计算未知或贝叶斯定律
我们应该为避开思维黑洞而设计路线图了。我们也许并不完 全了解这些思维黑洞，即使是专家在他自己的研究中也如此，但 是如果他们一旦知道某种思维置词，就知道得很详细。现在正是 我们对这张路线图进行概略研究的时候。大比例地图 在工程
以前面在统计学
师和建筑师的画板上见到的那种图表 、决策 论和认知科学中提到过的形式存在。到目前为止，这些路线图只 存在于几个专家的特殊领域，因此没有在公共图书馆出现。如果 我们想让情况有所变化，如果我们想让身边的人们避免这些思维 黑洞，那么现在就是我们用最简单的形式表明这些问题让外行接 受的时候了。
我们经常提到贝叶斯定律，现在更是描述它的时候，至少我 们应该给 它一个简要的 形式。人类知道 如何数数，如 何测量距 离，以及如何精确地称货物的重量已经有几个世纪了，但是直到 世纪我们才解开了下列谜团，即如何从已知数据中计算出未知 的概率；如何在过去精确的数据基础之上预测未来等等。这些谜 团自有人类以来，一直都让人们困惑难安。前面的章节虽然没有 解答这些问题，但是肯定地证明了：以人类正常的直觉为基础是 解决不了这种问题的。实际上，为了获得成功我们不得不推翻这 些直觉。
在这种情况下，贝叶斯定律（我们一会儿就会看到，它只是 一个非常简单的公式）确实是关于人类思维的重要发现之一。现 在，它不仅出现在统计学的所有论文之中，也出现在百科全书以 及归纳逻辑的手册中。本书旨在为读者朋友们提供此定律的直观
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概念，并且告诉大家，这个定律是如何运用它的简单原理把我们 从天生的可能性推理黑洞中解放出来的。
在日常生 活中，我们经常需 要依靠一些不完全 的信息做决 定，当然我们就不得不去获得更多的数据以纠正或肯定我们做出 的决定。有这样一个典型例子：当我们要对将来会发生的一些事 情做出合理的预测时，必须去收集有关最可能出现的结果的一切 信息。对于这个过程的研究最常用的方法是某科学家首先提出一 个假设，然后用这个假设去测验他的理论，最后决定他的试验在 多大程度上证明或者否证了他的理论。他的任务就是要根据我们 所知，准确地计算一个理论或一个假设的正确率，而不仅仅是猜 测这个理论或假设可能。
这个测试直接适用于医生这个行业，在诊断过程中使用这个 测验可以帮助他取得更准确的诊断结果。它也很容易被企业总经 理接受，因为这些人总是要面对不停的决策，不停地搜集那些能 使他们的决策更加合理的更进一 步的信息（如来自于市场研究 的、工作考察的，以及来自于股票市场的信息等）。正如我们所 知这种合理的决策也应该被扩展到法庭。
为了帮助读者弄明白贝叶斯定律，在这里讲几个例子：
［ 例 医疗诊断。某病被诊断出的概率为 ，无该病误诊
，如果某地区患
有该病的概率为 该病的概率为 ，现在 随机选该区一人，诊断患有该病，求该人确实患有该病的概率。
表示“该人患有该病”
该 ， 表 示 “ 该 人 诊 断 患 有 该 表示“患有该病的人被
病” ，则 诊断有该病（呈阳性）”，
表示“不患有病的人被诊断患有该病（呈阳性）”， 表示
“ 被 诊 断 患 有 该 病（ 呈 阳 性 ）确 实 患 有 该 病 ”。 可以计算：
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即，从该区随机抽选一人，诊断患有该病（检验呈阳性），该 人确实患有该病的概率为
质量检验。三台
［例 自动的机器生产同样的元件，机器
为 ， 为
生产总数的 ，机 器 机器 。平均来讲，
机器 生产的部件有 不合格，对于机器 和 相应为 和 。如果从联合生产的产品中随机抽取一个元件，发现为 不合格，则它是由机器 生产出来的概率是多少？你怎样判断该 元件是由哪台机器生产的 ？
设 分别表示“由机器 生产的元件”，
表示“不合格”。则
