透過數學遊戲融入國小一年級加減單元教學活動之研究

國 立 臺 中 教 育 大 學 數 學 教 育 學 系

國 小 教 師 在 職 進 修 教 學 碩 士 班 碩 士 論 文

指 導 教 授 ： 胡 豐 榮 教 授

指 導 教 授 ： 鄭 博 文 教 授

透過數學遊戲融入國小一年級

加減單元教學活動之研究

研 究 生 ： 林 淑 惠 撰

中 華 民 國 一○○年 六 月

誌 謝

本論文之所以能夠完成，心中要感謝的人實在太多，內心感激之情亦難以筆 墨可以盡述，回憶這兩年來的研究生涯，承蒙恩 師胡豐榮 老師以及鄭博文 老師 的悉心指導，並於論文寫作期間不厭其煩地逐字斧正，使本論文得以順利完成， 由衷感謝。在求學及研究期間，承蒙恩師們諄諄教誨與關懷，無論是在研究上的 指導或是待人接物的道理，老師總能適時的給予我意見，不厭其煩地鼓勵我、引 導我，令學生不管在課業的學習及做人處事的態度上受益良多。相信這段日子在 日後將是溫馨與充實的美麗回憶。謹在此致上我最誠摯的感謝與敬意。 此外，由衷感謝這兩年在求學與研究期間，深受任職學校同仁的包容、論文 研究過程中的建議與鼓勵及生活上的照顧與教誨，讓我在遭遇瓶頸時能夠突破困 境。並且感謝同窗好友兩年來在課業研究及生活上的相互砥礪與扶持成長。因為 各位的幫忙，敝人之研究始得以順利完成，在此致上我由衷的感謝。 同時亦將本文獻給我的好友和所有關心和幫助我的同學及朋友們，來臺中教 育大學受到你們的照顧，感謝之意筆墨難盡，唯有在此深深地祝福您們。 最後謹以本文獻給我最敬愛的父母親，感謝您們多年來含辛茹苦、無怨無悔 付出的養育之恩，由於你們的栽培與無時無刻的全力支持，使我得以無後顧之憂 的情況下，全心全力衝刺完成學業，順利完成人生另一個學業階段。最後感謝隱 形翅膀對我的支持與鼓勵及所有關懷及協助我的人。 林淑惠謹誌 中華民國一百年六月二日

摘要 本研究旨在於編製一份一年級整數加減文字題，並透過數學遊戲融入 教學活動的方式，來探討國小一年級學童在加減運算能力以及文字題解題 能力的轉變為何。研究結果如下： 1.量化分析結果: 經過 t 檢定，接受數學遊戲融入教學活動的實驗組學 童與無接受數學遊戲融入教學活動的控制組學童，兩組之間平均數達 顯著差異，可說明數學遊戲融入教學活動的成效。 2.在改變型的題型中，實驗組的前測與後測比較起來是有進步的，表示 實驗組在經過數學遊戲融入教學之後，確實可以提升其表現，且在三 種類型中進步幅度最大的。 3.在合併型的題型中，答對通過率是有進步的，表示實驗組在經過數學 遊戲融入教學之後，確實可以提升其表現。 4.在比較型的題型中，答對通過率是有進步的，不過是三大類型中進步最 少的， 亦可說明數學遊戲融入教學的成效。 關鍵字：數學遊戲、改變型、合併型、比較型

Abstract

The main purpose of this research is to make an effective assessment test that would confer the 1st graders’ change on ability of calculating addition/subtraction and answering literal questions by using mathematical games as the integration teaching. Four research results are concluded as below.

1. Quantitative analysis result: Through t test, the apparent differences between control group without teaching of mathematical games and experimental group with teaching of mathematical games are gradually decreasing and even unobvious. Thus, the effects of remediation teaching of mathematical games can be approved.

2. For Alternation Type, compared the pretest with the post test of experimental group, the rate of correct answer for alternation type makes great progress, and is quite near to

the control group with the largest range.

3. For Combination Type, the rate of correct answer is ascensive. This means the experimental group can surly have certain advancement after the remediation teaching of mathematical games.

4. For Comparison Type, the rate of correct answer makes the smallest strides among the three types. However, this still can revel the effects after integration teaching of mathematical games.

Keywords: Mathematical Games, Alternation Type, Combination Type, Comparison Type.

目 次

第一章 緒論……….………1

第一節 研究動機………..1 第二節 研究目的與研究問題……….5 第三節 名詞釋義………..5 第四節 研究範圍與限制………..5 第二章 文獻探討………...7 第一節 數學遊戲之定義與特性………..…………7 第二節 遊戲的種類及要素………....10 第三節 數學遊戲教學的實施與原則………..………..13 第四節 數學遊戲的動機……….….…..18 第五節 數概念的發展………..……..20 第六節 加減法的解題策略及相關研究……….………...26 第三章 研究方法………....……….33 第一節 研究設計………..……..33 第二節 研究對象………....34 第三節 研究流程………..…..34 第四節 研究工具………..…..……...….38 第五節 資料蒐集與處理 ………..……….…..40 第四章 研究結果………..43 第一節 數學遊戲融入教學之成效.……….….……….43 第二節 各種類數學遊戲融入教學前、後之比較.………...46 第五章 結論與建議..………47 第一節 結論..………..…………47 第二節 建議………....48 參考文獻 .………..…… 50 壹、中文部分..………..……50 貳、英文部分..………..……53

附錄..………... 56

附錄一 預試題目.………..….56

附錄二 前測題目.………..………...………..…60

附錄三 後測題目…...……….…63

表 次

表2-6-1 簡單加減法應用問題之類型….……….…..…..27 表4-1-1 控制組前、後測平均數與標準差摘要表………..43 表4-1-2 實驗組前、後測平均數與標準差摘要表………..44 表4-1-3 控制組前、後測成對樣本 t 檢定結果………...44 表4-1-4 實驗組前、後測成對樣本 t 檢定結果………...44 表4-1-5 對照組與實驗組前測獨立樣本 t 檢定結果……….45 表4-1-6 對照組與實驗組後測獨立樣本 t 檢定結果……….45 表4-2-1 實驗組與控制組前測三大類型通過率摘要表…………..…46 表4-2-2 實驗組與控制組後測三大類型通過率摘要表………46

圖 次

第一章 緒論

第一節

研究動機

對於數學能力不好的學生，數學一直是他們心中的夢魘，雖然教育部積 極推行數學教育改革，可是到目前為止不少的小學數學教學法，都是停留在 要求學生記住許多會考的數學知識，不要求他們理解這些知識，學生拼命的 背公式，只求能有快速且正確的基本計算能力及家長看了會開心的分數。時 間一久，學生只知道公式如何運用，但不知道為何如此？就像學生只知道按 照公式計算，一旦忘記公式時，由於不了解公式的由來，所以不管再怎麼想， 就是想不起來。這樣的因果循環下，學生面對越來越多來自數學的壓力，漸 漸厭惡起數學領域的學科知識，也許有一半因素是在於教學法。 研究者在小學任教的六年低年級教學中，發現很多學生都認為文字題的 解題部分比其他類型的解題困難。數學文字題是以日常生活的事件為材料， 且用語文型態來敘述數學問題，因此比一般的演算涉及更多的認知歷程，學 生面對文字題解題時不只是運算過程而已，而是需先經由「語文的理解」轉 換成「形式數學」，而在轉換的過程中常常牽涉到解題者的語文能力及文字 敘述的複雜程度，因而影響到解題的難度(古明峰，1996)。當學生在學習數 學概念時，一開始學生會運用具體物的表徵來幫助自己瞭解知識的意義，等 他們能夠掌握這些知識的意義之後，表徵不管是以其他符號或抽象的形式出 現，學生依然可以在這些表徵之間自由選擇、運用和轉譯，以達成解題的目 的(洪郁雯、楊德清，2006)。 進而隨著科技化、民主化、多元化、國際化的時代來臨，「國民中小學

