數概念的發展

所謂「數」的定義有許多，以下分別就各學者的詮釋分別說明之：

一、Piaget(1965)主張數概念是同時指類(class)及序列(series)，亦即有序的類 (a series class)，而這種依序點數正是一種不對稱的關係，就像排序一樣。

二、高斯(Gauss)對於何謂「數」，就給了如下的一個界定：數是一個指標，

此指標是用來指示，為了獲得一個與一被界定量相等的量起見，一個已知量 (單位量)，或是此單位的一個被等分割部份，所需被重複累積的次數；這個 次數則被用來指示被界定量(引自蔣治邦、陳竹村、謝堅、林淑君、陳俊瑜，

2002)。

三、甯自強(1992)將數概念分成四個層次：

1.前置概念：如「53」代表由1 開始，對應標準數詞序列到具體物的最後一 項。此概念層次的兒童，「53」指第53 個蘋果。

2.起始數概念：如「53」代表由53 個「1」所合成的新聚集單位，此概念層 次的兒童，「53」指全部的53 個蘋果。

3.內嵌數概念：如「53」代表一個聚集單位，比如48，再往上累積5個「1」

所合成的新聚集單位。此概念層次的兒童，「53」指48(或其他數字)個蘋果，

加上5(或其他數字)個蘋果而成的53個蘋果。意即兒童能瞭解數的分解合成意 義。

4.巢狀數概念：如「53」代表可由5 個「10」和3 個「1」所合成的新聚集 單位。此概念層次兒童，「53」指每一堆10 個的蘋果有堆，外加一個一數 的蘋果有3 個，共53 個蘋果。亦即兒童有了位值概念。

以上的四個數的概念層次，兒童必須經過前一個階段才會達到下一個階 段，亦即這四個概念的發展階段有其不可跳躍的順序性。

四、吳新華(1992)認為所謂數的概念，是指操作數詞、數字、以及計數對象 三者間相互關係的心智能力。

1.以數詞來數計數的對象。

2.依所指示的數詞拿取計數對象。

3.算出計數對象之個數，並寫成數字。

4.按數字所示個數拿取計數對象。

5.按所指示之數詞寫出數字。

6.讀出寫好了的數字。

這些能力就是主要的數概念。

綜合上述可知，數是類的類、數是計算事物的系統且含有一對一的對 應、數也是集合與不對稱關係的綜合。因此，兒童要了解數的概念，須先懂 得：集合、一對一的對應、計數、排序等關係。

兒童數概念的形成與其解題策略有其相關性，不同的兒童面對相同的加 法數學問題，他們會因為數概念發展的情況不同，而有不同的解題策略，以 下針對國內外相關研究分別探討之：

(一)國外的相關研究

1.皮亞傑(Piaget,1952；1953)的研究(引自謝慧齡，2004)

有關數(分離量)概念之發展，皮亞傑的主要論點為：(1)數與其他數學概 念之真正理解是源於兒童的心智發展，這些概念的發展是獨立自發、無人教 導(Piaget,1953)。(2)保留數目不變性的能力是數學理解的先決條件，兒童到 了六歲半左右就會自然發展出這樣的能力(Piaget,1952)。皮亞傑認為，雖然 幼兒在六歲半以前就會唱數、計數，甚而會一些簡單的加減運算，但是他不 具保留(conservation)的心智能力，因此都不算是對數目有真正的了解。在實 驗中，他發現幼兒對數的了解有三個發展階段：

應關係去建構兩組具有同數之實物，通常幼兒的焦點集中於以排列出實物的 長度是否相同，來判定兩組數目是否相等，因此他所建構的兩組實物具有同 等長度(兩端同長)但數目卻不等。在這個時期即使幼兒能夠計數，其計數能 力卻無助於數目同等性的保留概念。

