整數加減法文字題知識結構與認知型式關係之研究—以國小二年級學童為例

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第一章緒論

本研究目的欲探討國小學童的加減法文字題知識結構與認知型式關係。本章共分三節，第一節研究動機，第二節研究目的，第三節名詞釋義，茲分述如下。

第一節研究動機

評量是教育歷程中相當重要的一環，尤其是配合九年一貫課程的實施，教育目標、教學方法皆與以往迥然不同，評量的方式勢必要有所突破。傳統的評量都是單一化的總分來標記學生，如此較難描述學生的學習狀況，無法瞭解學生的知識表徵結構，所以難以解決學生在學習上所遭遇的困難，甚而會因評量而扼殺了學生的學習動機與興趣。評量工具是否能真正測得學生的能力，是不可或缺的重要因素，余民寧、林曉芳、蔡佳燕 (民 90) 研究發現，利用徑路搜尋所繪製出來的知識結構圖，可以供作分析、診斷學生的錯誤概念之用，進而能夠針對學習缺陷之處提出適當的補救措施，可以改進傳統紙筆評量方法之不足，提供極具參考價值的診斷資訊。目前徑路搜尋之相關研究，大多透過相似性評分獲得各概念配對的接近性矩陣，但學生無法精確掌握其評定的標準，尤其當概念多時問題更為嚴重 (黃湃翔，民 91) 指出，。而試題反應理論 (item response theory，簡稱 IRT) 能適切地描述能力值與試題答對機率，所以本研究使用試題反應理論為基礎，提供徑路搜尋的計分依據。

加減法概念一向被視為相關數學概念的基礎，在美國的「數學課程評鑑」 (NCTM, 1989) 中，加減法的運用是低年級數學課程的主要課題。 Fuson (1992) 歸納加減法的問題，為改變 (change) 、合併 (combine) 、比較 (compare) 、等化 (equalize) 四大類型。而學童在計算能力發展以後，部分學童可能逐漸發展錯誤的解題策略，忽略了問題中所呈現語意，

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而錯誤地運用計算 (蔣治邦、鍾思嘉，民 80) 。因此，本研究擬運用徑路搜尋之分析技術，來測量學童加減法文字題知識結構，期望分析學童知識結構，並且藉以比較不同能力值學童知識結構之間的差異，以瞭解學生的學習歷程，此為本研究動機之一。在教學上，許多措施均採歸類方式，如能力分組、課程的選修、教學的設計等等都是將類似之人事物歸併在一起，以利教學 (梁茂森，民 81) 。早期，這種歸類多基於教師的判斷、學生的測驗分數、人格特質等差異分類，但集群分析 (cluster analysis) 是藉由客觀的度量，將各屬性相近者合併成一群。本研究另一研究動機，即試圖利用集群分析將學生進行分組，對照徑路搜尋所繪製出來的加減法文字題知識結構圖，以便教師日後進行補救教學。影響學生學業成就者，除了學生的智力因素外，另外還有些屬於非智力的其他因素，因此，要想在教育上真正達成「因材施教」的理想，就必須考慮影響學校教育效果的非智力因素 (張春興，民 83) 。有關學生學習差異，在非智力因素上大多集中在學生的性向、興趣與動機等因素，由於認知型式的探討，開始逐漸轉變為從認知歷程的差異來探討個人認知功能的表現。因此，在教育心理學上，認知型式已被視為影響學生學業成就的重要非智力因素之一 (丁春蘭，民 92) 。Witkin, Moore, Goodenough & Cox (1977) 研究發現，不同認知型式個體在訊息處理和訊息獲得等方面，會存在不同的特性與差異，甚至會進而影響其學期成績及解題表現。因此，本研究探討不同認知型式學童在加減法文字題表現之差異，此為本研究動機之三。綜上所述，本研究使用試題反應理論為基礎，提供徑路搜尋的計分依據，分析國小二年級學童加減法文字題知識結構，進一步探討與認知型式關係。期待藉由此研究能更了解學童的加減法文字題知識結構，並根據研

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第二節

研究目的

基於以上研究動機，本研究之目的分述如下：一、探討加減法文字題知識結構與能力值之分析 (一)了解相似性指數對能力值之預測情形。 (二)比較不同能力值的學童，其知識結構圖的差異。 (三)分析原始分數相同但能力值不同的學童，其知識結構圖的差異。二、以集群分析探討加減法文字題知識結構 (一)比較不同集群的學童，其相似性指數的差異。 (二)分析不同集群的學童，其知識結構圖的差異。三、探討不同認知型式學童在加減法文字題表現之差異 (一)比較不同認知型式的學童，其相似性指數的差異。 (二)比較不同認知型式的學童，其知識結構圖的差異。 (三)比較不同認知型式的學童，其能力值的差異。 (四)比較不同認知型式的學童，其在不同類型題目解題的差異。

第三節

名詞釋義

本研究所涉及之相關特定名詞的界定及說明如下：一、加減法文字題本研究之加減法文字題係以Fuson (1992) 所歸納分類為主，包含改變 (添加型和拿走型) 、合併、比較 (較多型和較少型) 、等化 (添加等化型與拿走等化型) 。二、知識結構

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所謂知識結構 (knowledge structure) ，係指學習者透過內在的認知歷程，將數個單一概念組合之後所形成的組織。本研究透過徑路搜尋，計算出PFC、GTD、PRX 三種指數，作為知識結構的指標，得分愈高表示受試者知識結構與參照知識結構相似性愈高。三、徑路搜尋徑路搜尋等技術係由美國新墨西哥州立大學 R. W. Schvaneveldt 教授領導的團隊開發出來的知識結構分析方法，可用來評量、表徵、分析學習者在某個學習領域所習得的知識結構。其軟體稱為知識網路組織工具 (Knowledge Network Organizing Tool，簡稱 KNOT) ，用以分析知識結構。

四、認知型式

認知型式 (cognitive style) 是個人在不同情境下，處理訊息所呈現出之一種特質，具有其獨特性與習慣性。本研究以學生在「團體藏圖測驗」上的得分來區分，得分高於全體受試人平均分數一個標準差者為場地獨立者；反之，得分低於一個標準差者為場地依賴者。

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第二章

文獻探討

本章共分五節，主要根據本研究中的相關理論進行探討。第一節加減法文字題，第二節知識結構，第三節徑路搜尋，第四節為試題反應理論，第五節為認知型式，各節內容如下。

第一節

加減法文字題的理論與相關研究

壹、加減法文字題的類型

一、數學文字題的分類在數學文字題的分類上，因各學者所持觀點的不同而有所差異 (林碧珍，民80；林能傑，民 84) ，包括： (一)以「步驟」為標準以解題步驟的多寡，分為單步驟文字題 (one-step word problems) 、二步驟文字題 (two-step word problems) 與多步驟文字題 (multi-step word problems)。

(二)以「運算」為標準運算 (operation) 係指解題過程中使用到的運算符號，分為單一符號 (加、減、乘、除) 或多種符號 (加減、乘除、四則運算) 等。 (三)以「情境」為標準情境 (situation) 係指文字題闡述內容的情境，如：時間、長度、面積等。 (四)以「語意結構」為標準以語意結構 (semantic structure) 的依據下，加減法分為改變型 (change) 、合併型 (combine) 、比較型 (compare) 、等化 (equalize) ，乘除法分為比較型、叉積型 (product of measures) 、量數同構型

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(isomorphisms of measures) 及多重比例型 (multiple proportion) 。二、以「語意結構」為標準分類在加減法文字題的研究上，許多研究發現孩童會運用不同的解題策略解不同型態的加減法文字題，通常他們的解法是以問題的語意結構為根據。這導致為了考慮孩童解法的潛在差異而將加減法文字題作更精密的分類、設計。以語意結構為標準進行文字題的分類的準則有多種，如Greeno

(1980) 將加減法分為改變 (chang) 、合併 (combine) 、比較 (compare) 三類；Carpenter & Moser (1983) 將加減法分為加入 (join) 、分離 (separate) 、合併、比較、等化 (equalize) 五類；Marshall, Pribe & Smith (1987) 則分成改變類、合併類、比較類、變異類 (vary) 、轉換類 (transforn) 等五類；Fuson (1992) 以存在真實世界 (real word) 的加減法情境做為分析之焦點，分別以加減法情境、運算過程、動靜態情境將之分類成改變、合併、比較、等化四類 (如圖 2-1-1) ；而 Nesher & Hershkovitz (1994) 則提到改變類、部分整體╱合併類 (part-whole/combine) 、比較類等三類。近來國內外學者最常採用分類法為Fuson (1992) 分類法，將加減法文字題分成四類，即區分改變、合併、比較、等化四類，再依數量運作方向 (例如：增加、減少、比多、比少) 與未知數量在問題中的角色，進一步地區分各種類型的文字題 (參見表 2-1-1) ，詳述如下 (呂玉琴譯，民 77；許琇皙，民 88；蔣治邦，民 90) ：

