第三章 研究方法
第二節 雙變量 BEKK-GARCH(1,1)模型
國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
之雙變量 GARCH(1,1)模型，判斷殘差的波動是否具有 ARCH 效果，再藉 由模型去捕捉資料。若資料能夠被雙變量 GARCH 模型給捕捉，就可得知 上市公司投資組合與美國股票市場之共變異數資料，進而衡量加入 其它系 統性風險因子之 ICAPM 模型。
第二節 雙變量 BEKK-GARCH(1,1)模型
若衡量市場的數量並非單一市場時，其不同市場間相互影響之波動變 化，與訊息傳遞所造成的波動影響，可藉由雙變量 GARCH 模型來衡量其 不 同 市 場 間 波 動 的 傳 遞 情 形 ， 有 效 的 衡 量 不 同 資 產 報 酬 間 的 交 互 關 係 。 Bollerslev(1986)、 Baillie 與 Bollerslev(1990)、 McCurdy 與 Stengos(1992) 的文獻皆指出 GARCH(1,1)能夠有效的捕捉條件變異數與共變異數之動 態 資料，且配適度都有一定的顯著水準，因此本文藉由雙變量 GARCH(1,1) 模型做為實證分析的工具。
若 將 單 變 量 GARCH 模 型 延 伸 至 多 變 量 GARCH 模 型 (Multivariate GARCH)需要估計 N 個均數、變異數與(N2 − N)/2個共變異數。而雙變量 GARCH 模型之均數方程式(mean equation)若以落後一期的形式表示，殘差 (residual)的矩陣型態(vector form)可寫成如下
𝜀𝑡−1 = 𝜀1,𝑡−1 𝜀2,𝑡−1
‧
將 VECH(𝐻𝑡)對角化 (diagonalized)，只取矩陣內對角線的元素 (element)，非 對角線的元素都令為零，則其中條件變異數與共變異數方程式為
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
在雙變量 GARCH(1,1)的對角化模型中，條件共變異數𝐻𝑡必須為正定 (positive definite)，但 VECH 模型中的𝐻𝑡有可能為負，因此 Engle 與 Kroner (1995)提出 BEKK 的模型來解決對角化 VECH 模型中𝐻𝑡可能違反條件共變 異數必須為正定的問題。BEKK 模型中，變異數只受本身落後期誤差平方項與 前期變異數影響，共變異數只受本身落後期誤差交乘項與前期共變異數 影 響。BEKK-GARCH 模型除了能簡化 VECH 模型計算上的複雜性與所需要 估計的個數，也能夠確保𝐻𝑡為正定。
BEKK 模型建構如下
𝐻𝑡 = 𝐶′𝐶 + 𝐴′𝜀𝑡−1𝜀𝑡−1′ 𝐴 + 𝐵′𝐻𝑡−1𝐵 (3.5)
其中，C 為常數矩陣，A 為 ARCH 係數矩陣，B 為 GARCH 係數矩陣。
由上述的模型式可知，BEKK 模型將係數矩陣相乘為平方項之結果，不論 係數矩陣內元素的正負為何，都可確保條件共變異數𝐻𝑡必定為正定。本文 採取 Bali(2008)的做法，建構出簡化後的 BEKK-GARCH(1,1)模型，模型如 下
𝑅𝑖,𝑡+1= 𝛼0𝑖 + 𝛼1𝑖𝑅𝑖,𝑡+ 𝜀𝑖,𝑡+1 (3.6) 𝑅𝑚,𝑡+1 = 𝛼0𝑚 + 𝛼1𝑚𝑅𝑚 ,𝑡 + 𝜀𝑚,𝑡+1 (3.7) 𝐸𝑡 𝜀𝑖,𝑡+12 ≡ 𝜎𝑖,𝑡+12 = 𝛾0𝑖 + 𝛾1𝑖𝜀𝑖,𝑡2 + 𝛾2𝑖𝜎𝑖,𝑡2 (3.8) 𝐸𝑡 𝜀𝑚,𝑡+12 ≡ 𝜎𝑚,𝑡+12 = 𝛾0𝑚 + 𝛾1𝑚𝜀𝑚,𝑡2 + 𝛾2𝑚𝜎𝑚,𝑡2 (3.9) 𝐸𝑡 𝜀𝑖,𝑡+1𝜀𝑚,𝑡+1 ≡ 𝜎𝑖𝑚 ,𝑡+1= 𝛾0𝑖𝑚 + 𝛾1𝑖𝑚𝜀𝑖,𝑡𝜀𝑚,𝑡 + 𝛾2𝑖𝑚𝜎𝑖𝑚 ,𝑡 (3.10)
