第三章 研究方法
第四節 選擇分析模式
3.產出項間：各變數之間皆呈現正相關，其中新生人數(Y1)與在學學生人數(Y2)間的 相關係數最高(0.98)。各變數之間皆達統計上的顯著。
4.每生平均校地面積(X3)與其他各投入產出項之間皆呈現負向相關，顯示校地面積屬 於不可變動之投入項，當學校規模越大、學生人數越多，則學校所需之教師與經費 亦越多，但校地卻無法因為學校規模擴大而隨之增加面積。
5.理論上投入項與產出項之間應具正向相關關係，除了每生平均校地面積(X3)之外，
其餘各投入項與產出項之間皆呈現正相關。
權而得出，此效率值介於0與1之間。CCR模式是在固定規模報酬的假設下，衡量DMU 的技術效率，以ho代表被評估DMUo的效率值。其數學模式如下：
∑
∑ ∑
∑ (1)
； i = 1,…,m；j = 1,…,n ；r = 1,…,s
= 目標DMU之效率值；
= 第j個DMU第r項產出值；
= 第j個DMU第i項投入值；
= 第r項產出值之權數；
= 第i項投入值之權數；
= 目標DMU之相對效率值；
ε代表極微正數(非阿基米德常數， non-archimedean constant)，其目的是使所有
， 均為正。
第(1)式中的限制是每一個DMU的實際產出(virtual output)與實際投入(virtual input)的比值，其值介於0和1之間。 ，則此受評估之DMU為有效率； ， 此受評估之DMU為無效率。
轉換第(1)式為線性規劃模式，可先令∑ ，並將之加入限制式中，可 修正得到線性規劃模式：
∑
∑
目標函式(2)其對偶命題如下：
(∑
∑
)
∑
(3)
∑
， ， ； ； ； = 第i個投入項之差額變數；
= 第r個產出項之差額變數；
λj = 第j個DMU之權數，其目的在為被評估DMU提供所有產出項的上界限制與 所有投入項的下界限制；
θ = DMUo所有投入量等比率所減之尺度(scale)。
受評估DMUo的CCR效率可能會出現下列三種結果：
1. 若θ < 1，則該DMUo無CCR效率。
2. 若θ = 1，但 或(且) 不為0，則DMUo具發散效率(radial efficiency)或稱弱 效率(weak efficiency)，不具CCR效率，即Farrell效率。
3. 若θ = 1且 、 為0，則DMUo具CCR效率，即稱為Pareto-Koopmans效率。
Pareto-Koopmans效率係指一個有效率DMU若且唯若改善其任一投入或產出，
不會使得某些投入或產出變得更差。
若僅改變投入或產出項比例便可達到有效率，則該DMU具技術無效率(technical inefficiency)。不僅改變投入或產出項的比例，且需減少部分投入項數量或增加產出項 數量，才能達到有CCR效率，則稱該DMU具混合無效率(mixed inefficiency)。
二、BCC模式
Banker, Charnes及Cooper於1984年提出BCC模式，因為CCR模式無法說明一個具 有弱效率的DMU，其無效率是由技術無效率或是規模無效率所造成的。BCC模式捨 棄固定規模報酬(constant return to scale)的假設，改以變動規模報酬(variable return to scale)為假設，即部分投入增加不會使得產出項有相對一部份的增加。
BCC模式可將CCR模式中DMUs的技術效率分解為純粹技術效率(pure technical efficiency)與規模效率(scale efficiency)，並計算規模報酬(returns to scale)。所謂規模效 率，係指當生產技術可變動的情況下，DMU是否處於最適生產規模，使得產出水準 所需的平均投入量為最低。BCC模式所求算出的效率值，為在現有規模下的純粹技術 效率值。其模式如下：
∑
∑ ∑
∑ (4)
， ； ； ；
將分數規劃式轉換為線性規劃模式，先令第(4)式中的分母∑ ，再將 之加入限制式中，即可得到其線性規劃模式：
∑
∑
∑
(5)
∑
第(5)式其對偶命題為：
(∑
∑
)
∑
(6)
∑
∑
， ， ； ； ；
經由第(5)式計算後，若θ = 1且差額變數 及 均為0的情況下，則該目標DMU 具BCC效率。BCC模式較CCR模式多引入了新的限制條件∑n 後，使得BCC 模式可行解區域為CCR模式之子集合。
三、對等比較模式(Bilateral Model)
對等模式是由Tone (1993)所提出，該模式假設A與B是分別由m個與n個DMUs所 構成的兩個集合。A群組中任一個DMU相對於B組DMUs群體之效率，可以下列線性 規劃模式求得：
∑ ̅
̅ (7)
∑ ̅
̅ ( )
DMUa若為B組之DMUs所包絡，則其效率值小於1。否則，DMUa之效率值大於1。
