粗糙集結構模型法於教育測量之應用

全文

(1)國立臺中教育大學教育測驗統計研究所博士論文. 指導教授：許天維永井正武. 博士博士. 粗糙集結構模型法於教育測量之應用 Rough Structural Modeling and Its Applications in Educational Measurement. 研究生：陳姿良. 撰. 中華民國一百零三年一月.

(2)

(3) 中文摘要本研究的目的為提出粗糙集結構模型法（Rough Structural Modeling, RSM）改良粗糙集理論（Rough Set Theory），使其結構化與可視化，以及提出決策屬性檢驗程序，解決粗糙集分析法中決策屬性由專家主觀判斷的缺點，並應用於教育測量領域。透過三個範例（迷思區分析、敏感性分析、課程結構分析）的實證資料分析，不但驗證研究方法的可行性與信賴性，更為無母數統計的研究領域提出了客觀且創新的研究方式。RSM 是一種適用於可達矩陣運算的結構分析方式，此分析法結合粗糙集理論和形式概念分析法（Formal Concept Analysis, FCA），根據二元概念格算法來構造概念格，透過生成再配置矩陣（Re-configuration Matrix）以及可達矩陣的運算，以建立不同概念群中概念之間的階層式結構圖。將 RSM 應用在迷思區分析、敏感性分析、課程結構分析時，透過決策屬性的訂定，不但可建立不同概念群間的結構圖，更可精簡結構圖，以凸顯出不同決策屬性之物件在結構上的差異。決策屬性檢驗程序結合 ROC （Receiver Operating Characteristic）分析及無母數的卡方檢定（Chi-square Test），有別於傳統相對誤差的判斷方式，不論研究對象數量多寡，此檢驗程序皆適用。將此檢驗程序應用在迷思區分析時，可比較不同 Gamma 值所決定出來的迷思區，改良迷思區分析法；應用在敏感性分析時，可檢驗 Gamma 值和排序的切截點，改良 ROC 分析法中專家主觀判斷的缺點。受限於研究時間與人力等客觀因素，本研究可能之限制如下：（一）本研究所提供應用於教育測量之三個範例，研究對象均為立意取樣。（二）本研究在生成形式背景以及所提出的二元概念格算法，均為二元資料。. 關鍵字：關鍵字：粗糙集結構模型法、粗糙集理論、決策屬性檢驗程序、可達矩陣、再配置矩陣、階層式結構圖. I.

(4) Abstract The purposes of this study are to propose Rough Structural Modeling (RSM) to improve structure and visualization of Rough Set Theory in educational measurement, to propose program of testing decision attribute for solving shortcoming of decision attribute that is subjective judged by experts in Rough Set Theory. Through three empirical examples (analyses of Misconceptions’ Domain, sensitivity, and curriculum’s structure), the objective and innovative method with verified feasibility and reliability is proposed in nonparametric statistical. RSM is a method of structural analysis that combined Rough Set Theory and Formal Concept Analysis (FCA) with operation of reachable matrix. It generates Re-configuration Matrix to establish hierarchical structural graph based on operation of binary concept lattice. The graph of different decision attributes can be applied in analyses of Misconceptions’ Domain, sensitivity, and curriculum’s structure. Program of testing decision attribute is applicable regardless of the amount of participants that combines Receiver Operating Characteristic (ROC) and Nonparametric Chi-square Test. Applying the program in analysis of Misconceptions’ Domain with different Gamma value for improving related method. For sensitivity analysis, shortcoming of subjective judged by experts in ROC can be improved by evaluating cut-off points of Gamma value and sorting. Because of objective factors, limitations of the study are as follows: (a) The sampling methods are purposive sampling. (b) The data are both binary data in formal context and operation of binary concept lattice.. Keywords: RSM, Rough Set Theory, program of testing decision attribute, reachable matrix, Re-configuration Matrix, hierarchical structural graph. II.

(5) 目錄頁次中文摘要............................................................................................................... I. Abstract................................................................................................................ II. 目錄....................................................................................................................... III. 表目錄................................................................................................................... VI. 圖目錄................................................................................................................... XI. 參數符號表........................................................................................................... XIII. 第一章緒論......................................................................................................... 1. 第一節研究問題......................................................................................... 1. 第二節研究動機......................................................................................... 1. 第三節研究目的......................................................................................... 5. 第四節研究方法......................................................................................... 6. 第五節名詞解釋......................................................................................... 8. 第六節研究架構......................................................................................... 9. 第七節論文概要......................................................................................... 9. 第二章相關文獻與基礎理論............................................................................. 11. 第一節形式概念分析................................................................................. 11. 第二節概念構圖及階層式結構模式........................................................ 14. 第三節粗糙集理論..................................................................................... 29. 第四節 ROC 分析法.................................................................................... 36. 第五節層級分析法..................................................................................... 39. 第六節迷思區分析法................................................................................. 41. 第七節本章小結......................................................................................... 52. III.

(6) 第三章決策屬性檢驗程序與粗糙集結構模型法............................................. 53. 第一節決策屬性檢驗程序......................................................................... 53. 第二節粗糙集結構模型法的基礎理論..................................................... 57. 第三節粗糙集結構模型法......................................................................... 59. 第四節粗糙集結構模型法的演算法......................................................... 69. 第五節本章小結......................................................................................... 81. 第四章應用 RSM 進行迷思區分析................................................................... 83. 第一節 ISM 概念結構圖與迷思區............................................................. 83. 第二節迷思區分析法................................................................................. 97. 第三節運用 RSM 建立「學生-概念-核」結構圖......................................... 103. 第四節本章小結......................................................................................... 107. 第五章應用 RSM 進行敏感性分析................................................................... 109. 第一節學習興趣因素結構圖的形成......................................................... 109. 第二節運用 LGRA-AHP 分析最佳指導路徑........................................... 118. 第三節運用 AUC 分析教師的鑑別度....................................................... 123. 第四節運用 RSM 建立「教師背景-學習興趣因素-關鍵因素」結構圖. 133. 第五節本章小結......................................................................................... 143. 第六章應用 RSM 進行課程結構分析............................................................... 147. 第一節國小各年級 ISM 分數課程學習結構圖......................................... 147. 第二節運用 RSM 建立「常用版本-國小分數課程-關鍵命題」結構圖..... 163. 第三節國小分數課程建議......................................................................... 177. 第四節本章小結......................................................................................... 182. 第七章結論......................................................................................................... 185. 第一節應用 RSM 進行迷思區分析之研究貢獻....................................... 185. IV.

(7) 第二節應用 RSM 進行敏感性分析之研究貢獻....................................... 186. 第三節應用 RSM 進行課程結構分析之研究貢獻................................... 187. 第四節未來研究與建議............................................................................. 188. 參考文獻............................................................................................................... 189. 中文部分....................................................................................................... 189. 英文部分....................................................................................................... 198. 日文部分....................................................................................................... 211. 附錄一................................................................................................................... 213. 字詞索引....................................................................................................... 213. 附錄二................................................................................................................... 215. 個人簡歷....................................................................................................... 215. 學術論文著作............................................................................................... 216. 獲獎暨榮譽................................................................................................... 221. V.

(8) 表目錄頁次表 2-1. 形式概念分析與教育測量相關研究.................................................... 13. 表 2-2. 概念構圖與教育測量相關研究............................................................ 15. 表 2-3. ISM 與教育測量相關研究.................................................................... 20. 表 2-4. FSM 與教育測量相關研究................................................................... 24. 表 2-5. GSM 與教育測量相關研究.................................................................. 27. 表 2-6. ISM、FSM、GSM 與 RSM 之比較..................................................... 28. 表 2-7. 決策系統................................................................................................ 30. 表 2-8. RSM 與粗糙集理論之比較................................................................... 33. 表 2-9. 粗糙集理論與教育測量相關研究........................................................ 34. 表 2-10 ROC 分類矩陣....................................................................................... 36. 表 2-11 ROC 分析法與教育測量相關研究....................................................... 38. 表 2-12 AHP 與教育測量相關研究................................................................... 40. 表 2-13 S-P 表的結構......................................................................................... 43. 表 2-14 GSP 表的結構........................................................................................ 47. 表 2-15 迷思區分析法與教育測量相關研究.................................................... 50. 表 3-1. Z 分配、t 分配、卡方分配之比較....................................................... 55. 表 3-2. 形式背景 U R × C R ................................................................................... 70. 表 3-3. UCD 表.................................................................................................... 71. 表 3-4. 分辨矩陣 U R × U R ................................................................................... 72. 表 3-5. 再配置矩陣 W R ...................................................................................... 73. 表 4-1. 概念-概念表........................................................................................... 84. 表 4-2. Rasch model GSP 表（Gamma 值為 0.5）........................................... 87. VI.

