第二章 文獻探討
第一節 體積、容量與容積教材分析
壹、「體積、容量與容積」的意義
在國民中小學九年一貫課程綱要中，量與實測是國小數學的核心課程之一，
其中量包含長度、重量、容量、時間、角度、面積、體積等生活中常用的七種量。
其中長度、容量、角度、面積、體積屬於幾何（視覺）量（教育部，2003）。學 童若缺乏量的概念，將造成解題上的困難（劉秋木，1996），本研究就容量、容 積和體積三個部分加以分析探討。
一、容量的概念
一般人所稱的容量，有時是指「液量」，有時是指「容量」。嚴謹的來說，容 量是指流體物質佔滿容器的最大盛載量，藉容器所盛裝液量的最大限度，以平容 器口為準，即用容器所能盛載的最大液量來表示該容器的容量。例如：杯子裡裝 滿的水量 （教育部，2003） 。
二、容積的概念
可定義為某一具有確定三度空間的周界內的空間大小，通常此空間有容納物 質可以隨時存取的功能。換言之，為容器內部空間的大小；也就是空體（中間是 空的物體，例如：箱、桶、罐、倉庫等）所能容納物體的體積大小，其概念是體
積概念，例如：冰箱內部的容積 （教育部，2003） 。 三、體積的概念
可定義為物體在空間所佔的大小。單位是長度的立方數，如立方公尺、立方 公分。例如：長方體的體積可由長、寬、高相乘所得。
學者的研究中也對體積的區分做了不同層面的定義（引自譚寧君，1996）：
一、外體積（external volume）
即透過視覺，知覺到的物體占空間的大小，不論其為實心或空心，如：皮球、
積木或空桌子。
二、內體積（internal volume）
即物件內部空間大小，此乃指空心物件的內部容積，一般指的是裝載固體的 小個物，如：盒子內可裝27 個白色小積木，表示盒子的容積是 27 立方公分。
三、排他性體積（displace volume）
即物件體積的大小是透過排出的液量表示原物件的體積，如：石頭的體積，
可透過將其擲入滿水位的水缸內，流出的液體體積即表示石頭的體積。
四、液積與容量（liquid volume and capacity）
液積表示液體所佔有空間的量，代表液體體積又稱液量。容量則是容器的最 大裝載量，一般表示裝載液體的量。
綜合以上所述，可分析得容量是代表「容器所盛的最大液量」，而容積則是
「容器內部的大小」，最後體積則主要指「立體物所占的空間大小」。本研究將以 此概念來分析認知屬性，並進行認知診斷測驗的編製。
貳、單元教材地位
本研究依據教育部於 2003 年頒佈「九年一貫課程綱要」數學學習領域中「體 積、容量與容積」相關的能力指標標示如下表2-1-1。
表 2-1-1 國小五年級體積、容量與容積相關的能力指標與分年細目整理
係，並在描述一個量時，作不同單位間的換算」、「N-2-17 能理解長方形面積、周 長與長方體體積的公式」、「N-2-18 能理解容量、容積和體積間的關係」，因此，
由階段能力指標演繹出更細緻的分年細目及詮釋，以利分年進階式教學進度目標 的明確掌握（教育部，2003）。本研究針對五年級分年細目部分，從中歸納出各 分項的認知屬性，如下表2-1-2。
表 2-1-2 國小五年級體積、容量與容積相關的認知屬性整理
分年細目 認知屬性
（A4）能計算立方公尺與立方公分換算，1 立方公尺=1000000 立方公分。
5-n-17 能認識體積單位「立方公 尺」，及「立方公分」、「立方公尺」
間的關係，並作相關計算。 （A6） 能計算立方公尺與立方公分二階單 位換算。
（A1）能運用長方體體積公式。
5-n-18 能理解長方體和正方體的
體積公式。 （A2）能運用正方體體積公式。
（A3）能計算容器內部體積。
（A5）能了解容積的定義。
（A7）能計算容量換算成容積 1 公升=1000 立方公分 。
（A8）能計算容積與容量換算成容積 1 毫 升=1 立方公分。
（A9） 解決容積換算應用問題。
（A10）能計算有厚度容器容積。
（A11）能報讀有刻度容器內水位升降的高 度應用題。
5-n-19 能理解容量、容積和體積 間的關係。
（A12）能計算不規則物體體積的應用問
題。
参、錯誤類型分析