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加法情境減法情境改變 (增加) 改變動態情境 +□ 一元運算 □→□ 開始結束改變 (減少) 改變動態情境 -□ 一元運算 □→□ 開始結束合併動態情境 (物理上) 二元運算 □ □→□ 部分部分全部等化取走差值▂ ▅ ▅ █ ▅ ↗ 大小大小 ↘ 加入差值▂ █ ▅ 大小合併靜態情境 (概念上) 二元運算 □ □→□ 部分部分全部比較差值▂ ▅ ▅ █ ▅ ↗ 大小大小 ↘ ▂差值 █ ▅ 大小圖2-1-1 真實世界中的加減法情境 (引自 Fuson, 1992, p.245) (一)改變改變類問題包括兩個基本的型態，它們都含有行為，是動態問題情境。如果是給定起始量和一個直接或間接的行為，而引起起始量的增加，稱為添加型 (add to) 問題。如果是從一個給定的集合中取走一部份，則稱為拿走型 (take away) 問題。這二類問題的量都隨著時間在改變。我們設起始量為 A，改變量為 B，結果量為 C，根據 A、B 或C 是未知量又可把添加型和拿走型的問題各自再分成三種型態，第一種型態是給定A、B，求 C；第二種型態是給定 A、C，求 B；第三種型態是給定B、C，求 A。 (二)合併合併類和比較類的問題都不含直接或間接的行為，僅伴隨著靜態的關係。合併類問題是探討一個集合 (全體量) C 和它的二個互為補集的子集合 (部分量) A、B 之間的關係。它也包含二種問題型態，一種

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是給定A、B，而求 C 的元素的個數；另一種是給定 C 和 A，而求 B 元素的個數。

(三)比較

比較類問題是在探討二個互斥集合 A，B 之間的關係。我們稱集合A 為參考集合，集合 B 為比較集合，並以 n(A)來表示集合 A 元素的個數，隨著 n(A)>n(B) 或 n(B)>n(A) ，及欲求 n(A) ， n(B) 或 │n(A)-n(B)│，又可以把比較類問題分成六種型態。 (四)等化最後一類是等化類，它是比較類和改變類的混合。像改變類問題一樣，含有行為，但卻是在比較二個互斥集合的大小。等化類的問題不容易在一般的論文或大多數的美國數學課程中找到。就像比較類問題一樣，有二個互斥集合被比較，然後提出下列問題「要如何做才可以使這兩個集合的元素個數相等？」假如給定元素個數較少的集合，而行為也完成了，這種問題稱為添加等化型 (equalize add to) 問題；反之，假如給定元素個數較多的問題，而行為也完成了，就是拿走等化型 (equalize take away) 問題。和比較類問題一樣，隨著 n(A)，n(B) 或│n(A)-n(B)│是未知數，又可以把上述二類型問題各自再分成三種不同型態的等化類問題。由以上的分類可知，加減法文字題之分類並非以寫出算式為「加」或「減」為標準，而是以語意之相似性為標準，學生學習是以理解語意中各量之關係為主，並非只是作「加或減」二選一活動而已。上述四種類型例題在國內各版本教科書上不盡然全部出現，和美國數學課程一樣，等化類型是較為缺乏的。本研究之研究目的之ㄧ是欲了解不同能力值學童之加減法知識結構圖的差異，而非成就測驗，故本研究之加減法文字題測驗題目包括這四類型二十種型式加以編製。

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表2-1-1 加減文字題的類型與舉例類型例子改變起始量未知 (1)小明有一些糖，小華給他 5 顆糖後，現在小明有 8 顆糖，問小明原來有幾顆糖？ (2)小明有一些糖，然後他給小華 5 顆，現在小明有 3 顆糖，問小明原來有幾顆糖？改變量未知 (3)小明有 3 顆糖，小華又給小明一些糖後，現在小明有 8 顆糖，問小華給小明幾顆糖？ (4)小明有 8 顆糖，然後他給小華一些糖後，現在小明有 3 顆糖，問小明給小華幾顆糖？結果量未知 (5)小明有 3 顆糖，小華又給小明 5 顆，問小明現在有幾顆糖？ (6)小明有 8 顆糖，然後小明給小華 3 顆，問小明現在有幾顆糖？合併全體量未知 (1)小明有 3 顆糖，小華有 5 顆糖，問小明和小華共有幾顆糖？部分量未知 (5)小明和小華共有 8 顆糖，小明有 3 顆糖，問小華有機顆糖？比較參考量未知 (1)小明有 8 顆糖，小明比小華多 5 顆糖，問小華有幾顆糖？ (2)小明有 3 顆糖，小明比小華少 5 顆糖，問小華有幾顆糖？比較量未知 (3)小明有 3 顆糖，小華比小明多 5 顆糖，問小華有幾顆糖？ (4)小明有 8 顆糖，小華比小明少 5 顆糖，問小華有幾顆糖？差異量未知 (5)小明有 8 顆糖，小華有 3 顆糖，問小明比小華多幾顆糖？ (6)小明有 8 顆糖，小華有 3 顆糖，問小華比小明少幾顆糖？等化參考量未知 (1)小明有 3 顆糖，他再買 5 顆糖後，就會和小華有一樣多的糖，問小華有幾顆糖？ (2)小明有 8 顆糖，他吃掉 5 顆糖後，就會和小華有一樣多的糖，問小華有幾顆糖？比較量未知 (3)小明有 8 顆糖，小華再買 8 顆糖後，就會和小明有一樣多的糖，小華原來有幾顆糖？ (4)小明有 3 顆糖，小華把自己的糖吃掉 5 顆後，就會和小明有一樣多的糖，小華原來有幾顆糖？差異量未知 (5)小明有 8 顆糖，小華有 3 顆糖，問小華要再買幾顆糖後，才能和小明一樣多？ (6)小明有 8 顆糖，小華有 3 顆糖，問小明要吃掉幾顆糖後，才能和小華一樣多？ (引自蔣治邦，民 90，240 頁)

貳、加減法文字題的解題

加減法文字題即用加減法解答的數學文字題，是國小低年級學生數學學習中重要內容，解決這種類型的問題，既是獲得數學概念的工具，也是發展解答數學問題能力的重要途徑。數學教育的目標之ㄧ是培養學生使用習得的數學知識來解決問題的

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能力，而解文字題正是培養此項能力的方法。解題不僅是計算、測量或是解方程式而已，更是一種思維、歸納、與演繹的理解過程 (何縕琪、林清山，民83) 。隨著學生年齡與年級的增長，文字題所佔的比重也逐漸的增加，在許多研究報告中，我們發現學生在文字題的解題表現，隨著年齡的增長而有逐漸的低落現象，尤其是我國的學生在文字題的解題表現上，普遍都有「優於計算與記憶，拙於推理與解題」的現象。此一低落現象，造成學生對數學產生負面與消極的態度，同時降低學生對數學的學習興趣 (張再明，民 83) 。一、解題歷程數學解題歷程的研究，學者根據自己的研究心得，提出許多解題歷程的模式，以下將探討G. Polya、A. H. Schoenfeld、R. E. Mayer 三位學者所提出的解題模式 (涂金堂，民 85；周台傑、蔡宗玫，民 86) ：

(一)Polya 的數學解題歷程模式

早期以Polya (1945) 最具代表性，在其所著作怎樣解題 (How to Slove It) 一書中，將解題過程區分為四個階段：

1.瞭解問題 (understanding the problem) ：未知數、已知數、條件是什麼？

2.擬定計畫 (divising a plan) ：弄清楚題目未知、已知條件的關係，以獲得解決問題的想法，並做出計畫。

3.實施計畫 (carring out the plan) ：按選定之解法，付諸實際行動。 4.回顧解答 (looking back) ：將求得的答案代入；答案是否符合題意；同類型問題的延伸。

Polyer 提出的數學解題歷程成為後來許多研究數學解題的參考範本。 (二)Schoenfeld 的數學解題歷程模式

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Schoenfeld (1985) 在其所著數學解題 (Mathematical problem solving) 一書中，強調數學解題的研究方向需要考慮四個變項： 1.資源 (resources) ：是指解題者擁有這些數學知識包含了數學事實、程序及技巧等訊息。