(9) 表 4-3. ROC 分類矩陣....................................................................................... 88. 表 4-4. 試題的 ROC 分析結果（Gamma 值為 0.5）....................................... 88. 表 4-5. 試題進行無母數卡方檢定的結果（Gamma 值為 0.5）..................... 89. 表 4-6. 學生的 ROC 分析結果（Gamma 值為 0.5）....................................... 90. 表 4-7. 學生進行無母數卡方檢定的結果（Gamma 值為 0.5）..................... 91. 表 4-8. Rasch model GSP 表（Gamma 值為 0.55）......................................... 92. 表 4-9. 試題的 ROC 分析結果（Gamma 值為 0.55）..................................... 93. 表 4-10 試題進行無母數卡方檢定的結果（Gamma 值為 0.55）................... 95. 表 4-11 學生的 ROC 分析結果（Gamma 值為 0.55）..................................... 95. 表 4-12 學生進行無母數卡方檢定的結果（Gamma 值為 0.55）................... 96. 表 4-13 試題-概念表........................................................................................... 99. 表 4-14 UCD 表................................................................................................... 100 表 4-15 約簡後的 UCD 表.................................................................................. 100 表 4-16 分辨矩陣................................................................................................ 102. 表 4-17 所有學生的 RSM 表.............................................................................. 104. 表 4-18 迷思區的 RSM 表.................................................................................. 105. 表 4-19 非迷思區的 RSM 表.............................................................................. 106. 表 5-1. 數學科學習興趣之因素篩選................................................................ 112. 表 5-2. 因素-因素表........................................................................................... 113. 表 5-3. 學習落後學生指導路徑及指導重點.................................................... 116. 表 5-4. 從實用性針對學習中等學生指導路徑及指導重點............................ 117. 表 5-5. 從計算力針對學習中等學生指導路徑及指導重點............................ 118. 表 5-6. 提升學習落後學生的 LGRA-AHP 分析結果...................................... 120. 表 5-7. 提升學習落後學生各學習路徑灰關聯排序的結果............................ 120. VII.

(10) 表 5-8. 從實用性提升學習中等學生的 LGRA-AHP 分析結果...................... 121. 表 5-9. 從實用性提升學習中等學生各學習路徑灰關聯排序的結果............ 121. 表 5-10 從計算力提升學習中等學生的 LGRA-AHP 分析結果...................... 122. 表 5-11 從計算力提升學習中等學生各學習路徑灰關聯排序的結果............ 122. 表 5-12 ROC 分類矩陣....................................................................................... 123. 表 5-13 所有學習路徑加入切截點的結果........................................................ 124. 表 5-14 教師整體的 ROC 分析結果.................................................................. 125. 表 5-15 教師進行無母數卡方檢定的結果........................................................ 126. 表 5-16 ROC 分類矩陣....................................................................................... 127. 表 5-17 所有學習路徑加入切截點的結果........................................................ 127. 表 5-18 所有路徑整體的 ROC 分析結果.......................................................... 128. 表 5-19 所有路徑進行無母數卡方檢定的結果................................................ 128. 表 5-20 提升學習落後學生各學習路徑加入切截點的結果............................ 129. 表 5-21 教師針對提升學習落後學生的 ROC 分析結果.................................. 129. 表 5-22 從實用性提升學習中等學生各學習路徑加入切截點的結果............ 131. 表 5-23 教師針對從實用性提升學習中等學生的 ROC 分析結果.................. 131. 表 5-24 從計算力提升學習中等學生各學習路徑加入切截點的結果............ 132. 表 5-25 教師針對從計算力提升學習中等學生的 ROC 分析結果.................. 132. 表 5-26 提升學習落後學生的 IS........................................................................ 134. 表 5-27 約簡後的 IS............................................................................................ 135. 表 5-28 分辨矩陣................................................................................................ 135. 表 5-29 從實用性提升學習中等學生的 IS........................................................ 136. 表 5-30 約簡後的 IS............................................................................................ 136. 表 5-31 分辨矩陣................................................................................................ 137. VIII.

(11) 表 5-32 從計算力提升學習中等學生的 IS........................................................ 138. 表 5-33 約簡後的 IS............................................................................................ 138. 表 5-34 分辨矩陣................................................................................................ 139. 表 5-35 所有教師的 RSM 表.............................................................................. 140. 表 5-36 高鑑別度的 RSM 表.............................................................................. 141. 表 5-37 低鑑別度的 RSM 表.............................................................................. 143. 表 6-1. 分數的意義............................................................................................ 150. 表 6-2. 分年細目................................................................................................ 151. 表 6-3. 三年級學習的定義與命題.................................................................... 152. 表 6-4. 三年級命題的關連矩陣........................................................................ 152. 表 6-5. 四年級學習的定義與命題.................................................................... 153. 表 6-6. 四年級命題的關連矩陣........................................................................ 155. 表 6-7. 五年級學習的定義與命題.................................................................... 157. 表 6-8. 五年級命題的關連矩陣........................................................................ 158. 表 6-9. 六年級學習的定義與命題.................................................................... 160. 表 6-10 六年級命題的關連矩陣........................................................................ 161. 表 6-11 三個版本在各年級的教學內容............................................................ 165. 表 6-12 三年級的 IS............................................................................................ 167. 表 6-13 四年級的 IS............................................................................................ 167. 表 6-14 五年級的 IS............................................................................................ 168. 表 6-15 六年級的 IS............................................................................................ 168. 表 6-16 約簡後六年級的 IS................................................................................ 169. 表 6-17 分辨矩陣................................................................................................ 169. 表 6-18 RSM 表................................................................................................... 171. IX.

(12) 表 6-19 三年級和四年級命題的關連矩陣........................................................ 171. 表 6-20 三年級和五年級命題的關連矩陣........................................................ 172. 表 6-21 三年級和六年級命題的關連矩陣........................................................ 172. 表 6-22 四年級和五年級命題的關連矩陣........................................................ 172. 表 6-23 四年級和六年級命題的關連矩陣........................................................ 173. 表 6-24 五年級和六年級命題的關連矩陣........................................................ 173. 表 6-25 教學年級和三年級命題的關連矩陣.................................................... 173. 表 6-26 教學年級和四年級命題的關連矩陣.................................................... 174. 表 6-27 教學年級和五年級命題的關連矩陣.................................................... 174. 表 6-28 教學年級和六年級命題的關連矩陣.................................................... 174. 表 6-29 教學年級的關連矩陣............................................................................ 174. 表 6-30 「常用版本-國小分數課程-關鍵命題」結構圖命題說明.................. 175. 表 6-31 各年級命題數........................................................................................ 177. 表 6-32 調整後各年級命題數............................................................................ 178. 表 6-33 各年級學生學習的平均節數................................................................ 178. 表 6-34 調整後各年級學生學習的平均節數.................................................... 180. X.

(13) 圖目錄頁次圖 1-1. 研究架構圖............................................................................................ 10. 圖 2-1. 上近似集、下近似集與邊界的關係...................................................... 31. 圖 2-2. ROC 曲線............................................................................................... 37. 圖 2-3. AUC 計算過程圖解............................................................................... 38. 圖 2-4. 基礎理論與 RSM 之關係圖................................................................... 52. 圖 3-1. RSM 演算法之流程............................................................................... 75. 圖 4-1. ISM 概念結構圖.................................................................................... 84. 圖 4-2. 試題的 ROC 曲線（Gamma 值為 0.5）.................................................... 89. 圖 4-3. 學生的 ROC 曲線（Gamma 值為 0.5）.................................................... 91. 圖 4-4. 試題的 ROC 曲線（Gamma 值為 0.55）.................................................. 94. 圖 4-5. 學生的 ROC 曲線（Gamma 值為 0.55）.................................................. 96. 圖 4-6. core (C ) 對應到 ISM 概念結構圖.......................................................... 103. 圖 4-7. 「迷思區學生-概念-核」結構圖.......................................................... 105. 圖 4-8. 「非迷思區學生-概念-核」結構圖...................................................... 106. 圖 5-1. 學習興趣因素結構圖............................................................................ 114. 圖 5-2. 普通型學生學習興趣因素結構圖........................................................ 115. 圖 5-3. 提升學習落後學生的學習興趣路徑.................................................... 116. 圖 5-4. 從實用性提升學習中等學生的學習興趣路徑.................................... 117. 圖 5-5. 從計算力提升學習中等學生的學習興趣路徑.................................... 118. 圖 5-6. 教師整體的 ROC 曲線.......................................................................... 125. 圖 5-7. 路徑整體的 ROC 曲線.......................................................................... 128. 圖 5-8. 教師針對提升學習落後學生的 ROC 曲線.......................................... 130. XI.