(2)第二階段(五～六歲)：是過渡時期，會運用一對一對應關係建構同等數 目，但對於一對一關係不是充分理解。當其所排出的一對一關係被破壞(拉 長或縮短其中一組實物)後，幼兒就無法保留他自己所建立的同等性，即認 為二組實物非同數。此時，他的焦點已經擴展了一些，有時注意到長度，有 時會注意密度，不像第一階段幼兒經常只注意長度。因此，有時他會堅稱比 較長的那排數目較多，因為它排得比較長，下一刻卻力言比較短的那排數目 較多，因為它比較密。當一對一的關係被破壞後，有一組實物拉長或縮短，

幼兒就會認為兩組的數目已經不相同了。由上述情形，可知在第一、二階段 的幼兒深受外觀知覺的影響，做數量判斷時，是根據其整體外型（general shape）來做決定，把分離量當作好像連續量的型態一樣(Piaget, 1952)。

(3)第三階段(六歲半以後)：是對數概念能真正理解的階段，幼兒已能用各種 方法建構同等性，例如：用數的，或用一對一對應方式，並且也能保留數目 之不變性，不管外觀安排如何變化(例如拉長或縮短)，都不會影響其同等性 之判斷。

根據皮亞傑的劃分，第一、二階段幼兒是處於認知發展的前運思期，而 第三階段幼兒則進入具體運思期。Ginsburg and Opper(1979) 指出，皮亞傑 認為，兒童發展保留概念(conservation)涉及三種邏輯運思之協調：

a.相互性(reciprocity)：

某部分增加了就會抵消(平衡)另一減少的部分，兩者間具有補償作用。

b.恆同性(identity)：

c.逆反性 (negation)：

某一改變狀態可以在心裡以同等但反向的轉換被逆返回到原來狀態。

2.Fuson(1992)從兒童使用數詞之能力的角度研究數數能力的發展，他認為兒 童數詞順序(number-word sequence)的發展有五個水準:

（1）字串(string)

在這階段的兒童只是唱數，各數連在一起不能分開。

(2)不能分開的清單(unbreakable chain)

a.在這個階段的兒童能區別每ㄧ個數字。兒童開始數東西時從１開始一直到 東西數光了，這一連串動作像是分不開的鏈條。

b.要用實物(知覺對象)來數數。

c.具有基數的概念，數一堆東西，知道最後一個數字代表全部的東西的數。

(3)能分開的連鎖(breakable chain)

a.在這個階段的兒童可以從任何一個數字開始數數。

b.因為有了這種能力，在加法計數中能發展出更有效率的『接著數counting on』的能力

c.例如4＋3＝？ 不必從1開始數，可以從5數到7。

(4)數的連鎖(numerable chain)

a.不再用實物(知覺對象)數數。可以直接數數字，以數字代表知覺對象。

b.例如:4＋3＝？ 不必使用具體物，只是念數字，或以伸手指頭或唸另一組 數字以追蹤所數的數字。

(5)雙向的連鎖/ 真正的數的連鎖(bidirectional chain/truly numerical chain) a.在這個階段的兒童，能將數字當作數序上的單位，同時當作一個基數。因 此每一個數字代表一個基數，包含前面數過的數以及該數。每一個數也是比 前一數大的數，每一個序數n 就有一個基數n＋1 在其前面。這符合Piaget 所

b.知道分解與合成。加法與和的關係可以是互逆。

是隱約的「部分—全體運思期」，因而當混合使用兩階單位時，往往使得「五」

失去群體的特性。例如：問兒童9隻手有多少手指頭，兒童可以答出45，當 移去其中的3隻手時，兒童可能會混淆一隻手與一根手指頭而給出答案42，

混淆的主要因素是因為無法掌握一個「五」與一個「一」間的「部分—全體 關係」。

(三)「部分—全體運思期」(part-whole operations)：是累進性運思的重組。它 把內嵌於全體的部分加以複寫後，予以脫嵌外提後，再行置回原處，並且同 時保留原有的全體不變。此時的「 」是指可以重複的「五」結構，亦即 當「五」被重複製作時，其群體數值不會在過程中失去。例如：當45根手指 頭移去其中三隻手時，也意味著移去了15 根手指頭。兒童不會在高低階單 位混用的情境中，失去高階單位的數值，此種意義蘊含著使用者能「明顯的」