2.捷思 (heuristics) ：是指捷思策略 (heuristics strategies) 而言，許多解題研究都非常重視受試者在解題歷程所使用的啟思策略，如簡化問題、畫表格、尋找組型、猜測……等等。 3.控制 (control) ：著重在解題者解題時，如何決定計畫、如何選擇目標和次目標，評估解題結果等方面。 4.信仰系統 (belief system) ：是指解題者對於數學的觀點，而解題者擁有的數學觀點將會影響其解題行為。 Schoenfeld (1985) 認為四項中控制因素居於關鍵地位，所以特以控制因素為觀點，將解題歷程區分為1.閱讀 2.分析 3.探索 4.計畫 5.執行 6.驗證等六個階段。 (三)Mayer 的數學解題模式階段問題敘述知識種類 ↓ 問題表徵轉譯語言知識語意知識整合 ——— 基模知識 ↓ 問題解決計畫與控制 ——— 策略知識實施 ——— 程序知識 ↓ 答案圖2-1-2 Mayer 之解題歷程與知識的關係 (引自 Mayer, 1992)

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如圖2-1-2，Mayer (1992) 將解題分為兩個階段 (問題表徵、問題解決) 、四項成分 (轉譯、整合、計畫與控制、實施) 及五種知識類型，五種知識類型說明如下： 1.語文及適時知識 (linguistic knowledge) ：英文或其他語言能力，關於如何轉譯問題中的敘述。 2.語意的知識 (semantic knowledge) ：現實世界的知識，如一公尺等於一百公分等。 3.基模的知識 (schematic knowledge) ：將問題訊息結構成「有意義的」整體與熟悉的問題型態產生相關。 4.策略性知識 (strategic knowledge) ：如何使用數種已獲得的知識來計畫和檢視問題解答的技能，關於如何執行的一些程序，如制訂子目標。 5.程序性知識 (procedural knowledge) ：如何表現一系列運算的知識，關於如何逼近 (approach) 問題答案，如分割 0.09 成 38.88 份。王瑋樺 (民 90) 依據 Mayer (1992) 的理論，對加減法文字題的五種解題知識界定於： 1.語文及適時知識：認識及唸出題目中字詞的能力，和轉譯問題中的敘述。 2.語意的知識：現實世界的知識，如汽車和貨車都是車等。 3.基模的知識：依題目問題結構分類 (如改變、合併……的分類) 。 4.策略性知識：如何使用已獲得的條件來計畫和檢視問題解答的技能，及關於如何執行的程序，如使用數數、合起來、加法或減法的運算策略。 5.程序性知識：如何運算的知識，如將個位數字先加起來，再將十位數字加起來，然後再將前兩個結果加起來。由上述三位研究者所提出的解題歷程，Polya (1945) 、Schoenfeld (1985)

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(1992) 的理論有較完整的解題成分。Mayer 所提的五類知識都是解決問題所需要的，但是許多研究顯示多數的數學教學強調獲得事實及演算法的知識，而忽略了基模及策略的知識 (王瑋樺，民 90) 。王瑋樺 (民 90) 針對國小三年級學習障礙學生加減法文字題解題歷程研究，發現五種知識類型錯誤次數由多到少為策略性知識問題、語文知識問題、程序性知識問題、基模知識問題、語意知識問題。可見學生最缺乏的知識還是策略性知識，教師應加以增強學生此項知識，Mayer (1992) 即提出，幫助學生在對數學文字題問題解決做計畫、監控時，知道如何去使用各種不同類型可行之策略知識，乃是影響個體數學文字題解決的重要知識能力之ㄧ。二、基模兒童未能成功地解題，有兩個因素必須加以考慮：(一)有關數學符號或程序性方面的知識。(二)有關問題情境中訊息知識對解題者的接收性 (Bernardo & Okagaki, 1994) 。就前者而言，解題者缺乏的是問題的基模知識；就後者而言，解題者缺乏這類問題的經驗，尚未把握問題的語意，無法從問題的語意陳述內容敘述中映射到基模知識。

Riley, Greeno & Heller (1983) 主張在解題過程中，需要使用問題基模來理解問題情境，學童的問題基模經過三個發展層次，各個層次的差別在於其表徵訊息的方式，學童在早期的發展中，必須透過實物的協助，按步模擬題目中的行為，形成具體的外在表徵，來了解題目中的數量。逐漸地學童可以形成部分內在表徵，這種發展可使學童一方面知道「改變後的結果」 (外在表徵) ，而另一方面記憶「改變的過程」 (內在表徵) 。達到第三個發展層次的兒童，才能使用由上而下的歷程，分析題目中各個數量間所具有的「部份—全體」關係 (part-whole relation) ，來解答起始量未知的問題。以改變類型問題為例 (蔣治邦，民 90) ： (一)第一層次

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在早期的發展中，以計數 (counting) 活動為基礎，學童擁有製作集合 (make set) 的能力，可透過實物的協助，逐步地模擬 (modeling) 題目中的描述，形成具體的外在表徵，學童用實物來模擬問題情境，然後來探究行動的結果，或解決結果量未知問題。 (二)第二層次學童逐漸形成部分內在表徵，不再需要模擬出所有的數字，而可以利用數的順序，由某一數字直接向上數或倒數來計算答案。這種發展協助學童區分並同時掌握行動的內容 (改變量) 與行動的結果，掌握改變量未知問題的題意，但面對起始量未知問題時，因無起始量來啟動行動，而產生解題的困難。 (三)第三層次唯有到達第三個發展層次，學童問題基模具有可逆溯 (reversible) 「部份—全體」關係的推論能力，「兩個部份集合合成總集合」與「由總集合中分解出一部份集合獲得另一部份集合」兩個描述可以互相推論，才能透過由上而下的歷程，分析題目中各個數量間所具有的「部份—全體」關係，來解答起始量未知問題。綜上所述，此發展理論說明了問題基模的品質影響學童理解問題的方式。幼稚園和低年級學童問題基模的發展，多在第一、二層次，學童依賴情境的描述，在模擬行動中實踐各數量間的關係，因此未知數角色有相當的影響。而第三層次「部份—全體」運思的發展，擴展了學童的解題能力，影響學童的解題方法，因此進入中年級後，加減法文字題的難度多已降低了。

參、加減法文字題的相關研究

加減法文字題之相關研究頗多，但部分研究是針對某一類型加以討

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論，以下所探討的為包含改變、合併、比較等各類之研究，至於等化類的答題情形則較為缺乏，這亦是本研究欲探討四類型二十種型式原因之ㄧ。 Riley (1981) 研究兒童加減法文字題的對相對困難情形之比較，發現二年級學童的改變類結果量未知、改變量未知以及合併類全體量未知的答對率皆為1，其他依序為較少型比較量未知.90、較多型差異量未知.85、添加型起始量未知.80、較多型比較量未知.80、較少型差異量未知.75、添加型起始量未知.70、合併類部分量未知.70、較多型參考量未知.65，答對率最低為較少型參考量未知.35。 Yancy (1981) 提出文字題本身的敘述複雜程度會影響解題的難度，困難的文字題：(一)題目中並未將需要計算的資料依序列出；(二)許多無關資料夾雜在題目中；(三)題目呈現時並無伴隨輔助圖表出現；(四)必要的資料須從題目中推論出來；(五)需借用許多計算步驟才能得到答案；(六)有許多線索字須特別注意；(七)字彙高於學生的閱讀程度；(八)題目內容不為學生所熟析；(九)計算過程複雜沉悶；(十)不用「數字」表示觀念(例如用「一半」)。

Lewis & Mayer (1987) 提出情境語文描述與解題運算一致性假說 (consistency hypothesis) ：當關係句描述與正確運算一致時，則學童較容易產生正確解答，不一致時，則產生較多錯誤。依據蔣治邦、鍾思嘉 (民 80) 研究一到三年級學童在加減法概念上的發展，就個別訪問所得資料發現，添加型結果量未知、拿走型結果量未知、添加型改變量未知和添加型改變量未知及合併型全體量未知是學童們最早能掌握的類型，較多型差異量未知和較少型差異量未知次之，而較多型比較量未知、較少型比較量未知及合併型部分量未知是較困難的題目。蔣治邦 (民 82) 將學童在題本上的反應加以分類，包含(一)正確反應；(二)抄錄錯誤：學童從題目抄到算式上，有任何一個數字抄錯了，或寫入答案方框時，把數字抄錯；(三)計算錯誤；(四)數字錯誤：學童完成了