標，其中即提到培養學生獨立思考與解決問題的能力(教育部，2003)。在數 學學習領域中更強調學習者能力的開拓，奠定終身學習的基礎。解題是數學 學習的核心之一，文字題可以讓學生透過情境學習解題，在傳統上，文字題 的解題教學，是小學生培養抽象能力的好方法。雖然，這些文字題在進入國 中後，都可以運用代數方法來解答，但在小學文字題的教學，是利用兒童的 生活經驗、直觀和抽象思考方法揉合在一起的活動，這是兒童在國中學習抽 象的代數以及其它學科時，很好的前置經驗，如同在能力主軸裡所強調的， 這種直觀的培養，將是兒童在國中學習好壞的基礎，而在小學教育中，適當 的文字解題的題材教學是奠定好國中數學學習的基礎(教育部，2003 b)。此 外，在有關數學學習的研究方面雖然包含了(一)計算能力，(二)學前「數」 能力，(三)「數」的內在表徵，(四)解題策略，(五)文字算術問題等五類的研 究，但其中以「文字算術問題」受到最多的注意，而成為數學學習研究的一 個相當重要的主題(翁嘉英，1988)。因為九年一貫課程的實施，台灣的教育 也邁向一個新的里程碑。九年一貫課程目標與以往課程目標最大的差異就在 於強調學生基本能力的開拓(教育部，2003)，而不是著重學科知識的灌輸。 因此，所有課程設計都必需將「如何協助學生發展基本能力」視為第一要素。 但是，要如何在課程設計中讓學生能學得能力還愛上學習，卻是更為重要。 而數學思考的歷程和創意思考的歷程相似，如何在學童學習數學的同時加強 他們創意思考能力，是一個有趣又具有挑戰性的課題。數學可能是許多學童 害怕的一個領域，而遊戲卻是學童所喜愛的。對學童而言，遊戲代表了「歡 樂與愉悅」。因此若能將數學與遊戲結合起來，將遊戲融入數學教學之中， 應該可以改變學童對於數學的觀感。若學生從愉悅的活動中學習數學，可以 加強學生的學習動機，而不再害怕它。因此進而喜歡數學，這樣就達到數學 遊戲的主要目標了。除此之外，還期待能在不一樣的學習環境下，看見學生

要學的好，首要的因素在於對它有沒有興趣，自八十五學年度開始，台灣的 教育開始倡導要以學生為中心，以建構主義為教學的精神目標，在數學方面 要與生活作連結，達到數學生活化、生活數學化，但這卻不表示學生學習數 學的興趣也日益提高。新的課程實施至今，如今教數學「不一定是只教會學 生算出正確的答案，更重要的是幫助學生理解如何思考及解決數學問題」(黃 敏晃，1996)，而在小學的數學來講，已經算是生動活潑了，教科書上面有 很多五花八門的卡通圖案，在教學時也多半讓學生實際操作，讓學生親自體 驗，與過去只有老師主宰的課程完全不同。甚至有些老師的教學理念是讓學 生「動手玩遊戲」(曾志華，1996) 。雖然現在的數學教育是培養學生帶著走 的能力，有效的應用數學方法來解決日常生活中碰到的數學問題，但還是有 很多家長甚至於老師，因為想讓學童的數學成績漂亮呈現，而逼學童數學的 題目一而再、再而三的練習，使原本有趣的數學變得枯燥乏味，因此學生的 學習興趣自然就降低。在九年義務教育階段的孩子，生活中最快樂的事就是” 玩”，在遊戲的過程中，學童會使用自己獨特的方式去學習及探索，若是在 教材及教法上，採用遊戲的方式去「玩」數學，就可使學生在愉悅的環境中 學習，並且提高學生學習數學的興趣。 學習動機是指引起學生學習活動，並導使該學習活動趨向教師所設定目 標的 內在心理歷程(張春興，1996) 。由此可知，若要達到所設定的教學目 標，必須在教學時引起學生主動參與學習活動的興趣。近年來已有許多學者 認為遊戲比傳統教學更具吸引力，更能讓學習者全心全意的投入學習當中。 具勝負的遊戲如對奕性遊戲，更能提高參與者解決難題之能力，以及從種種 觀察與分析中運用不同策略之能力(饒見維，1996) 。Froebel(1887) 「在人 的教育」一書中有提到，遊戲是一種自我表徵的活動，可以將內心世界的衝 動和需要表現出來。Maslow(1970)的需求層次論中提到，學童在遊戲的同時

動機，並且讓學生覺得在生活中處處皆有數學(林嘉玲，2000)。 在九年一貫數學課程領域中分為五大主題：數與量、幾何、統計與機率、 代數、連結，由此可知「計算」是數學學習的基礎能力，也是其他領域的基 本入門與最實用的一種數學工具，在過去的傳統數學教育中，為了加強計算 能力與速度，培養算的快且算的正確的學生，而過於著重在背誦公式及計算 快速，經常要求學生做機械式的練習，無形中忽略了學生是否真正了解數字 所代表的意義，算的快又正確並不保證對數的概念也是正確的，因此除了核 對學生最後的答案之外，其在解題的過程與想法也是需要深入探討的。在數 與計算的方面，其運算過程中仍然存有許多的迷思概念，但是這些迷思概念 往往都被忽略，認為一定是不夠熟練所導致，許多的系統性的錯誤就會一直 發生在運算的過程中，因而影響到後續學習的成效。 數學表現低落的學童，是因為討厭數學本身，還是因為教學的方式呢？ 本研究基於這些理由，以數學遊戲做為背景來進行加減法單元的教學，希望 能夠藉由數學遊戲教學的方式，以提升學童對數學的學習動機與 興趣，進而達到數學遊戲融入教學的目的，從中也一併加強學童的加減概 念。許多高深的知識都要經過累積而成，而加減概念是數學學習的重要基礎 之一，孩子的加減能力若穩固了，往後中、高年級在學數學的時候，自然而 然會學的比較得心應手。所以，本研究針對國小整數的加減單元，以數學遊 戲融入教學方式來進行探討學童在加減問題運算上的能力，以期待增加成 效。

第二節

研究目的與研究問題

一、研究目的 (一)經過數學遊戲融入教學來提升國小一年級學童的加減運算能力。 (二)經過數學遊戲融入教學來提升國小一年級學童的加減文字題的解題能 力。 貳、研究問題 (一)透過數學遊戲融入教學是否能提升國小一年級學童的加減運算能力？ (二)透過數學遊戲融入教學是否能提升國小一年級學童的加減文字題的解題 能力？

第三節

名詞釋義

一、數學遊戲 教師建立適當的遊戲情境以及遊戲規則，讓學童在遊戲中思考數學概 念，學習數學知識，而不是讓學生反覆進行枯燥乏味的數字運算練習或 數學解題技巧。 二、整數加減文字題 本研究之整數加減文字題，主要是根據Greeno(1980)將整數加減文字題 分為分為改變(change)、合併(combine)、比較(compare)三大類型。

第四節

研究範圍與限制

一、研究範圍 本研究之樣本是選取雲林縣某國小一年級其中兩班進行加減運算題目

生加減法單元的學習成就改變的情形。 二、研究限制

本研究考慮研究者的時間、精力、人力及行政支援，研究對象僅限於雲 林縣某間國小的六十位學童，因此針對研究結果只適合類似情境及學校，其 他不宜過度推廣。

第二章 文獻探討

本研究旨在探討藉由數學遊戲對加減問題的研究，過程中利用研究者設 計含有加減概念的數學遊戲實施在國小一年級的30位學童當中，以瞭解數學 遊戲是否可提升學童加減運算及解加減文字題的能力。根據本研究目的，本 章將相關的理論共分為六個部分：(一)遊戲的定義與特徵；(二)遊戲的種類 及要素；(三)數學遊戲教學的實施與原則；(四)數學遊戲的動機；(五)數概念 的發展；(六)加減法的解題策略及相關研究。 第一節

遊戲的定義與特徵

數學遊戲對個人認知與社會適應扮演著相當重要的角色，隨著認知能力 的提升，所接觸與從事的遊戲型態也會有所不同。透過遊戲中的活動可以訓 練並對新知有更進一步的認識，進而達到熟練概念的目的，同時也可以藉由 想像來實現現實生活中的夢想，讓個人的願望可以獲得滿足(郭靜晃，1992)。 壹、遊戲的定義 張偉浚 (2003)：遊戲被視為一種不同於現實生活的活動。當我們在遊戲 時，我們是在日常生活中抽出一特定的片刻給予遊戲的進行。在遊戲進行 時，現實生活的一切變得無關緊要。在這片刻中，遊戲開始、結束。在這片 刻中，遊戲有著與現實生活不同的行事規則，一切都在遊戲當中完成。在遊 戲時，我們關心的是遊戲本身，是否因遊戲而使我們完全投入其中，有否在 遊戲中得到樂趣。

孩子的遊戲中，運用想像力使遊戲的內容變得更充實。想像自己是成人、動 物、偉人。人在遊戲的想像中體會到心靈的創造力，而心靈的創造力不一定 與現實生活有直接關係，在遊戲中形成的一切都只是遊戲而已。

不同時代背景對於遊戲的意義與理論的看法不盡相同，以下依時代的演 進，分別由人類學的看法、精力過剩論(The Surplus Energy Theory of Play)、 放鬆和休閒理論(The Relaxation and Recreation Theories of Play)、練習理論 (The practice Theory of Play)、心理分析學派和認知學派來談遊戲。

