隨機貼現因子

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2 新風險因子 − 無風險實質利率

本章將深入說明^,選擇無風險實質利率作為風險因子的理論依據與直覺^,亦即無風 險實質利率與隨機貼現因子(stochastic discount factor,下稱^{SDF )}之關係。 並 且闡述在 「好狀況」 時^, 無風險實質利率較高^,而在 「壞狀況」 時^,無風險實質利率 較低之概念。 另外本章將初步檢視^,使用美國公債利率衡量無風險利率以及全球投 資人之 「狀態好壞」 是否合宜。

2.1 隨機貼現因子

SDF 之概念源於跨期消費的效用極大化。 投資人在購買資產時^, 實際上犧牲了本 期的消費與其帶來的效用^, 為的是下一期得到的報酬^,以增加下一期的消費以及效 用。 在預期效用極大化的狀況下^, 可以得到下列一階條件(first order condition):

ptu^(ct) =Et[δxt+1u^(ct+1)] (1)

其中 pt 是該資產的價格^, 亦即投資人多購買一單位該資產^, 在第t期所須放棄的消 費量 ⁽假設消費的價格為^1); δ 是主觀的時間偏好率^; xt+1 是該資產在第 t + 1期 給予投資人的報酬^, 亦即投資人多購買一單位該資產^, 可在第 t + 1期額外得到的 消費量。 上式可解釋為^,當投資人 「預期」 多購買一單位的該資產^, 在第 t + 1期所 得到的效用^, 經由主觀的時間偏好率折現後^, 相等於在第 t 期所要放棄的效用時^, 投資人達到跨期的效用極大化。 若該等式不成立^,投資人將會買較多或者較少的該

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資產^, 直到該式成立為止。

稍微整理 ⁽¹⁾ 式^,我們可以得到

p_t =E_t[δu^(ct+1)

u^(c_t) x_t+1] (2)

該式表現了^,當投資人的考慮了兩期的消費水準 c_t+1, c_t 和主觀時間偏好率 δ, 將 會決定該資產報酬的現值^, 也就是為資產定價 (asset pricing)。 在這個概念之下^, 我們定義出隨機貼現因子 ^SDF, 在式子中以M_t+1 表示

M_t+1 ≡ δu^(ct+1)

u^(c_t) (3)

將 ⁽³⁾ 式代入 ⁽²⁾ 式^, 我們可以得到

p_t=E_t(M_t+1x_t+1) (4)

由⁽⁴⁾ 式我們可以更清楚地看出^{, SDF}替該資產的報酬x_t+1 定價^, 使得該報酬貼 現到第 t 期之期望值等同於其價格 p_t 。

從⁽³⁾ 式可以看出^, 隨機貼現因子 ^SDF 的 「隨機」 是來自於兩期的消費水準^, 隨著每一期的消費水準不同^, 邊際效用因而改變^, 並決定了每一期的 ^SDF。 因而 SDF 的大小也反映了第 t 期和第 t + 1期的相對好壞狀況。 若主觀時間偏好率 δ 維持不變^,當Mt+1變高^, 則表示第t + 1期的邊際效用相對第t期變得更高^,亦即 第 t + 1期的消費水準相對於第 t 期變得更低 ⁽邊際效用遞減之緣故⁾。 換句話說^, 若第 t + 1期相對於第 t 期處於壞 ⁽好⁾ 狀況^, 貼現因子 Mt+1 將較大 ⁽小⁾。 加入

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(4) 式貼現的概念^, 若第 t + 1 期相對於第 t 期處於壞 ⁽好⁾ 狀況^, 則較大⁽小⁾ 的 Mt+1 將對第 t + 1 期得到的報酬貼現出較高 ⁽低⁾ 的價值。 從經濟直覺的角度解 釋 ⁽⁴⁾ 式^,今某資產的報酬發生在第 t + 1 期^, 若投資人預期第 t + 1期的消費水 準比第t 期來得低^,則該資產將幫助投資人不同時點的消費變得更加平滑^,該資產 就比較有吸引力^, 因而被 ^SDF 貼現出較高的現值 ⁽資產價格^); 反之^, 若投資人預

期第 t + 1期的消費水準本就比第t 期來得高^, 則購買該資產將使得不同時點的消

費變得更加波動^, 這個資產對於投資人則較沒有吸引力^, 因而其資產價格較低。 將 (4) 稍加整理^, 上述的討論可以在下式更直接的說明^:

pt=E(Mt+1)E(xt+1) +cov(Mt+1, xt+1) (5)