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正確的運算，但不能正確的選擇答案，而以題目所給的數字為答案；(五) 選用錯誤數字：學童選擇單一步驟的運算，但是選擇錯誤的數字進行運算；(六)選用錯誤運算：學童選擇正確的數字進行單一步驟運算，但是選擇錯誤的運算；(七)選用錯誤數字及運算：學童進行單一步驟運算，但同時選用錯誤的數字及運算；(八)選用多餘步驟：學童選用兩步驟運算，第一步驟是正確的算式，但第二步驟是多餘的。或在兩步驟運算中，除多餘資訊數字外，反應了其他兩個數的正確關係；(九)選用錯誤運算且採用多餘步驟：學童選用兩步驟運算，除了在其中的一個步驟中，使用多餘資訊數字外，並且錯誤地反應其他兩個數字間的關係；(十)未作答；(十一)其他。呂玉琴 (民 86) 研究國小一、二年級學童解簡單的加減法文字題的表現，研究結果發現答對率分別在 58%、72%以上，其中以比較類參考量未知的問題最難。學生選擇運算符號策略包括：了解題意、比對記憶的相似題及其解法、找關鍵字等。用來算出答案的策略包括：具體物策略、數數策略、合成或分解策略、混合策略等。產生解題錯誤的原因包括：錯用關鍵字、計算錯誤、看錯題目等。歸納學者研究，改變類 (添加型、拿走型) 結果量未知通過率最高，是學生最易理解，各版本數學第一冊亦都透過此類問題發展學生解題策略，但學童開始利用加減事實之後，可能會盲目地使用運算而忽略題目本來的要求，因此可能會有上述諸多錯誤情形。

第二節

知識結構的理論與測量

壹、知識結構之理論分析

認知結構 (cognitive structure) 是認知心理學研究的主題，探討此主題有助於了解個人獲得知識的心理歷程。認知特指訊息的種類和處理方式，所謂訊息是指我們記憶中儲存的東西，處理則是指獲得、保存和使用方式

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(鍾聖校，民 79) 。結構是指知識構成的基本架構，在此架構中，包括著某些彼此關聯的概念 (張春興，民 83) 。所謂認知結構是指長期記憶中概念的關係和組織，有助於個人進行儲存、提取和操弄等訊息處理歷程。有許多名詞與認知結構一詞是類似的，如知識的心理表徵 (mental representation of knowledge) 、知識表徵 (knowledge representation) 、知識結構 (knowledge structure) ，都是重視知識在個人心理的結構或狀態，而直接影響學習、思考和問題解決等活動 (饒見維，民 83) 。綜言之，知識結構是存在個人長期記憶中，透過內在的認知歷程，不斷的建構、修正和重組，會影響個人知識組織特質及學習、認知表現。一、知識的類型認知心理學家 Anderson (1990) 將知識分為兩類：陳述性知識 (declarative knowledge) 、程序性知識 (procedural knowledge) 。其中陳述性知識一詞可用〝knowing that〞來代替之，是靜態知識，亦即是屬於理解物件、事件或想法的概念性知識，當某人知其然時，他就能對該物件做清楚的描述，但並不必然要會懂得使用該知識；程序性知識一詞可用〝knowing how〞來代替之，是動態性的知識，亦即是指對於完成一件事情所需各步驟的技能性知識。簡言之，陳述方式表達的知識均屬陳述性知識，按一定程序理解操作從而獲致結果的知識為程序性知識。

Mitchell & Chi (1984) 指出，知識結構屬於陳述性知識的一部份，主要在表徵事件與概念之間的關係；但另有學者Jonassen, Beissner & Yacci (1993) 認為知識結構是傳遞陳述性知識，進入程序性知識的中介，有助於個體了解如何組織知識，陳述性知識、程序性知識和知識結構三者的關係如圖2-2-1 (江淑卿，民 86) 。

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陳述性知識知識結構程序性知識 knowing that → knowing why → knowing how 圖2-2-1 陳述性知識、程序性知識與知識結構三者的關係

二、知識表徵的類型

由於知識結構對人類的重要性，許多理論從不同表徵系統探討知識結構的構成和運作。Rumelhart & Norman (1985) 認為知識的表徵大致可分為命題式、類比式和程序式表徵系統。

(一)命題式表徵系統

命題式表徵系統 (propositional reprensentational system) 係假設知識由一組符號、概念或命題 (propositions) 構成，相同的命題可以透過線性 (linear) 或網路 (network) 的方式呈現表徵。

(二)類比式表徵系統

類比式表徵系統 (analogical reprensentational system) 係假設知識由多元表徵構成，包括語意和心像表徵。

(三)程序式表徵系統

程序式表徵系統 (procedural reprensentational system) 係假設知識以條件句形式呈現，強調知識結構和修正的動態歷程。類比式和程序式表徵系統其特色是更能接近人類真實和複雜的表徵結構，相對地評量較為困難，因而理論模式在驗證時也較為困難。命題式表徵系統其特色是可以具體呈現命題之間的關係，且易於評量與測試，有助於理論模式的建立與驗證，本研究所採的網路模式即係屬命題式表徵系統。

貳、知識結構之測量

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多位學者研究發現，在知識結構對學習表現的影響方面，知識結構與學習表現有密切的關係，且知識結構能有效預測學習表現；在知識結構的差異方面，專家的知識結構優於生手，能力較佳者的知識結構優於能力較差者；在教學對知識結構的影響方面，發現教學介入能改變知識結構 (Acton, Johnson & Goldsmith, 1994；Goldsmith ,Jonson & Acton, 1991； Gonmez & Housner, 1992) 。

一、測量方法的特性

Royer, Cisero & Carlo (1993) 曾指出，網路模式對知識結構的研究相當具體與客觀，大多數測量知識結構的方法是根據此理論發展出來的，這些方法有三項特性： (一)所測量的知識結構的靜態的。 (二)所測量的知識結構屬於陳述性知識，對於程序性知識的測量較有限。 (三)不同測量方法僅測得部份複雜的認知表徵，且各有其適合的領域。二、測量方法的種類

測量知識結構的方法很多，Koubek & Mountjoy (1991) 將測量方法分為四類，包括晤談法、分類法、圖解法、量尺法。其中量尺法是以客觀和統計的方式，產生圖解和知識結構相關量數，突破過去多以理論和經驗的方式，進行知識結構的測量，但其限制是無法確切了解概念接近性所代表的意義 (Cooke , Durso & Schvaneveldt, 1986) 。

(一)晤談法晤談法 (interview method) 係透過晤談、放聲思考、原案分析 (protocol analysis) 、觀察或文件分析等過程取向的方法，分析個體的知識結構。鍾聖校 (民 83) 研究不同教學法對錯誤概念修正的影響，即利用晤談法發現可能的錯誤概念。此方法的特色是深入了解個體知識結構的內容、組織和變化。其限制是所獲得資料需透過主試者主觀

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的解釋，且資料較難統計分析。 (二)分類法

分類法 (sorting method) 係透過卡片分類、樹狀結構分析等方法，分析個體的知識結構，其分析步驟大致分為概念引發、概念分類、表徵分析等。Champagne, Klopfer, Desena & Squires (1981) 採用概念分析技術 (concept structure analysis technique) 分析個體的科學概念和教學前概念的轉變。此方法的特色是快速和簡單，可以了解結構特質和改變，其限制無法處理團體、平均的知識結構，而且仍需透過主試者主觀解釋評分 (許松樑，民 78) 。 (三)圖解法圖解法 (mapping method) 係透過訓練幫助個體熟悉概念構圖技巧，將個體的概念構圖，根據評分系統計分，評量理解能力，圖解法以Novak 概念構圖評分方法最有系統 (Novak & Gowin, 1984) ，余民寧、陳嘉成、潘雅芳 (民 85) 以 Novak & Gowin (1984) 計分標準為藍圖，發現概念構圖的評分成績對於學習成就有.27 的解釋力。其特色是將知識結構的內容分析，進一步量化，但評分時仍需透過主試者主觀解釋，無法避免主觀經驗的影響。此外，亦無法處理團體、平均的知識結構，也不容易直接獲得與標準知識結構比較的量數。 (四)量尺法量尺法 (scaling method) 係透過不同量尺化程序測量知識結構，測量過程大致分為知識結構的引發、知識結構的構成、知識結構的評價等三個步驟 (Goldsmith et al., 1991；Jonassen et al., 1993) 。量尺法的特色是以客觀和統計的方式，產生圖解和知識結構的相關量數，突破過去多以理論和經驗的方式進行知識的測量，但其限制是無法確切了解概念接近性所代表的意義 (Cooke et al., 1986) 。經常運用的量尺法

