數學教育的意涵及其相關理論

壹、數學教育的意涵

張靜嚳和陳育琳(2000)認為數學教育的基本信念是知識的絕對觀與學習的 行為主義；然而，九年一貫課程是改變信仰，從數學是人發現的真理轉變成數學 是一種社會互動下的文化產物。

宋在煥、金忠靜、孫靜華(2008)認為數學是一門通過理解基本概念、原理、

法則，培養用數學思維觀察、分析事物的能力，並培養邏輯推理，合理解決實際 生活問題的能力的課程。數學是培養任何邏輯能力的科目，在某種程度上，數學 可以稱得上是學習任何一門科目的基礎。而數學刻得學習目標，是熟悉數學基本 知識和技巧，培養數學思考能力，合理解決實際生活的各種問題。

因此九年一貫課程目標由教孩子學習客觀數學知識，轉而引導孩子在生活中 建構數學知識；內容上，則特別重視連結主題，強調生活及其他領域中數學問題 的察覺、轉化、解題、溝通、評析等諸能力的培養。因此，九年一貫新課程，就 以培養具備人本情懷、統整能力、民主素養、鄉土與國際意識、終身學習之國民 為基本理念。在數學學習領域的精神指標，就是多元開放的討論、尊重各種不同 的合理觀點，激勵多樣性的獨立思維方式，及分享、欣賞不同族群生活數學和文 化的數學發展(教育部，2003)。

江淑怡(2009)認為把每一位學生都帶上來，是九年一貫及國家教育政策的理 念。在數學教育裡，強調每個學生都有權利要求受到良好的數學訓練，並充分認 識重要的數學概念及提昇數學能力。學生能力的發展始於流利的基礎運算和推 演、對數學概念的理解，懂得利用推論解決數學問題，包括理解和解決日常問題，

以及在不熟悉解答方式時，能夠自己尋找解決問題的方法。

數學是一種複雜性的符號語言，兒童若缺乏基本計算技巧、推理和問題解決 能力，會對學業形成不良影響。再者，數學是一門具有嚴謹學習層次的學科，其 所包含的概念、原理原則及演算能力，均有一定順序及難易層次。倘若學童不能 按部就班的學習，其學習過程勢必將越趨困難(John A. Van De Walle,2005)。

國小數學課程自六十四年版課程標準、八十二年版課程標準、九年一貫課程 暫行綱要、至九年一貫課程綱要，課程主要內容都包含「數與計算」，可見「數 與計算」能力一直為國小數學教育所重視。在數與計算中，最基本的學習內容是 加、減、乘、除四則運算，這些是在數學領域的學習重點，也是學習其他概念的 基礎(呂秋文，2000)。

劉秋木(1996)認為數學教育的目的在於透過數學的批判思考發展民主社會 的公民，數學教育應該提出並解決社會脈絡中的數問題，並由此瞭解和數學相關 的社會制度。而學校授予學生的數學知識必須反應數學乃社會建構之性質；嘗試 錯誤的、藉人類創造與決策而生長、與其他知識領域、文化和社會生活有關聯。

綜合上述，本研究認為數學教育之意涵為：數學教育不僅是科學與科技知識 的基礎教育，同時為培養學童理解和解決日常問題之的生活教育科目。

貳、數學教育的相關理論

本研究參考諸多文獻後，將數學教育的理論基礎分為以下三類加以敘述。

一、經驗主義、實用主義對於數學知識的理論(劉秋木，1996)

古老的經驗主義者認為人心有如白紙，近朱者赤近墨者黑，偏重被動的接受 外來的感覺刺激；實用主義者則認為知識是在人類適應環境中形成的。兩種理論

都強調經驗對於知識形成的重要性，因此都歸屬於經驗主義範疇(張春興，

1996)。經驗主義者認為知識從經驗(我們與外在世界之互動)中產生，數學知識就 像其他自然科學一樣是經驗的類化所得的通則。因此經驗主義對於數學教育有兩 個基本主張：

（一）數學知識起源於經驗。

（二）經驗可以證明一個數學定理是否成立。

徹底的經驗主義承認上述兩個主張都是對的，數學知識就像是科學的假設一 樣，是假設演繹的系統，要接受經驗的驗證。例如幼兒玩彈珠，每次三個彩色珠 子和四個白色珠子放在一起就是七顆珠子，於是他做了一個歸納：三個和四個合 起來是七個，此假設經過無數次經驗檢見均屬可靠。如果某日發現有例子三加四 不等於七，這個被以為是真理的數學知識便被捨棄。

較不激進的經驗主義稱為準經驗主義(quasi-empiricism)，不強調以經驗驗證 數學定理，但不認為有確定不變的數學知識。邏輯主義則認為有一些公理是確定 的，在這些確定的基礎上依照邏輯推理所建立的數學定理也是確定的；準經驗主 義則認為數學並非在確定根基上建立起來的可靠系統，而是可能存有錯的知識，

