第三章 理論模型建立
第一節 間斷選擇模型
壹、個體選擇模式
「個體選擇模式亦稱為行為模式，係根據兩個與行為有關的領域：經濟 學的消費行為與心理學的選擇行為發展而來，然而，在不同假設情形下，這 兩種不同的行為理論在某些情況下可以得到相同的結果(凌瑞賢，2004，頁 7-2)。」個體選擇模式認為決策者對於「互斥」的替選方案(如傾向同住與傾向 不同住)，可按照其個人的偏好排列出優先順序，而選取一個最能滿足其偏好 的最適方案。決策的過程中，影響決策者評估方案效用的因素有三大項：
一、方案本身的客觀條件，例如親子同住可以減少住宅負擔，親子不同住則 增加每人享有住宅面積。
二、決策者的主觀條件，例如各世代本身的孝道觀念，或者決策者之性別、
年齡、收入…等等，將影響決策者個體評估之準則，進而產生不同效用。
三、其他隨機因素。
以隨機效用的數學模式來表示選擇行為的效用，則假設對世代 t 而言，當 他面對一居住安排方案集合為𝐶𝑡 = {1,2, … , 𝑛}，其心中對應之效用可表示為 {𝑈1𝑡, 𝑈2𝑡, … , 𝑈𝑛𝑡}；唯有在替選方案 i 帶給世代 t 之效用高於替選方案 j 之效用 時，消費者 t 才會選擇替選方案 i，其世代 t 選擇 i 方案的機率為：
𝑃(𝑖|𝐶
𝑡) = 𝑃𝑟(𝑈
𝑖𝑡≥ 𝑈
𝑗𝑡，∀𝑗 ≠ 𝑖 ∈ 𝐶
𝑡) ··· (3-1)
不同世代同住傾向、孝道觀念對親子同住之影響
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其中，𝑈𝑖𝑡代表替選方案 i 所能帶給世代 t 之效用，而𝑈𝑗𝑡代表替選方案 j 所 能帶給世代 t 之效用。假定效用函數𝑈𝑖𝑡為隨機變數，而在效用函數中經常存 在一些不可衡量的部分，因此隨機效用函數之可衡量及不可衡量部分可表示 如下：
𝑈
𝑖𝑡= 𝑉
𝑖𝑡+ 𝜀
𝑖𝑡··· (3-2)
上式中𝑉𝑖𝑡為可衡量部分，而𝜀𝑖𝑡為不可衡量的隨機項。在效用可衡量的部 分(𝑉𝑖𝑡)則可依方案的客觀因素及個人主觀因素等兩類變數來表示：
𝑉
𝑖𝑡= 𝑉(𝑋
𝑖𝑡， 𝑆
𝑡) ··· (3-3)
其中𝑋𝑖𝑡代表替選方案 i 對 t 此人之屬性向量；若以居住安排來描述，為 t 選擇方案的每人享有居住面積，是方案的客觀條件。𝑆𝑡為 t 此人之社會經濟特 性，如性別、健康狀況、年齡…等等，是決策者主觀因素。上述𝑉𝑖𝑡為可衡量 的效用，為方便計算，通常假設為各屬性的線性組合，如下所示：
𝑉
𝑖𝑡= 𝑉(𝑋
𝑖𝑡， 𝑆
𝑡) = ∑
𝐾𝑘=1𝑋
𝑖𝑡𝑘𝛽
𝑘+ ∑
𝐿𝑙=1𝑆
𝑡𝑙𝛼
𝑙··· (3-4)
𝑋𝑖𝑡𝑘代表世代 t 選擇替選方案 i 的第 k 種屬性值，K 代表替選方案的屬性 總數，𝛽𝑘代表第 k 種屬性的參數值，𝑆𝑡𝑙代表世代 t 第 l 種社會經濟特性，L 代 表社會經濟特性總數，𝛼𝑙代表第 l 種社會經濟特性的參數值。
針對不可衡量的效用，為所有不能量測到的變數，如個人偏好所發生的 隨機影響或離差，亦或是量測誤差、抽樣誤差…等等，這些誤差得以𝜀𝑖𝑡來表 示；因此綜合 3-1 式與 3-2 式後可表示為：
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𝑃(𝑖|𝐶
𝑡) = 𝑃𝑟(𝑉