為瞭解哪一群組織效率較佳，可應用Rank-Sum-Test來進行T檢定。在顯著水準為 α，T ≤ -Ta/2或T ≥ -Ta/2，則拒絕虛無假設。拒絕兩群體之效率屬於相同分配中，亦即 B群組之整體效率比A群組為佳。T值可以下列計算試求得：
( )
√ ( )
其中RS為A群中DMUs之效率值排序之總和，m(m+n+1)/2與mn(m+n+1)/12分別為 S在近似常態分配中之平均值與變異數。
四、確定區域模式(Assurance Region Model, AR)
確定區域模式是由Thompson et al. (1986)所提出。在原始的CCR模式中，投入項 與產出項的權數是為求得目標DMU之最佳效率值從模式運算求得，這些權數並未考
解釋。而確定區域模式是將各投入項與產出項增加上限與下限的比例值，以求出更接 近真實的效率值，其投入項與產出項之重要性範圍，可以下列限制式賦予之：
⁄ ⁄
上式中 與 代表二投入項重要性權數比( ⁄ )之下限與上限， 與 代表二 產出項重要性權數比( ⁄ )之上限與下限。 與 分別代表第i個投入項與第r個產出 項的重要性權數。
將權數限制式加入CCR模式中，則可求得確定區域模式效率值，其數學式如下：
∑
∑
∑
(8)
∑
， ，
其中 、 分別代表第1項投入與產出的重要性權數； 、 分別代表第i個投入 項權數之相對重要性上下限比值； 、 分別代表第r個產出項權數之相對重要性上 下限比值。
第四章 研究結果
本章共分五節，第一節分析臺中市公立國民小學整體辦學績效，第二節以對等比 較分析模式探究小型學校與大型學校辦學績效上的差異，第三節以區域確定模式探究 辦學績效，第四節訂定臺中市公立國民小學整併原則，並比較整併前後與三種不同整 併模式之間的優劣，第五節提出管理意涵。本研究使用 Saitech Inc. (2005)所發展出的 DEA Solver Professional 4.1 版軟體進行整體辦學績效、學校規模對等比較分析、確定 區域模式辦學績效分析與整併前後辦學績效比較分析。
第一節 辦學績效分析
本研究數據擷取自教育部統計處出版之「中華民國教育統計」、臺中市政府教育 局會計室公告之「教育發展基金歷年決算表」、臺中市政府教育局公告之「各級學校 資料」，經整理民國 97 年至 99 年間投入產出項與數據整理如附錄一。
一、整體效率、純技術效率與規模效率分析
取 97 至 99 學年度三年之投入、產出項原始數據資料平均數，再分別以 CCR 模 式求取個別 DMUs 之整體效率值，以 BCC 模式求取個別 DMUs 之純技術效率值，並 藉由 CCR 模式與 BCC 模評之估結果求取規模效率值，將評估結果整理如表 18。依 CCR 模式定義，在固定規模報酬下，效率值為 1 者，為整體中相對具有效率之評估 單位，而小於 1 者為相對無效率之評估單位；依 BCC 模式定義，在變動規模報酬下，
效率值為 1 者具有純技術效率，而小於 1 者則不具有純技術效率；整體效率/純技術 效率 = 規模效率。
表 18
臺中市 60 所國民小學平均整體效率、純技術效率與規模效率表
行政區 評估單位 規模大小 整體效率 純技術效率 規模效率 參考次數
東區
A1 小 0.456 0.87 0.524 0 A2 小 0.918 0.97 0.946 0 A3 大 0.949 0.96 0.989 0 A4 小 0.907 0.972 0.933 0
A5 小 0.880 1 0.88 0
A6 小 0.921 0.978 0.942 0
南區
B1 大 1 1 1 23
B2 大 0.968 0.969 0.999 0 B3 大 0.891 0.941 0.947 0 B4 小 0.933 0.979 0.953 0
西區
C1 小 0.957 0.991 0.966 0
C2 大 1 1 1 16
C3 大 0.951 0.951 1 0
C4 小 0.773 1 0.773 0
C5 小 0.878 0.948 0.926 0 C6 大 0.928 0.972 0.955 0
北區
D1 大 1 1 1 0
D2 小 0.865 0.943 0.917 0 D3 小 0.922 0.973 0.948 0
D4 小 0.928 1 0.928 0
D5 小 0.8 0.871 0.918 0 D6 小 0.843 0.94 0.897 0 D7 小 0.917 0.978 0.938 0 中區 E1 小 0.774 0.899 0.861 0
北屯區
F1 小 0.843 0.974 0.866 0
F2 小 0.935 1 0.935 0
F3 小 0.915 0.985 0.929 0