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路搜尋，下列分別敘述及比較之 (黃英俊，民 77) 。 1.多向度量尺是多變量分析的一種，蒐集 n 個觀察點的相似度，形成近似矩陣，然後根據此近似矩陣，決定最佳的m 度空間來描述這些觀察體，而這 n 個觀察點有其座標位置，從座標位置可以知道觀察點的空間關係為何。 2.集群分析亦是多變量分析的一種，是根據相似性客觀地將相似者歸集在同一集群，有階層集群分析 (hierarchical cluster analysis) 和非階層集群分析 (non- hierarchical cluster analysis) 兩種。本研究所利用的集群分析方法是 K 平均數法 (K-means methods) ，即先假定集群的個數為 K，將所有觀察值分成 K 群，然後依各觀察值到中心點距離遠近重新移動，使各觀察值將移至最靠近的群體中，此時再計算各群體的新中點，這時繼續再移動各觀察值到最近的群，這樣不斷重複，直到不能再重新分派為止。 3.徑路搜尋是一個理論圖形 (graph-theoretic) 方法，能將近似矩陣 (proximity matrix) 經過轉換後，獲得一個網路結構 (network structure) ，在這網路結構中，每一概念是一個節點 (node) ，而節點之間用一個線來鏈結 (linking) ，表示兩概念之間有關係。此外，在鏈結的線上有一個加權值—鏈值 (weighting) ，表示節點之間的鏈結強度。本研究即以此為主要研究工具，下節將著重對徑路搜尋之理論與分析應用加以探討。 Cooke et al. (1986) 指出，徑路搜尋比多向度量尺的向度表徵，更能掌握回憶作業中的組織關係。徑路搜尋強調概念與概念間的關係，而多向度表徵則只提供關於全部概念空間的訊息。比較概念與概念的關係，可以凸顯不同個體間的知識結構差異，如此有助於解釋個體的表現差異，此為徑

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路搜尋較其他知識結構表徵技術更實用、有效的主要特點，徑路搜尋、多向度量尺和集群分析三者比較如表2-2-1 所示。表2-2-1 不同知識結構量尺化方法之比較分析量尺化方法三者共同點研究重點限制空間呈現適用資料徑路搜尋掌握結構中最重要的關係，了解概念之間的位置。鏈結沒有命名，以鏈結長度表示相關程度，視需要予以鏈結命名。以節點和鏈結呈現二向度的網狀或階層圖。 1.適用階層性和非階層性結構。 2.適用次序和比率資料。 3.適用對稱和非對稱相關性。多向度量尺掌握結構整體概念關係。需主觀解釋向度的定義。二向度以上的空間結構呈現。集群分析 1.引發知識係透過概念間相似性的判斷獲得接近性矩陣。 2.將知識結構量尺化。 3.無法切實了解相似性判斷，所代表的因素。掌握結構概念類別。需主觀解釋集群階層的分割點。樹狀階層結構呈現。適合處理階層結構，不適合非階層結構。 (引自江淑卿，民 86，49 頁)

第三節

徑路搜尋的理論與相關研究

壹、徑路搜尋的介紹

徑路搜尋是 1985 年由美國新墨西哥州立大學計算研究實驗室的領導人R. W. Schvaneveldt 及其研究小組，依據網路模式和圖形理論，研發徑路搜尋網路量尺化算則 (pathfinder scaling algorithm) ，用以建構與分析受試者之知識網路結構型態，可獲得徑路搜尋網路、圖解理論距離、徑路搜尋網路圖解及與參照結構比較之相似性指數 (PFC 指數、GTD 指數、PRX 指數) ，並設計知識網路組織工具 (knowledge network organizing tool，簡稱 KNOT) 以執行徑路搜尋。其理論基礎假設知識可以被組織的，且一個人

的知識要豐富，必須理解領域中主要概念間所存在的關係 (Johnson,

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徑路搜尋開始多應用於實驗室，近年來逐漸運用於教育心理學領域，林原宏 (民 85) 從已有的文獻中發現它可以用來：

(一)表達概念的關係。

(二)預測記憶搜尋 (memory retrieval) 及記憶組織 (memory organi-zation)。 (三)分析專家和生手的表徵不同及轉換 (Goldsmith & Davenport, 1991) 。而關於徑路搜尋網路與圖解理論距離之優劣，Knoebel, Dearholt & Schvaneveldt (1988) 認為徑路搜尋重視鏈值，能掌握概念與概念間的接近性；圖解理論距離則重視概念的結構特性，能掌握概念的空間型態，兩者各有特色。

貳、徑路搜尋的分析過程

徑路搜尋對於知識結構分析的過程，大致可分成以下三個步驟：一、知識結構的引發徑路搜尋的分析方法，是根據受試者在一組概念上，所對應的接近性矩陣，在概念上定義為完全網路 (complete network) ，又稱資料網路 (DATANET) 。其中徑路搜尋網路是以節點和鏈結相互連接之網路結構，一個節點代表一個概念，如果有n 個節點，且每一對節點之間都有鏈結，則有 (n²-n)/2 條鏈結。而節點與節點之間的鏈結關係以距離測度表示其鏈結強度，但沒有命名。鏈結的特色是能掌握知識結構中概念與概念間的關係，並藉此了解哪些鏈結間的關係比較重要，但也因鏈結沒有命名，在解讀圖解時較難直接了解其結構形式 (Schvaneveldt, 1990) 。二、知識結構的構成網路中的每一個鏈結均有一個鏈值，包括直接鏈和非直接鏈，透過算則發現完全網路中「最接近的非直接徑路」 (closest indirect path) 之鏈結，

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刪除大於「最短長度的徑路」 (minimum-length path，又稱 geodesic) 之鏈結，也就是保留最短長度的徑路。如圖2-3-1 所示。 A B C D E A 0 1 3 2 3 B 1 0 1 4 6 C 3 1 0 5 5 D 2 4 5 0 4 E 3 6 5 4 0 最短距離圖2-3-1 接近性矩陣與徑路搜尋網路 (引自 Goldsmith et al., 1991) 在進行徑路搜尋量尺化算則運算時，須設定參數 r 和參數 q 之值，參數r 用來決定徑路的長度 (lengths) ，參數 q 則用以限制網路鏈結的數目，亦即決定最大數量的鏈結。透過參數r=∞，q=n-1，節點數目 n，可產生最少徑路的網路，稱為最小值的網路 (minimum-cost network，簡稱 MCN) (Schvaneveldt, 1990) 。三、知識結構的評價得到徑路搜尋網路後，將受試者之徑路搜尋網路與參照結構相互比較，可得三個相似性指數 (PFC 指數、GTD 指數、PRX 指數) 以作為量化數值評估依據，且其值域均介於0 與 1 之間，值愈小表示受試者與參照結構愈不相似，反之則表示愈相似。以下將以圖 2-3-2 之網路一及網路二為例，解釋三個相似性指數及其計算過程： A B C D E

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圖2-3-2 網路一和網路二的圖解 (引自 Goldsmith et al., 1991)

(一)GTD 指數

又稱為圖解理論距離指數 (graphical theoretic distance，簡稱 GTD) ，是指兩個徑路搜尋網路中其圖解理論距離的相關性。圖解理論距離的算則是以節點間所經過的鏈結數目來計算，而節點與節點之間的連結距離為1，求其相關係數，範圍從 0 至 1，值越大表示兩個網路越相似。在圖2-3-2 中，網路一及網路二之所有節點間的圖解理論距離值如表2-3-1 所示，而兩個圖解理論距離矩陣對應值之相關係數，即 GTD 指數為 .79。 A 網路一 B C D E F G A B C D E F G 網路二

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表2-3-1 由圖 2-3-1 計算所得之 GTD 指數節點節點 A B C D E F G 網路一 A － 1 1 2 2 2 2 B － 2 1 1 3 3 C － 3 3 1 1 D － 2 4 4 E － 4 4 F － 2 G －網路二 A － 1 2 1 1 3 3 B － 1 2 2 2 2 C － 3 3 1 1 D － 2 4 4 E － 4 4 F － 2 G － GTD 指數為 .79 (引自 Goldsmith et al., 1991) (二)PFC 指數

PFC 指數或稱 C 指數 (closeness index) 係利用集合理論 (set theory) 分別計算兩個網路共有的節點，其與鄰近節點的交集數與聯集數之比率。表示知識結構圖中，兩個網路的每個節點周圍所銜接其他

節點的相似程度，範圍從 0 至 1，值越大表示兩個網路越相近。算法

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表2-3-2 根據圖 2-3-2 之網路一與網路二計算所得之 PFC 指數

鄰近節點節點交集節點聯集

共有節點

網路一網路二集合大小集合大小比率

A {B,C} {B,D,E} {B} 1 {B,C,D,E} 4 1/4 B {A,D,E} {A,C} {A} 1 {A,C,D,E} 4 1/4 C {A,F,G} {B,F,G} {F,G} 2 {A,B,F,G} 4 2/4 D {B} {A} U 0 {A,B} 2 0/2 E {B} {A} U 0 {A,B} 2 0/2 F {C} {B} {C} 1 {C} 1 1/1 G {C} {B} {C} 1 {C} 1 1/1 *比率總和為 3，PFC＝3/7＝.43，U 表示空集合。 (引自 Goldsmith et al., 1991) (三)PRX 指數

PRX 指數 (proximity data matrix) 又稱為接近性指數。算法是直接由評定量尺所獲得的接近性矩陣，求兩網路接近性矩陣對應值元素的相關係數，範圍為0 至 1，值越大表示兩個網路越相近。舉例如表 2-3-3