一、人類學的角度： 有關遊戲的理論或研究，大多來自人類學和心理學觀點(郭靜晃，1997)， 前者著重於人類的本質，由人類學的文獻顯示：遊戲是人類從兒童成長為大 人的過程中，被視為極自然的事。從文獻中所討論的各國文化來看，其間的 遊戲方式、遊戲器具等，均具備了「自然」的條件，都是合乎他們的民族文 化而來的，這也反應了遊戲是兒童成長的自然傾向和需要。所以若從文化人 類學的角度來看兒童的遊戲，其實就是人類文化傳遞的一種學習活動。 二、精力過剩論(The Surplus Energy Theory of Play)：

哲學家Herbert Spencer在1954年將遊戲界定為「無目的的精耗，充沛精 力的過程」。他的基本假設為：人和動物都是受到基本慾的需求，而認真地 從事工作；而遊戲則是基本需要滿足之後，發洩剩餘精力的工具引自（簡楚 瑛，1993）。

三、放鬆和休閒理論(The Relaxation and Recreation Theories of Play)： Lazarus在1883提出人在生活及工作中會消耗腦力及身體的能量，這將造 成疲勞，因此需要充分的休息和睡眠。他建議，只有遊戲或休閒活動，才能 提供恢復健康的功能(引自Rubin,Fein&Vandenberg,1983)。

四、練習理論(The practice Theory of Play)：

的準備，具有適應的目的。而在遊戲中，兒童對遊戲的過程感興趣，而非對 行 為 的 成 果 感 興 趣 ， 兒 童 的 遊 戲 行 為 會 隨 著 發 展 而 有 所 改 變( 引 自 Ellis,1973)。 五、心理分析學派： 1920 年代之後的心理分析學派、認知學派，不僅試著描述遊戲存在之 因，更意圖指出在兒童發展上，遊戲所扮演的角色。心理分析學派的創始者 佛洛依德(Freud)認為遊戲在幼兒情緒發展過程中，扮演著重要的角色。遊戲 具有宣洩的效果；兒童在遊戲中可以暫時拋開現實，扮演與現實中不同的角 色，以使自己受創的情緒得到舒解(潘慧玲，1992)。 六、認知學派： 認知學派強調遊戲與認知乃平行發展；隨著認知能力的增進，兒童所從 事的遊戲型態亦將有所不同。皮亞傑認為遊戲是個體對環境刺激的同化，使 現實符合自己原有認知基模之方式(郭靜晃，1997)。兒童可以透過遊戲去練 習並鞏固最新的技巧，進而達到熟練的程度。因此，對於認知學派而言，遊 戲是幼兒發展未來抽象思考能力的必經過程，遊戲也被視為一種創造思想的 行為，是兒童未來創造力及變通能力的基石。 綜觀以上所言，雖然遊戲的理論基礎論調不盡相同，但我們可從中窺見 幾個要點：不管遊戲的意義為何，它與人類的生活都是息息相關的；遊戲是 兒童學習成長中極重要的一環；兒童可藉由遊戲的過程來學習成長。 貳、遊戲的特徵 遊戲應具備下列五項基本特徵(潘慧玲，1991) ： 1.非實際性(nonliterality)：遊戲的時空和真實的時空其實沒有兩樣，但是遊 戲的時空是透過想像的，自成一個系統，特定的人、事及物在特殊的 定義或關係之下，形成一種暫時性的組合。

來焦慮、不安、挫折、無奈的負面情緒，遊戲者為了完成目標，過程 是艱辛的，但是心情卻是愉悅的。

3.過程勝於結果(process over product)：因為遊戲的本質往往是十分簡單。 例如棋子的總數，如何佈局等等的知識。但是卻在下棋的過程中，參 與者斷地接受挑戰，要綜觀全局，衡量各種因素，不斷地做出智慧的 決策，一般而言在下棋的過程中獲得的經驗是遠於結果的勝負。 4.自由選擇(free choice)：遊戲是自願的、非強迫性的，個人擁有非常充分 的自主權，隨時可以加入或退出。 5.正面性的情意(positive affect)：遊戲的魅力，在於其能讓人沈浸於想像的 國度裡面，欲罷不能，有一玩再玩的衝動。 遊戲的世界裡是可以自由創造想像的，可以盡情的在遊戲的世界裡全力 以赴，所有的事情都是你自己決定，所以遊戲的魅力也在此顯現出來。

第二節 遊戲的種類及要素

目前採用遊戲來輔助學習的觀念，已經被廣泛的接受並應用在學習活動 中，在學習使用遊戲的技巧，並與教學作適當的結合，學生可以透過遊戲的 過程來增強學習動機，遊戲中的趣味性可使學生不易厭煩；同時也可以透過 在遊戲中運用已知的知識或經驗，來增強記憶力與學習效果以及訓練學生的 思考能力(郭靜晃，1992)。 遊戲能引發高度的學習動機以及提供不同層次的認知挑戰，而要引發學 習者的遊戲動機，必須具備以下幾種因素(饒見維，1996；林嘉玲，2000) ： 1、挑戰性(Challenge)：在考慮年齡、性別、學習能力為前提下，遊戲本 身必須具備有相當的挑戰性或難度以引發使用者的興趣，但難度需適

中，避免因過於困難而讓使用者有許多挫折感或因太過容易而失去興 趣。 2、好奇心(Curiosity)：遊戲的場景必須加以設計，提供適度的複雜性， 同時在佈局上作適時的隱藏，給使用者意外的驚奇，才能引發好奇心。 3、掌控性(Control)：在遊戲中必須給予使用者適當的掌控權，滿足使用 者的操控感，更可藉此增進對控制的判斷力。 4、想像空間(Fantasy)：遊戲本身可以藉由不同的遊戲情境設計，滿足學 習者確認其認知，讓使用者實現天馬行空的夢想並且對其學習成效有 幫助。 5、競爭(Competition)：為了達到目標通常需要競爭，而遊戲本身具有競 爭性質，更能引發其學習動機與興趣。競爭的方式可以是一對一、團 體對團體或是自我競爭等等，藉由目標不斷提昇，亦可增進學習者的 抱負水準。 6、知識(Recognition)：有效的教學是遊戲可以滿足使用者希望成名並 且被其他人羨慕、被認識或認同的感受及優越感。 壹、遊戲的種類 遊戲若依人數的多寡可分為個別性遊戲、小團體遊戲或大團體遊戲；若 是以領域來區分，又可分為數學性遊戲、語文性遊戲、益智性遊戲或是體能 性遊戲；依場所區分可分室內或戶外遊戲；以活動量可分為靜態或動態的遊 戲；依競爭的程度而言，又可分為創造性遊戲和模仿性遊戲。學者 劉一民(1999)提及Roger Caillois 將遊戲的種類分成以下四個種類： 1.競爭性遊戲 遊戲者在公平的條件下，依據競賽的規則戰勝對手。例如：各種運動 競賽或兒童的追逐遊戲。 2.機運性遊戲 機運遊戲的結果，完全掌握在運氣。例如：猜拳、輪盤、擲骰子。

3.模仿性遊戲 遊戲者沈浸在想像的空間裡，暫時忘記自己裝扮模仿別人的角色。例 如：辦家家酒及戲劇。 4.暈眩性遊戲 遊戲者在遊戲中製造知覺上的失衡，產生失魂、緊張、狂喜的狀態。 例如：轉圈圈、盪鞦韆。 貳、遊戲的要素 鄭肇楨(1991)在”智慧遊戲”中有提到，遊戲具有下列五個要素： 1.身體接觸 身體接觸又分為直接和間接兩種。直接接觸包括拉手、擁抱、摔角等。 間接接觸則是像球類遊戲，藉由球的傳送，使身體互相接觸。 2.官能活動 遊戲可以使個體多從事肌肉官能活動，即訓練不同的肌肉在活動時相 互配合，如手眼協調。 3.認知技巧 在遊戲過程中，參與者往往必須運用高階的分析，綜合及評鑑的思想 活動以解決遊戲中所出現的困難，而不僅只是運用到低階的記憶、理解等 認知技巧而已。 4.把握時機 大多數的遊戲多少都帶有某種成分的機運性，由於個體無法完全掌握 所有的環境變因，因此無法預見到遊戲的結果，這一點很能符合現實環境 的多變性，參與遊戲的個體必須隨時把握時機以應付變化，這樣可以訓練 遊戲者培養其未來適應環境的能力。 5.適者生存 遊戲中所具有的競爭性，可以使遊戲者提高參與的興趣，並學習在身心 亢奮、情緒激動的情形下，還能冷靜思考以克服困難，面對挑戰以及爭取最

