第三章 研究方法
3.2 變異數分析
變異數分析廣泛推廣適用於各種實驗領域，其主要目的即檢驗各個類別 變數的平均數之是否相等。例如：實驗三種不同肥料研究同一品種的稻米生 長產量。
變異數分析利用樣本資料來比較若干不同的實驗變數，以確定這些實驗 變數是否導致不同結果。其虛無假設(H0)及對立假設(H1)如下：(μ表示母體 平均數)
H0：μ1=μ2=．．．= μm
H1：並非所有的μ都相等
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變異數分析的基本假設：(1) 所有樣本都是隨機抽選而得，且彼此獨立。
(2) 各母體呈常態分配。(3) 各母體的變異數(σ2)都相等。
在單一因素的情況下(single-factor ANOVA model)，變異數分析模式通常 以下式表示：
Yij = μ + τj + εij
上式中，τj：實驗變數的第 j 個水準( j = 1,2, ．．．,m )對 Y 的差異效 果，εij：誤差項( i = 1,2, ．．．,n; j = 1,2, ．．．,m )，假設εij是常態和獨 立分配，平均數為 0，變異數為σ2，即 NID (0, σ2)。
利用實驗變數的變異(treatment variation)、誤差與總變異三種變異來源，
可以求得以下三種變差的平方和(sum of square)：
(1) 實驗變數平方和(treatment sum of square, SST)這是可由實驗變數解 釋的變異，亦稱組間離均差平方和。
SST = Snj ( Ý j – Ÿ )2
(2) 誤差平方和(error sum of square, SSE)這是實驗變數未能解釋的變 異，稱為組內離均差平方和。
SSE = SS ( Yij – Ý j )2
(3) 總平方和(total sum of square, TSS)
TSS = SST + SSE = SS ( Yij – Ÿ )2
上式中，Ÿ ：樣本觀察值的總平均數，Ýj：實驗變數的第 j 個水準的平 均值，Yij：第 j 個水準的第 i 個觀察值。
不論 H0： μ1= μ2= ． ． ． = μm 是 否 成立 ，各 組樣本 的 變異數 為
1 ) ˆ2 ( 2
−
= ∑ − n
x S
ix
ij i， 因 假 設 了
2 2
3 2 2 2
1
σ σ
...σ
σ = = =
， 故 其 估 計 量 為25
m MSE n
S
pSSE =
= −
2
，
= −
1m MST SST
。
故取： SSE/(n-m) 1) -SST/(m
0
= =
MSE F MST
，如表 3.2.1。
表 3.2.1 變異數分析表
變異原因 平方和 自由度 均方和 F
組間 SST m-1 MST = SST/(m-1) F= MST/MSE 組內 SSE n-m MSE = SSE/(n-m)
總和 TSS n-1
資料來源：本研究整理
研究者同時採用兩個或以上的自變項對於某一個依變項的影響，稱為多 因子設計（factorial design），本研究實驗即為多因子設計。當研究者所使用 的自變項是類別變項，依變項是連續變項時，所使用的統計分析技術稱為多 因子變異數分析(Factorial ANOVA)，研究中包含兩個自變項，稱為二因子變 異數分析（two-way analysis of variance），依此類推。依變項的得分被自變項 區隔成不同的部份，每一個部份均可得到一個平均數，各平均數之間的變動 情形需要使用平均數的變異分析的概念來分析。其原理仍是以平均數間的變 異數（組間變異）除以隨機變異得到的比值（F 值），當 F 值越大，表示研究 者關心的平均數的分散情形較誤差變異來得大，若大於研究者設定的臨界 值，研究者即可獲得拒絕虛無假設、接受對立假設的結論。
林宗賢【5】以二因子為例說明多因子變異數分析的統計原理，先將所有 觀察值在依變項分數的變異量，以「總離均差平方和」（SStotal）來表示，其 值為每一個觀察值的原始分數減去總平均數平方後加總得知。這些原始分數 的的變異（總變異量）可以區分為因實驗造成的「組間效果」（簡言之也就是 該變項各水準的分類所造成依變項的差異）與反應隨機誤差的「組內效果」。
組間效果則又可細分為 A 因子、B 因子與 AB 交互效果三個來源，其關係式 如下:
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總離均差平方和（
SS
t)= 組間離均差平方和(SS
b)+ 組內離均差平方和(SS
W)=
SS
A+ SS
B+ SS
AB+ SS
W總自由度
( ) df
t= df
A+ df
B+ df
AB+ df
W即
( N −
1) ( = k −
1) ( ) ( + l −
1+ k −
1)( ) ( l −
1+ N − kl )
其中：
k、l 代表自變項 A、B 因子的水準數 N 代表樣本數
如前所述，影響平均數的變異有三個主要來源，A、B 主要效果及 AB 交 互效果，這三個效果的統計意義是變異數分析首先必須檢定的對象，也就是 以 F 檢定平均數變異是否有顯著差異，一旦確認之後，才需要進一步針對各 因子不同水準的影響進行事後比較。
多因子變異數中，透過各因子內不同水準的平均數離散量數 MSi（組間 均方和）的計算，除以誤差離散量數 MSw（受試者間組內均方和），來求得 F 值。若 F 值的機率值達顯著水準，則該效果達顯著。變異數拆解與 F 值檢 定的公式見表 3.2.2 所示。註： i 表 A、B、AB 各因子組間（between）效果 或組內（with）效果。
表 3.2.2 因子變異數分析摘要表
變異來源 SS df MS F
組間
SSA k-1 SSA/dfA MSA/MSW
SSB l -1 SSB/dfB MSB/MSW
SSAB (k-1)( l -1) SSAB/dfAB MSAB/MSW
組內（誤差） SSW N-k l SSW/dfW
總計 SSt N-1 資料來源：【5】
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ANOVA 的結果如拒絕接受虛無假設，並不表示所有的 μj（j＝1,2,…,k）
都不相等。如果群體數超過兩個，尚可進一步檢定各μj中那幾個相等，那幾 個不相等，或是將各μj依大小次序排列，此即多重比較法所要處理的問題。
多重比較法是以信賴區間的數值來比較每一對母體平均數μg和 μ（g≠h）h
的大小，然後再綜合來比較各 μj的大小。常見的多重比較法有 Scheffe’法、
Tukey 法、Duncan’s 檢定和 Newman-Kuels 檢定等。本研究為瞭解不同導航 類型對駕駛影響有無差異，而 Duncan’s 檢定較能比較出差異性，因此本研究 利用 Duncan’s 檢定進行多重比較。