F4 小 0.488 1 0.488 0
F5 小 0.969 1 0.969 0
F6 小 0.931 0.972 0.958 0
F7 大 1 1 1 32
F8 小 0.952 1 0.952 0
F9 小 0.926 1 0.926 0
F10 小 0.896 1 0.896 0
表 18
臺中市 60 所國民小學平均整體績效值表(續)
行政區 評估單位 規模大小 整體效率 純技術效率 規模效率 參考次數
北屯區
F11 大 1 1 1 1
F12 小 0.96 1 0.96 0
F13 小 0.938 1 0.938 0
F14 大 0.868 0.905 0.959 0
F15 大 0.948 1 0.948 0
F16 小 0.449 1 0.449 0
西屯區
G1 小 0.863 0.966 0.893 0
G2 大 0.978 1 0.978 0
G3 小 0.984 1 0.984 0
G4 大 0.909 0.933 0.974 0
G5 大 1 1 1 1
G6 大 0.938 1 0.938 0
G7 小 0.81 0.935 0.866 0
G8 小 0.674 1 0.674 0
G9 小 0.837 0.935 0.895 0
G10 小 0.97 1 0.97 0
G11 大 0.88 0.902 0.976 0
南屯區
H1 大 1 1 1 23
H2 大 1 1 1 0
H3 大 1 1 1 17
H4 大 1 1 1 0
H5 大 0.948 1 0.948 0
H6 大 0.903 1 0.903 0
H7 小 0.868 0.954 0.91 0
H8 小 0.687 1 0.687 0
H9 小 0.968 0.982 0.986 0 平均 0.893 0.976 0.915
由表 18 中，本研究發現：
1.在臺中市 60 所國民小學當中，達整體效率的國小有 10 所，達純技術效率的國小有
2.在整體效率方面，達整體效率的 10 所國小皆為大型學校，臺中市 60 所國民小學平 均辦學整體效率值為 0.893，顯見大多數的國民小學在總體資源配置上仍有改善的 空間。
3.在純技術效率方面，達純技術效率的學校共有 31 所，約為整體評估單位數的一半，
純技術效率低於 0.9 的學校僅有 3 所，臺中市 60 所國民小學平均純技術效率值為 0.976，可見在辦學技術效率上臺中市各國民小學大致表現良好。
4.在規模效率方面，達規模效率的學校有 11 所，臺中市 60 所國民小學平均規模校效 率值為 0.915，顯見臺中市國民小學在辦學規模上仍有改善的空間。
5.在整體效率方面就參考次數分析，B1 國小被參考 23 次，C2 國小被參考 16 次，F7 國小被參考 32 次，H1 國小被參考 23 次，H3 國小被參考 17 次，這 5 所學校可以 作為辦學績效的標竿學校。D1、F11、G5、H2、H4 等 5 所學校被參考次數為 1 次 或 0 次，意味這些學校雖然具有整體效率，但如果投入稍微增加或產出稍微減少，
則有可能降低其效率。
二、規模報酬分析
統計臺中市 60 所國民小學 97-99 年三年規模報酬個數，整理如表 19。表中 RTS 係指規模報酬，CRS 係指固定規模報酬，DRS 係指規模報酬遞減；IRS 係指規模報 酬遞增。
表 19
臺中市 60 所國民小學 97-99 年規模報酬累計表
行政區 評估單位 規模大小 97 98 99 RTS
IRS CRS DRS
東區
A1 小 IRS IRS IRS 3 A2 小 IRS IRS IRS 3
A3 大 IRS CRS IRS 2 1 A4 小 IRS IRS IRS 3
A5 小 IRS IRS IRS 3 A6 小 IRS IRS IRS 3
表 19
臺中市 60 所國民小學 97-99 年規模報酬累計表(續)
行政區 評估單位 規模大小 97 98 99 RTS
IRS CRS DRS
南區
B1 大 CRS CRS CRS 3
B2 大 CRS CRS CRS 3
B3 大 IRS IRS IRS 3
B4 小 IRS IRS CRS 2 1
西區
C1 小 IRS IRS IRS 3
C2 大 CRS IRS CRS 1 2
C3 大 CRS CRS DRS 2 1
C4 小 IRS IRS IRS 3 C5 小 IRS IRS IRS 3
C6 大 IRS IRS CRS 2 1
北區
D1 大 CRS CRS CRS 3
D2 小 IRS IRS IRS 3
D3 小 CRS IRS IRS 2 1 D4 小 IRS IRS IRS 3