後勝利。 遊戲不只是玩，它無形中可以訓練遊戲者不論在肢體動作或是在認知層 次上，都有正面提昇的效用。另外，遊戲有分勝負，學童可以努力思考改進 自己的遊戲策略，以求下一次的勝利。

第三節 數學遊戲教學的實施與原則

一、數學遊戲教學的實施方式： 根據以往相關的教學研究分析，數學遊戲教學的實施方式有的是融入於 正式課程之內，有的是在正式課程之外利用數學營隊的方式額外加以數學遊 戲的教學。而前者的教學又分為整節課都利用遊戲教學法來上課，或利用一 節課中的十幾、二十分鐘來上遊戲教學法。茲舉出一些研究實例，以供參考： 王明慧(1996)以活潑化的教學模式，對 87 位國一學生進行數學學習研 究，活潑化的教學模式指的是寓數學於生活遊戲中、數學的實用性、增進學 生正向的數學學習興趣與態度、提供學生一個和諧的學習情境及注重數學思 考。其研究方法是以實驗法為主，並採觀察、訪談、問卷調查等方法蒐集資 料。他的研究發現：實驗組在數學學習動機與班級學習氣氛方面的表現顯著 優於控制組，而有71.1﹪的學生願意選擇活潑化教學模式，20﹪無意見，僅 有8.9﹪選擇傳統式教學模式。 王克蒂(1999)利用 15 個屬於三種不同類型的數學遊戲，以一個月的時 間，15 節課，31 小時的外加式遊戲教學課程對國小四年級的學生進行實驗 研究，研究結果發現：學生在有關策略和空間能力問題上有顯著的效果，但 是計算能力方面可能因為教學時間不足而沒有明顯的改變，但由分析學生日 記資料可以看出有87.5﹪的學生喜歡數學遊戲，46﹪的學生認為數學遊戲教 學對其個人在學習上有某種程度的功效。

林嘉玲(2000)以協同行動研究的方式對國小四年級學生進行數學遊戲融 入建構教學的研究。實施教學時間約為二個半月。研究結果發現：把遊戲融 入教學活動中，不僅可以提升研究者的教學能力，在學生學習方面，將數學 遊戲融入於教學活動中不但能提高學生的學習興趣也能讓學生覺得生活中 處處有數學。 葉盛昌(2003)透過教學設計的數學遊戲，利用行動研究模式，針對五年 級的學生進行為期三個多月的數學教學研究，研究的結果發現：大多數的學 生喜歡遊戲式的數學教學模式，學生在實驗教學後表現出自信，尤其多數學 生產生有信心、有決心去完成其他非例行性數學題目，學習態度上也顯出有 正面的效果。而且實驗組在成就測驗表現上有顯著進步的效果。 從以上的研究可發現，無論是融入於正式課程中的方式或額外增加的數 學營方式，都可以增加學生的學習動機，提升學生的正面學習態度。因此教 師可以視實際的教學情況來選擇使用合適的遊戲教學方式。 然而教學的方法有很多種，面對不同的學生教學方法運用得宜才是重要 的。簡茂發(1987)認為，改變教學的方法，首先要矯正傳統注入式教學的缺 失，不要忽略了學生的「學」，所謂「教學」，乃是指施教的人以適當的方 法，來增進受教者的學習到有認知意義或有價值的目的之行動。劉素幸(1994) 有提到杜威曾說「遊戲在學校課程中佔有明確地位，目的在增進知識及充實 社會行為，遊戲的目的，不是體力的短暫消耗或片刻歡悅，缺乏遊戲活動之 教育，不可能得到有效的學習。」數學遊戲的教學，就是使原本平淡無味傳 統的數學教學，利用遊戲式的方式，使學生在其中吸收到數學知識，更在其 中獲得樂趣。因此，數學遊戲教學法必須有下列幾個主要特性(饒見維，1996)： 1.適度的挑戰性：在一個遊戲活動中，教師通常會設定某種思考任務或目 標，學生設法運用自己既有的數學知能來達到該任務或目標。具有挑戰性的 目標通常具有某些限制條件，學生必須克服教師所訂的限制條件來完成目

標，限制條件愈多挑戰性就愈大。反之，如果完全沒有限制條件，只是叫學 生作枯燥的計算或反應就不能稱作遊戲。 2.競賽性與合作性：多數的遊戲都具有某種競賽的成分，競賽往往能激起人 類的好勝的天性，並造成活動的挑戰性與趣味，增加學生參與活動的動機與 興趣。數學遊戲的競賽往往以達成任務的快慢，或完成某種數學成品的數 量，或完成答案的正確與否來決定勝負。值得注意的是，在涉及到團體的競 賽裡，不僅具有競爭的成分，也具有合作的成分。學生在團體裡必須和其他 同學合作，共同對抗別的團體，不是完全憑個人的力量。良好的遊戲要有適 當的合作成分，不要造成個人與個人之間太過激烈的競爭。 3.機遇性與趣味性：遊戲之所以稱為遊戲往往是因為遊戲的過程具有某種機 遇的因素，造成遊戲的趣味性。造成遊戲的機遇性與趣味性的方式很多，但 是很難精確界定或描述。 陳杭生(1993)指出，遊戲導向教學必須從課程內容、教學方法和教具的 運用三方面著手： (1)將教材遊戲化：即教師應把教材善加靈活重組並趣味化，讓學生願意直接 參與活動，教材隱含於遊戲活動使每一位學生感覺到活動與本身有直接關 聯。 (2)將遊戲教材化：透過遊戲，學生可獲得實際參與彼此合作的學習經驗，藉 由角色扮演、小組討論，以及分組比賽等使教學在遊戲中進行學習。 (3)將教具玩具化：能抱持「教師手中的教具，是學生心中的玩具；學生手中 的玩具，是教師手中的教具」觀念，儘可能讓學生自製簡易教具，於上課 時除演講外，亦有機會直接操作教具，而能從中獲得「有目的之直接經 驗」。 Dienes(1997)在「數學的營造」一書中，依據Piaget 學習心理學，提出

1.自由玩耍(free play):學習者被安排到一個經過預先設計的環境中，設計者 先讓學習者自由玩耍一段時間。 2.規律遊戲(games):學習者在受到環境刺激後，開始對具有數學結構的事物 做出反應，這時設計者可以嘗試以遊戲方式讓學習者進行分類活動，讓學 習者漸漸發覺這些事物的規律性。 3.找尋共同結構(searching of communality):反覆運用各種分類活動，讓學習者 能夠綜合推廣，知道所有的可能性。 4.描述和圖示(rpresentation):學習者可以用一些圖書或文字表述上面分類的 策略。 5.符號化(symbolization):再進一步，開始以符號整理上述描述。 6.形式化(formalization):在第四與第五階段中，學習者所引入的符號可能不是 很好表示法。此時可向學習者引入正式的符號，於是，數學的概念已經構 成。 遊戲是兒童的天性，從遊戲中兒童可以得到許多效果是無庸置疑的，如 果老師能夠充分運用兒童喜愛遊戲的天性，將學校數學課程以遊戲式方式教 學，增加學童學習的能力，利用遊戲的競爭力來加強記憶；利用合作性增進 學生人際溝通的技巧；利用其挑戰性來磨練面對困難的勇氣；利用其趣味性 以增進其學習效果，相信許多人會因此而更喜歡學習數學(饒見維，1996)。 二、數學遊戲教學的實施原則： 饒見維(1996)曾以他一年的實際研究經驗提出實施數學遊戲教學時應注 意的原則： (一)遊戲的方法要多樣化 教師要儘量讓遊戲多樣化，不能一成不變。如果每次都採用同一個 遊戲，成為制式化的遊戲，就會失去遊戲的趣味性與吸引力，也不易達

(二)遊戲的難易要適中 多數人天生具有追求成就、追求超越、接受挑戰的動機，只要挑戰 的難度不是太高，通常會激發出求勝動機。遊戲如果太難會讓學生覺得 沒有成功的機會；太簡單又會讓學生沒有挑戰感，因此教師在設計遊戲 教學時需注意遊戲的難易度要適中 (三)遊戲的規則要公平與簡潔 學生對於遊戲的公平性要求非常的高，因此教師在執行遊戲規則時 需力求公平，免得招來學生的怨氣。而遊戲規則不能太複雜，要讓學生 容易理解，學生才能一致遵行，也不易造成誤解與爭執。 (四)兼顧遊戲的過程與結果 多數的遊戲看不出學生在解題與思考上的多樣性與思考過程，只看 到思考的結果與表現，因此教師可能會疏忽了學生在玩遊戲的思考過 程。因此教師最好在一個遊戲結束後，引導學生討論該遊戲「贏的策 略」，或是讓學生發表他們的策略與思考方法。 (五)兼顧實力與機運因素 雖然機運的因素是遊戲教學法的樂趣之一，但是如果每一個遊戲都 是靠機運在決定勝負，會嚴重降低學生努力的動機，也減少了遊戲教學 的教育功效。但如果每一個遊戲都是靠實力取勝，對部分學生而言，會 逐漸喪失參與遊戲的樂趣和動機，因為他們很快就會知道自己是「穩輸」 的。因此，教師在採用遊戲教學法時，要兼顧「實力」與「機運」兩個 因素，才能讓學生覺得學習多采多姿。