與表2-3-4，求出兩網路接近性矩陣對應值元素的相關係數的值，即為

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表2-3-3 根據圖 2-3-2 之網路一的接近性矩陣

節點 A B C D E F G

A a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄ a₁₅ a₁₆ a₁₇ B a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄ a₂₅ a₂₆ a₂₇₇ C a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₄ a₃₅ a₃₆ a₃₇ D a₄₁ a₄₂ a₄₃ a₄₄ a₄₅ a₄₆ a₄₇ E a₅₁ a₅₂ a₅₃ a₅₄ a₅₅ a₅₆ a₅₇ F a₆₁ a₆₂ a₆₃ a₆₄ a₆₅ a₆₆ a₆₇ G a₇₁ a₇₂ a₇₃ a₇₄ a₇₅ a₇₆ a₇₇

表2-3-4 根據圖 2-3-2 之網路二的接近性矩陣節點 A B C D E F G A b₁₁ b₁₂ b₁₃ b₁₄ b₁₅ b₁₆ b₁₇ B b₂₁ b₂₂ b₂₃ b₂₄ b₂₅ b₂₆ b₂₇ C b₃₁ b₃₂ b₃₃ b₃₄ b₃₅ b₃₆ b₃₇ D b₄₁ b₄₂ b₄₃ b₄₄ b₄₅ b₄₆ b₄₇ E b₅₁ b₅₂ b₅₃ b₅₄ b₅₅ b₅₆ b₅₇ F b₆₁ b₆₂ b₆₃ b₆₄ b₆₅ b₆₆ b₆₇ G b₇₁ b₇₂ b₇₃ b₇₄ b₇₅ b₇₆ b₇₇

参、徑路搜尋的相關研究

一、與學習表現關係之相關研究在徑路搜尋的研究中，經常使用 GTD、PFC、PRX 三種相似性指數來預測學習的表現。最早實際應用到心理學的為 Goldsmith et al. (1991) ，探討採用徑路搜尋法和多向度量尺所測量的知識結構，對於大學生在心理學研究法學期成績的預測力。研究結果發現，徑路搜尋計算所得的 PFC 指數，較 GTD 指數、PRX 指數、多向度量尺計算所得的指數有更好的預測力。

Gomez & Housner (1992) 以物理準教師為對象，採用徑路搜尋法探討受試者的物理教學知識結構與其學期成績表現的關係。研究結果顯示，三

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種相似性指數皆與學期成績有顯著的相關，預測力最高的為PRX 指數，其次為PFC 指數，最低的是 GTD 指數。 Acton et al. (1994) 採用不同參照結構計算 PFC 指數對學業表現的預測力。結果發現採用專家的團體平均參照結構和優秀學生的團體平均參照結構，計算所得的PFC 指數之預測力相當有效，其中以專家的團體平均參照結構，計算所得的PFC 指數，預測學習表現效果最佳。國內的研究者江淑卿 (民 86) 以國小六年級為研究對象，以徑路搜尋作為工具，探討小學生自然科的知識結構與其科學文章理解能力關係。研究結果顯示，知識結構的三種接近性指數 PFC、GTD 和 PRX 對於小學生的科學文章理解及自然科學成績有良好預測力，預測力最高的為GTD，其次為PFC，最低的為 PRX。可見知識結構與科學文章的理解能力有密切的關係，而且三種知識結構相似性指數有預測學習表現的能力。涂金堂 (民 89) 採用徑路搜尋法探究暑期進修學士學位的國小教師，其修習社會心理學前後的知識結構變化情形。研究結果發現，前測的GTD 指數對學業成績的解釋力為 15%，後測的知識結構 PFC 指數解釋量為 35%、GTD 的解釋量為 18%。涂金堂 (民 90) 以 216 位國小六年級學生為研究對象，探討不同數學能力學生其數學文字題問題結構的差異情形。結果發現，不同數學能力學生的數學文字題問題結構有差異，且高數學能力學生的PRX 指數值顯著高於中、低數學能力學生。黃湃翔 (民 91) 探究高中學生物理學科的知識結構和學習表現的關係，研究發現，不同學習成就學生的物理知識結構確實具有個別差異，其中PRX 指數和 PFC 指數確實能在指數分數上，顯現出不同的差異水準。綜合上述，有關以徑路搜尋分析計算出的三種相似性指數 GTD、 PFC、PRX 與學習表現的關係之研究結果，發現在不同的特定學習領域，三種相似性指數能有效預測學習的表現，但哪一指數預測力最佳則尚無定

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論。

二、專家與生手差異性之相關研究

在知識結構差異性的相關研究中，其基本假設是專家與生手的知識結構組織和關係有所不同。為了瞭解此差異，許多研究進行了專家與生手的比較。

Schvaneveldt, Durso, Goldsmith, Breen, Cooke, Tucker & Maio (1985) 比較飛行專家與生手有關飛行的知識結構。結果發現，徑路搜尋與多向度量尺都能預測及區辨專家與生手的知識結構。

Goldsmith et al. (1991) 依據考試成績將學生分為四種能力組，透過徑路搜尋測量知識結構。結果顯示，能力較佳學生的知識結構與參照結構愈相似。

Gomez, Hadfield & Housner (1995) 以徑路搜尋測量有關數學概念知識結構，發現不論採用教學者的參照結構、四位教師個別的參照結構或四位教師平均的參照結構，其結果都是較高能力者的知識結構優於低能力者。蔡佳燕 (民 89) 探討國小學生數學學科知識評量之情形，發現知識結構評量結果可明顯區別出數學成就差異。余民寧等人 (民 90) 利用徑路搜尋為評量方法，利用量尺化程序分析學生的知識結構，發現不同學力程度學生的知識結構不盡相同，學力程度愈高學生的知識結構愈接近所期望的學習成果。林曉芳、余民寧 (民 90) 利用徑路搜尋方法，分析國中學生二元一次方程式課程的知識結構與學業成就之關聯，研究發現：1.低成就學生的概念結構圖與教師的概念結構圖差異甚大；中學習成就學生次之；高成就學生在代數上的理解情形近似於教師，尤其數學學習成就較佳的學生，其學習的表現與教師相同。2.低成就學生的概念結構圖大多相仿，且與高成就

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學生的概念結構圖有明顯的差異存在。綜上所述，有關知識結構的差異性研究結果，發現不同特定領域的專家和生手在知識結構存在顯著的差異，不同能力者的知識結構有所不同。然而，目前研究只提出在不同能力的受試者其知識結構具有差異性，但認知型式等非學習成就因素特性，也有可能影響個人的知識結構 (Hall, 1988) ，故本研究亦欲討論認知型式與知識結構之關係。三、結合試題反應理論的徑路搜尋許淑貞 (民 92) 結合試題反應理論及模糊化認知結構改進徑路搜尋方法，並將之應用在幾何概念領域。研究結果發現：1.學生能力較低者，知識結構圖中與 A1「三角形基本辨識」連接的概念數多於能力值較高者，且能力值愈相近，其知識結構圖就愈相似。2.三個相似性指數與能力值之間均呈現高度相關，且以PFC 指數具有最佳預測力。周先祝 (民 92) 改進山下、勝又、津田 (1994) 的類似係數融入試題反應理論，做為徑路搜尋近似資料的值，並以van Hiele 幾何思考層次的理論為基礎，將此方法運用在國小六年級學童四邊形幾何概念的知識結構分析上。研究結果顯示，在幾何思考層次順階層類型當中，各類型學童之間的相似性指數PFC 值及能力值均達到顯著的差異，且達到的幾何思考層次愈高者，其知識結構圖的核心概念與標準參照知識結構圖的核心概念愈相似。在徑路搜尋的應用方面，多數研究者使用概念配對相似性評定法，但黃湃翔 (民 91) 發現學生無法精確掌握其評定的標準，當概念數目多時，問題更為嚴重。而許淑貞 (民 92) 、周先祝 (民 92) 的研究方法則無此疑慮，因此以試題反應理論與徑路搜尋結合，運用在知識結構的分析上是一個可行的方向。應用徑路搜尋認知診斷評量方法來探索各種學科領域知識結構，教學

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者亦可藉此了解學習者知識結構發展的情形 (Royer, Cisero & Carlo, 1993) ，並可供分析及診斷學生的錯誤概念，針對學習缺陷提出適當的補救措施。

第四節

試題反應理論的比較與理論

測驗理論 (test theory) 可分為兩大學派：古典測驗理論 (classical test theory) —主要是以真實分數模式 (true score model) 為骨幹，依據弱假定 (weak assumption) 而來；另一為現代測驗理論 (modern test theory) —主要是以試題反應理論為架構，所依據的為強假定 (strong assumption) 。本節所要探討試題反應理論即為現代測驗理論的理論中心。