(14) 圖 5-9. 教師針對從實用性提升學習中等學生的 ROC 曲線.......................... 131. 圖 5-10 教師針對從計算力提升學習中等學生的 ROC 曲線.......................... 133 圖 5-11 「高鑑別度教師背景-學習興趣因素-關鍵因素」結構圖.................. 142 圖 5-12 「低鑑別度教師背景-學習興趣因素-關鍵因素」結構圖.................. 143 圖 6-1. 三年級的 ISM 分數課程....................................................................... 153. 圖 6-2. 四年級的 ISM 分數課程....................................................................... 156. 圖 6-3. 五年級的 ISM 分數課程....................................................................... 159. 圖 6-4. 六年級的 ISM 分數課程....................................................................... 162. 圖 6-5. 「常用版本-國小分數課程-關鍵命題」結構圖.................................. 176. 圖 6-6. 調整後的國小分數課程學習結構圖.................................................... 179. 圖 6-7. 學生程度較高........................................................................................ 180. 圖 6-8. 學生程度中等........................................................................................ 181. 圖 6-9. 學生程度較低........................................................................................ 182. XII.

(15) 參數符號參數符號表符號表本研究使用的參數，依羅馬字母、英文小寫、英文大寫之順序所排序。. ∆ 0i. 兩比較數列之敏氏距離. ∆ max. ∆0i 的最大値. ∆ min. ∆0i 的最小値. α. Cronbach's α 係數，為估計的信度. ε. 迷思區分析法中，試題的有效迷思半徑. δ. 迷思區分析法中，學生的有效迷思半徑. γ C (D ). 粗糙集理論中，屬性的依賴度. γ ds. 迷思區分析法中，學生迷思區. γ dp. 迷思區分析法中，試題迷思區. γp. 迷思區分析法中，試題的局部性灰關聯度，LGRA-P. γs. 迷思區分析法中，學生的局部性灰關聯度，LGRA-S. γ ij. 迷思區分析法中，灰關聯度. λ. 模糊理論中，結構參變數. µ. 平均數. µA. 模糊理論中，模糊子集合 A 的隸屬函數. µA. 模糊理論中，模糊補集合 µ A ≡ µ A (u) = µ A. ～. ～. ～. α. ～. ～. α. ～. µ A (u ). 模糊理論中，模糊子集合 A 的 α 截集的隸屬函數 µ A (u ) = µ A. θ. GSM 中，階層係數. σ. 標準差. α. ～. α. ～. XIII. ～. α. ～.

(16) σ2. 變異數. σ (C ,D ) (Ci ). 粗糙集理論中，屬性的重要程度. σ x2. 粗糙集理論中，總分變異數. σ x2. 第 i 題之分數的變異數. ψ. GSM 中，共同係數. bnO (X ). 粗糙集理論中，邊界. c. 粗糙集理論中，一個屬性. core(C ). 粗糙集理論中，核. core R. RSM 中，核. df. 無母數的卡方檢定中，自由度. ei. 無母數的卡方檢定中，期望次數，也是理論次數. f. 函數. i. f. R. RSM 中，一個可達函數， f. R. =M. R. ×M. R. →T. R. fC,D. RSM 中，核值的映射函數. fr , fr. 模糊理論中，模糊二元關係，隸屬函數. ind ( X ). 粗糙集理論中，不可分辨關係，也是等價關係. m. 無母數的卡方檢定中，未知母體參數的個數. mαR. RSM 中，再配置矩陣中的元素. miR. RSM 中， M R 的第 i 個因素. m ijR. RSM 中，第 i 個因素映射到第 j 個因素的值. n. 無母數的卡方檢定中，樣本數. negO (X ). 粗糙集理論中，負域. oi. 無母數的卡方檢定中，觀察次數，也是實際次數. p. 半開區間 (0,1] 的實數. XIV.

(17) posO ( X ). 無母數的卡方檢定中，正域. red (C ). 粗糙集理論中，約簡. red R. RSM 中，約簡. u. 一個物件. ui. 第 i 個物件. xik. 原始數列之第 i 個比較數列. x0 k. 原始數列之參考數列. A'. 模糊理論中，修正模糊半可達矩陣之結果矩陣. A. 模糊理論中，模糊子集合. ～. A. 模糊理論中，模糊子集合 A 的 α 截集（ α − cut ），其中 0 ≤ α ≤ 1. AF. 模糊理論中，模糊關係矩陣. AI. ISM 中，鄰接矩陣. A( j ). 模糊理論中，單一階層矩陣. AR. RSM 中， W R 的歸屬矩陣，也是 W R 的鄰接矩陣， A R = [ m ijR ]. BI. ISM 中，含有自己的因果關係矩陣. BR. RSM 中，含有自己的因果關係矩陣. B (ui ). 模糊理論中，最上層水準集合的元素. C. 粗糙集中，條件屬性集合. CR. RSM 中，條件屬性集合. C.I .. AHP 中，一致性指標. CS. 迷思區分析法中，學生注意係數. CSi. 迷思區分析法中，第 i 位學生的注意係數. CP. 迷思區分析法中，問題注意係數. CPj. 迷思區分析法中，第 j 題試題的注意係數. α. ～. ～. XV.

(18) D. 粗糙集理論中，決策屬性集合. DR. RSM 中，決策屬性集合. G. 形式概念 (G , H ) 的外延（亦即物件集合）. H. 形式概念 (G , H ) 的內涵（亦即屬性集合）. H0. 虛無假設. H1. 對立假設. IS. 粗糙集理論中，知識資訊系統. L. GSM 中，一個階層結構. Lb (u). 模糊理論中，最下層水準集合. Li (u). 模糊理論中，中間層水準集合. Lis (u ). 模糊理論中，獨立水準集合. Lt (u). 模糊理論中，最上層水準集合. L(K ). FCA 中，概念格. M. R. RSM 中， W R 的因素，包含 U R 、 C R 、 D R 、 core R. MD. 迷思區分析法中，迷思區. TI. ISM 中的可達矩陣. TR. RSM 中，因素值的集合， T R 的可達矩陣. TrR. RSM 中， r 為 W R 的因素，所對應到的值. O. 粗糙集理論中，屬性的非空有限集合. OX. 粗糙集理論中， X 的上近似集. OX. 粗糙集理論中， X 的下近似集. PPj. 迷思區分析法中，第 j 題試題的答對人數. Qij. 模糊理論中， Li 與 L j 的交集. XVI.

(19) Qj. 模糊理論中，區塊. Q(S ). ISM 中，可達矩陣中行的集合，稱為先行集合. aRb. a 與 b 之間存在因果關係. a Rb. a 與 b 之間不存在因果關係. R (S ). 迷思區分析法中，可達矩陣中列的集合，稱為可達集合. SSi. 迷思區分析法中，第 i 位學生的總分. U. 物件的非空有限集合. UR. RSM 中，物件集合. U ×U. U 的直積. V. V = U Vr ，其中 Vi 是屬性 Oi 的值域. Vr. 粗糙集理論中， r 為 R 的因素，所對應到的值. WR. RSM 的結構性系統. Y = [ yij ]m×n. m位學生在 n 題試題上的作答反應矩陣. r∈R. XVII.

(20) XVIII.

(21) 第一章緒論本章首先說明研究問題，然後藉由研究動機與研究目的明確指出本研究所提出的 RSM 與決策屬性檢驗程序，接著說明如何解決粗糙集理論所面臨之問題，以及 RSM 與傳統階層式結構模式不同之處與其貢獻。最後，提出了應用 RSM 於教育測量之三個範例，並說明各個範例的研究方法。為了增加本研究的可讀性，提出相關名詞進行解釋，並呈現整體的研究架構圖以及論文概要。. 第一節研究問題本研究為了改良粗糙集理論，使決策系統所擷取出的規則更正確，並進一步從離散的規則中，找出規則與規則之間的結構，建立概念的階層性結構圖，提出以下三項研究問題：. 一、在小樣本的條件下，如何檢驗決策屬性的訂定適用與否？二、如何找出規則與規則之間的關聯及結構，進而建立有結構性的規則？三、如何建立不同概念群中概念之間的關係和結構，以及概念群之間的關係和結構？. 第二節研究動機粗糙集理論（Rough Set Theory）是由波蘭數學家 Pawlak 在 1982 年所提出，最主要的優點是可以在不丟失任何的資訊之下，可以得到與原決策系統相同的知識，且不用服從任何假設。粗糙集理論假設所分析的物件集合本身即隱含著知識。計算時採用邏輯方式，用離散數值進行計算，逼近似值去定義上近似和下近似之間的關係。粗糙集理論的主要目的在於從各物件及其對應之屬性因子所組成的資. 1.