錯誤類型是指在數學分析答題歷程中所產生的系統性錯誤（system error），
這種錯誤的緣由是來自於穩定的錯誤或因不完全、誤導的學習概念所造成，可能 由學生自行所建構而成，與專家知識有所出入，其特點是高度抗拒改變，經常會 造成學習障礙（許志毅，2004）。
在學習數學過程中學生產生的錯誤概念，容易造成解題上的困難。許多學者 也提出了關於此單元的錯誤類型與迷思概念的研究，資料統整鄭涵（2010）等人 研究，歸納如下表2-1-3：
表 2-1-3 與體積、容量與容積相關的錯誤類型或迷思概念的整理
研究者 錯誤類型
王瑋樺（2001） 1. 瞭解題意，但無法列出算式。
2. 以關鍵字選擇運算的方法。
3. 不瞭解算式的概念。
4. 無法了解題目中字、詞或數字含意和題意。
徐存姮（2003） 1. 無法分辨立方公分與平方公分的不同。
2. 平方公分的概念不完整，影響立方公分概念的建立。
3. 長度公分的概念不完整、影響對平方公分概念的建立。
4. 計算時轉換單位錯誤。
張淑怡（2004） 1. 對「容量」定義概念不清楚。
2. 缺乏相互性的邏輯運思能力。
3. 欠缺單位換算的能力。
4. 估側策略除憑靠量感外，多以「單位」作判斷標準。
5. 量感不足且缺乏有效的估量策略。
劉政霏（2005） 1. 使用錯誤的符號運算。
2. 高低階單位換算乘除符號錯誤。
3. 進位時的錯誤。
4. 直接將二階單位做運算。
5. 將數值直接做加減。
6. 容量概念錯誤。
劉穎民（2005） 1. 計算錯誤。
2. 進位、退位錯誤。
3. 抄錯題目數字。
4. 不懂題目意思。
紀承耀（2007） 1. 對二階單位間的關係不清楚。
2. 乘法概念不夠清晰。
3. 小數位值概念錯誤。
4. 誤解題意。
5. 乘法計算錯誤。
6. 除法計算錯誤。
康軒手冊
（2008）
1. 不知道公升與毫公升的關係。
2. 不瞭解毫公升與c.c.間的意義。
鄭涵（2010） 1. 「公升」與「毫公升」的單位換算概念不清 2. 「分公升」與「毫公升」的單位換算概念不清 3. 忽略單位
4. 無毫公升量感
5. 不瞭解ml 與c.c.的意義
6. 估測能力的不足
7. 直接由題目數字來實測(實測能力的不足) 8. 以視覺判斷
9. 直接由數了幾個刻度點來表示實測結果(實測能力的不 足)
10. 容量概念錯誤 11. 進位或退位錯誤 12. 其他計算錯誤 13. 將數值直接做運算 14. 使用錯誤的數字運算 15. 使用錯誤的符號運算 16. 直接將二階單位做運算
17. 高低階單位換算乘除符號錯誤 18. 不懂題意
19. 以關鍵字來判斷題目所需要的運算方法 20. 欠缺解題策略及運算能力
從文獻中與研究者教學經驗，從中可以歸納彙整五年級學生學習「體積、容 量與容積」單元時容易產生的錯誤概念有：「對『容量』定義概念不清楚」、「欠 缺單位換算的能力」、「量感不足且缺乏有效的估量策略」、「高低階單位換算錯 誤」、「瞭解題意，但無法列出算式」、「不瞭解算式的概念將數值直接做加減」、「不 瞭解題意」、「使用錯誤的符號運算」。根據以上所彙整出的錯誤類型與能力指標，
再參考專家學者與實際教學工作者的意見，整理出本研究單元之分年細目與錯誤 類型的關聯表如表2-1-4。
表 2-1-4 能力指標與錯誤類型關聯表
分年細目 錯誤類型 5-n-17 能認識體積單位「立方公尺」，
及「立方公分」、「立方公尺」間的關係，
並作相關計算。
1. 立方公分與立方公尺換算錯誤。
2. 單位未換算。
3. 數字位值看錯。
5-n-18 能理解長方體和正方體的體積 公式。
1. 體積公式概念錯誤。
2. 體積與高概念混淆。
3. 計算錯誤。
4. 不懂題意，直接由題目數字來實 測。
5. 不懂題意，直接乘除或加減。
5-n-19 能理解容量、容積和體積間的 關係。
1. 容積概念錯誤。
2. 容積與重量概念錯誤。
3. 立體圖形厚度估算錯誤。
4. 公升與毫公升單位轉換錯誤。
5. 立方公分與毫公升單位換算錯誤。
6. 單位未換算。
7. 數字位值看錯。
8. 對於題意了解錯誤。
9. 其他計算錯誤。