面積概念

本節是針對國內外有關對面積的意義、面積概念發展、面積教學 及學生的面積迷失概念，最後是針對資訊融入面積教學之相關研究進 行探討。

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壹、 、 、 、面積的意義 面積的意義 面積的意義 面積的意義

面積指的是平面上由直線或曲線所圍成封閉區域的大小，指的是 有邊界、有範圍且為封閉圖形內部區域的大小，透過個別單位平面的 覆與點數以描述所佔有的量。譚寧君（1998a）指出面積指的是某一 封閉二維區域的大小，亦即表示對此一特定區域的覆蓋程度，意即被 覆蓋面的大小。此時的覆蓋活動，必須具備下列兩個必要條件：1.面 積是有周界的，有範圍的，故覆蓋物不能超過給定的邊界。2.面積是 從一維到二維掃描的結果，故覆蓋物是不能重疊的。根據此兩個條 件，可以了解面積是指固定邊界內覆蓋面的大小，且其覆蓋物必須緊 密結合。（國立編譯館數學教學指引第五冊，1999）。

陳鉪逸（1998）引用德國數學家 Von Leibniz 對有面積的圖形區 域下的定義：「有面積的圖形區域是由線段集成的，線段是具有長度

沒有寬度的，如果將無限多線段集起來，便成為一個有面積的區域。」

因此面積本身就是一種量，是一種依附在圖形區域所產生的量。面積 就是指封閉圖形內部區域被單位面積所覆蓋的程度。

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貳、 、 、 、學童面 學童面 學童面 學童面積概念 積概念 積概念 積概念

面積在國民小學數學領域中，是很重要的概念，計算面積的大小 在數學教材中，為份量較重的部份。譚寧君（1998b）指出面積概念 的發展從面積的保留概念的形成到面積測量概念的建立是逐步發 展，而面積的估測概念是面積教學中不可或缺的一部份，分別敍述如 下：

一、面積保留概念

保留概念指的是兒童面對物體時，對物體的某種轉換（如位置的 移動、形狀的改變或切割活動），了解其原有的特質（如量、數、長 度、大小）仍然保留不變的認知能力（譚寧君，1995b）。皮亞傑特別 強調此概念是無法透過教學活動與予建立的，必須經過多次的經驗累 積才能逐步形成。根據皮亞傑曾對兒童面積概念發展進行多項實驗研 究，結果發現五、六歲的兒童往往憑著視覺來判斷區域的大小。

譚寧君（1995b）指出面積保留概念包含了二個不同的層次，一

是基本面積保留，一是互補面積保留。基本的面積保留代表任何封閉 的圖形內面的大小，不因位置的改變而有所不同。又如有些圖形會因 為視覺的錯覺而產生錯誤，但亦可透過疊合活動的經驗，而建立了面 積的保留概念。互補面積保留是一種逆向的邏輯思考，表示在相同的 二個面上，減去形狀不同但面積相同的二塊小平面，其所剩下的面積 仍然不變。在皮亞傑的實驗中，以草地內的馬鈴薯園的實驗來檢驗兒 童何時開始具備互補面積概念，以及是否能夠對面積的分割與次序及 位置作綜合運思。

從上述的文獻中知道，面積保留概念對面積的教學具有舉足輕重 的地位，假若學生不具有保留概念，就指導面積的求法，則學生學到 的只是公式的記憶而已（許嵐婷，2003），學童只會採取背誦的方式 記憶抽象的公式，以及機械式的反應練習，而無法真正的了解到面積 的概念。

二、面積測量概念

面積的測量，不只是面積公式的使用而已。其實，面積公式的導 出是經過一連串的操作、比較的過程，此時的面積公式才有意義。如 學生被問及桌面的面積有多大時，只會用直尺量出桌面的長與寬後再 相乘，未必是真正的了解面積概念，因為他可能只是背公式而已，他

必須瞭解到，長寬相乘是經過單位面積覆蓋所得的結果，如此才真正 算是瞭解面積的概念。測量面積的大小可透過不同的方法測量而得，

但若未經過覆蓋、拼湊、添補、複製與比較等活動，是不能真正了解 到面積的概念（國立編譯館，1999）。面積的測量是透過各個不同二 維單位量的覆蓋或拼湊而成，可以操作不同的單位量以描述面積的大 小（譚寧君，1995b）。面積測量的基本概念是在探索封閉區域內的覆 蓋情形，使學童經驗到整體的面積是由數個覆蓋物之面積的總和。譚 寧君（1995b，1998b）指出面積的測量可分成三個不同的層次：面積 的基本概念、單位面積概念、直線測量面積概念。分述如下：

（一）面積測量的基本概念：測量概念的形成是建立在個別單位 的掌握，是測量教材的重心，利用單位量的覆蓋與點數來了解面積，

從個別物件到個別單位，進而用普遍單位來表示大小，以察覺面積公 式的由來。

（二）單位面積概念：此時面積的測量是透過各個不同單位量的 覆蓋或拼湊而成（譚寧君，1995b、1998b），單位量的不同，所以單 位數也會不同。單位面積概念除了利用覆蓋活動經驗面積相同但形狀 不同的等積異形概念外，亦可透過切割活動進行等積異形的比較活 動。