D5 小 IRS IRS IRS 3 D6 小 IRS IRS IRS 3 D7 小 IRS IRS IRS 3 中區 E1 小 IRS IRS IRS 3
北屯區
F1 小 IRS IRS IRS 3
F2 小 IRS IRS CRS 2 1 F3 小 IRS IRS IRS 3
F4 小 IRS IRS IRS 3
F5 小 CRS IRS IRS 2 1 F6 小 IRS IRS IRS 3
F7 大 CRS CRS CRS 3
F8 小 IRS IRS IRS 3 F9 小 IRS IRS IRS 3 F10 小 IRS IRS IRS 3
F11 大 CRS CRS CRS 3 F12 小 CRS IRS IRS 2 1
小
表 19
臺中市 60 所國民小學 97-99 年規模報酬累計表(續)
行政區 評估單位 規模大小 97 98 99 RTS
IRS CRS DRS 北屯區 F16 小 IRS IRS IRS 3
西屯區
G1 小 IRS IRS IRS 3
G2 大 IRS IRS CRS 2 1 G3 小 IRS IRS IRS 3
G4 大 CRS IRS IRS 2 1
G5 大 CRS CRS CRS 3
G6 大 CRS IRS CRS 1 2 G7 小 IRS IRS IRS 3
G8 小 IRS IRS IRS 3 G9 小 IRS IRS IRS 3 G10 小 IRS IRS IRS 3 G11 大 IRS IRS IRS 3
南屯區
H1 大 CRS CRS CRS 3
H2 大 CRS IRS CRS 1 2
H3 大 CRS CRS CRS 3
H4 大 CRS CRS CRS 3
H5 大 IRS IRS IRS 3
H6 大 CRS IRS IRS 2 1 H7 小 IRS IRS IRS 3
H8 小 IRS IRS IRS 3
H9 小 CRS IRS IRS 2 1
合計 131 48 1
由表 19 中，本研究發現：
1.連續三年皆達最適規模報酬的學校共有 9 所，顯示這些學校處於最佳生產境界。
2.連續三年皆為規模報酬遞增的學校共有 35 所，這些學校並未達到最適生產規模，
應適度調整擴大規模。
3.連續三年資料中，僅 C3 一所國民小學於第三年出現規模報酬遞減，其前兩年皆處 於最適規模報酬，顯示該校應該調整縮小規模。
4.另有 15 所國民小學於三年內分別出現規模報酬遞增或最適規模報酬，屬於營運狀 態不穩定的學校。
三、差額變數分析
為了進一步讓無效率的評估單位達到最適規模報酬，可以透過差額變數分析，瞭 解從原投入產出項的數值至效率前緣線，其間尚可改善的數量。表 20 為整理臺中市 60 所國民小學投入產出項之差額變數表，藉由此表可得知臺中市各國民小學為達最 適規模報酬，所需減少之投入項數值或增加之產出項數值。
表 20
臺中市 60 所國民小學差額變數分析表 評估
單位
投入項 產出項
X1 X2 X3 X4 X5 Y1 Y2 Y3 A1 19.87 2.57 120.02 7.04 33172411.73 0 14.94 0 A2 10.73 1.60 19.61 2.95 27045225.68 0 10.96 0 A3 3.63 0.04 10.20 2.90 18474354.09 0 44.19 0 A4 7.18 1.79 20.50 2.74 23649941.83 10.27 22.17 0 A5 5.30 2.14 63.98 2.51 19538740.79 0 3.92 0 A6 7.57 1.04 19.59 3.25 32519500.90 0 0 0
B1 0 0 0 0 0 0 0 0
B2 3.78 0 10.94 2.36 19117150.59 1.64 0 10.79 B3 11.05 0.49 9.80 5.31 24283860.75 0 34.29 0 B4 8.78 1.42 29.19 2.49 16472651.75 11.01 24.41 0 C1 5.02 1.59 21.73 1.84 21463291.11 1.21 0.93 0
C2 0 0 0 0 0 0 0 0
C3 9.18 1.38 5.47 4.06 26005549.40 0 12.77 0 C4 11.50 2.77 22.54 5.89 30731421.44 10.43 0 0 C5 17.91 1.92 31.89 3.90 41208219.72 0 4.28 0 C6 5.75 1.08 13.35 0.96 23226381.38 14.99 113.45 0
D1 0 0 0 0 0 0 0 0
D2 9.18 2.10 16.01 4.51 21393826.74 3.05 0 0