區分出兩階單位間的「部分—全體關係」，但此時所建立的「部分—全體關 係」是單方向的。例如：當要求兒童把102 塊積木分成三份時，兒童傾向於 先行估計每一份的數量，再重複製作三份並求其和。因而此時的全體是由部 分合成而成，而部分僅能由取消合成活動，即將合成活動予以逆溯，方能重 新獲得。

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(四)測量運思期(measurement operations)：是部分—全體運思的遞迴運用，在 重複的運用部分—全體運思以重組同基數的次階集聚單位後，「一」的集聚 單位它把內嵌於最高階集聚單位中的次階集聚單位當成部分，加以複寫後予 以脫嵌外提後，再行置回原處，並且同時保留原有的最高階集聚單位與「一」

的部分—全體關係。此時的「 」是指測量單位「五」，其所蘊含的「部 分—全體關係」是雙向的，亦即「 」不但是以「一」為部分的全體，同 時也是另一全體中所集聚的重複部分。例如：讓兒童數出30 個積木並讓他 確定其中含有6 個「五」後，在另一不透明的軟布下亦置放另一堆積木，告

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以「五」為單位而求出共有7 個「五」藏在軟布下，則他可以同時處理三個 階層的高低階單位且不會失去它們的數值：1，5 及65。由於能同時控制兩 個層級的「部分—全體關係」，因而此時的「部分—全體關係」是雙向的。

以上四個運思階段中，依據甯自強的說法：兒童在一年級下學期開始發 展累進性合成運思，而在三年級下學期開始發展部份全體(甯自強，1994)。

綜合前面三位研究者所述可知，兒童數概念的發展具有其順序性。兒童 數概念的發展是由數數→點數知覺對象→往上數策略→藉由具體物以外的 方式進行計數→直接由數字便能心算出答案，如此的循序漸進發展。

(1)數數：此階段的兒童透過數數的過程，將各數由1 開始唸出數序，但卻不 知其意義，亦即停留在唱數的部份，兒童無法將唸出來的數字與集合對照起 來，是一種較機械式的記憶方式。

(2)點數知覺對象：兒童藉由具體物 (知覺對象)的點數，做具體物與數的一 對一對應，兒童能得知點數最後的數即代表該具體物的量。亦即此階段的兒 童僅能做一次數1，逐一的往上數。

(3)往上數策略：此階段即Fuson 能分開的連鎖(breakable chain)與甯自強所指 的累進性合成運思階段。例如：4＋3＝？兒童能將4當成一個心像單位，而 直接往上點數後面三個物體5、6、7，所以4＋3＝7。

(4)藉由具體物以外的方式進行計數：例如：一邊唱數，一邊點頭或彎手指計 數，亦即兒童可藉由半具體的操作進行計數。

(5)直接由數字便能心算出答案：例如：兒童看見4＋8＝？就直接反應答案為 12。

第六節 加減法的解題策略及相關研究

(change)、合併(combine)、比較(compare)三大類的問題為研究的焦點(呂玉 琴，1988 ; 翁嘉英和鄭昭明，1988; Carpenter，1985；Carpenter & Moser，

1982)。

蘋果，問小翔有幾顆蘋果？

基準量未知 (5) 小茹有 7 顆蘋果，小茹比小偉多 4 顆 蘋果， 問小偉有幾顆蘋果？

(6) 小茹有 3 顆蘋果，小茹比小偉少 4 顆 蘋果，問小偉有幾顆蘋果？

參自：翁嘉英、鄭昭明(1989)。國小兒童解數學應用題的認知歷程。

參自：翁嘉英、鄭昭明(1989)。國小兒童解數學應用題的認知歷程。