累加與單位量的比較，而直線測量屬於比較抽象的推理層次，包括單 位在數學上的相乘關係（譚寧君，1998b）。此階段除了一些特定圖形 的面積公式外，還包括作圖、單位量的測量與轉換、及面積的包含關 係。

三、面積估測概念

測量在實測中佔有相當重的成分，量感的培養也是教學的重點，

所以估測的活動是教學中不可或缺的一部份。Hall（1984）認為：「估 測是一種可以訓練猜測的活動，它能在未知數量前，進行估量的活 動。當我們進行估量時，我們以心中既定的標準來進行估量。」所以，

教學時，可先利用目測或手測（自然的工具），以感覺的方式進行估 測，如猜猜看一張報紙有多大，估測活動後再利用工具實際去測量檢 驗，因學生已有覆蓋的經驗，故會利用任何自然的工具，包括目測或 手量的感覺去估測單位數與單位量之間的關係，再實際去檢驗，如 此，既可以引起學生的興趣，又可培養兒童估測的能力（譚寧君，

1995b）。譚寧君（1995b）提到估測活動可以培養學生的量感，有量 感才能對面積測量的學習形成有意義的學習。

估測可以讓兒童檢驗計算的結果是否正確，Hiebert（1981）指出 學生遇到需要利用特殊策略找出面積時，都必須先預估面積的大小，

因此，學生們遇到面積問題時，除了可以直接套用公式之外，其餘的 都需要利用到面積的估測能力，先預估面積的大小再尋求解題的策 略，或是決定適當的測量工具。Hildreth（1980）發現五和七年級的 學生在估測長度與面積的策略為：使用分割的方式、單位的累計、先 前的經驗、比較、分塊、長乘以寬等策略。而估測的學習活動，Bright 指出有兩種的學習情況，一是想要找出某一物的估計量，或是想找出 物件的度量，因此必須找一個值來比對，以利於教學（轉引自陳鉪逸，

1998）。

參 參 參

參、 、 、 、面積的迷思概念 面積的迷思概念 面積的迷思概念 面積的迷思概念

迷失概念指的是學生在某一特定的學科之中，對某件事或現象，

所持有的一些有別於目前科學家所公認的想法（謝青龍，1995）。而 其研究的目的，就是要找出學生在某些學習上的一些錯誤的概念，希 望能夠以此來導正學生的一些錯誤的想法。迷失概念是思考與判斷錯 誤所造成的，也是造成學習障礙的最大原因（陳鉪逸，1996）。所以 教師必須了解學生的迷失概念，並能透過對學生概念的表現、解題的 策略等，讓學生明瞭他們對自己的知識是否真正的了解，而教師亦可 從學生的表現中觀察他們的真實狀況，依照實際的情形，而設計一些 補救教學，以導正學生的迷失概念。根據許多研究的資料顯示（許嵐

婷，2003），學生在學習面積的測量概念上有一些迷失的概念。高敬 文等人（1989）也發現學生在做題目時所表現的錯誤類型，有些是計 算錯誤、或不了解題意，有些則是概念錯誤引起的。而這些迷失的概 念又往往導致學生在學習面積測量的效果不彰，許嵐婷（2003）針對 多位學者的研究，整理出學生的面積測量的迷失概念，分述如下：

一、缺乏面積的保留概念 二、面積術語的迷失概念

三、對有無面積的圖形辨別能力不足 四、面積單位的錯誤及面積單位間的換算 五、對於單位與測量的關係不了解

六、學生對面積的量感不足，導致估測與實測的能力不足 七、對於圖形的底和高辨別有困難

八、過分依賴面積公式及對公式的不了解 九、面積與周長的誤解

十、對不規則圖形面積的計算不了解

譚寧君（1999）指出，學生的面積迷失概念，往往在課本類似的 問題上，不易發現，教師唯有重視師生互動，透過關鍵性的問話，瞭

解學生問題所在，才能瞭解學生的迷失概念。因此，學生常對題意不 求甚解，教師應多提供多元問題類型（如圖畫式、短語式、文字式）

或多餘資訊的問題，培養學生瞭解與分析題意的習慣；再者，就是要 加強學生對公式意義的瞭解，避免只提出代公式即可解的「例行性問 題」，對於「非例行性問題」的解題則更需要注重，以培養學生判斷 的能力與習慣。是故，研究者在設計教學活動及紙筆測驗的面積問題 時，將學生容易犯的一些迷失概念，分別涵蓋在教學活動及紙筆測驗 問題中，藉以導正學生在解決此類問題時的迷思，使學生能有正確的 解題觀念。

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肆、 、 、 、資訊融入面積教學上的相關研究 資訊融入面積教學上的相關研究 資訊融入面積教學上的相關研究 資訊融入面積教學上的相關研究

為進一步了解資訊融入面積教學的相關研究，故蒐集國內針對資 訊融入面積概念教學之相關研究，進行整理及探討其研究結果。

一、林文慧（2004）在動態幾何 GSP 融入國小學童面積概念補 救教學之研究中，探討可行 GSP 融入國小數學面積概念補救教學之

一、林文慧（2004）在動態幾何 GSP 融入國小學童面積概念補 救教學之研究中，探討可行 GSP 融入國小數學面積概念補救教學之