羅吉特模型統計特性

本節將包括三個部分，首先講述羅吉特模型之校估方式，並於模型配適 程度中討論模型的預測能力，最後於參數分析部分說明模型估計後參數變動 對於方案選擇所帶來之影響。

壹、參數校估

個體選擇模式參數校估方式是以「最大概似法」(Maximum Likelihood Method)進行。此方法之基本概念為「找出能使觀測之數值有最大發生機率之 參數組合」，即概似函數值最大時之參數解。假設共有 T 組家族，透過訪談取 得其居住安排現象，並以𝑃_𝑖𝑡代表家族 t 選擇方案 i 之機率，在觀察值為獨立之 前提下，其概似函數(Likelihood Function; L)將為各觀察值選擇機率的相乘 值，其可表示為：

𝐿(𝜃) = 𝐿(𝛽

₂

, … , 𝛽

_𝑘

|𝑖, 𝑥) = 𝑃

_𝑐1,1

∙ 𝑃

_𝑐1,2

∙ … ∙ 𝑃

_{𝑝𝑜,𝑇}

= ∏

^𝑇_𝑡=1

∏

_{𝑖∈𝐶𝑖}

(𝑃

_𝑖𝑡

)

^𝑦𝑖𝑡

··· (3-16)

其中，𝑦_𝑖𝑡於家族 t 呈現第 i 種居住安排時為 1，其他時為 0；θ代表模型參 數向量；𝐶_𝑖為家族可選擇的居住安排方案集合。為求得最大概似估計的參 數，在方法上將概似函數𝐿(𝜃)轉換為對數模式，得ln 𝐿(𝜃)為非線性模型。

McFadden(1976)證明ln 𝐿(𝜃)為絕對凸函數，有唯一的最大值。因此對參數向 量𝛽_𝑘微分並令其值為 0 時，可求得𝛽_𝑘的估計值，而所有替選方案將可校估出 一組最適的參數值，其推導過程如下：

不同世代同住傾向、孝道觀念對親子同住之影響

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𝑙𝑛 𝐿(𝜃) = ∑

^𝑇_𝑡=1

∑

_{𝑖∈𝐶𝑖}

𝑦

_𝑖𝑡

𝑙𝑛 𝑃

_𝑖𝑡

··· (3-17)

𝜕 𝑙𝑛 𝐿(𝛽₂,…,𝛽_𝑘|𝑡,𝑥)

𝜕𝛽_𝑘

= 0 ， ∀𝑘 ··· (3-18)

上述非線性函數需使用反覆運算以求取近似值，而於模型校估上，本研 究係採用 Limdep 統計軟體進行校估。

貳、模型配適程度

模型參數校估成果可透過統計上的檢定方法以判斷模型的好壞，而以最 大概似法校估參數模型常用的統計檢定包括概似比指標、正確預測百分比、

漸進 t 檢定等(凌瑞賢，2004)；此外，由於本研究將建構巢式羅吉特模型以分 析居住安排現象，故亦將巢式結構檢定的方式納入，其說明如下：

一、概似比指標(Likelihood Ration Index, 𝜌²)

由於模型的應變數為選擇機率，無法從觀測資料獲得，故不能像一般迴 歸分析可以從殘差中計算判定係數𝑅²，以檢定模型的配適度(Goodness of fit)。最大概似法通常採概似比指標(𝜌²)以比較各種不同模型的優劣。

𝜌

²

= 1 −

^{𝑙𝑛 𝐿(𝛽}_{𝑙𝑛 𝐿(0)}^̂𝑘)

··· (3-19)

其中，ln 𝐿 (𝛽̂_𝑘)代表參數估計值為𝛽̂_𝑘時之概似函數對數值；ln 𝐿 (0)代表等 市場佔有率(Equal Share)模式之概似函數對數值，即所有參數皆為零時之概似 函數對數值。概似比指標相當於被解釋到的概似函數對數值與總概似函數對 數值之比，其值介於 0 與 1 之間；ρ²值越大，表示模型的配適度越高。但ρ² 值不能以一般迴歸分析中的R²值標準來衡量，通常ρ²值在 0.2~0.4 之間時，已 代表很高的配適度。

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二、正確預測百分比(Correctly Predicted, %)

正確預測百分比可用來測定一模型對選擇行為預測準確的程度，依機率 加總方式不同可分為二類：

(一)機率和(Probability Sum)

係將家族所選居住安排方案之機率值直接加總而得：

𝑃𝑆 =

_𝑇¹

∑

^𝑇_𝑡=1

∑

_{𝑖∈𝐶𝑖}

𝑓

_𝑖𝑡

∙ 𝑃

_𝑖𝑡

··· (3-20)

其中，T 代表家族總數(即總觀察值)；𝑓_𝑖𝑡代表當家族 t 選擇方案 i 時為 1，

其他方案時為 0；𝐶_𝑖代表方案集合；𝑃_𝑖𝑡代表家族 t 選擇方案 i 的機率。

(二)單位加權(Unit Weight)

從每家族可選擇的各居住安排方案中，選出機率值最大者，重定其值為 1，其餘則設為 0，再依前述方法加總。

𝑈𝑊 =

¹

𝑇

∑

^𝑇_𝑡=1

∑

_{𝑖∈𝐶𝑖}

𝑓

_𝑖𝑡

∙ 𝑊

_𝑖𝑡

··· (3-21)