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
其中，
i 為台灣股票市場上市公司之個別投資組合 m 為美國股市之市場投資組合
𝑅𝑖,𝑡+1為 t+1 期台灣上市公司投資組合之超額報酬率
𝑅𝑚,𝑡+1為 t+1 期美國股票市場投資組合之超額報酬率
𝜎𝑖,𝑡+12 為 t+1 期台灣股票市場上市公司之個別投資組合變異數
𝜎𝑚,𝑡+12 為 t+1 期美國股市之市場投資組合變異數
𝜎𝑖𝑚 ,𝑡+1為 t+1 期台灣股票市場上市公司之個別投資組合與美國股市之市場
投資組合共變異數
由這樣的模型設定，便可知道台灣股票市場上市公司之個別投資組合 與美國股市之市場投資組合共變異數，進而加入 ICAPM 的模型當中以 探 討風險與報酬的抵換關係，並判斷是否適合做為風險因子。當 ICAPM 模 型加入總體經濟變數的考量，必須知道台灣股票市場上市公司之個別投 資 組合與總體經濟變數之共變異數，因此採取與上述相同之模型設定，只是 將 美 國 股 市 之 市 場 投 資 組 合 變 數 替 換 為 總 體 經 濟 變 數─ 股 利 收 益 率 (dividend to price ratio)，其模型設定如下
𝑅𝑖,𝑡+1 = 𝛼0𝑖 + 𝛼1𝑖𝑅𝑖,𝑡+ 𝜀𝑖,𝑡+1 (3.11) 𝑥𝑡+1 = 𝛼0𝑥 + 𝛼1𝑥𝑥𝑡+ 𝜀𝑥,𝑡+1 (3.12) 𝐸𝑡 𝜀𝑖,𝑡+12 ≡ 𝜎𝑖,𝑡+12 = 𝛾0𝑖 + 𝛾1𝑖𝜀𝑖,𝑡2 + 𝛾2𝑖𝜎𝑖,𝑡2 (3.13) 𝐸𝑡 𝜀𝑥,𝑡+12 ≡ 𝜎𝑥,𝑡+12 = 𝛾0𝑥+ 𝛾1𝑥𝜀𝑥,𝑡2 + 𝛾2𝑥𝜎𝑥,𝑡2 (3.14) 𝐸𝑡 𝜀𝑖,𝑡+1𝜀𝑥,𝑡+1 ≡ 𝜔𝑖𝑥,𝑡+1 = 𝛾0𝑖𝑥 + 𝛾1𝑖𝑥𝜀𝑖,𝑡𝜀𝑥,𝑡 + 𝛾2𝑖𝑥𝜔𝑖𝑥,𝑡 (3.15)
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
其中，
i 為台灣股票市場上市公司之個別投資組合
𝑅𝑖,𝑡+1為 t+1 期台灣上市公司投資組合之超額報酬率
𝑥𝑡+1為 t+1 期總體經濟變數─股利收益率
𝜎𝑖,𝑡+12 為 t+1 期台灣股票市場上市公司之個別投資組合變異數
𝜎𝑥,𝑡+12 為 t+1 期股利收益率之變異數
𝜔𝑖𝑥,𝑡+1為 t+1 期台灣股票市場上市公司之個別投資組合與股利收益率之共
變異數
而模型估計的方法以最大概似估計法 (QMLE)以進行估計，計算待估計 之條件共變異數，將模型設定中之𝜀𝑖,𝑡若以向量表示，而將條件共變異數寫 成矩陣𝑉𝑡，根據模型式(3.6)至(3.10)，則
𝜀𝑡 = 𝑅𝑖,𝑡 − 𝛼0𝑖 − 𝛼1𝑖𝑅𝑖,𝑡−1
𝑅𝑚,𝑡 − 𝛼0𝑚 − 𝛼1𝑚𝑅𝑚 ,𝑡−1 ，𝑉𝑡 = 𝜎𝑖,𝑡2 𝜎𝑖𝑚 ,𝑡 𝜎𝑖𝑚 ,𝑡 𝜎𝑚,𝑡2
若根據模型式(3.11)至(3.15)，則
𝜀𝑡 = 𝑅𝑖,𝑡− 𝛼0𝑖 − 𝛼1𝑖𝑅𝑖,𝑡−1
𝑥𝑡 − 𝛼0𝑥− 𝛼1𝑥𝑥𝑡−1 ，𝑉𝑡 = 𝜎𝑖,𝑡2 𝜔𝑖𝑥,𝑡 𝜔𝑖𝑥 ,𝑡 𝜎𝑥,𝑡2
因此，所相對應的最大概似函數(log-likelihood function)則為
𝐿 Θ = −12 𝑁𝑡=1[ln(2𝜋) + ln 𝑉𝑡 + 𝜀𝑡𝑇𝑉𝑡−1𝜀𝑡] (3.16)
其中，N 為觀察期數，Θ為式(3.6)至(3.10)與式(3.11)至(3.15)參數之向量
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
藉由 BEKK-GARCH(1,1)的簡化模型，可計算出條件共變異數之估計 值，進而加入 ICAPM 模型當中，以進行模型分析，探討台灣上市 公司之 股票超額報酬與美國股市之波動傳遞性，是否能夠做為衡量投資人之預 期 超額報酬之風險因子，並加入公司特徵變數與總體經濟變數來共同衡量投 資之人預期超額報酬率。