(22) 訊系統（Information System, IS）中，擷取出足以描述各物件在何種屬性條件下能夠被分類的規則組（Pawlak, 1982, 1998, 2001, 2002a, 2002b, 2002c, 2002d; Yao, 2003）。如果屬性集合可以進一步分解為條件屬性集合和決策屬性集合，知識資訊系統也可稱為決策系統或決策表。在決策系統完成約簡（Reduct）與核（Core）的計算後，便可由約簡後的決策系統中擷取出規則，規則的型式為「若句子約簡後的特徵值符合，則決策屬性值為某分類」。這些規則表達了由原始數據集中擷取出的知識。然而，實驗所得的原始數據本身含有不確定性，因此為了得到更精準的數據，使決策系統所擷取出的規則更正確，因此如何去檢驗決策屬性是適當的，是亟欲解決的問題。 ROC（Receiver Operating Characteristic）分析法可用來評估一個二元變項中的分類表現，其中常用的指標有敏感度（Sensitivity）和特異度（Specificity）。「敏感度」是指正確檢測出問題個案之人數占所有問題個案數的比率；「特異度」是指正確拒絕為非問題個案的人數占所有非問題個案數的比率（Harber, 2001）。過往的研究顯示，相較於傳統相對誤差的判斷方式，ROC 分析能夠提供更強大的評估（林億雄、張嘉倩，2011; Duda, Hart, & Stork, 2001; Webb & Ting, 2005）。由 ROC 分析結果，可得 ROC 曲線（Receiver Operating Characteristic Curve, ROC Curve）。ROC 曲線是一種可視化、可組織的、且可根據受試者的表現進行分類的技術（Fawcett, 2006）。由 ROC 曲線下面積（Area Under the ROC Curve, AUC）的大小，可以區別測驗的有用性或區辨值，面積愈大，測驗就愈有區辨效果，代表測量準確率愈高（Rao, 2003）。卡方檢定（Chi-square Test）適用於無母數檢定，其中常見的應用之一為適合度檢定（Good-of-fit Test），透過適合度檢定，研究者可得知某一個變項是否與某個理論分配或母群分配相符合（楊惠齡、林明德， 2009）。因此，在本研究中提案結合 ROC 分析與卡方檢定形成檢驗程序來檢驗決策系統中決策屬性是否適當（許天維、陳姿良、蔡清斌、永井正武，2013b）。此外，根據粗糙集理論所得到的每一條規則都是離散的，規則與規則之間並. 2.

(23) 無法看出是否有關聯及其結構。因此，如何找出規則與規則之間的結構，是粗糙集理論中另一個亟欲解決的問題。根據美國康乃爾大學 Novak 等的研究指出概念構圖（Concept Mapping）是做為教學、學習及評量的工具（Novak & Gowin, 1984），企圖將學習活動從過去的機械式學習轉變為目前的有意義學習，而評量方法也從傳統紙筆測驗轉換成以評量概念間結構為主的圖形評量法（余民寧，1997）。概念構圖法因為符合認知心理學的知識表徵理論、建構主義的知識建構論以及教育心理學的有意義學習說，因此是目前科學教育工學領域應用頗為廣泛的一種教學和學習策略（林秀美，2010）。本研究欲將粗糙集結合概念構圖，期望透過概念圖，將決策系統的約簡與核建立有結構性的規則。經過概念構圖繪製出來的圖稱為概念圖，概念圖之種類可分成三種，包含網狀圖、鍊圖與階層圖（Jones, Palincsar, Ogle, & Carr, 1987）。在本研究中，採用的是詮釋結構模式（Interpretive Structural Modeling, ISM）所建立的階層圖（Sheu, Chen, Tsai, Tzeng, Deng, & Nagai, 2013; Sheu, Chen, Tsai, Tzeng, & Nagai, 2013; Sheu, Tsai, Tzeng, Chen, Chiang, Liu, & Nagai, 2012; Sheu, Tsai, Tzeng, Chen, & Nagai, 2012），這是因為在階層圖中，概念是以階層的方式呈現，除了注重概念間的連結意義，概念群與概念群間也可透過交叉連結（Cross Link）加以連結（Novak et al., 1984）。 ISM 是一種常用的階層式結構模式，透過 ISM 的計算，可計算出不同類型元素之間的關聯構造階層圖，這種關聯構造階層圖是一種階層有向圖（Warfield, 1976, 1982），但是在 ISM 的運算時，概念間採主觀的判斷，且只接受 1 與 0 的二元資料。為了改善這個限制，Tazaki 與 Amagasa 提出了模糊詮釋結構模式（Fuzzy-ISM, FSM），利用模糊理論之演算法結合 ISM，改進了傳統 ISM 受限於二元資料的限制（Tazaki & Amagasa, 1979）。灰色結構模式（Grey Structural Model, GSM）則是由 Yamaguchi, Li, & Nagai（2005）提出，利用灰色理論之灰關聯分析，透過實際的數據計算概念結構，改良了傳統 ISM 採用主觀判斷的模式。雖然 ISM、. 3.

(24) FSM 和 GSM 這三種結構模式所畫出來的概念圖都各有其優點，但是這三種模式都只能夠呈現同一概念群中概念間的關係，對於位在不同概念群的概念是無法呈現它們的關係和結構。為了克服此一缺點，本研究欲提案粗糙集結構模型法（Rough Structural Modeling, RSM），嘗試引入粗糙集理論和形式概念分析法（Formal Concept Analysis, FCA），期望透過物件和屬性的關係，將不同概念群的概念生成多個形式背景，企圖找出位於不同概念群中概念之間的關係和結構，以及概念群之間的關係和結構。 FCA 則由 Wille 在 1982 年首先提出，此分析法基於概念格（Concept Lattice）理論，最主要的目的用於概念的發現、排序和顯示。它的涵義是一個形式背景，形式背景包含物件集合、屬性集合以及物件和屬性之間的二元關係（Wille, 1982）。由於 FCA 包含了所有概念的外延與內涵，且在形式背景中，外延即是內涵所確定的等價集合，因此，在這個基礎上，形式背景也適用於粗糙集的知識系統，包含了粗糙集的等價關係、上近似集、下近似集等都可通過形式概念來描述。在形式背景中，所有形式概念的父概念-子概念的偏序關係所誘導出的格稱為概念格。概念格的每個節點是一個形式概念。概念格可以用圖形化表示，這種圖稱為格線圖（Hasse Diagram）（Ganter, Stumme, & Wille, 2005）。然而，格線圖沒有階層，是屬於沒有方向的網狀圖。為了改良格線圖，使之成為有向的階層圖，本研究欲提案粗糙集結構模型法（Rough Structural Modeling, RSM），在 RSM 中提出了二元概念格算法來構造概念格，針對毎一個概念設其「外延」之後，再配給各個概念定義的「內涵」，進而生成再配置矩陣，便可將多個形式背景所形成的二元矩陣，重新配置成方陣。如此，再配置矩陣便適用於可達矩陣運算的計算方式，而形式背景所誘導出的概念格便為有方向的階層式概念圖。RSM 最大的特色就是在再配置矩陣中加入決策屬性，研究者可針對不同的研究所需，調整結構圖的階層、節點與連結線，且相較於傳統的格線圖，RSM 除了可以計算出概念的有無，更可以計算出概念之間的. 4.

(25) 階層關係（永井正武、蔡清斌、陳姿良，2013；許天維、陳姿良、蔡清斌、永井正武，2013a；Sheu, Tsai, Chen, Tzeng, Chang, & Nagai, 2013; Nagai, Chen, Tsai, Chiang, & Sheu, 2013）。. 第三節研究目的研究目的根據本文研究動機，本研究為了改善粗糙集理論所面臨的相關問題，以及建立不同概念群中概念之間的關係和結構，以及概念群之間的關係和結構，本研究的研究目的如下：. 一、提出決策屬性檢驗程序提出決策屬性檢驗程序此檢驗程序有別於傳統相對誤差的判斷方式，結合了 ROC 分析與無母數的卡方檢定，來檢驗決策屬性是否適當，解決粗糙集分析法中決策屬性由專家主觀判斷的缺點。. 二、建立有結構性的規則建立有結構性的規則將粗糙集理論結合 ISM 結構圖，解決粗糙集分析法中只能得到離散的規則之缺點，使原本所得到的每一條離散的規則，透過 ISM 結構圖，找出規則與規則之間的關聯及結構，進而建立有結構性的規則。. 三、提出 RSM 提出 RSM，透過物件和屬性的關係，將不同概念群的概念生成多個形式背景，並提出二元概念格算法來構造概念格，透過生成再配置矩陣，找出一種適用於可達矩陣運算的計算方式，進而建立不同概念群中概念之間的關係和結構，以及概. 5.