當𝑃_𝑖𝑡 > 𝑃_𝑗𝑡，𝑗 ≠ 𝑖 ∈ 𝐶_𝑖時定義𝑊_𝑖𝑡為 1，否則為 0。

上述機率和的方式較符合機率之原則，而單位加權則較符合效用最大的 原則；本研究後續於模型呈現上將以單位加權為主。

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三、漸進 t 檢定(Asymptotic t test)

概似比指標係針對於整個模型參數作檢定，漸進 t 檢定則多用於檢定個別 參數的顯著性，亦即模型中估計的各參數值在統計上是否顯著不等於零，其 可用 t 統計量檢定。各參數估計值(𝛽̂_𝑘)之顯著性可透過下式之 t 統計量加以檢 定：

𝑡

_𝛽̂𝑘

=

^{𝛽̂𝑘−0}

𝑆_𝑒𝑘

··· (3-22)

其中，𝑆_𝑒𝑘為參數𝛽̂_𝑘之標準差。

四、巢式結構檢定

針對 3-15 式進行最大概似校估將可校估出包容值係數𝜃̂，其值於滿足巢式 結構的情況下應介於 0 與 1 之間，才為合理之模型架構。當𝜃̂大於 1 或小於 0 時，代表巢式羅吉特模型與隨機效用模型不一致，因此模型必須重新設定；

其中若𝜃̂大於 1 時，則可能是巢層反置所致；當𝜃̂等於 1 時，則巢式羅吉特模 型將可簡化為多項羅吉特模型。因此，在巢式羅吉特模型的估計上，包容值 係數之顯著性及係數值大小，為模型設定是否合理之重要評估標準(曾喜鵬、

薛立敏，2005)。針對包容值係數之檢定，參考曾喜鵬、薛立敏(2005)的作 法，可透過漸進 t 檢定以比較係數值為 1 或 0 之虛無假設，藉以判斷巢層結構 成立與否。

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參、參數分析

運用 3-17 式及 3-18 式概念估計各模型將可校估出參數預測值𝛽̂_𝑘，透過漸 進 t 檢定將可檢定各變數的影響程度顯著於否(如：性別是否將造成世代傾向 同住或不同住)；爾後，因應於變數型態的不同，將可計算勝算比或彈性分 析，以進一步解釋變數的影響程度。

一、勝算比(Odds Ratio)

若羅吉特模型中變數設定型態為特定方案虛擬變數(如：是否有工作)，則 可透過勝算比比較出方案的選擇機率，其概念可表示如下：

𝑃_𝑖𝑡|_𝑥=1

𝑃_𝑖𝑡|_𝑥=0

= 𝑒𝑥𝑝(𝛽) ··· (3-23)

其中，𝑃_𝑖𝑡|_𝑥=1代表有工作下決策者 t 選擇方案 i 的機率；𝑃_𝑖𝑡|_𝑥=0代表沒有 工作下決策者 t 選擇方案 i 的機率；𝑒𝑥𝑝(𝛽)代表有工作相對於沒有工作下𝑃_𝑖𝑡發 生的機率。

二、彈性分析

彈性概念係運用於連續變數(如：每人享有居住面積)之分析，針對變數變 動所影響的方案對象可區分為直接彈性與交叉彈性。直接彈性的概念為某一 方案效用函數中之屬性值變化百分之一時，該方案選擇機率變動之百分比。

例如，當決策者選擇傾向同住方案下，其每人享有居住面積增加 1%時該決策 者傾向同住機率可能變動百分比；其公式如下所示：

𝐸

_𝑋^𝑃_𝑖𝑡𝑘^𝑖𝑡

=

^{𝜕𝑃𝑖𝑡}

𝜕𝑋𝑖𝑡𝑘

∙

^{𝑋𝑖𝑡𝑘}

𝑃𝑖𝑡

= (1 − 𝑃

_𝑖𝑡

) ∙ 𝑋

_𝑖𝑡𝑘

∙ 𝛽

_𝑘

··· (3-24)

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上式中，𝑃_𝑖𝑡為世代 t 選擇方案 i 之機率；𝑋_𝑖𝑡𝑘代表世代 t 對替選方案 i 之第 k 個屬性變數；𝛽_𝑘為變數𝑋_𝑖𝑡𝑘之參數；𝑖 = 1 ⋯ 𝐼，代表方案；𝑡 = 1 ⋯ 𝑇，代表 世代；𝑘 = 1 ⋯ 𝐾，代表變數。

而當某一方案效用函數中之屬性值變化百分之一時，對另一方案選擇機 率變動之百分比，則為交叉彈性。例如，當決策者已傾向同住方案下，其每 人享有居住面積增加 1%時，該決策者傾向不同住機率可能變動百分比；其公 式如下所示：

𝐸

_𝑋^𝑃_𝑗𝑡𝑘^𝑖𝑡

=

^{𝜕𝑃𝑖𝑡}

𝜕𝑋_𝑗𝑡𝑘

∙

^{𝑋𝑗𝑡𝑘}

𝑃_𝑖𝑡

= −𝑃

_𝑗𝑡

∙ 𝑋

_𝑗𝑡𝑘

∙ 𝛽

_𝑘

··· (3-25)

上式中，𝑋_𝑗𝑡𝑘為世代 t 對替選方案 j 之第 k 個屬性變數；𝛽_𝑘為變數𝑋_𝑗𝑡𝑘之參 數；𝑗 = 1 ⋯ 𝐼，代表方案，且j ≠ i。

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在文檔中 不同世代同住傾向、孝道觀念對親子同住之影響 (頁 42-48)