與幾何內容目標相關的文獻

2001 年版布魯姆認知領域教育目標之知識向度內容將數學知識分為：1.事 實知識：學生要溝通瞭解或對某門學科做有系統的組織，以及解決其中的問題所 必須知道的基本要素。2.概念知識：就是基本要素之間的關係，它能使基本要素 在一個較大的結構中一起發生作用。它包括類別、分類以及它們之間關係的知 識。分類與類別形成原理與通則的基礎，接著原理與通則又形成理論、模組與結 構的基礎。3.程序性知識： 如何去做某件事、探索的方法、以及使用技能、算 則、技巧和方法的標準。4.後設認知知識：一般認知的知識，以及自我認知的知 識與察覺（引自曹博盛，民 101）。數學課本中的數學知識主要分為數學名詞的 定義說明，敘述數學符號及說明其數學意義，說明並推導數學性質或公式證明，

有些版本的數學課本內容會說明解題技巧或如何應用數學概念於相對應的題 目，參考布魯姆的知識向度分類對照三個版本的教科書內容的鋪陳安排，產生出 數學幾何知識的分類，分別為事實知識、概念知識、程序性知識，課本內文中的 文字敘述中數學名詞的定義與數學符號歸類為事實知識；數學性質與數學公式歸 類為概念知識，敘述解法與數學概念的應用方式歸類為程序性知識，布魯姆的分 類中有後設認知知識，在課本的內容安排上，後設認知知識在課本中大多以問題 方式的去呈現，有部分的內容的描述方式是先說明程序性知識而提到認知方面的 知識，作者將此部分歸類為程序性知識，所以將數學幾何知識分類成三種，課本 中有關後設認知的問題，則歸類成其他主類目與子類目。

二、作圖題的分類

尺規作圖類型可以分成基本尺規作圖、初階應用尺規作圖、進階應用尺規作 圖，各項定義如下：（１）基本尺規作圖：複製已知的線段、圓、角、三角形、

中垂線作圖（平分線段）、角平分作圖、過線外一點做平行線與垂線、過線上一 點做垂直線。（２）初階應用尺規作圖：從數學情境轉換到尺規作圖的過程中，

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僅使用到前述七項的基本尺規作圖，不需利用額外的數學知識、定理、性質，就 能達成題目需求之尺規作圖題。（３）進階應用尺規作圖：從數學情境轉換到尺 規作圖的過程中，不僅使用到前述七項的基本尺規作圖，還需利用額外的數學知 識、定理、性質，才能達成題目需求之尺規作圖題（李建霖，民 102）。數學課 本中的尺規作圖主要出現三個版本第四冊第二章第三節中，在其他章節與第五冊 中也有出現部分尺規作圖，依照數學課程綱要的能力指標，希望學生培養基本的 尺規作圖能力，從數學課本中，可以發現作圖題的題目有些只是簡單的單步驟複 製，有些是較為複雜的多步驟複製，有些是需要應用題目所給予的數學性質或利 用其他單元已經學過的數學性質去做尺規作圖，對學生尺規作圖學習與操作的難 易度來說，並不太相同，因而以尺規作圖的題目難易度去設計出作圖題的分析架 構，以顯現其不同難度的題目的分配狀況。所以依照題目的難易度，將作圖題的 題型分為基本尺規作圖、初階尺規作圖、進階尺規作圖三種。在例題中的作圖題 中，於例題下方附有作法，其做法主要有兩類，第一類為作法的說明在每一步驟 非常詳細，第二類為作法的說明因為某些步驟已經敘述過或學生已經學習過，所 以在作法的說明上則較為簡略。所以依照解法的文字敘述是否詳細的方式，將解 法分成詳述作法與未詳述作法二種。

三、幾何量的解題的分類

問題型態的表徵可以分為（1）例行性的問題（Routine Problem）與非例行性 的問題（Non-routine Problems）。例行性的問題是指學生可以找到一個明確的算 法、公式、或程序去解決的問題，而且解決問題的路徑是顯而易見的，非例行性 的問題指的是學生無法只應用一個標準的算法、公式或程序去解決的問題。（2）

傳統問題（Traditional Problem）與非傳統的問題（Non-traditional Problem）。非傳 統問題分成四種子類型，分別為擬題（Problem-posing problems）、益智問題（puzzle problems）、計畫性的問題（project problems）、日誌問題（journal problems），非 以上四種子類型者為傳統問題。（3）開放式問題（Open-ended Problems ）與封閉 式問題（Closed-ended Problems）。開放式問題是一個問題有多個正確的答案，封 閉式問題是一個問題只有一個答案。（4）應用問題（Application Problems ）與非 應用問題（Non-application Problems）。應用問題是指以每天的生活或真實的世界 為背景的實際的問題，可以分成虛擬的應用問題（Fictitiously application Problems）