(26) 念群之間的關係和結構，解決傳統階層式結構模式中，只能呈現同一概念群結構之缺點。. 第四節研究方法研究方法根據本文研究目的，本研究提出應用於教育測量之三個範例，每個研究範例的研究執行說明如下：. 一、迷思區分析此範例以中部某國小 28 位四年級學生為研究對象，測驗工具為教師自編的數學試題。分析步驟如下所示：步驟一將測驗工具中所包含的概念，透過 ISM 運算方式，建立概念間的 ISM 概念結構圖。步驟二根據 Sheu 等在 2012 年所提出的迷思區分析法（Sheu, Chen, Tzeng, Tsai, Chiang, Chang, & Nagai, 2013; Sheu, Chen, Tzeng, Tsai, & Nagai, 2013; Sheu, Tsai, Tzeng, Chen, Chiang et al., 2012）建立 GSP 表。步驟三根據迷思區定義，建立迷思區，並確認迷思區內的試題和學生對應的作答反應均為不同時對錯。步驟四根據決策屬性檢驗程序，結合 ROC 分析與無母數的卡方檢定進行 Gamma 值的檢驗，以確認迷思區的範圍是適當的（許天維等，2013b）。步驟五根據粗糙集理論進行迷思區的分析，以找出核 core(C ) 。步驟六將核 core(C ) 對應到 ISM 概念結構圖可獲得迷思概念間的結構，建立有系統性的補救教學路徑。步驟七根據 RSM，得到「學生-概念-核」結構圖，進一步了解學生、概念、核三者之間的結構及關聯性（永井正武、蔡清斌、陳姿良，2013；許. 6.

(27) 天維等，2013a；Nagai et al., 2013）。. 二、敏感度分析此範例以中部某國小 12 位教師為研究對象，研究工具為學習興趣因素結構圖。分析步驟如下所示：步驟一由兩位專家依照 5W1H ISM 分析法，製作學習興趣因素結構圖（Sheu, Chen, Tzeng, Tsai, & Nagai, 2012）。步驟二根據學習興趣因素結構圖，依照不同的學習情況提出具體可行的指導方案（Sheu, Chen, Tzeng, Tsai, & Nagai, 2012）。步驟三採用 LGRA-AHP 分析分式，計算 12 位教師根據 AHP 針對所建立的成對比較矩陣，以找出最佳指導路徑（Sheu, Chen, Tzeng, Tsai, & Nagai, 2012）。步驟四根據決策屬性檢驗程序，結合 ROC 分析與無母數的卡方檢定進行切截點的檢驗，以確認 Gamma 值和排序的切截點是適當的。步驟五透過 ROC 分析中的 AUC，進行教師的敏感度分析，找出鑑別度較高的教師（Chen, Sheu, Tsai, Tzeng, & Nagai, 2013）。步驟六根據 RSM，得到「教師-學習興趣因素-關鍵因素」結構圖，進一步了解教師、學習興趣因素、關鍵因素三者之間的結構及關聯性。. 三、課程結構分析此範例以國小分數課程為研究對象，由 5 位數學教育相關背景的專家以數學語言方式，將國小的分數課程整理成 67 項命題（Sheu, Chen, Tsai, Chiang, & Nagai, 2013）。步驟一將 67 項命題，對應至 97 年九年一貫數學領域課程綱要（97 年指的是民國 97 年所頒布，以下簡稱 97 課綱）中，國小三至六年級的分年細. 7.

(28) 目（Sheu, Chen, Tsai, Chiang et al., 2013）。步驟二透過 ISM 建立三至六年級的 ISM 分數課程學習結構圖，有系統的呈現教師的教學路徑（Sheu, Chen, Tsai, Chiang et al., 2013）。步驟三分析三種不同的常用教科書版本，透過粗糙集理論進行關鍵命題的分析。步驟四根據 RSM，得到「常用版本-國小分數課程-關鍵命題」結構圖，進一步了解常用版本、國小分數課程、關鍵命題之間的結構及關聯性。步驟五根據各年級學到的命題數，針對課程的設計提出具體的改善方案。步驟六根據學生學習的平均時數，針對教師的教學提出具體的改善方案。. 第五節名詞解釋為了增加研究的可讀性，本節列出四項與研究內容相關的名詞進行解釋，如下所示：. 一、二元概念格算法二元概念格算法在 RSM 中，提出了二元概念格算法來構造概念格，針對毎一個概念設其「外延」之後，再配給各個概念定義的「內涵」，亦即給於一個滿足各個「外延 ⊂內涵」條件的新概念為定義，成為一種形式概念。透過此算法，將形式背景所形成的任意的二元矩陣擴張成概念間兩兩比較的二元方陣（永井正武等，2013）。. 二、再配置矩陣在 RSM 中，根據二元概念格算法所形成的矩陣稱為再配置矩陣。根據二元概念格算法，再配置矩陣是指將任意個矩陣重新組成的大矩陣，其中，每一個矩陣就是一個形式背景，矩陣不限制只是 ISM 鄰接矩陣形式的方陣。再配置矩陣的. 8.

(29) 列和行的個數等於每一個矩陣的所有的列和行個數之和，因此再配置矩陣為方陣，適用於可達矩陣運算的計算方式（永井正武等，2013）。. 三、小樣本在山口大輔、赤羽根隆広、水谷晃三、李国棟、永井正武、北岡正敏（2006）的研究中，利用三個標準差（ 3σ ）證明出參數統計的最小樣本數需大於 11，因此，本研究中小樣本指的是研究對象 12 位以上，換句話說，研究對象最少只需 12 位。. 四、迷思概念本研究中的迷思概念有別於一般迷思概念之想法，根據一般迷思概念是指答對率越低，迷思程度越高，但也有學者指出，迷思概念之想法不一定是指概念全部錯誤（Driver & Easley, 1978; Driver, 1981），因此迷思區內的試題和學生對應的作答反應均為不同時對錯（Sheu, Chen, Tzeng, Tsai, Chiang, Chang, & Nagai, 2013; Sheu, Chen, Tzeng, Tsai, & Nagai, 2013; Sheu, Tsai, Tzeng, Chen, Chiang et al., 2012）。. 第六節研究架構本研究透過教育測量之應用，驗證研究結果的可行性與信賴性，本文之研究架構如圖 1-1 所示。. 第七節論文概要本論文分為七章。第一章，針對本研究論文整體做一個概括性的說明，包含研究問題、研究動機、研究目的、三個應用範例之研究方法、名詞解釋、研究架. 9.

(30) 構等；第二章，整理研究執行之相關理論以及該理論在國內外之研究現況；第三章，詳細記述本研究之提案，包含決策屬性檢驗程序與粗糙集結構模型法；第四章至第六章提供三個研究範例做為應用 RSM 於教育測量之實證分析，三個範例分別為迷思區分析、敏感性分析、課程結構分析；第七章則針對本研究做一個統整性的結論，並針對未來研究提出建議。 START: 研究動機與目的. 相關文獻與基礎理論. 決策屬性檢驗程序：ROC 分析→卡方檢定. 粗糙結構模型法：形式背景→計算核→再配置矩陣→連結線與節點控制→建構可達矩陣→RSM 結構圖. 1.迷思區分析. 2.敏感度分析. 3.課程結構分析. 建立 GSP 表. 學習興趣因素結構圖. 將 67 項命題對應 97 課綱分年細目. 建立迷思區. 找出最佳指導路徑. 決策屬性檢驗. 訂定較有效路徑. ISM ISM 課程結構圖. 確認教科書版本決策屬性檢驗. 否. 是否通過檢驗. 否否. 粗糙集+ISM. 是. 是否通過檢驗. 是否為常用版本是. 二次教學路徑是 RSM 學生-概念-核結構圖. 比較三大常用版本鑑別度較高的教師 RSM. 關鍵命題. 教師背景-學習興趣因素關鍵因素結構圖. RSM 是否能正確建立概念間的結構是 STOP: 結論. 圖 1-1 研究架構. 10. RSM 常用版本-國小分數課程關鍵命題結構圖. 否.

