、
ASA、SSS、SAS、RHS 等五種作圖法，太少步驟則無法完成全等三角形，太多步驟又嫌多 餘，因此，從不同的作圖順序歸結出三角形的五個全等性質，這些性質是視覺圖像的操 作過程概念化的一個很好的例子。
方程式的概念可以利用天平來說明，而求解方程式的過程中，等量公理的概念可以 藉由天平的操作來呈現，這也是操作流程概念化非常重要的例子。
五、視覺圖像與操作運算
在視覺圖像的呈現上，運算可以是圖像的操作，以數學運算來加以表示，以下就針 對相關運算的圖像呈現來加以說明。
（一）基礎運算：
1、加法運算圖像：
2、減法運算圖像：
3、乘除法運算圖像：
（二）動作操作Æ建立數學概念：
1、等量公理或移項法則，在天平的操作過程中，若要保持天平左右的平衡，必需左右 進行對稱操作，而藉由操作的過程可以建立等量公理的概念。
2、三角形重心概念的傳達：藉由操作工具傳達三角形重心概念。
六、視覺圖像與思考
即使問題不是幾何問題，也可利用圖像。對於非幾何問題，去找出一個清晰的幾何 表達方式，是走向解答的重要一步（閻育蘇譯，1993）。
（一）問題圖像化：
例如：
宴會中共有 8 個人。每個人都必須和其它賓客握手。該宴會中共握了多少次手？
看到此圖你有甚麼發現呢？（張靜嚳、念家興譯，1996）
（二）思考過程圖像化（解題過程圖像化）
任何知識的學習沒有不思考而有結果，數學也不例外，因此，思考過程中視覺圖 像扮演甚麼樣的角色，也是我們所關心的。
例如：
有 A～I 共 9 人，買彩卷只有一人中獎。向他們詢問誰中了獎，他們的回答如下。
其中，說實話的只有 3 個人。那麼，請問中獎的是誰呢？
A：「是 E。」 B：「是我。」 C：「是 B。」 D：「不是 E。」
E：「是 B 或 H」 F：「是 E。」 G：「不是 B。」 H：「不是 B 也不是我。」
I：「H 所說的是事實。」
使用表格來思考問題：O 表示說實話，X 表示說謊話
A B C D E F G H I AÆ X X X O X X O O O BÆ X O O O O X X X X CÆ X X X O X X O O O DÆ X X X O X X O O O EÆ O X X X X O O O O FÆ X X X O X X O O O GÆ X X X O X X O O O 假
設 中 獎 人
HÆ X X X O O X O X X
IÆ X X X O X X O O O
由上可知 H 為中獎人時，只有 3 個人說實話，其它假設均超過 3 個人說實話（岡部 恆治，2003）。
（三）概念圖像化
數學概念可使用概念圖來加以整理，如下圖所示：
圖 2-4-1 數字發展的概念圖
綜合以上關於國中數學內容圖像化可分為（1）具體：內容本身即為圖像，如數字圖 像、數量圖像、數學視覺化工具、數學操作工具、幾何圖像。（2）動作圖像化：基礎運 算、操作程序、公式圖像化。（3）抽象層級的圖像化：思考圖像化、概念圖像、概念架 構圖、問題圖像化、符號體系架構。
第五節 數學教學—視覺圖像方面的技巧
依據皮亞傑與布魯納的認知發展理論，在數學學習活動的層次上，要有具體的學習 經驗、半具體的學習經驗，以及抽象的學習經驗，三者兼容並顧（國立編譯館，1995）。 因此，本節以視覺圖像進行討論並不是數學教學只強調具體的學習經驗，而是基於研究 方向探討視覺圖像應注意的教學技巧。
視覺圖像是具體的學習材料，Fleming 和 Levie(1993)認為圖表和圖像可以引起學生 學習動機。Rieber 認為人類對於文字刺激的反應屬於後天學習，而圖像刺激除了後天學 習，亦為一種本能反應，故圖像較易於學習（王曉如，2003）。張霄亭(2002)認為多數人 的學習是視覺導向的，視覺圖像可以吸引注意力、維繫注意力及提昇學習動機。由於兒 童對文字認知還不夠，其視覺的反應與刺激往往來自圖像。
以下就以視覺圖像方面的技巧來說明國中數學教學中應注意的事項。
一、以圖像呈現數學概念
（一）、數與量
1、基本圖像的建立(1)正負數加減運算的教學 「數線模式」或「正負電荷」相消模式
（國立編譯館，2001）。
(2)正負數乘法法則的教學 以「力矩法」或「類型法」進行教學（國 立編譯館，2001），藉由視覺的觀察讓 學生理解乘法法則。
2、切割ÅÆ組合
(1)古希臘人習慣用線段來表示一個數 量，連同數量的四則運算，都用線 段表示。設下列的兩線段 a 和 b 為 已知，則 a＋b 組合，a－b 切割，a×b 和 a÷b 都可由線段表示，如右圖(黃 敏晃，2002)。
(2)乘以五分之一：表示切割成五塊後, 每一塊的大小；乘以五分之三：表 示切割成五塊後,每一塊的大小再 乘以三倍,以下圖表示。乘法絕非是 同數累加，而是新單位量的倍數轉 化成以 1 為單位量的倍數問題(甯自 強，1998)。
(3)因數教學，利用排成長方形，看出 因數的概念。
(4)質數教學，利用排成長方形，看出
質數的概念。
4 3 (5)分數相乘教學，利用矩形紙張，對
摺切割線的方式，看出分數相乘代 表的圖像意義。
3、旋轉/顛倒
(1)負負得正的概念：負是動詞，是反 轉到另一面的義意。
4、抹去/消失
(1)分數化簡：利用圖像的抹去手法說 明分數的化簡。
5、比較與比例Æ相等
(1)公因數教學，列舉看出相同的。
6、鏡射（動詞）=對稱（形容詞）/翻面
6、鏡射（動詞）=對稱（形容詞）/翻面