壹、古典測驗理論與現代測驗理論之比較

古典測驗理論模式的發展已為時甚久，且具規模，所採用的計算公式簡單明瞭，是目前心理計量學界應用最廣的測驗理論，但卻有下列諸項缺點；學者為改進古典測驗理論的缺失，於是發展了以試題反應理論為理論架構的現代測驗理論，其具有下列幾項特點，這些特點正是古典測驗理論所缺乏的 (王保墉，民 84；余民寧，民 80，民 91) ：一、抽樣變動古典測驗理論所採用的指標：如難度 (difficulty) 、鑑別度 (discrimination) 、和信度 (reliability) 等，都是一種樣本依賴 (sample dependent) 的指標；也是說，這些指標的獲得，會因接受測驗的受試者樣本不同而有所不同，因此，不同潛在特質的樣本，同一試卷很難獲得一致的難度、鑑別度、或信度等。

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猜測度) ，是一種不受樣本影響 (sample-free) 的指標；也就是說，不會因受試者不同而有所不同。二、測量標準誤古典測驗理論以一個相同的測量標準誤 (standard error of measurement) ，作為每位受試者的潛在特質測量誤差指標，這種作法並沒有完全考慮受試者能力的個別差異，對於高、低能力兩極端潛在特質的受試者而言，這種指標極為不合理且不甚精確，致使理論模式的適當性受到懷疑。現代測驗理論能夠針對每位受試者，提供個別差異的誤差指標，因此能夠精確推估受試者的能力估計值。三、能力比較古典測驗理論對於非複本 (nonparallel) ，但功能相同的測驗所測得的分數之間，無法提供有意義的比較；有意義的比較僅侷限在相同測驗的前後測或複本測驗分數之間。現代測驗理論可測量估計出受試者個人能力，不受測驗的影響，並且對於不同受試者間，亦可進行有意義的比較。四、複本實施因為古典測驗理論對信度的假設，是建立在複本 (parallel forms) 測量的概念假設上，但是這種假設往往不存在於實際測驗情境裡，我們不可能要求每位受試者接受同一份測驗無數次，而仍然假設每次測量間都彼此獨立不相關。

現代測驗理論以試題訊息量 (item information) 及試卷訊息量 (test information) 的概念，來做某個試題或整份試卷的測量準確性，作為評定試卷內部一致性的指標。

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goodness-of-fit) ，可以提供考驗模式與資料間之適合度、受試者的反應是否為非尋常 (unusual) 等參考指標。

五、預測力

古典測驗理論忽視受試者的試題反應組型 (item response pattern) 所代表意義，認為原始得分相同的受試者，其潛在特質 (如能力) 或試題參數 (如難度) 必定相同。其實並不如此，即使原始得分相同的受試者，其反應組型意義也不見得會完全一致，所以其潛在特質和試題參數估計值應該會有所不同。現代測驗理論同時考慮受試者的反應組型與試題參數等特性，因此估計個人能力時，除了能夠提供一個精確的估計值外，對於原始分數相同的受試者，也往往給予不同的能力估計值。兩派測驗理論各有其理論基礎，也各有其限制。古典測驗理論雖不夠嚴謹，但淺顯易懂，便於在實際測驗情境 (尤其是小規模資料) 實施；現代測驗理論雖嚴謹，但艱深難懂，適用於大樣本測驗資料分析。

貳、試題反應理論的理論基礎

一、基本假定試題反應理論必須符合以下基本假設，試題反應模式方能被用來分析測驗資料 (余民寧，民 81，王保墉，民 84) ： (一)單向度單向度 (unidimensionality) 是指測驗只測一個特質或能力。單向度的意義雖然簡單，但實際上測驗時難免受其他因素影響，Hambleton & Swaminathan (1985) 認為只要測驗資料有一個「主控」因素就算符合，而這主控因素便是特質或能力。

(35)

局部獨立性 (local independence) 就是某受試者能力而言，項目間無相關存在，也就是說一個題目不能為另一個題目提供線索。 (三)非速度測驗非速度測驗 (nonspeedness) 是假設測驗屬於難度測驗 (power test) ，施測時沒有時間限制，也就是說學生測驗成績不理想是因為能力不足，而不是時間不夠答完所有試題所導致。 (四)知道—正確假設知道—正確假設 (know-correct assumption) 是假設學生若知道某試題的正確答案，就能答對該試題；若不知道某試題的正確答案，就會答錯該題。二、基本的試題反應模式試題反應模式是對受試者能力與試題難易度、鑑別度及猜測度等參數間的關係所做的數學陳述，用來描述潛在特質與正確反應機率關係。常用的試題反應模式，有下列三種，每一種模式都依其採用的試題參數的數目的多寡來命名 (余民寧，民 81b) 。

(一)單參數對數模式 (one-parameter logistic model) 這個模式的數學公式如下所示：

( )

1₍ ₎ 1, 2,3,..., 1 k i i k D b P i n e θ θ = ₋ ₋ = + ， (公式一) 其中，P_i(θ)表示任何一位能力值為θ的考生答對試題i或在試題i 上正確反應的機率；b_i表示試題難度 (difficulty) 參數；n是測驗試題的總數；D為常數，模式中通常設為1.7。此參數模式假設試題之鑑別度都相等，且沒有猜題因素的存在，僅有該題的難易度b_i會影響受試者的測驗結果。理論上b_i的範圍是介於±∞之間，但實際應用上只取於±3之間，且其值愈大表示試題愈困

(36)

難。當受試者的能力值等於試題難易度時，其答對該題的機率為0.5，

而受試者的能力值大於試題難易度時，其答對該題的機率高於0.5，反

之，其答對該題的機率則低於0.5，因此試題難易度值愈大，受試者要

答對該題就必須具有更高的能力。

(二)雙參數對數模式 (two-parameter logistic model) 這個模式的數學公式如下所示：

( )

1₍ ₎ 1, 2,3,..., 1 i k i i k Da b P i n e θ θ = ₋ ₋ = + ， (公式二) 其中，各符號的定義與(公式一)相同，唯多了一個參數：試題鑑別度 (item discrimination) a_i，它的涵義與在古典測驗理論中的涵義相同，同是用來描述試題i所具有鑑別力大小的特性。此參數模式比單參數對數模式多了參數鑑別度a_i，並假設猜題因素不存在。理論上a_i的範圍是介於±∞之間，但實際應用範圍是介於0 與＋2 之間，且其值愈大表示試題愈能區別不同能力的受試者。在單參數對數模式中假設a_i =1。

(三)三參數對數模式 (three-parameter logistic model) 這個模式的數學公式如下所示：

( )

(

1

)

1₍ ₎ 1, 2,3,..., 1 i k i i k i i Da b P c c i n e θ θ = + − ₋ ₋ = + ， (公式三) 其中，各符號的定義與公式二相同，唯多出一個參數：猜測參數 (pseudo-chance parameter) c_i。這個參數提供試題特徵曲線一個大於零的下限，它代表著能力很低的考生答對某試題的機率。此參數模式由雙參數對數模式所延伸，多了參數猜測度c_i，是指能力很低的受試者猜對該題的機率，且其值愈小表示猜測的因素愈小，試題就愈理想，但在實際狀況下是很難避免的，而在單參數對數

(37)

模式及雙參數對數模式中，均假設c_i =0。本研究之工具採用三參數對數模式。

第五節

認知型式的理論與相關研究

壹、認知型式理論

所謂認知 (cognition) 是一種心智作用，Kuhlen (1968) 指出認知型式 (cognitive style) 是指個人用來應付認知工作或學習情境所採取的一種方法常為某種人格特質的反應。認知型式的研究，因學者所持的觀點或探討的層面 (dimension) 不同而有不同的內涵。例如： Witkin, Faterson, Goodenough & Karp (1962) 說明了「心理分化」的層度，Messick (1976) 認為是「訊息處理的習慣」。國內學者林生傳 (民 71) 則認為：認知型式概指一個人從事認知作用時特有的風格方式，人們生存在環境裡，面對紛至沓來茫無頭緒的環境刺激，必須概念地加以接收、編譯、保留、組織、檢索、應用，藉此認知作用才可進行，且此方式與風格具有恆久的性質。而根據張春興 (民 78) 張氏心理學辭典解釋：認知型式是指個體在認知活動中所表現在性格上的差異。此種差異與個體的智力未必有必然關係，多半是自幼學到的一些習慣性的知覺組織、知覺分類以及應付問題情境的思考方式。有人謹慎仔細，有的人粗心大意，有的人獨立作業，有的人被動依賴。因此，認知型式又稱學習類型 (learning style) ，也稱認知學習類型 (cognitive learning style) 。

一、認知型式特質

Messick (1976) 認為認知型式具有下列性質：

(一)認知型式指的是「歷程」，在於個人「如何」去知覺、思考、解決問題、

(38)