(31) 第二章相關文獻與基礎理論本章整理研究執行所需要的相關理論以及該理論在國內外之相關文獻，前三節介紹建立RSM的基礎理論，包含形式概念分析、概念構圖及階層式結構模式、粗糙集理論；第四節為ROC分析法，用來建立決策屬性檢驗程序；第五、六節是本文提出RSM應用在教育測量的範例所需要的基礎理論，分別為層級分析法和迷思區分析法。. 第一節形式概念分析 Wille（1982）提出 FCA，這是一種從資料集合與資料集合間構成的關係中，發現其概念結構的資料分析理論，也是一種對概念或資料提供實質描述的概念化群集技術。透過此分析法可以從一定範圍的資料集合中，找出共同相關屬性，以表現這群資料的特徵，為一種知識表徵的機制（Wille, 1982; Jiang, Ogasawara, Endoh, & Sakurai, 2003; Formica, 2006）。 FCA 主要功能在分析資料，使資料形象化、結構化，分析過後之資料將更具有意義及結構（Wille, 1982）。分析過程中，將屬性與物件之間的相依關係以二元陣列方式呈現，再利用概念格以圖形化、序列方法來呈現，並透過概念格延伸出更廣的二元關係，藉以分析複雜的結構及發現資料之中的相依性。FCA 經常使用在社會上無法適當量化的資料分析上，在統計及概念分析領域之中可以互補，也可提供物件組成知識架構與展示個案間關係的一種方法（Diaz-Agudo, & González -Calero, 2001; Philipp, Andreas, & Steffen, 2005）。根據 Wille（1992）的定義，形式概念在是由外延與內涵所構成的。外延是指符合這個形式概念中內涵的所有物件，而內涵是指這個形式概念中的個體所具有的所有屬性，而 formal 這個字眼是要強調 formal concept 是數學中的實體。而所謂的「形式概念」是指利用數學模式所表達的事件，因此在建立概念時，須收. 11.

(32) 集具體的事實，但實際內容則為一種數學模式，稱為形式背景。另外，根據 Ganter 等（2005）和戚玉樑（2006）的說明，FCA 的數學基礎是衍生自格理論（Lattice Theory）所發展出來的（Birkoff, 1967），而 FCA 的建構步驟大致可分成生成形式背景和構造概念格，因此，形式背景通常是由兩個集合 U 、 C 及其所構成的二元關係組合三者所構成的，U 與 C 分別表示物件與屬性。U 、 C 及 R 通常以三元組的 (U , C , R ) 表示，其中 U 代表形式背景的物件集合；C 代表形式背景的屬性集合； R 則是 U 與 C 之間的二元關係，亦即一個物件 u 及一個屬性 c ，具有 uRc 或. (u, c) ∈ R 的關係，並且讀做「物件 u 的屬性為 c 」（Wille, 1982）。形式背景可衍生兩種重要的概念推導式：屬性的內涵與物件的外延，前者是指一組物件所應共同具有的屬性集合，後者是指滿足特定屬性的物件集合。因此，若 G 為一組物件集合並滿足 G ⊆ U ， G' 稱為 G 的內涵， G' 是一組「屬性」集合，它們是 G 中所有物件均具有的屬性，如式（2-1）所示：. G ' := {c ∈ C | (u , c) ∈ R, ∀u ∈ G}. （2-1）. 另ㄧ方面，若 H 為一組屬性集合並滿足 H ⊆ C ， H ' 稱為 H 的外延， H ' 是一組「物件」集合，它們滿足所有在 H 中共同的屬性，如式（2-2）所示：. H ' := {u ∈ U | (u , c) ∈ R, ∀c ∈ H }. （2-2）. 因此當 (G, H ) 是形式背景 (U , C , R ) 的一組形式概念時，必須滿足式（2-3）的條件：. G ⊆ U , H ⊆ C , G' = H , G = H '. （2-3）. 根據式（2-1）及式（2-2）對 G' 及 H ' 的定義，其中 G 為形式概念 (G, H ) 的外延（亦即物件集合）， H 為形式概念 (G, H ) 的內涵（亦即屬性集合），而在符合此概念的前提下，若以具體的物件及屬性來重新表示概念時，則很容易發展出各種邏輯關係。此外，根據上述的定義，給定兩個形式背景 (G1 , H1 ) 和 (G2 , H 2 ) ，可以. 12.

(33) 推導出子概念（Subconcept）和父概念（Superconcept）間的交互關係，如式（2-4）所示。 (G1 , H1 ) 稱為 (G2 , H 2 ) 的子概念， (G2 , H 2 ) 稱為 (G1 , H1 ) 的父概念。. (G1 , H1 ) ≤ (G2 , H 2 ) ⇔ G1 ⊆ G2 ( ⇔ H1 ⊆ H 2 ). （2-4）. 這種由形式背景中所有形式概念的父概念-子概念的偏序關係所誘導出的格稱為概念格，以 L(K ) 表示。概念格的每個節點是一個形式概念。概念格可以用圖形化表示，這種圖稱為格線圖，圖中的每一個節點代表一個形式概念，節點間的連線表示節點間存在父概念-子概念關係，透過格線圖可將概念格可視化。 FCA最早開始於1980年代，主要應用於資料的篩選分析，目前已快速發展並廣泛運用於各個領域，包含醫學、心理學、人工智慧、資料擷取、資料探索、認知結構評量、線上學習及其他領域（戚玉樑，2006；陳榮靜、葉峻儒、李宜晏， 2009；Formica, 2012; Nguyen, Hui, & Chang, 2012），但主要仍集中在研究概念格（Concept Lattice）的數學性質與應用，如概念格算法和概念格在數據挖掘與知識工程中的應用（Medina, 2012a, 2012b; Nguyen & Yamamoto, 2012; Priss, 2005）。表 2-1為本研究整理形式概念分析與教育測量相關研究。. 表2-1 形式概念分析與教育測量相關研究研究者（年代）論文主要內容陳美惠、李來錫、陳該研究蒐集自2002年至2006年社區林業第一階段計畫，從中70個社區262份計畫雯歆、溫永封（2009）書，探討社區執行第一階段計畫之工作項目及內容，並以形式概念分析教育訓練課程。. 格線圖（格線圖（Hasse Diagram））範例：範例：此範例有 9 個物件，屬性有 6 個類型，分別為三角形、正方形、圓形、白色、黑色、灰色。根據物件和屬性可建立形式背景，從形式背景中可得到 11 種形式概念，依據父概念-子概念關係便可繪製出格線圖。. 13.

(34) 9 個物件. 形式背景物件\類型物件類型 o1 o2 o3 o4 o5 o6 o7 o8 o9. 三角形 ˇ ˇ ˇ. 正方形. 圓形. 11 種形式概念白色. 黑色. 灰色. ˇ ˇ ˇ ˇ. ˇ ˇ ˇ. ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ. ˇ ˇ ˇ. 編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11. 形式概念 ( {灰色}, {o3, o4} ) ( {黑色}, {o1, o5 , o6} ) ( {白色}, {o2, o7, o8, o9} ) ( {正方形}, {o4, o5 , o6} ) ( {三角形}, {o1, o2, o3} ) ( {圓形, 白色}, {o7, o8, o9} ) ( {正方形, 灰色}, {o4} ) ( {正方形, 黑色}, {o5 , o6} ) ( {三角形, 灰色}, {o3} ) ( {三角形, 黑色}, {o1} ) ( {三角形, 白色}, {o2} ). 格線圖（Hasse Diagram）終點. 正方形. 灰色. 三角形. 黑色. 白色. 圓形. 起點. 資料來源：Nagai & Tsai. (2013). 第二節概念構圖及階層式結構概念構圖及階層式結構模式階層式結構模式概念構圖法是目前科學教育工學領域應用頗為廣泛的一種教學和學習策略（林秀美，2010）。經過概念構圖繪製出來的圖稱為概念圖，概念圖係由節點和連結組成。節點用來表示概念、物件或動作。節點之間可以用單向、雙向或無方向性的連結線連接起來，以表示兩個節點之間的關係。連結線上的標示提供了節點之間關係的訊息。將兩個或多個節點連結起來，即構成一道命題（Proposition），用來敘述節點與節點之間有意義的關係（Novak et al., 1984）。概念構圖在教育測量被廣泛的應用，近年來概念構圖與教育測量相關研究之整理，如表 2-2 所示，. 14.

