具有不同的子概念與應用情境，因此對國小學生是較困難的（張熙明、楊德清，
2007）
。分數起源於「分」的概念，係用來解決不滿一個單位量數值的問題（呂玉琴，
1997）
。分數是用分式（分數式）表達成p
q
（其中p 、
q均為整數，例如：p q
）之有理數，可視為某件事物分成
p
份中佔q分，讀作「p
分之q」。中間的線稱為分 線或分數線。有時人們會用q / p
來表示分數。（教育部，2009；維基百科，2013 年 10 月 31 日）。若p
及q為整數，則除了有餘數的計算之外，除法和分數得出來 的結果都相同（維基百科，2013 年 10 月 31 日）。分數的意義從不同觀點來看，會有不同的詮釋方法。本研究將國內外學者針對分數意義提出的不同看法整理如 表 6-1。
綜上所述，雖然國內外學者對分數意義有不同的看法，但皆強調分數包含部 份—整體的意義。分數課程在97課綱中從三年級開始，分年細目如表6-2所示，分 年細目以三碼編排，其中第一碼表示年級；第二碼表示主題，以小寫字母n表示
「數與量」這個主題，以小寫字母a表示「代數」這個主題；第三碼則是流水號。
從分年細目可看出，三年級學生要能在具體情境下掌握分數概念，四年級之 後開始進入分數的形式運算，除了包含帶分數及等值分數的問題，學生需了解真 分數、假分數、帶分數之意義，並進行同分母分數之加、減運算以及整數倍計算，
最後延伸到擴分及約分的前置經驗，並且以等值分數進行異分母分數之比較。五 年級則認識比率，利用擴分和約分進行異分母分數之加、減運算及分數倍計算，
以及除數為整數的分數除法。最後，六年級則需認識兩數互質的意義，將分數化 為最簡分數，並熟練分數除法、四則運算，進而透過取概數和正比，解決生活中 的問題。
表 6-1 分數的意義
提倡者（年代） 分數的意義
Piaget, Inhelder, &
Szeminska（1960）
主張兒童認知發展論，設計活動來研究兒童分數概念的發展情形，發現兒童若要能 夠理解分數的運算之前，必須具備以下七種子概念。Piaget 等除了強調分數中部 份—整體的關係及整體不變的概念外，還對子分割的部份加以強調。
（1）必須有一個可以除盡的全體；
（2）能決定部份量，部份量與接受者相對應；
（3）分割量必須窮盡，沒有餘數；
（4）能決定部份量和整體間的關係；
（5）分割後所有的分割量皆相等；
（6）能知道部份來自於整體，而整體一直存在；
（7）能知道所有部份的總和即等於整體，且整體不變。
Kieren（1980） 分數可分為：部份—整體關係、比、商、測量、運算元等五種建構模式。
楊壬孝（1998） 四種分數的意義：
（1）一個整體的相等部份；
（2）一個集合等分組後的幾組；
（3）數線上的某一數值；
（4）兩數相除的結果。
教育部（2009） 小學分數教學認為分數有下列四種意義，最後均連結至分數最核心的「除的意義」。
（1）平分的意義：學生在低年級認識人我分際之後，就會發展出強烈的公平感，
因此從平分入手學習分數，比較容易化解分數學習中常見的認知衝突。
（2）測量的意義：長度測量是低年級就發展的數學課題，在以個別單位度量長度，
為了解決剩下部分的「餘數」約定時，就能同時發展小數與分數兩種課題。由於單 位的強調，測量是調和「部分/全體」的意義與帶分數認知衝突中的重要工具。
（3）比例的意義：比的原理是一種微妙的平分方式，即使學生尚未學習比例式，
透過比的方式，仍然可以協助學生解題。最後再透過比值的引入，一貫地解決比例 的問題。
（4）部分/全體的意義：是分數的重要意義之一，但是由於概念較為抽象，且真分 數的暗示過深（全體為 1），可能造成假分數或帶分數學習上的困擾，需透過單位 的強調來解決其認知衝突。
維基百科（2013） 分數和除法、比例很相似，分數是一種值，除法較重視計算，比例重視兩件事物之 間的比較，小數、百分率可視為分數的另一種寫法。
本研究有別於以往教科書內容分析，以臺灣國小分數課程為研究對象，研究 內容追求更具系統性的學習結構，在製作結構圖時，由 5 位數學教育相關背景的 專家（3 位博士、2 位數學教育學系畢業的現職國中小教師）以數學語言分別呈 現國小三至六年級的分數課程，將國小的分數課程整理成 67 項命題，並對應至
97 課綱（教育部，2009）
。根據這些命題，利用 ISM 模式，建立國小各年級的 ISM 分數課程學習結構圖，以便初步分析臺灣現行國小分數課程，判斷各年級學習的 難易程度以及哪些命題位在結構圖中的關鍵位置（Sheu, Chen, Tsai, Chiang et al.,2013）
。此外，透過各年級的 ISM 分數課程學習結構圖，可以有系統的呈現教師的教學路徑，並根據教學路徑提供學生有系統且具體的學習內容（Sheu, Chen, Tsai,
Chiang et al., 2013）
。文中將各命題所需的定義也列入，以提供教師教學時的理論 依據。以下依序建立三年級到六年級的 ISM 分數課程。表 6-2 分年細目
年級 分年細目
3 3-n-11 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題。
4 4-n-07 理解分數之「整數相除」的意涵。
4-n-08 能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數的互換，並進行同分母分數的比 較、加、減與整數倍的計算。
4-n-09 能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單分數與小數的互換。
4-n-10 能將簡單分數標記在數線上。
5 5-n-14 能認識比率及其在生活上的應用。
5-n-06 能用約分、擴分處理等值分數的換算。
5-n-07 能用通分作簡單異分母分數的比較與加減。
5-n-13 能將分數、小數標記在數線上。
5-n-09 能理解除數為整數的分數除法的意義，並解決生活中的問題。
5-n-08 能理解分數乘法的意義，並熟練其計算，解決生活中的問題。
6 6-a-02 能將分數單步驟的具體情境問題列成含有未知數符號的算式，並求解及驗算。
6-n-03 能認識兩數互質的意義，並將分數約成最簡分數。
6-n-04 能理解分數除法的意義及熟練其計算，並解決生活中的問題。
6-n-05 能在具體情境中，解決分數的兩步驟問題，並能併式計算。
6-n-07 能在具體情境中，對整數及小數在指定位數取概數(含四捨五入法)，並做加、減、乘、除 之估算。
6-n-09 能認識比和比值，並解決生活中的問題。
6-n-10 能理解正比的意義，並解決生活中的問題。
一 一 一
一、、、三年級的、三年級的三年級的三年級的ISM分數課程分數課程分數課程分數課程
本研究中的分年細目閱讀方式與97年課綱相同，分年細目以三碼編排，其中 第一碼表示年級；第二碼表示主題，以小寫字母n表示「數與量」這個主題；第 三碼則是流水號。