(二)認知型式是雙極的 (bipolar) 、價值中立的 (value differentiated) ，由一端至另一端的分佈，是由這一類型至相對的另一類型，而非由高而低，故無所謂好與壞。而認知能力，是單極的 (unipolar) 、價值導向的 (value directional) ，由低而高的分佈，有高低之分，故有好壞之別。認知型式的研究，在教育上特具意義，因為單憑智力上的鑑別而忽略了對認知型式的了解，實不能真正達到針對個別差異實施因材施教的目的。故而在學校教學上，如何了解學生的認知型式，採取適當的教學策略，或幫助他矯正讀書習慣，以成為教育輔導的重要課題。二、認知型式分類對認知型式的分類，心理學家已經發現有數十種之多 (張春興，民 78，民 83) ：

(一)沉思型 (reflective style) 對衝動型 (impulsive style)

指個體對事物認知時，形成概念並做出反應的速度。前者是指對問題反應較快但錯誤較多的一種習慣性格；後者是指對問題反應較慢但錯誤繳少的一種習慣性格。

(二)場地獨立型 (field independent style) 對場地依賴型 (field dependent style)

指對於環境中訊息處理方式的不同。前者傾向於將知覺到的刺激予以重組，改變為一種訊息來加以處理；後者傾向於直接接受刺激的原貌，不予以改變即變成自己的經驗。

(三)平穩型 (leveling style) 對敏銳型 (sharpening style)

指對以就經驗為基礎吸收新經驗時在記憶方式上的習慣差異。前者習慣於循類化原則，將新經驗納入舊經驗之內；而後者則習慣於循辨別原則，將新經驗單獨處理，以保持其特性。

(39)

(nonanalytical conceptualizing style)

指根據問題性質行程概念的特別差異。前者偏於從問題中具有差異性的特徵著眼；而後者則偏從與構成主題有關的因素著眼。

(五)冒險型 (risk-taking style) 對謹慎型 (cautious style)

指面對不確定情況時從事抉擇時的性格差異。前者不太計較後果，勇於大膽嘗試；而後者小心謹慎不做沒有把握的事。

(六)認知繁化型 (cognitive complexity style) 對認知簡化型 (cognitive simplicity style)

指個人對情境中縣所運用上的個別差異。前者在知覺上能顧慮到各種不同線索，並嘗試將之統合運用；而後者則不善於處理複雜的問題情境，而慣於按儉約法則行事。

(七)寬容型 (tolerance style) 對偏執型 (intolerance style)

指個體應付環境時所表現的性格差異。前者對於新的觀念或新的知識容易接受，在討論或爭辯問題時，也較能容忍別人的不同意見；後者在認知活動中不容易接受新知識和新觀念，對性質曖昧的問題或與自己經驗不易連接的新知識不願去接觸。

(八)主動求知型 (perceptive style) 對被動接受型 (receptive style)

指個體應付環境時所表現的性格差異。前者喜歡對環境中事物注意、觀察、理解，經與已有認知結構核對之後，形成自己的概念性知識；後者在認知活動中對環境中的訊息，是被動接受的，即使也學到一些知識，也只是資料的堆積，而非概念性的知識。

(九)粗略型 (broad categorizing style) 對細密型 (narrow categorizing style) 指在類別概念上的個別差異。前者傾向於採較大類別以包含所有事物；後者則習慣於採小類別處理，而且只按合於歸類條件者取之，不合於歸類條件者則放棄之。

(40)

style)

指對問題情境審視了解時，在注意點廣狹上的性格差異。前者注意到問題的全面；而後者則偏於集中注意於少數重點。

(十一)拘泥型 (constricted style) 對變通型 (flexible control style)

指因受外在刺激干擾而致注意力不集中的性格差異。前者容易因外務而分心；而後者則能控制自己，不致受到干擾。

(十二)概念型 (conceptual style) 對知覺型 (perceptual style)

指面對新奇或困難的問題情境時，對問題性質理解的個別差異。前者能掌握問題的關鍵，形成概念；而後者則只能憑知覺見及問題的表面。

(十三)聚斂思維型型 (convergent thinkting style) 對擴散思維型 (divergent think style)

指面對問題所解情境時。在思維方式上的個別差異。前者傾向按邏輯常規尋求既有的固定答案；後者則思路廣闊，從各種不同角度尋求答案。

在各種不同的認知型式理論中，教育心理學上研究最多、也發展最為完整的是場地獨立性 (field independency，簡稱 FDI) 問題。本研究之認知型式理論即採用此理論，以下將著重場地獨立性的理論加以探討。

貳、場地獨立性理論

所謂場地獨立性是指「克服隱藏的背景混沌的能力」 (the ability to overcome an embedding context) (林軍治，民 74) 。

一、測量工具

最早從事場地獨立性研究者當屬被稱為「認知型式之父」的美國心理學家H. A. Witkin (1916~1979) ，H. A. Witkin 和其共同研究者先後發展出

(41)

的實驗包括：「桿框測驗」 (Rody-and-Frame Test，簡稱 RFT) 、身體調整測驗 (Body-Adjustment Test，簡稱 BAT) 、「藏圖測驗」 (Embedded-Figures Test，簡稱 EFT) 等三種測驗工具，說明如下 (林軍治，民 76；曾瑞真，民73) ： (一)桿框測驗 (RFT) 這是早期在場獨立研究上的主要工具，在暗室中放置一發光的方形框和一支發光的桿子，受試者坐在全然黑暗的房間裡，看著一根發亮的桿懸在一發亮的框架中，然後受試者需調整在傾斜的方形框中的桿子，做成垂直的位置。受試者在調整桿子時，是以自己的軀體 (body) 為參考架構來調整，使桿子成為直立狀，顯然不受傾斜的方框影響者，稱之為「場地獨立型」 (field-independent，簡稱 FI) ；反之，若受試者以傾斜的方框為參考依據來調整桿子，表示其知覺受到外在線索 (傾斜方框) 的支配，稱之為「場地依賴型」 (field-dependent，簡稱 FD）。 (二)身體調整測驗 (BAT) 身體調整測驗是在可以經由控制而任意傾斜的小實驗中，置一個可以左右傾斜的椅子，當房間傾斜56 度，椅子傾斜 22 度時，受試者必須自己調回直立的位置。若受試者以自己軀體的感覺來調整座椅使成直立位置，稱之為「場地獨立型」；反之，若受試者以外在的視覺場地 (visual field) 為主要的參考來調整座位時，則稱之為「場地依賴型」。 (三)藏圖測驗(EFT) Witkin 的實驗研究之後，其本人及其他心理學家，將原來測試場獨立性的方法簡化，利用圖形辨認的方式測試，即利用視知覺而非動作感覺，結果同樣發現受試者中有場獨立與場依賴兩種認知類型。此類測驗稱為藏圖測驗，是將一個簡單的幾何圖形安插或隱藏於錯綜復

(42)

雜的圖型中，使之不易辨認。測驗中的複雜是由一些交錯的線條以及不同的色彩所組成，欲把簡單的圖形找出來，必須打破複雜圖形的組織型態 (organization pattern) 。研究者認為若個體很容易將嵌在複雜圖形中的簡單圖形尋找出來，表示個體較能打破場地組織 (organization field) ，並從中分離出個別的項目 (item) ，換言之，個體是以自己的身體為參考點，傾向依靠內在的參考架構，較能察覺情境中個別的物體，具有破解組織化場地的能力，能將知覺場地的物體與背景加以區分，稱之為「場地獨立型」。反之，若個體需要花較長的時間以便將嵌在複雜圖形中的簡單圖形尋找出來，表示個體知覺強烈地受到場地組織的支配，較不能從場地中分離出主體來，換言之，個體是以外在知覺場地為主要參考點，其經驗易受場地組織的支配，比較不能夠將知覺場地中的主體與背景加以區分，稱之為「場地依賴型」。

以上三種測驗工具，根據Witkin & Goodenough (1981) 的研究，發現

三者呈現一致性的關係；也就是說在EFT 測驗中難以從複雜圖形中找出簡單圖形的人，他在 RFT 及 BAT 兩種測驗中也無法以自己的軀體為參考架構，而容易受到視覺組織場中框子及小室的影響，亦即以外在事物為參考之依據。二、場地獨立性的特性上述實驗結果發現，有的人受外在刺激改變影響少，有的受外在刺激改變影響大。H. A. Witkin 將之解釋為認知型式的差異，並稱前種人為場地獨立型 (不受場地刺激變動的影響) ，後種人為場地依賴型 (受場地刺激變動影響) 。兩者合之，稱為場地獨立性 (張春興，民 83) 。總而言之，場地獨立型是將知覺到的刺激予以重組，改變一種訊息來加以處理，場地依賴型傾向於直接接受刺激，不予以改變即變成自己的經驗；場地獨立型常視主體與背景是獨立的，而場地依賴型常把主體與背景