第四節 數學遊戲的動機

當一個人從事某種活動時，全心投入、全神灌注，不費吹灰之力就能表 現出最傑出的一面，我們即稱為「心流經驗」(flow experience) (莊元妤， 2002)。而遊戲正是引發此獨特經驗的常見管道，我們可以說，當兒童心無 旁騖的專注於電腦遊戲時，即有可能產生心流經驗。 以下將針對沈吉育(1997)提出的遊戲動機做說明，並據以形成研究者的 遊戲動機。 （一）沈吉育(1997)：引起參與遊戲的動機 他認為唯有了解人類行為的動機，並根據此構成特質來設計遊戲，才 能提高使用者參與遊戲的動機。 1、個人內在動機： (1)好奇心(curiosity)：在異於常類、奇怪的、新奇或是不一致的事物上產 生的心理感覺，而使個體想要繼續深入探索，例如在影片中動畫、音效、 場景佈置、劇情發展過程的鋪排… ，用以吸引遊戲者的好奇心，產生遊 戲動機。 (2)控制力(autonomy/control)：控制力是人的自由感或特權的滿足，例如以 外在的獎勵驅使人去做事，則會使其內在動機相對消減，玩家可以自主 決定想做的事、選擇想玩的遊戲類型，而非外在獎勵，就產生遊戲動機。 (3)挑戰性(competence)：尋求他人來比賽或挑戰困難的部份，太簡單的就 不具挑戰性，內容的困難，增加玩家的征服慾望，就產生了遊戲動機。 (4)幻想力(fantancy)：在日常生活中無法實現，或看得見、接觸得到的圖 像或情境，超現實的內容引發遊戲動機。 2、個人外在動機：

(1)競爭性(competition)：當個人於群體中時，就會相互比較，有比較就會 有競爭者出現，而競爭可分為人與人、或人與電腦的競爭。 (2)合作(cooperation)：在競爭的過程中當個人的能力不足時，可能會尋求 他人合作，以增加成功的機會。 (3)認知(cognition)：當自身的努力，為別人所肯定與認同，就容易形成成 就感。 綜合相關文獻，增加「從眾性」與「情緒宣洩」兩部分，嘗試融合不同 內涵，補足其不足之處，將遊戲的動機區分為兩類： 1、自發性動機 (1)好奇心：對遊戲有趣的影像、聲音及內容，具有高度嘗試的興趣， 產生遊戲動機。 (2)幻想力：遊戲內容跳脫真實世界，或符合真實但可讓個體體驗前所 未有的經驗，而發揮想像力，即產生了遊戲動機。 (3)挑戰性：遊戲內容適度的難度，或自我超越舊有成就的內在渴望， 產生了遊戲動機。 (4)自主性：個體可自由選擇遊戲內容、形式，展現高度自決權，並發 揮掌控能力，遊戲動機方形成。 (5)紓解性：個體想藉由遊戲，讓負面情緒得以發洩，或暫時脫離情緒 的困擾。 2、外來性動機 (1)競爭：人想求好表現的心態，包括與自己、與電腦、或與同儕的三 種不同競爭性質。 (2)社交：為想增加同儕互動或話題溝通，而引發的遊戲動機。 (3)從眾：對於他人都在從事的行為，個體會產生同樣一致性行為。

第五節 數概念的發展

所謂「數」的定義有許多，以下分別就各學者的詮釋分別說明之： 一、Piaget(1965)主張數概念是同時指類(class)及序列(series)，亦即有序的類 (a series class)，而這種依序點數正是一種不對稱的關係，就像排序一樣。 二、高斯(Gauss)對於何謂「數」，就給了如下的一個界定：數是一個指標， 此指標是用來指示，為了獲得一個與一被界定量相等的量起見，一個已知量 (單位量)，或是此單位的一個被等分割部份，所需被重複累積的次數；這個 次數則被用來指示被界定量(引自蔣治邦、陳竹村、謝堅、林淑君、陳俊瑜， 2002)。 三、甯自強(1992)將數概念分成四個層次： 1.前置概念：如「53」代表由1 開始，對應標準數詞序列到具體物的最後一 項。此概念層次的兒童，「53」指第53 個蘋果。 2.起始數概念：如「53」代表由53 個「1」所合成的新聚集單位，此概念層 次的兒童，「53」指全部的53 個蘋果。 3.內嵌數概念：如「53」代表一個聚集單位，比如48，再往上累積5個「1」 所合成的新聚集單位。此概念層次的兒童，「53」指48(或其他數字)個蘋果， 加上5(或其他數字)個蘋果而成的53個蘋果。意即兒童能瞭解數的分解合成意 義。 4.巢狀數概念：如「53」代表可由5 個「10」和3 個「1」所合成的新聚集 單位。此概念層次兒童，「53」指每一堆10 個的蘋果有堆，外加一個一數 的蘋果有3 個，共53 個蘋果。亦即兒童有了位值概念。 以上的四個數的概念層次，兒童必須經過前一個階段才會達到下一個階 段，亦即這四個概念的發展階段有其不可跳躍的順序性。

四、吳新華(1992)認為所謂數的概念，是指操作數詞、數字、以及計數對象 三者間相互關係的心智能力。 1.以數詞來數計數的對象。 2.依所指示的數詞拿取計數對象。 3.算出計數對象之個數，並寫成數字。 4.按數字所示個數拿取計數對象。 5.按所指示之數詞寫出數字。 6.讀出寫好了的數字。 這些能力就是主要的數概念。 綜合上述可知，數是類的類、數是計算事物的系統且含有一對一的對 應、數也是集合與不對稱關係的綜合。因此，兒童要了解數的概念，須先懂 得：集合、一對一的對應、計數、排序等關係。 兒童數概念的形成與其解題策略有其相關性，不同的兒童面對相同的加 法數學問題，他們會因為數概念發展的情況不同，而有不同的解題策略，以 下針對國內外相關研究分別探討之： (一)國外的相關研究 1.皮亞傑(Piaget,1952；1953)的研究(引自謝慧齡，2004) 有關數(分離量)概念之發展，皮亞傑的主要論點為：(1)數與其他數學概 念之真正理解是源於兒童的心智發展，這些概念的發展是獨立自發、無人教 導(Piaget,1953)。(2)保留數目不變性的能力是數學理解的先決條件，兒童到 了六歲半左右就會自然發展出這樣的能力(Piaget,1952)。皮亞傑認為，雖然 幼兒在六歲半以前就會唱數、計數，甚而會一些簡單的加減運算，但是他不 具保留(conservation)的心智能力，因此都不算是對數目有真正的了解。在實 驗中，他發現幼兒對數的了解有三個發展階段：

應關係去建構兩組具有同數之實物，通常幼兒的焦點集中於以排列出實物的 長度是否相同，來判定兩組數目是否相等，因此他所建構的兩組實物具有同 等長度(兩端同長)但數目卻不等。在這個時期即使幼兒能夠計數，其計數能 力卻無助於數目同等性的保留概念。 (2)第二階段(五～六歲)：是過渡時期，會運用一對一對應關係建構同等數 目，但對於一對一關係不是充分理解。當其所排出的一對一關係被破壞(拉 長或縮短其中一組實物)後，幼兒就無法保留他自己所建立的同等性，即認 為二組實物非同數。此時，他的焦點已經擴展了一些，有時注意到長度，有 時會注意密度，不像第一階段幼兒經常只注意長度。因此，有時他會堅稱比 較長的那排數目較多，因為它排得比較長，下一刻卻力言比較短的那排數目 較多，因為它比較密。當一對一的關係被破壞後，有一組實物拉長或縮短， 幼兒就會認為兩組的數目已經不相同了。由上述情形，可知在第一、二階段 的幼兒深受外觀知覺的影響，做數量判斷時，是根據其整體外型（general shape）來做決定，把分離量當作好像連續量的型態一樣(Piaget, 1952)。 (3)第三階段(六歲半以後)：是對數概念能真正理解的階段，幼兒已能用各種 方法建構同等性，例如：用數的，或用一對一對應方式，並且也能保留數目 之不變性，不管外觀安排如何變化(例如拉長或縮短)，都不會影響其同等性 之判斷。 根據皮亞傑的劃分，第一、二階段幼兒是處於認知發展的前運思期，而 第三階段幼兒則進入具體運思期。Ginsburg and Opper(1979) 指出，皮亞傑 認為，兒童發展保留概念(conservation)涉及三種邏輯運思之協調：