可以修改也經常在修改的。

綜合上述可知，經驗主義、實用主義認為數學知識的傳遞需要經過學童自身 經驗的驗證，並且歸納形成的。

二、建構主義

Marilyn Nickson(2004)認為在數學教學上，認知學派非常重視「個體是如何 學懂的」，此種導向造成目前數學教學的新發展，即為此時蔓延整個研究界的建 構主義(constructivism)。建構主義的觀點認為當孩子上學時，已經清楚的具備某 些特徵，而且會在教室中使用下去。本研究以皮亞傑及布魯納的數學知識理論加 以說明。

(一) 皮亞傑的數學知識理論

像是數的觀念或量的觀念(公斤、公尺)，此類並非感覺的印象或感覺的知 識，皮亞傑 稱之為數學的邏輯知識，需要使用較為高級的心理能力。建構主義 者認為只需給學童一些構成知識的素材即可，知識是靠心靈建構的(陳皎眉，

2006)。

皮亞傑認為人類像一切生物一樣要適應環境，適應過程表現兩個面向：同化 和調適。前者表現在將外在刺激轉化為個體的基模，後者表現在調整自己的官能 以符合環境的要求。在知識的吸收上同樣表現同化與調適，個體與環境互動過程 中將環境的要素消融在認知結構中，因此獲得適應(程薇，2003)。

認知表徵是比行動或感覺動作更高的發展階段，有了抽象思考的歷程，兒童 可以對心中的心像及符號予以操作，亦能將其合併或分解。因此兒童能形成種種 概念，例如能懂得分類、排序、數、容量、長度、重量等概念 (劉秋木，1996)。

綜合上述可知，皮亞傑的建構主義認為數學知識是兒童組構自己的行動經驗 而來的，並非像照相機一樣攝進來的。把教材講解的十分透徹未必是最好的數學 教育方式；兒童只能以他現有的認知結構來同化新的材料，因此在教學中提供的 教材應配合兒童的認知能力，並且提供操作物讓兒童從操作中自行建構概念。

(二) 布魯納的數學知識理論

布魯納將數學教育過程稱為螺旋式課程(Spiral Curriculun)。螺旋式課程是布 魯納(Jerome S. Bruner)以皮亞傑的認知發展理論為基礎提出的，為一種教育過程 的結構型態。如同蝸牛的殼越往上空間就會越大越寬敞一樣，以一定的內容為基 礎的教學，是一個會隨時間推移更廣泛、更深入的過程。亦即為剛開始是簡單的，

然後階段性提高內容水準(引自Constance Kamii, Sally Jones Livingston, 2001)。

螺旋式課程不僅適用於數學，其他科目也都可用此理論解釋；但所有科目 中，唯獨數學的發展規律完全符合螺旋式課程理論，螺旋式課程的核心理念強調 連續性和系統性。螺旋式課程的和心中有連續性和系統性兩個概念。連續性就是 重複性，即學習某一概念的時候需要經過多個階段的反覆練習。例如加法的學習

從國小一年級到三年級都在學習，其實只要知道十進位的原理就能知道答案；因 為兒童認知發展的程度不同，透過反覆練習才能理解加法的全貌。

螺旋式課程的另一個核心是系統性。系統性指的是反覆學習的過程中，知識 結構變得更豐富、更深刻的意思。例如國小一年級到三年級都在學習加法，但內 容逐漸加深了，可以說連續性和系統性密不可分。

三、社會建構主義的數學知識理論

社會建構主義者認為知識的建構不是個體閉門造車杜撰而成，而是社會的溝 通、集思廣益中建構而成。由於個體間的傳達、解釋、批評、協助、辯論，才創 造了知識，且所謂客觀的知識就是被社會所接受的知識(程薇，2003)。

個體的知識不斷與環境互動，也不斷的修正更新。創新的過程中隨時接受環 境的矯正；當創新的知識不適用於環境就不得不改變。人之所以能存活的重要因 素是人能群居，能溝通意見、集思廣益、群策群力。社會環境有時比物理環境更 加重要，最重要的便是他人的語言反應；一方面共同生活必須溝通，溝通需要相 同的訊息符號，一方面我們需要把自己的發現與人共享，所以我們總是不斷與他 人交換訊息(劉秋木，1996)。

社會建構主義主要論點之一為：個體創造的主觀知識透過協商而成為社會接 受的客觀知識。主觀知識是個體所擁有的知識，客觀知識為主觀知識經過出版或 公開討論而為社群所接受的知識。當一主觀知識與其他舊知識發生關聯，重新思 考這些知識的定義，使這些新舊知識能獲得一致性與連貫性。例如兒童在操作實 物中學會了乘法也學會除法，發現乘法原來是除法的逆運算，於是對乘法意義有 了進一步理解。

Constance Kamii, Sally Jones Livingston(2001)認為數學科教學互動的重要性 分為兩點；自我中心與孩子的推理能力、團體遊戲（引自劉秋木，1996）：

(一)自我中心與孩子的推理能力

皮亞傑認為所有的孩子都是自我中心的。所謂自我中心並非「自私」或「自