即 ：该 不 合 格 元 件 是由 机 器 生产的概率为 。 同 理 可 知 是 由 机 器 生产的 概率 分别 为 。 由 于 明显大于 。所以，有足够大（ ）的 把握认为该不合格元件由机器 生 产 。
信 号 识 别 和
［例 。 发 别台 分 别 以 概 率 发 出 信 号
。由于通信系统受到干扰，当发出信
”和 号“ ” 时 ，
收报 台 分别 以 和 收 到信 号 “ ” 和 “ ，当发出信号 时 ， 收 报台 分 别 以 概 率 和 收 到 信 号 “ ” 和
”的概率。
，发出信号
，求收到信号“ 出是“
设 分别表示发出信号“ ”和收到信号“ ，则
（ ） ）
）
）
可以计算：
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即 当 收到 信 号 “ ”时发出信号是“ ”的概率为 从这几个例子中可以看到：
“患 有该病” 和 “不 患该病” 是不相容 的 ；而 且 ，把这 两种 可能加到一起，就是事情的全部。见［例
“ 由 机 器 生 产 的 ” 、 “ 由 机 器 生 产 的 ” 和 “ 由 机 器 生产的”是两两不相容的，而且 ，把这三种可能加到一起，就是 事情的全部。 见［ 例
是 不 相
“发出 的信 号是 ”和“发出的信号是 容 的 ； 而 且，把这两种可能加到一起，就是事情的全部。 见［ 例
再对两个重要概念加以解释：
先验概率。事先知道的信息，或者试验之前的信息称为先验 概率。例 中 “某地区患该病的概率比例”，例 中“机器
分别生产元件的比例”和例 中“发出信号 的 比 例 ” 都是先验概率。
后验概率。事后或试验后对原来问题的新认识 ，属于后验概 率。例 中“被诊断为患该病确实患该病”的概率，例 中“ 不 合格元件是机器 生产”的概率，都是后验概率。
现在该给出贝叶斯公式的一个完整形式了：
贝叶斯公式
）为一概率空间
：样本空间。
的
是 某些子集构成的集类 ，满足 代数条件，称为 事件域。
：是定义于 上的实值集函数 ，满足非空、规范 、可列可 加性 ，称为概率。
… 均 为 事 件 ， 即
，且 … ， 两 两 相 斥， 即 对
…，
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构成 的 一 个 分（ 分 割 ）
， ，
则
其中， ）表 发生的概率。
）表 发生的条件下， 发生的条件概率。
）乘法公式，由条件概率定义即得。
而
全概率公式，由概率性质即得。
从而
再 以［例 为例说明公式中的术语， 为三个 事件，构成全集，即
为先验概率。已知 以后计算得到的 为后验概率，即已知该元件为不合格
生产的概率
的情况下，分别由机器 。先验概率分别为
， ，
有了这样 的工具，该怎 样使用它呢 ？现在就来讲 贝叶斯程 序。
贝叶斯程序的基本原理是：
在做决定和收集进一步的信息之前，存在一系列可供选择
。
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洁性就成了科学和艺术的高度智慧的混合物。在个别事件中，在 公式中插入合适的成分或数字是困难的。就其本质而言，在“古 老的”或者先验概率中的一个错误，就意味着这个定律的机器苦 心做出的数字（或者“答案”）是完全没有意义的。在给定的部 门，如医学等专门系统中，“基本”概率的正确计算，需要多年 的研究和成千上万种类似的情况和测试积累起来的经验，而且要 十分耐心地分析每一种情况和测试。
严重的问题是没有一个人自发地服从贝叶斯理论。我们的思 维黑洞证明：即使当我们认为自己正以一种合理的、有意识的方 式决定事情，或者在测试前后考虑直觉计算出的概率范围时，我 们也并不是服从贝叶斯。典型的例子就是诊断测试和陪审员测试
（ 见 第 章，黑洞 。当然，这就意味着当我们做决定时，应该 学会有意识地想起贝叶斯定律。
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