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和真實的應用問題（Authentic application Problems），如果不能歸類為應用問題則 就是非應用問題（Zhu, Y., & Fan, L.,2006）。在上述的問題型態的分類方式，在例 行性與非例行性問題方面，數學課本幾何內容中的問題大都為例行性問題，所以 此分類較無法將數學題型做有效的分類。在傳統的問題與非傳統的問題方面，數 學課本幾何內容中的問題大都為傳統問題，所以此分類較無法將數學題型做有效 的分類。在開放式與封閉式問題方面，數學課本幾何內容中的問題大都為封閉式 問題，所以此分類較無法將數學題型做有效的分類。在應用問題與非應用問題方 面，數學課本幾何內容中的問題大都為分應用問題，所以此分類較無法將數學題 型做有效的分類。觀察數學課本幾何內容中的幾何量的解題（不含作圖與證明）， 主要有幾個數學特徵，分別為文字敘述、數學符號、圖像或圖形、表格，使用這 些題目特徵交織成題型的種類，因而將題目分成四個子類目，第一個子類目為純 文字敘述，第二個子類目為文字敘述結合數學符號，第三個子類目為文字敘述結 合圖像表徵，第四個子類目為文字敘述結合數學符號與圖像表徵。

解決問題的面向（Dimentions of Problem Requirements）分成（1）數學的特 徵（Mathematical Feature）：單一的計算過程、多個的計算過程。（2）上下文的特 徵（Contextual Feature）：內文中只有數字或文字、圖形表徵或故事呈現。（3）成 果的需求（Performance Requirements）：分為回答的方式與認知需求兩個方面。回 答的方式分為純數字答案（numerica answer only）、用數字去表示（numerical expression only）、需要解釋或解決方案（explanation or solution required）。認知需 求 分 為 程 序 性 的 練 習 （ procedural pratice ）、 概 念 性 的 理 解 （ conceptual understanding）、解決問題（problem solving）、特殊需求（special requirement）四 種（Li, Y.,2000）。對於幾何量的解題的解法，在數學的特徵方面，大都為多個 計算過程。在上下文的特徵方面，屬於題型的特徵，較不屬於解法的特徵。在成 果的需求方面，回答的方式多為純數字。在認知的需求方面，除了程序性的練習、

概念性的理解、解決問題、特殊需求外，課本題目的解法有些除了必須使用在本 節中題目所提供的數學概念外，部分解法必須連結其他單元的數學概念，此外有 些題目有題供一題多解的做法，或者在解題的過程必須使用直尺或原規畫出輔助 線或相關的圖形，因而對於幾何量的解題（不含作圖與證明）解法，將解法分成 四個子類目，第一個子類目為使用本單元的數學性質、公式就可以解決問題的程 序性練習（基本練習），第二個子類目為必須連結其他單元的數學概念與程序性

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練習才能解決的問題（應用練習），第三個子類目為一個題目的解法不只一種（多 元解法），第四個子類目為解決問題的過程必須使用直尺、圓規或三角板做出輔 助線或相關圖形（作圖需求）。

四、臆測與證明的分類

臆測主要分成離散的有限案例歸納(empirical induction from a finite number of discrete cases)、動態案例歸納(empirical induction from dynamic cases)、類比 (analogy)、溯因(abduction)和知覺性臆測(perceptually based conjecturing)等五種 不同認知過程的類型：1.離散的有限案例歸納：經由幾個各別的例子歸納出樣 式。2.動態案例歸納：經由動態性的操作或動態性的環境歸納出樣式。3.類比：

經由一個已知的事實或事件去歸納出其他題目的樣式。4. 溯因：經由結果去反 推造成此結果的原因或探究其邏輯性的關係。5.知覺性臆測：經由是視覺或是敘 述的方式歸納其樣式（Cañadas, Deulofeu, Figueiras, Reid & Yevdokimov ,2007）。

數學課本在學生學習推理與證明扮演重要的角色，教師使用的數學課本影響教師 怎麼教學、何時教學、如何教學（Stylianides, G. J. ,2009）。Stylianides, G. J.並提 出推理與證明的分析架構，推理與證明主要分成兩個部分：數學統合與歸納

（ Making Mathematical Generalizations ） 與 邏 輯 論 證 （ Providing Support to Mathematical Claim）。其中數學統合與歸納包括：判別數學模型（Identifying a Pattern）與臆測（Making a Conjecture）；邏輯論證包括：提供一個證明（Providing a Proof）與提供一個非證明的論述（Providing a Non-proof Argument）。在數學課 綱中的能力指標有提到「能舉例說明，有一些敘述成立時，其逆敘述也會成立；

但是，也有一些敘述成立時，其逆敘述卻不成立。」、「能理解平行線截比例線段 性質及其逆敘述。」、「能認識證明的意義。」等能力指標。數學課本的內容中的 臆測與證明主要在課本內文中包含了數學性質的推導延伸與數學公式的證明，例 題中包含了相似形或全等性質的臆測與證明，問題探索與動動腦中存在部分臆測 與證明的活動。課本中的證明多為利用演繹式的方式，以具備邏輯的論述架構，

由題目的已知概念去求證某個數學結果而進行的邏輯證明，所以除了五種臆測 外，考慮課本內容中的證明活動，另外增加了第六種演繹式臆測。證明的活動一 定包含了臆測的過程，對於數學證明的問題，學生由題目中的數學資訊與數學表 徵，對求證的目標產生臆測的想法，並進而實行證明的方式。所以將臆測與證明