(5) 式說明了^, 投資人評斷資產的優劣時^, 不單單考慮平均報酬之大小^, 亦評估了 該資產報酬與 ^SDF 之相關性。 在平均報酬不變前提下^, 若今某資產報酬與 ^SDF 為負相關^,則其與效用呈正相關^,則該資產將使投資人承擔不同時點的效用更加波 動的風險^, 該資產的定價便較低^; 反之若該資產報酬與 ^SDF 為正相關^, 則其與效 用呈負相關^, 則該資產使得投資人不同時點的效用較為平緩^, 提供了避險的效果^, 該資產的價格便較高。 總而言之^, 因為 ^SDF 反映不同時期的效用高低^, 形成資產 定價時除了考慮平均報酬^, 亦考慮了投資人的效用與報酬的相關性而作出風險調 整 (risk adjustment),這便是消費為基底的定價理論 (consumption-based asset pricing theorty) 之主要精神。

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回到利差交易的主題。 由於利差交易是在利率較低的國家借款^, 並將該款存入 利率較高之國家之套利策略^,並無須在期初放棄任何的消費或財富^,因此該投資組 合對於投資人的合理價格應為零。 亦即對於利差交易報酬^,(4) 式中的價格應滿足 p_t = 0 。 搭配 ⁽⁵⁾ 式風險調整的概念^, 以風險為基礎的解釋為^: 除了考慮利差交易 策略的平均報酬^,投資人亦依據報酬與效用的相關性形成風險調整^,對利差交易的 報酬之定價為零。 亦即^, 若我們能找出利差交易報酬與 ^SDF 呈負相關 ⁽即與投資 人效用呈正相關⁾ 之證據^, 便可能為利差交易的報酬合理定價。 更甚者^, 這樣便能 解釋利差交易的不尋常報酬^, 是補償投資人承擔了效用波動加劇之風險的風險溢 酬。

雖然理論的概念嚴謹而一般化^,在實證應用上投資人的 「效用」 卻難以衡量^,因 而造成 ^SDF 建構之困難。 ^Lustig 與 Verdelhan (2007) 依據理論建構了效用函 數^,該函數考慮了投資人的風險趨避程度、 跨期替代彈性、 主觀時間折現率等因素^, 並將消費劃分為耐久消費以及非耐久消費 (durable and non-durable consump-tion) 兩種^, 已是非常一般化之效用函數。 其利用美國 ¹⁹⁵³年到²⁰⁰²年的消費水 準資料^, 建構出各期的效用以及 ^SDF,欲為利差交易報酬定價。 然而^, 實證結果卻 指出該模型只能在效用函數設定極高的風險趨避程度時^,其所建構出的^SDF才能 為利差交易的報酬合理定價。 然而如此高的風險趨避程度在現實中並不合理^,因而 實際上消費為基底的模型並未能解釋利差交易報酬。 上述結果顯示了消費可能未 能正確的構成效用函數^, 現實中效用可能來自於所持財富、 前一期的消費等其他

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更多的變數^, 因而造成消費為基底模型難以得到實證資料的支持。

由於難以界定構成效用的變數^, 文獻轉向找尋不同的風險因子^, 反映投資人處 於 「好狀況」 或者 「壞狀況」^,藉以衡量投資人之邊際效用高低^, 稱為因子定價模型 (factor pricing models)。 然而在利差交易報酬定價的領域^, 絕大多數的因子皆是 外匯相關因子^,主要包括高減低因子、 外匯波動因子以及外匯變動偏度因子等。 這 些因子在實證上能為利差交易報酬合理定價^, 但是難以說明這些因子如何形成投 資人的 「效用」^,已遠離了^SDF的精神。 而且這些因子係針對外匯市場之策略而形 成的風險因子^,難以延伸為其他市場的資產定價。

發展至今^,欲構成對利差交易報酬具有顯著定價能力之^SDF,似乎越發倚賴基 礎於外匯市場的變數作為風險因子^,卻缺乏經濟理論依據。 而唯一源自理論的消費 因子^, 卻又因受限於效用之組成^, 而難以描繪出 ^SDF 並得到實證資料上的支持。

若能找到一個不僅有理論依據^,又能確實反映投資人各期效用高低的風險因子^,似 乎才有機會在理論以及實證上得到並重的進展。