一、集群分析與相似性指數之分析
本研究採因素分析的主成分分析法 (principal component analysis) 將 主要因素提出，經過多次測試，發現以加減法文字題每類型各取一概念 (概 念3、4、6、8、10、19) (參照表 3-3-1) 為變數，所得到的解說變異量最高，
達100%，再以這六個因素為指標求出因素分數 (factor score) ，針對這六 個因素分數來進行集群分析。集群分析部分採SPSS10.0 版之 K 平均數法，
其中試著嘗試分群數個，考慮收斂及各群學生數目的合理，故以K 平均數 法將樣本分為十個集群。各群的PFC、GTD、PRX 平均值等資料如表 4-1-7。
表4-1-7 集群分析的分類情況及相關資料分析
PFC 平均值 GTD 平均值 PRX 平均值 平均能力值 平均原始分數 人數 人數百分比(%)
第一群 .103 .429 .508 -.841990 13.33 9 2.78 第二群 .171 .615 .687 -.447111 14.55 38 11.73 第三群 .350 .856 .896 .309921 17.35 82 25.31 第四群 .201 .682 .753 -.213762 15.57 23 7.10 第五群 .170 .590 .658 -.507901 13.55 20 6.17 第六群 .537 .906 .935 .664813 18.37 102 31.48 第七群 .236 .776 .841 .014750 16.56 16 4.94 第八群 .069 .087 .099 -1.716505 7.42 12 3.70 第九群 .073 .323 .424 -1.093559 11.29 7 2.16 第十群 .075 .112 .057 -1.704321 6.73 15 4.63
欲探討各群的三個相似性指數值是否達到顯著的差異，針對三指數進 行變異數分析，如表4-1-8。
表4-1-8 各群三個相似性指數之變異數分析表
表4-1-10 各群 GTD 指數之 Scheffe 事後比較摘要表
二、集群分析與知識結構圖之分析
基於上述結果，比較第六群、第二群及第八群之知識結構圖特性。
(一)第六群
第 六 群 在 三 個 相 似 性 指 數 是 得 分 最 高 之 一 群 ( 達 顯 著 差 異 ， p<.001) ，將第六群知識結構圖與標準參照知識結構圖對照，發現各實例 知識結構圖鏈結方式和標準參照知識結構圖有很大相似之處，都可將知識 結構圖中二十個概念分成四區，第一區為：概念19、3、6、17、12；第二 區為：概念1、10、20、8、4；第三區為：概念 9、11、7、5、2、14、13；
第四區為：概念 16、15、18。將符合上述特性的知識結構圖茲舉例如圖 4-1-16 至圖 4-1-25，及比較說明如表 4-1-12 所示。
各實例之概念鏈結雖然沒有完全精確，但都位於該區，表示這些概念 彼此是有關係的，所以這一群學童的加減法文字題知識結構已經很接近標 準參照知識結構了。對照原始作答情形，平均答對率為.92，已達精熟程度，
針對此群學童教師可進行充實活動。
圖4-1-16 第六群實例一 圖4-1-17 第六群實例二
圖4-1-18 第六群實例三 圖4-1-19 第六群實例四
圖4-1-20 第六群實例五 圖4-1-21 第六群實例六
圖4-1-22 第六群實例七 圖4-1-23 第六群實例八
圖4-1-24 第六群實例九 圖4-1-25 第六群實例十
表4-1-12 第六群各實例之核心概念、能力值及指數值
實例 編號 人數 核心概念
(概念號碼) 能力值θ PFC GTD PRX 一
014,015,019,029,068,078,084,090,104,107, 136,139,152,153,170,200,204,207,231,256, 315,322
32 8 1.3558 1.000 1.000 1.000 二 052,064,103,125,193,271,024,221,178,297 10 17 .9829~.9047 .583 .975 .994 三 007,281,283 3 8、17 .8342 .583 .971 .987 四 039,143 2 5、8、17 .7404 .462 .958 .982 五 101,208,240,086,092,289,309,316 8 5、8 .7113~.6843 .407 .963 .980 六 105,167,196,201,259,071,248,079,108,165,
118,218,191,147 14 無 .6266~.5195 .310 .952 .973 七 036,083,116 3 無 .4497~.3910 .310 .948 .954 八 144,051 2 9、12 .2832~.2752 .226 .886 .927
九 177,190,037 3 12 .2447~.2031 .226 .887 .920
十 306 1 12 .1945 .226 .879 .909
(二)第二群
第二群在三個相似性指數得分屬於表現中等一群，計有三十八人，觀 察各實例知識結構圖，發現其知識結構圖和標準參照知識結構圖有差距，
但各實例之間卻有非常大的相似之處。亦可將此群知識結構圖的二十個概
念分成幾區，第一區為：概念19、3、12、6、17；第二區為：概念 10、8、
4；第三區為：概念 7、9；第四區為：概念 20、1、14、5、2、13、16；
第五區為概念11、15、18。將符合上述特性的知識結構圖茲舉例如圖 4-1-26 至圖4-1-38，及比較說明如表 4-1-13 所示。
由以上分區可看出此群學童的知識結構和第六群學童的知識結構是 不同的，標準參照知識結構圖的概念20 與概念 8 (核心概念) 有所鏈結，
但此群學童的概念 20 大多數卻與概念 14 鏈結，概念 14 是添加等化型比 較量未知，概念8 是添加型起始量未知，算式皆為( )+B=C，可能是學童對 這兩個概念混淆或不清楚，造成鏈結錯誤。
對照原始作答情形，平均答對率為.73，其中答對率較低的為概念 8、
概念19、概念 3 和概念 17，概念 8 作答情形極不理想，另外概念 19、概 念 3 和概念 17 在知識結構圖位於同一區是有關連的，針對此群學童教師 應進行這兩區八個概念的補救教學。
圖4-1-26 第二群實例一 圖4-1-27 第二群實例二
圖4-1-28 第二群實例三 圖4-1-29 第二群實例四
圖4-1-30 第二群實例五 圖4-1-31 第二群實例六
圖4-1-32 第二群實例七 圖4-1-33 第二群實例八
圖4-1-34 第二群實例九 圖4-1-35 第二群實例十
圖4-1-36 第二群實例十一 圖4-1-37 第二群實例十二
圖4-1-38 第二群實例十三
表4-1-13 第二群各實例之核心概念、能力值及指數值 八 319,166,113 3 8、16、17 -.4177~-.4307 .226 .655 .741 九 320 1 8、16、17 -.4801 .152 .609 .718
圖4-1-39 第八群實例一 圖4-1-40 第八群實例二
圖4-1-41 第八群實例三 圖4-1-42 第八群實例四
圖4-1-43 第八群實例五 圖4-1-44 第八群實例六
圖4-1-45 第八群實例七 圖4-1-46 第八群實例八
圖4-1-47 第八群實例九 圖4-1-48 第八群實例十
表4-1-14 第二群各實例之核心概念、能力值及指數值 實例 編號 核心概念(概念號碼) 能力值θ PFC GTD PRX
一 214 無 -1.4377 .056 .142 .181
二 243 2 -.15371 .027 .076 .125 三 224 18 -1.7236 .027 .010 .032 四 180 16、20 -1.8277 .056 -.063 -.012 五 321 16 -1.9172 .056 -.043 -.042 六 223 無 -2.0132 .086 -.052 -.066 七 282 無 -2.1025 .086 -.037 -.083 八 237 無 -.2.2428 .056 -.051 -.108 九 217 無 -2.3256 .056 -.053 -.120 十 042 無 -2.4441 .086 -.063 -.135
綜上所述，利用集群分析方法能將受試者有效分群，各群知識結構圖