a.相互性(reciprocity)：

某部分增加了就會抵消(平衡)另一減少的部分，兩者間具有補償作用。 b.恆同性(identity)：

c.逆反性 (negation)： 某一改變狀態可以在心裡以同等但反向的轉換被逆返回到原來狀態。 2.Fuson(1992)從兒童使用數詞之能力的角度研究數數能力的發展，他認為兒 童數詞順序(number-word sequence)的發展有五個水準: （1）字串(string) 在這階段的兒童只是唱數，各數連在一起不能分開。 (2)不能分開的清單(unbreakable chain) a.在這個階段的兒童能區別每ㄧ個數字。兒童開始數東西時從１開始一直到 東西數光了，這一連串動作像是分不開的鏈條。 b.要用實物(知覺對象)來數數。 c.具有基數的概念，數一堆東西，知道最後一個數字代表全部的東西的數。 (3)能分開的連鎖(breakable chain) a.在這個階段的兒童可以從任何一個數字開始數數。 b.因為有了這種能力，在加法計數中能發展出更有效率的『接著數counting on』的能力 c.例如4＋3＝？ 不必從1開始數，可以從5數到7。 (4)數的連鎖(numerable chain) a.不再用實物(知覺對象)數數。可以直接數數字，以數字代表知覺對象。 b.例如:4＋3＝？ 不必使用具體物，只是念數字，或以伸手指頭或唸另一組 數字以追蹤所數的數字。

(5)雙向的連鎖/ 真正的數的連鎖(bidirectional chain/truly numerical chain) a.在這個階段的兒童，能將數字當作數序上的單位，同時當作一個基數。因 此每一個數字代表一個基數，包含前面數過的數以及該數。每一個數也是比 前一數大的數，每一個序數n 就有一個基數n＋1 在其前面。這符合Piaget 所

b.知道分解與合成。加法與和的關係可以是互逆。 (二)國內的相關研究

甯自強(1994)認為各類型數概念間的關係，同一運思活動由於其使用時 疏離感官活動材料(sensori motor materials)的遠近，可以區分為：感官活動 期、表徵活動期和抽象運思期三階段完成。至於以下所提及的不同運思活 動，是指它們在抽象運思期的概念層次特徵。運思階段依其發生順序敘述於 後： (一)整合性合成運思(uniting operations)：是指將構成事物的元素合成為一事 物的能力或運思。此時的「 」是指五個「一」，亦即指向一個以「一」 為元素的群體，或是集聚「一」所成的單位，而且此集聚單位的數值是「五」。 例如：給兒童一堆花片並要求他找出「 」個花片來，他不但能正確的取 出所需的量，也能說明所謂的「 」，是所取出花片的全體。 ∨ ㄨ ∨ ㄨ ∨ ㄨ

(二)累進性合成運思(progressive uniting operations)：是以合成運思的成品— 集聚單位—為起點，進一步的累加更多個「一」以形成另一個新的集聚單位。 舊的集聚單位「內嵌於」(embedded)新的集聚單位之中。此時的「 」是指 一個「五」或是可一再複製的「五」。當「 」是指一個「五」時，是以 整個群體為觀點，與側重群體中的元素之五個一是不同的。例如：當要求兒 童回答將5個花片和3 個花片合置一處的結果時，後者會序列性地分別將五 個一和三個一表徵出來後，再重新合成八個一；前者會累進性地以五為起 點，逐次的添加三個一，合成一個八。 ∨ ㄨ ∨ ㄨ 此時的「 」，不但是數詞序列「一、 、ㄙㄢ、 、 」中的一份 子，也同時代表整段的數詞序列「一、 、ㄙㄢ、 、 」。另外，當 「 」是指可一再複製的「五」時，可以一再複製的功能使得「 」所代 表的集聚單位成為一個異於一的新計數單位，兒童把重複運思應用於新的集 ∨ ㄨ ˋ ㄦ ˋ ㄙ ㄨ∨ ˋ ㄦ ˋ ㄙ ㄨ∨ ∨ ㄨ ㄨ∨

是隱約的「部分—全體運思期」，因而當混合使用兩階單位時，往往使得「五」 失去群體的特性。例如：問兒童9隻手有多少手指頭，兒童可以答出45，當 移去其中的3隻手時，兒童可能會混淆一隻手與一根手指頭而給出答案42， 混淆的主要因素是因為無法掌握一個「五」與一個「一」間的「部分—全體 關係」。 (三)「部分—全體運思期」(part-whole operations)：是累進性運思的重組。它 把內嵌於全體的部分加以複寫後，予以脫嵌外提後，再行置回原處，並且同 時保留原有的全體不變。此時的「 」是指可以重複的「五」結構，亦即 當「五」被重複製作時，其群體數值不會在過程中失去。例如：當45根手指 頭移去其中三隻手時，也意味著移去了15 根手指頭。兒童不會在高低階單 位混用的情境中，失去高階單位的數值，此種意義蘊含著使用者能「明顯的」 區分出兩階單位間的「部分—全體關係」，但此時所建立的「部分—全體關 係」是單方向的。例如：當要求兒童把102 塊積木分成三份時，兒童傾向於 先行估計每一份的數量，再重複製作三份並求其和。因而此時的全體是由部 分合成而成，而部分僅能由取消合成活動，即將合成活動予以逆溯，方能重 新獲得。 ∨ ㄨ (四)測量運思期(measurement operations)：是部分—全體運思的遞迴運用，在 重複的運用部分—全體運思以重組同基數的次階集聚單位後，「一」的集聚 單位它把內嵌於最高階集聚單位中的次階集聚單位當成部分，加以複寫後予 以脫嵌外提後，再行置回原處，並且同時保留原有的最高階集聚單位與「一」 的部分—全體關係。此時的「 」是指測量單位「五」，其所蘊含的「部 分—全體關係」是雙向的，亦即「 」不但是以「一」為部分的全體，同 時也是另一全體中所集聚的重複部分。例如：讓兒童數出30 個積木並讓他 確定其中含有6 個「五」後，在另一不透明的軟布下亦置放另一堆積木，告 ∨ ㄨ ∨ ㄨ

以「五」為單位而求出共有7 個「五」藏在軟布下，則他可以同時處理三個 階層的高低階單位且不會失去它們的數值：1，5 及65。由於能同時控制兩 個層級的「部分—全體關係」，因而此時的「部分—全體關係」是雙向的。 以上四個運思階段中，依據甯自強的說法：兒童在一年級下學期開始發 展累進性合成運思，而在三年級下學期開始發展部份全體(甯自強，1994)。 綜合前面三位研究者所述可知，兒童數概念的發展具有其順序性。兒童 數概念的發展是由數數→點數知覺對象→往上數策略→藉由具體物以外的 方式進行計數→直接由數字便能心算出答案，如此的循序漸進發展。 (1)數數：此階段的兒童透過數數的過程，將各數由1 開始唸出數序，但卻不 知其意義，亦即停留在唱數的部份，兒童無法將唸出來的數字與集合對照起 來，是一種較機械式的記憶方式。 (2)點數知覺對象：兒童藉由具體物 (知覺對象)的點數，做具體物與數的一 對一對應，兒童能得知點數最後的數即代表該具體物的量。亦即此階段的兒 童僅能做一次數1，逐一的往上數。

(3)往上數策略：此階段即Fuson 能分開的連鎖(breakable chain)與甯自強所指 的累進性合成運思階段。例如：4＋3＝？兒童能將4當成一個心像單位，而 直接往上點數後面三個物體5、6、7，所以4＋3＝7。 (4)藉由具體物以外的方式進行計數：例如：一邊唱數，一邊點頭或彎手指計 數，亦即兒童可藉由半具體的操作進行計數。 (5)直接由數字便能心算出答案：例如：兒童看見4＋8＝？就直接反應答案為 12。