(35) 從表中可知，研究者大多結合課程進行實驗教學，以探討概念構圖法實施成效。表2-2 概念構圖與教育測量相關研究研究者（年代）王開府（2008）. 論文主要內容該研究以心智圖為例，探討思考教學在國語文課程之運用，提出可用的多種概念模組，並說明概念模組在進行閱讀與寫作心智圖教學之實際運用。劉沛琳（2008）該研究應用概念構圖結合英文閱讀課程，並將大一學生分為強讀者及弱讀者兩組進行實驗，分別實施概念構圖和傳統閱讀之教學，藉以比較此策略對不同程度學習者之閱讀成效。劉遠楨、黃思華、王該研究建置了概念構圖與註記分享之線上摘要寫作學習環境，並以國小五年級學童聖仁（2008）為對象進行實證研究。劉有財、林錚、戴暉該研究以「合作學習」與「概念構圖」不同教學策略融入桌球課程，並以團隊氣氛恩、周建智（2008）理論中編制量表，以探討不同教學策略是否對大專生團隊氣氛有所影響。蕭惠心（2008）該研究在討論適合用於歷史教學的概念圖類型，及其選用原則、製圖原則，並在實際教學活動實施後，以學生的反應來檢視各類歷史概念圖的運用成效。江世豪（2009）該研究以嘉南藥理科技大學師培中心幼教學程選修「幼兒自然科學與數概念」課程之班級28位學生為研究對象，以質性研究的方式，探究幼教師資生對於自然科學教學實務之原有想法，同時發展創作科學概念故事教學策略。汪栢年（2009）該研究以「臺灣經濟的起飛」與「世界文明的交匯」為例，演示概念構圖的形成與實際課堂上的應用。周建智、涂馨友該研究將「合作學習」及「概念構圖」運用於體育教學，以提升學童運動中的批判（2009）思考能力。黃國禎、郭凡瑞、蔡該研究探討63名不同自然科學能力的國小六年級學童，在接受不同概念構圖策略教新德（2009）學後，其線上資料搜尋能力及知識結構表現的差異。林秀美（2010）該研究針對陸軍官校電機系修習邏輯設計課程的學生，進行為期四週的概念構圖教學，探討概念構圖應用於學習邏輯設計課程的知識建構之可行性。張書瑋、周建智、黃該研究以臺北市某國民小學24位學童進行教學實驗，探究概念構圖介入體育課對學美瑤（2010）童的創造力之影響。黃文成、胡崇偉、周該研究以臺北縣某國民小學五年級31人做為研究對象，探討概念構圖教學對不同學建智、蘇詩媚（2010）習風格學童在國小籃球動作技能表現之影響。熊京民、蔡循恒、楊該研究應用概念構圖結合科技期刊論文閱讀課程，將屏東科技大學機械系46名三年金寶（2010）級的學生分為高、低分兩組進行實驗教學，比較高低分兩組的學習成效。 Ricon（2010）該研究提出使用概念圖作為一個可視化的策略，以促進發展性協調障礙的孩子之間與他/她的家庭、治療師的互動。吳培源（2011）該研究以立意取樣，研究對象為一位幼兒教師，分別設計「蛛網圖」、「鎖鍊圖」、「階層圖」、「心智圖」等教學活動，探討「概念構圖」融入幼兒教學活動的可行性。吳裕聖、曾玉村該研究將國小五年級共138名學生分成高、低先備知識兩組，導入鷹架理論結合概（2011）念構圖進行實驗，透過實驗組和控制組的比較，探討導入鷹架理論對於概念構圖的影響。曹弘源、潘義祥該研究目的提出一個實務應用，結合理解式球類教學法與概念構圖之優點，設計完（2011）整的教學範例。 Hsu & Chang 該研究以計算機為基礎的概念映射作為一個創造性的工具，用來改善在技術大學設（2011）計部門40名學生的創造性表現。陳栓銘（2012）該研究以電腦概念構圖融入國小社會學習領域法治教育，教學過程中蒐集學生電腦構圖文件、訪談資料、法治教育學習成就測驗前後測、電腦概念構圖學習態度問卷，藉以探究此教學策略對學生學習成效與學習態度之影響。鄭博文（2012）該研究應用概念構圖融入於高職電子科專業科目教學，並進行概念構圖教學與傳統式教學的實徵研究，探討概念構圖教學之學習成效與教學評量。. 15.

(36) 概念圖之種類可分成三種，包含網狀圖、鍊圖與階層圖（Jones, Palincsar, Ogle, Carr, 1987）。本研究中所使用的是階層式概念圖，階層式概念圖包含三項重要特徵（Novak et al., 1984）：階層性、關係性、交叉連結。「階層性」指的是概念在概念圖中以階層的方式呈現，一般性、概括性的概念排在上層，較特定、具體化概念則排在下層，而最下層往往是最具體的範例某個節點可以用來代表一組節點。「關係性」指的是在概念圖中，概念與概念之間，乃是由有意義的連結語所連接的，即以明確的關係型態來連結各個概念。「交叉連結」指的是概念群與概念群間可能亦具有意義，可透過交叉連結加以連結。在本節中，首先分成三個部分介紹經常使用的階層式結構模式及其與教育測量相關的研究，第一個部分是詮釋結構模式（ISM），第二個部分是模糊詮釋結構模式（FSM），第三個部分是灰色結構模式（GSM），接著比較這三種階層式結構模式的特性，並提出可以改進的部分，以作為本研究中粗糙集結構模式提案之基礎理論依據。. 一、詮釋結構模式（）詮釋結構模式（ISM） Warfield 在 1976 年提出 ISM，這是一種可以將複雜系統中，不同類型元素之間的關係，轉變為關聯構造階層圖的數理方法（Warfield, 1976）。分析時，利用圖解理論中的階層有向圖，來描述不同類型元素之間的關係。如此可使複雜系統中片段、抽象化的不同元素，轉變為具體化、全面化的關聯構造階層圖，以釐清複雜事態的結構（Janes, 1988; Warfield, 1982）。 Warfield 的計算方式，主要是將複雑的系統以構造的方式加以分類，執行過程是一種從圖論變成圖化再轉為圖形結構的理論（Warfield, 1976, 1982）。首先，在系統中有 n個元素構成一個集合 U ，設 U = {u1 , u 2 ,L , u n }。接著，定義 U 的直積（Cross Product）為 U × U ， U × U = {(ui , u j ) | ui , u j ∈ U } 。如果 ui 和 u j 存在因果關係，則形成有序對 (ui , u j ) ∈ R ，其中集合 R 為 U × U 的部分集合。此時利用圖形理. 16.

(37) 論將有序對轉化成矩陣之型式，如以式（2-5）所示：設 AI 為鄰接矩陣.  a11 L a1n  A =  M aij M  an1 L ann  I. （2-5）. 其中，若 (ui , u j ) ∈ R ，則 aij = 1 ；若 (ui , u j ) ∉ R ，則 aij = 0 。執行步驟如下：（一）形成鄰接矩陣（Adjacent matrix）計算時，根據上述矩陣轉化的方式，透過各元素彼此間「兩兩」相互比較是否有「因果關係」存在的方式，排列各元素之間的關係，並以「1」和「0」的 n 階二元方陣表示各元素之間有關聯或沒有關聯，也就是具有「1」和「0」的鄰接矩陣，以符號 AI 表示之，如式（2-6）所示：設 AI 為此鄰接矩陣. s1. s2. s1  a11 a12 s2 a21 a22 I A = MM M  sn an1 an 2. L. sn. L a1n  L a2 n  O M   L ann . （2-6）. （二）建構可達矩陣（Reachable matrix）運用圖形理論，將上面的鄰接矩陣 AI 加上單位矩陣 I ，變為「含有自己的因果關係矩陣」，以 B I 表示， B I = A I + I 。透過 B I = A I + I （ I 為單位矩陣），將矩陣 AI 轉換成含有自己的因果關係矩陣 B I 。接著，再透過布爾（Boolean）代數規則（1+1=1，1+0=1，0+1=1，0+0=0，0×0=0，0×1=0，1×0=0，1×1=1），使 B I 連. 17.

(38) 乘 n 次，得到 B I ≠ ( B I ) 2 ≠ ( B I )3 ≠ L ≠ ( B I ) n−1 = ( B I ) n ≡ T I 。重覆的作此一運算，直到矩陣結果不產生變化為止，此時之矩陣稱為可達矩陣 T I ≡ ( B I ) n （Warfield, 1976）。（三）完成 ISM 結構圖於式（2-6）中，對 T 矩陣而言，稱列的集合稱為可達（Reachable）集合，以. R(s) 表示，而稱行的集合稱為先行（Antecedent）集合，以 Q (s ) 表示，兩者之交集 R ( s ) I Q ( s ) 稱為共通集合，即可建立系統的多層級結構模型，也就是 ISM 結構圖。透過 ISM 結構圖，可以將事件中的所有構造要素，轉變成關聯構造階層圖，而得到各構造要素的分佈位置。 ISM 近年來已被廣泛應用在許多領域，許多研究透過 ISM 建立專家系統中因素之間的關聯性及結構圖，透過結構圖尋找執行策略、設計方向或程序之設定（王振琤，2007；張寧，2007；張寧、汪明生、陳耀明，2008；張寧、汪明生、龔慧芳、邱靖蓉，2011；Sahney, 2008; Ko, Kuo, & Chen, 2012），有學者進一步將 ISM 結合 GRA，以找到最佳設計（Liang, Lee, & Chen, 2009）。 ISM 經常與與層級分析法（Analytical Hierarchy Process, AHP）結合使用，透過 AHP 分析影響因素的權重，可建立不同領域所需的專家模式，進而針對不同專家模式進行評比（李素馨、楊文玲，2011；林少斌、李友錚、趙雲瀚、張耀祖， 2010；梁榮進、李雁隆、陳俊興，2009），Chen（2011）則認為 ISM 結合 AHP 能有效地篩選出問卷問題。此外，也有研究將 ISM 結合網路分析法（ANP），透過 ANP 深入了解各個因素對專家系統的影響，進而提出最佳執行策略或系統的評估模式（王麗幸、謝玲芬，2009；陳文亮、江雅媚，2012；陳昱寰、林谷鴻， 2012；陳曉旻、林谷鴻，2012；鄧皇明、林谷鴻，2012；謝玲芬、黃婷筠、劉淑梅，2007）。還有些研究改良 ISM，使用 5W1H ISM 建立結構圖，加入 5W1H 進行因素. 18.