𝑖𝑡+ 𝜀
𝑖𝑡≥ 𝑉
𝑗𝑡+ 𝜀
𝑗𝑡， ∀𝑗 ≠ 𝑖 ∈ 𝐶
𝑡)
= 𝑃𝑟(𝜀
𝑗𝑡− 𝜀
𝑖𝑡≤ 𝑉
𝑖𝑡− 𝑉
𝑗𝑡， ∀𝑗 ≠ 𝑖 ∈ 𝐶
𝑡) ··· (3-5)
上式即為個體選擇模式之基本型式，由隨機項𝜀𝑗𝑡 − 𝜀𝑖𝑡的機率分佈，則可 發展出各種不同型式的個體選擇模式。貳、二項羅吉特模型(Binary Logit Model)
圖 3、世代傾向同住或不同住模型架構圖
羅吉特模型係根據個體選擇模式推導而得，接續上述個體選擇模式之基 本型式，當僅有兩個替選方案時(Binary Choice Model)，如傾向同住(i=CO)與 傾向不同住(i=NCO)，則個人選擇傾向同住的機率𝑃𝑐𝑜為：
𝑃
𝑐𝑜= 𝑃𝑟(𝑈
𝑐𝑜≥ 𝑈
𝑛𝑐𝑜) = 𝑃𝑟(𝜀
𝑛𝑐𝑜− 𝜀
𝑐𝑜≤ 𝑉
𝑐𝑜− 𝑉
𝑛𝑐𝑜)··· (3-6)
且𝑃𝑛𝑐𝑜 = 1 − 𝑃𝑐𝑜，當假設不可衡量效用(𝜀𝑛𝑐𝑜及𝜀𝑐𝑜)為獨立且一致的
Gumbel 分配時，𝜀𝑛𝑐𝑜 − 𝜀𝑐𝑜 = 𝜀將符合羅吉斯特分配(Logistic Distribution)14， 而可推導出𝑃𝑐𝑜為：
𝑃
𝑐𝑜= 𝑃𝑟(𝑈
𝑐𝑜≥ 𝑈
𝑛𝑐𝑜) = ∫
−∞𝑉𝑐𝑜−𝑉𝑛𝑐𝑜𝑓(𝜀)𝑑𝜀 =
𝑒𝜇𝑉𝑐𝑜𝑒𝜇𝑉𝑐𝑜+𝑒𝜇𝑉𝑛𝑐𝑜
··· (3-7)
14 羅吉斯特分佈累積密度函數為：F(𝜀) =1+𝑒1−𝜇𝜀，μ > 0；μ代表離散參數(dispersion parameter)，當 不可衡量效用趨近無限大時(μ = 0)，選擇效用接近完全變異，此時可衡量效用便無意義。
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參、多項羅吉特模型(Multinomial Logit Model)
圖 4、親代居住安排現象模型架構圖
多項羅吉特模型由二項羅吉特模型延伸而來，係指對世代而言存在二個 以上替選方案時之模型架構。如圖 4 所示，對親代而言，當其居住安排現象 包括「與子代 1 同住」、「與子代 2 同住」、「僅與配偶同住」及「獨居」等，
在假設每一方案之不可衡量效用𝜀𝑖𝑡呈現獨立之 Gumbel 分配，則可推導出多項 羅吉特架構下方案之機率；在上述架構下，親代與子代 1 同住(i=C1)的機率 為：
𝑃(𝐶1) = 𝑃𝑟(𝑈
𝑐1≥ 𝑈
𝑐2, 𝑈
𝑐𝑤, 𝑈
𝑎𝑙) = 𝑃𝑟(𝜀
𝑗− 𝜀
𝑐1≤ 𝑉
𝑐1− 𝑉
𝑗， ∀𝑗 ≠ 𝐶1)
= ∫ ∫ ∫ 𝑓(𝜀
𝑗)𝑑𝜀
𝑐2𝑑𝜀
𝑐𝑤𝑑𝜀
𝑎𝑙𝑉𝑐1−𝑉𝑎𝑙
−∞
𝑉𝑐1−𝑉𝑐𝑤
−∞
𝑉𝑐1−𝑉𝑐2
−∞
= ∏
𝐽𝑗≠𝑐1∫
−∞𝑉𝑐1−𝑉𝑗𝑓(𝜀
𝑗)𝑑𝜀
𝑗=
𝑒𝜇𝑉𝑐1∑𝐽𝑗=1𝑒𝜇𝑉𝑗
··· (3-8)
由 3-8 式為各方案之選擇機率，則兩兩替選方案間機率之比較可以下式表 示：𝑃𝑐1
𝑃𝑎𝑙
=
𝑒𝑒𝑉𝑐1𝑉𝑎𝑙= 𝑒
𝑉𝑐1−𝑉𝑎𝑙··· (3-9)
不同世代同住傾向、孝道觀念對親子同住之影響
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表示親代居住安排現象中，「與子代 1 同住」及「獨居」兩方案之相對機 率係由方案特性所決定，而與其他可替選方案無關，此即不相關替選方案的 獨立性(Independence of Irrelevant Alternatives, IIA)。亦即不論其他可選擇方案 的變動情況，只要𝑉𝑐1與𝑉𝑎𝑙值不變，則兩者相對機率值將不受影響(凌瑞賢，