第六節 加減法的解題策略及相關研究

(change)、合併(combine)、比較(compare)三大類的問題為研究的焦點(呂玉 琴，1988 ; 翁嘉英和鄭昭明，1988; Carpenter，1985；Carpenter & Moser， 1982)。 一、 加減文字題類型 表2-6-1簡單加減法應用問題之類型 類型 例子 改變 結果量未知 _{(1)小茹有 3 顆蘋果，小偉又給小茹4 顆蘋} 果，問小茹現在有幾顆蘋果？ (2)小茹有 7 顆蘋果，小茹又給小偉4 顆蘋 果， 問小茹現在有幾顆蘋果？ 改變量未知 _{(3)小茹有 3 顆蘋果，小偉又給小茹一些蘋} 果後，現在小茹有 7 顆蘋果，問小偉 給小茹幾顆？ (4)小茹有 7 顆蘋果，他給小偉一些蘋果 後，現在小茹有 3 顆蘋果，問小茹給小 偉幾顆？ 起始量未知 (5)小茹有一些蘋果，小偉給他 4 顆後，現 在小茹有 7 顆蘋果，問小茹原來有幾 顆蘋果？ (6)小茹有一些蘋果，然後他給小偉 4 顆， 現在小茹有 3 顆蘋果，問小茹原來有 幾顆蘋果？ 總數未知 _{(1) 小茹有 3 顆蘋果，小偉有 4 顆蘋果，} 問小茹和小翔共有幾顆？ 合併 子集合未知 _{(2) 小茹和小偉共有 7 顆蘋果，小茹有 3} 顆蘋果，問小偉有幾顆？ 比較 差異量未知 _{(1) 小茹有 7 顆蘋果，小偉有 4 顆蘋果，} 問小茹比小偉多幾顆？ (2) 小茹有 7 顆蘋果，小偉有 4 顆蘋果， 問小偉比小茹少幾顆？ 被比較量未知 _{(3) 小茹有 3 顆蘋果，小偉比小茹多 4 顆} 蘋果，問小翔有幾顆蘋果？ (4) 小茹有 7 顆蘋果，小偉比小茹少 4 顆

蘋果，問小翔有幾顆蘋果？ 基準量未知 _{(5) 小茹有 7 顆蘋果，小茹比小偉多 4 顆} 蘋果， 問小偉有幾顆蘋果？ (6) 小茹有 3 顆蘋果，小茹比小偉少 4 顆 蘋果，問小偉有幾顆蘋果？ 參自：翁嘉英、鄭昭明(1989)。國小兒童解數學應用題的認知歷程。 二、加法的策略與發展 兒童必須發展一些基本的數字概念及數數技巧後，才能學會以「自某 數開始數數」的方法替代「數全部」的方法(張麗芬，1990)。Carpenter 的加 法的策略大致分為三種基本的層次 1. 具體物策略：用手指或物品來表示這兩個集合，然後再數這兩個集合的聯 集的元素個數。 2. 數數策略：從題目中第一個出現的加數開始依序往前數，直到數完代表 的第 2 個加數的個數為止。或者從出現在題目的兩個數中的較大的數開始 依序往前數，直到數完代表較小的那個數的個數為止。 3. 回想已知的事實：立刻從長期的記憶中尋回或從回想九九加法中得到答 案。 三、減法的解題策略 1.具體物策略 (1)分開法：用物品或手指造一個含 a 個物體的集合，再從這個集合中拿掉 b 個物體，剩下的物體個數就是答案。 (2)分至法：用具體物造一個含 a 個元素的集合，再從這個集合中拿掉一些 元素直到剩下的元素個數為 b 個，那麼 拿掉的元素個數就是答案。 (3)累加法：用具體物造一個含 b 個元素的集合，再加一些元素到這個集合， 直到這個集合共有 a 個元素，數一數 加入的元素個數就是答案。 (4)配對法：造一個含個元素的集合和一個含 b 個元素的集合，其元素作一

對一的配對，則沒有被配對到的元素個數就是答案。 2. 數數策略 (1) 往後數了策略：從 a 開始依序往後數，直到數了 b 個數為止。 (2) 往後數到策略：從 a 開始依序往後數，直到數到 b 為止。 (3) 往前數策略：從 b 開始依序往前數，直到數到 a 為止。 (4) 選擇策略：從往後數了策略和往前數策略中選一個較有效的策略。 由以上介紹綜合來說可分為三種解題策略 (1)是點數或唱數策略：利用點數或唱數解決問題，一個一數，十個一數，百 個一數，千個一數(由任意數開始)都要相當的熟悉。 (2)加減策略：利用熟記的加減算式(例如基本加減事實)解決問題，記憶的加 減算式愈多，解題的速度愈快。 (3)成人加減算則：算則指的是某時代，某地區多數人使用最有效率的解題策 略，現在多數成人都透過多單位的策略解決加減問題，算則必須要求學童精 熟。 四、加減文字題相關研究 數學文字題涉及的不只是計算的基本能力，它還涉及到學生的概念理解 能力。我們提供文字題給孩子練習的主要目的是讓孩子將真實世界的經驗數 理邏輯化，而計算能力是發生在數理邏輯之外的(ConstanceKamii & Leslie Baker Housman,1999)。以下是針對加減法文字題的研究整理。 楊美伶、蔣治邦(1992)針對國民小學數學科加減法教材關鍵字之分析研 究，結果發現通常兒童面臨文字題不知採取何種運算時，就使用關鍵字策 略，而且數學課本加減法單一運算的題目中，有73%適用關鍵字策略；數學 習作的習題則有83%適用關鍵字策略，比例偏高，其中違反關鍵字策略的題 目類型變化很少。另外在訪談中發現，各類型關鍵字都有學童使用，而教導

蔣治邦(1992)的研究成果發現，二、三、四年級學童皆較易辨識符合題 意的順向算式，唯有程度較高的學童才能逐漸地增加變通性，接受轉換算式。 葉淑儀(1992)針對二、三年級學童使用算式表徵文字題的能力做研究， 研究對象是二、三年級學童80 名，分為高低數學成就四組，每組各20 名學 生，分別進行個別晤談，以改變類型－「改變量未知」及「起始量未知」的 題目，請學童判斷算式的對錯外並說明在判斷作業上所運用的推理原則。研 究結果發現，學童在正確算式題的答對率高於錯誤算式題的答對率；在「改 變量未知題」的表現優於在「起始量未知題」的表現。整體看來，年級與數 學成就會影響學童表徵文字題的能力。 林美惠(1997)探討國小二年級學生在解不同表徵型式(包括圖畫題、短語 題與文字題)的題目時的解題表現，以及解題歷程的差異時，發現在表徵型 式方面，無論是圖畫題、短語題或文字題，高數學能力組學生的解題表現均 優於低數學能力組的學生；在低數學能力組中，圖畫題的解題表現優於短語 題與文字題，而短語題與文字題的解題表現則沒有差異；在解題歷程方面， 圖畫題有利於讀題、分析、探索以及執行等解題階段，且解題程序順暢。 侯鳳秋(1998)研究不同題目型態對學生解題的影響，發現採用與解題者 相關的例子為問題情境時，解題者的表現優於採用與解題者無關的例子的問 題情境，且學生對於與其相關的例子 (如熟悉的情境或人名)也有較大的學習 興趣。 謝淡宜(1998)針對資優生與普通生解非例行性問題的質性研究指出，普 通學生使用的策略為畫圖、猜測及檢查、只用部分條件、亂用條件及直接放 棄等策略。低解題能力者傾向只用部分條件，缺乏整合不同條件的能力，且 在解題過程中，無法持續評鑑、修正與全面掌握題目條件的能力，常因專注 題目的細節，而迷失方向導致解題率偏低。

法理解題意而較易產生錯誤。

Garcia,Jimenez and Hess(2006)在研究中發現，學童在整數加減法文字題 解題情形受未知數位置影響很大，且未知數所在的位置愈在前面其難度愈 高。一般數學能力之學童，以改變拿走型結果量未知最精熟，以等化拿走型 比較量未知最不精熟，而數學學習能力缺乏學童，則以改變添加型結果量未 知最精熟，以比較較多型參考量知以及等化添加型差異量未知較不精熟。 潘慧萍(2007)資訊教學有助於學生對題目的直接轉譯即發現加減互逆的 關係。 綜合以上學者的研究可以發現，文字題的題目型態、語意結構、運算及 缺乏基模等，都是造成學童在文字題的學習上產生困難的原因，其中又以題 目型態及語意結構的影響最大。許多的研究均指出，學生在面對文字題時， 問題的轉譯以形成正確的數學表徵是學生最大的困難所在。針對題目的表面 線索來解題，沒有掌握問題情境中的數量關係，是學生在解題時最常犯的錯 誤。知道了學生學習的困難所在，所以研究者希望能尋求一個合適的教學策 略，實際運用在教學中，協助學生理解題意，進而正確解題。

第三章 研究方法

本研究是採非隨機選取雲林縣某國小一年級的兩個班級進行題目預 試，利用SPSS12.0將不適合題目刪除，以提高其信度，之後再進行雲林縣某 國小一年級另外兩個班級共六十位學童的前測，接著進行配合單元所設計的 數學遊戲，針對實驗組該班學童的加減單元進行數學遊戲融入教學，最後再 實施實驗組以及控制組兩班的後測，以瞭解數學遊戲融入教學後，學童處理 加減問題的能力是否有提升。本章依研究目的共分為研究設計、研究對象、 研究流程、研究工具及資料收集處理等五個部分來做說明。