(39) 強弱篩選改善主觀判斷的缺點，強弱篩選，改善主觀判斷的缺點改善主觀判斷的缺點，並透過 AHP 及局部灰關聯分析（LGRA LGRA）分析，，得到 ISM 結構圖及最佳結構圖及最佳執行方案方案（范振德、（、陳俞媚、、陳麗萍、梁榮進梁榮進、永井正武永井正武，， 2012 Chiang, Liang, Hwu, & Masatake, 2012; 2012；Chiang, 2012 Woody, Fann, Chen, & Chen, 2012） 2012 ；有些有些研究則使用使用 5W1H ISM 建立結構圖，並建立結構圖並結合 GRA 和 GSM GSM，得到不同情況下不同情況下的最佳最佳設計策略設計策略（Chu, Chu, Chiang, Liang, & Hwu, 2012; Hwu, Liang, Chiang, Chu, & Nagai, 2012）。 2012）。近年來，，ISM 在教育測量相關的研究越來越多在教育測量相關的研究越來越多，本研究本研究整理出與出與教育測量相關的文獻，如表 2-3 所示。教育測量相關的文獻，所示. ISM 結構圖範例結構圖範例：範例：根據不同根據不同概念之間的關係形成鄰接矩陣之間的關係形成鄰接矩陣，透過布爾代數規則布爾代數規則，建構可達矩陣，建構可達矩陣，最後可得到 ISM 結構圖，結構圖中分為結構圖結構圖中分為 3 階層，越下層代表越基本的概念階層越下層代表越基本的概念，越上越下層代表越基本的概念越上層代表越困難的概念。層代表越困難的概念。不同概念概念之間的關係之間的關係概念\概念概念 A B C. A 0 0 0. B 1 0 0. 形成鄰接矩陣 0 1 0  A = 0 0 1  0 0 0. C 0 1 0. I. 建構可達矩陣. ISM 結構圖.  0 1 0   1 0 0  1 1 0  B = A + I = 0 0 1  + 0 1 0 = 0 1 1  0 0 0 0 0 1  0 0 1  I. I. 1 1 0 1 1 0 1 1 1 ( B ) = B × B = 0 1 1  × 0 1 1  = 0 1 1 0 0 1  0 0 1  0 0 1 I. 2. I. I. 1 1 1 1 1 0 1 1 1 ( B ) = ( B ) × B = 0 1 1 × 0 1 1  = 0 1 1 ≡ T I 0 0 1 0 0 1  0 0 1 I 3. I. 2. I. 19.

(40) 表2-3 ISM與教育測量相關研究研究者（年代）蔡秉燁、永井正武、鍾靜蓉（2002）. 論文主要內容該研究使用 5W1H ISM 分析法於網路化學習與傳統學習差異要素分析及發展策略研究，運用此分析方式可深入比較網路化訓練與傳統集中式訓練兩者的優劣。徐賢德（2004）該研究運用ISM將康軒版客家語課本第一冊教材予以結構化，並重新編排學習項目的順序與學習路徑或學習地圖，讓教師本身檢視自己的知識體系。 Wang, Sheu, Liang, Tzeng, 該研究結合 ISM、GSP 和 GSM 提出一種綜合分析方法，並利用此分析法針 & Nagai（2011）對 74 位大學生分成兩組進行英文文法概念診斷，提供一個實證研究。 Yeh & Hsu（2011）該研究提出了一種結構分析，將 ISM 結合 AHP、GRA，評估建築系學生的設計能力。何慧群、永井正武、許天該研究運用ISM將教育哲學中的意識取向、概念本位之文本理解以多層次有維、曾建維、蔡清斌（2012）向圖示之，凸顯哲學素養、哲學教育基礎性，並據以反映教學者知識體系、默會知識及其思維邏輯。 Lee（2012）該研究結合 ISM 與 GRA，以高等職業教育英文系中的公眾演講課程為例，規劃和設計有效的課程，以實現最大效率的教學。 Sheu, Chen, Tzeng, Tsai, & 該研究結合 5W1H ISM、AHP、GRA，分析影響學生數學科學習興趣之因素， Nagai（2012）並進一步提出具體的指導方案，並挑出最佳指導路徑。 Sheu, Tzeng, Tsai, & Chen 該研究的分析方法結合 ISM、GSP 和 GSM，分析兩班國中學生在一元一次（2012）方程式數學測驗的作答反應，透過此分析法清楚地顯示了教學內容，並指出了再次加強的概念。 Wang, Sheu, Liang, Tzeng, 該研究的分析方法結合 ISM、GSP 和 GSM，並利用此分析法分析 75 位大學 & Nagai（2012）生的英文閱讀考試，找出個別學生最佳的教學策略。陳佩婉、陳姿良、曾建維、該研究以 ISM 分析單元概念，再以 GSM 結構圖分析試題概念，並依據學生蔡清斌、許天維、永井正武的作答反應，結合 GSP 表判斷出學生的迷思區，進而找到迷思概念的結構。（2012）許天維、陳姿良、蔡清斌、該研究運用 Atlas.ti 結合 ISM 建立結構圖，針對中部地區國小三年級 27 位學劉維玲、永井正武（2012）生進行調查，以分析國小數學科教科書內容編制是否符合學生的生活經驗。許天維、蔡清斌、曾建維、該研究以粗糙集理論結合 ISM，分析中部一個班級的國中學生的迷思，根據陳姿良、姜秀傑、劉維玲、測驗之分群結果，比對各分群所具備知識的粗糙度，界定迷思區所建構的學永井正武（2012）習迷思點之重要程度，進而決定迷思序的結構。 Sheu, Tsai, Tzeng, Chen, & 該研究根據粗糙集理論的約簡和核計算出學生共同的迷思，透過比較國中兩 Nagai（2012）個班級學生知識的粗糙度，並將迷思概念對應到 ISM 結構圖，決定迷思次序的結構，做為教師進行補救教學的參考。蔡清斌、許天維、曾建維、該研究針對迷思區結合迷思次序演算法做出一個應用於強化教學成效上的陳姿良、永井正武（2013）新模式。此方法將迷思概念對應到 ISM 結構圖，不僅能應用於強化教學成效上，更可以精準預測學生的迷思概念。 Sheu, Chen, Tzeng, Tsai, 該研究提出迷思區分析法，此分析法結合 GSP 所建立的迷思區、ISM、GSM Chiang, Chang, & Nagai 以及粗糙集理論，不論樣本大小皆適用。研究中提供一個補救教學實例，以（2013） 15 位小學四年級學生為研究對象，分析教師自編的前後測數學測驗，探討補救教學成效。 Sheu, Chen, Tzeng, Tsai, & 該研究結合 Rasch Model GSP 表分析理論、迷思區、ISM 與 GSM，根據學 Nagai（2013）生對於教師自編的數學測驗之作答反應，分析中部 18 位四年級學生學習困難之概念結構。此研究方法針對少量人數及試題數，仍然可有系統的指出需加強之概念結構。 Sheu, Chen, Tsai, Tzeng, & 該研究提出 Rough-ISM 分析法，透過分析國小學生在數學測驗的作答反應 Nagai（2013）發現，此分析法不但發現全班共同的迷思，還可以提供教師補救教學的教學路徑。 Sheu, Tsai, Chen, Tzeng, 該研究結合迷思區和粗糙集分析學生在數學測驗的作答反應，目的在於透過 Chang, & Nagai（2013）約簡的計算找出學生迷思的核心。透過此方法將迷思概念對應到 ISM 結構圖，不僅能發現學生的迷思，也能增進學習的成效。. 20.