2004)。然而，IIA 之假設於某些情形下並不合理，以上述親代居住安排現象 為例，其假設「與子代 1 同住」及「與子代 2 同住」相對於「僅與配偶同 住」或「獨居」皆為相同機率之方案，則顯然不合實際情形；由上可知，IIA 在具有相似替選方案的情形下並不適用。建立巢式羅吉特模型係將具有相似 屬性之方案歸納於同個巢層15，以改善 IIA 的不合理假設16；關於巢式羅吉特 模型架構將於後續說明。
肆、巢式羅吉特模型(Nested Logit Model)
巢式多項羅吉特模式(Nested Multinomial Logit, NMNL)的主要概念在於將 具有某種相關性的替選方案，歸納於另一獨立之巢式結構，利用包容值 (Inclusive Value)將每一巢狀結構中的相關替選方案，建立出一共同效用函 數，之後再與其他獨立的替選方案利用多項羅吉特模式進行個方案之選擇機 率評估(凌瑞賢，2004)。
15 於此例中，對親代而言「與子代 1 同住」及「與子代 2 同住」或可歸納於「與子代同住」之下。
16 改善 IIA 之方法尚有：(1)市場區隔法(Market Segmentation)、(2)混合羅吉特模型(Mixed Multinomial Logit Model)、(3)多項普洛比模型(Multinomial Probit Model)…等等。
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圖 5、家族居住安排現象巢式模型架構圖
圖 5 為本研究居住安排現象之巢式架構；本研究實證資料納入不同世代 屬性以進行分析，由於受訪者包括子代主體及親代主體，並組成自同一家 族，故於探討居住安排現象上亦應以家族為決策者觀點，檢視其居住安排；
對受訪親代而言，與任一子代同住即視為親子同住，故於上巢層可區分為
「親代與子代同住(i=PCO)」及「親代不與子代同住(i=PNCO)」；於下巢層若 以同住對象是否為受訪子代出發，則可區分為「受訪子代與親代同住
(i=CR)」、「親代與其他子代同住(i=CO)」及「其他居住型態」等。此模型可對 家族居住安排現象作進一步解釋，亦可應用於改善多項羅吉特模型之 IIA 特 性。參考凌瑞賢(2004)之推導概念，上述巢層結構以數學式說明，則家族 t 呈 現「親代與受訪子代同住」之機率𝑃𝑝𝑐𝑜,𝑐𝑟𝑡 為：
𝑃
𝑝𝑐𝑜,𝑐𝑟𝑡=
∑ 𝑒𝑥𝑝(𝑉∑ 𝑝𝑐𝑜,𝑐𝑟𝑡𝑒𝑥𝑝(𝑉)𝑎,𝑏𝑡 ) 𝑏∈𝐵
𝑎∈𝐴
··· (3-10)
其中，𝑉𝑝𝑐𝑜,𝑐𝑟𝑡 代表家族呈現「受訪親代與受訪子代同住」之效用，A 代表
上巢層方案之集合(於本架構中為 PCO 及 PNCO)，B 代表下巢層方案之集合 (於本架構中為 CR、CO 及 PO)。而𝑉𝑝𝑐𝑜,𝑐𝑟𝑡 之型態可以下式表示：
𝑉
𝑝𝑐𝑜,𝑐𝑟𝑡= 𝛼𝑋
𝑝𝑐𝑜,𝑐𝑟+ 𝛽𝑌
𝑝𝑐𝑜··· (3-11)
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