第一節

研究設計

無論哪一個領域的教學都需要引起動機，無非是希望學童有更好的學習 成效，而如何讓數學領域的教學更活潑生動？讓學童發自內心主動學習，尤 其是對數學領域成就不高的學童而言，吸引他們學習是很重要的一環，於是 本研究針對這個想法，採非隨機選取雲林縣某國小一年級的兩班共六十位學 童進行前測，再藉著數學遊戲來探討學童在這之中加減問題的概念是否有提 升。 為了盡量避免學校正常課程的運作，研究者將研究時間利用學童早自修 來施測，故本研究預計一週三次共進行一個月的數學遊戲融入教學，最後再 實施後測，即總結性評量，以瞭解學生在加減運算概念上是否有所提升。前 測與後測的加減試題試卷，並非採用同一份題目，因為擔心學童會有記憶現 象，所以採取複本測驗。加減運算是數學的基本運算能力，而一年級的學童 由於剛接觸到加減運算，也就是剛起步，若能在此時提升學童學習意願，想 必未來對於數學領域其他方面的議題，都能迎刃而解，故本研究是以國小一 年級為施測的對象。

第二節

研究對象

本研究是採用雲林縣的某國小一年級學童做為研究的對象，該學校一年 級數學領域教材乃是採用康軒版教科書。研究者先以該校的一年級兩班共63 位學童進行預試，此預試的目的是增加測驗的信度，預測後篩選出來的題目 在欲進行數學遊戲融入教學的實驗組以及控制組進行正式的施測，最後選取 實驗組一班共三十位學童進行數學遊戲融入教學。

第三節 研究流程

遊戲是一個有趣又有吸引力的東西，幾乎每一個人都喜歡玩遊戲，因此 研究者認為若是將遊戲運用在教學上，使得學童對老師上課所教導的東西產 生興趣，學習的成效自然而然就會跟著提升，於是本研究大致分為三階段： 融入教學前、融入教學中、融入教學後三個階段，以下就針對此三個階段加 以說明： 一、數學遊戲融入教學前 (一)收集資料及文獻探討，首先針對本研究的題目去收集相關資料，並對於 相關的研究進行探討。 (二)編製筆試測驗工具 本研究編製之紙筆測驗工具是根據文獻中對加減的分類而編製的，研究 者第一次篩選出來的題目，與台中教育大學指導教授及五位現職國小教師再 一次的篩選，以提高試題的效度，所得的試題以雲林縣某國小一年級的兩班 共六十三位學童進行預試，根據統計軟體 SPSS12.0 的分析，把不適合的題 目加以刪減，最後的題目即是本研究所要施測的試題(請見附錄一)

(三)進行前測 研究者在確定筆試工具後，以雲林縣某國小一年級兩個班級共六十位學 童進行前測，了解學生加減概念的能力水平。 (四)選取融入數學遊戲教學的班級 研究者根據測驗的結果，選取其中一個班級共三十位學童，作為實施數 學遊戲融入教學的對象，並進行錄影的工作。 二、數學遊戲融入教學中 (一)擬定數學遊戲融入教學計畫 研究者根據學童既有的加減概念，設計了四種含有加減數學概念的遊 戲，同時將設計好的數學遊戲請台中教育大學數學教育學系教授進行審查， 以作為修訂的參考。 (二)進行數學遊戲融入教學活動 根據研究者事前擬定的教學計畫，實施數學遊戲融入教學的活動，教學 過程全程錄影及錄音，以提供研究者分析參考的依據。為了盡量避免學校正 常課程的運作，研究者將研究時間利用學童早自修來施測，故本研究預計一 週三次共進行一個月以數學遊戲融入教學的活動。 三、實施數學遊戲融入教學後 (一)實施總結性評量 在研究者進行數學遊戲融入教學完後，針對實驗組以及控制組兩班學童 進行總結性評量，根據學童的答題情形，瞭解實施數學遊戲融入教學的成效。 (二)整理與分析資料 研究者根據紙筆測驗、教學過程全程錄影及一切可蒐集到的資料，進行 分析整理，將研究者觀察到所有現象以文字真實呈現，以供日後分析。 (三)撰寫報告

本研究流程圖如下所示： 收集文獻資料、分析教材 編製筆試測驗工具 進行預試 選取正試工具 進行前測 選取數學遊戲融入教學班 進行數學遊戲融入教學活動 擬訂數學遊戲融入教學計畫 實施總結性評量 整理與分析資料 撰寫報告 圖3-3-1 研究流程圖

第四節 研究工具

本研究是以兩份加減試卷及四個遊戲當作研究的工具，簡單說明如下： 一、加減試卷內容與評分標準 1.效度：研究者根據國內外有關加減的文獻資料，研擬出試題，並與國小一年 級有多年教學經驗的教師及台中教育大學數學教育系的教授討論試題的可 行性，以增加測驗的效度。 2.信度：選取雲林縣某國小一年級兩班共63位小朋友進行預試，經過 SPSS12.0 的統計分析，內部一致性α值達 0.803，並以答題的難度跟鑑別度作為選題 目的參考，整理出加減測驗試題，以提高測驗的信度。 本試題原來總題數共為 30題(請參見附錄一)，分別是改變型(添加型－ 結果量未知、拿走型-結果量未知)、合併型(全部量未知、部分量未知)、比 較型(較多型－比較量未知、較多型－差異量未知、較少型－差異量未知)三 大題型所佈的題目，並依照預試答題的難度及鑑別度做為參考以及內部一致 性α值達0.803，選出共25題加減試題(請參見附錄二)。以下是試題的雙向細 目表 ： 類型 題型 題號 改變型 添加型-結果量未知 拿走型-結果量未知 壹1.7.11.21 壹4.9.14 合併型 全部量未知 部分量未知 壹6.13.17.24 壹2.8.19 比較型 較多型-比較量未知 較多型-差異量未知 較少型-差異量未知 壹3.12.15.23 壹5.10.16 壹18.20.22.25

3.評分標準 本試卷共二十五題，滿分是一百分，每小題的配分是四分，在答題方面， 列出算式給其該題得分的兩分，若列出算式且答案正確，則該題給予滿分是 四分。 二、數學遊戲 本研究是採用數學遊戲融入教學的活動，故遊戲內容都是針對學童加減 單元所涵蓋的內容而設計，其設計的原則是以趣味性、豐富性、多元化為主， 以三十位學童進行數學遊戲融入教學活動，將全部人數均分成五組，每拿下 一個遊戲的優勝即得到積分十分，累積最多分數的一組，即為這次數學遊戲 大賽的金牌得主。其數學遊戲簡單介紹如下： 遊戲一：撲克牌二零 K代表二十 Q加二或減二 J跳過 10加十或減十 4以反遊戲方向進行 以五人遊戲，每人四張牌，剩餘牌蓋住放在桌上，以逆時針方向每人輪 流放、 抽一張撲克牌，根據以上所訂的規則進行遊戲，若有一方沒有牌可 出，即淘汰出局，剩下者繼續玩遊戲，直到優勝者產生，獲勝者在此遊戲得 到積分十點。此遊戲利用一邊放牌一邊喊出數字的動作來加強學童加減的運 算能力。 遊戲二：終極密碼戰 本遊戲利用逼近數字的方法來猜正確值，若不小心說到欲猜的數字，即 淘汰出局。假設遊戲的區間是 1～50，研究者在心裡想一個數讓學童來猜， 例如學童欲說20這個數，不能直接說出 20，而是說 50-30，此時研究者就

會請大家想想看 50-30=？等學童知道等於多少之後，研究者再告訴學童現 在這個數是從 1～30，再換下一位學童猜。此遊戲是利用學生說加多少或 減多少來進行加減數學遊戲的教學。 遊戲三：燒出一道好菜 請學童設計一道菜，想想看此道菜需要買什麼來做，讓學童自由搭配 菜色，但限制購買的金額，研究者充當商家，學童則是輪流充當商家及消費 者，利用角色扮演的方式，使遊戲更豐富多元。 遊戲四：數學大富翁 跟平時大家在玩的大富翁遊戲規則一樣，以擲骰子的方式進行遊戲，擲 幾步走幾步，走到的方格中就有文字告訴玩家需要做什麼事情。此遊戲中有 許多各式各樣加減法的數學菜單，讓學童在一邊玩遊戲的同時，一邊加強加 減法的概念，以期待提升學童加減的基本能力。 以上的遊戲均是六人參與，總共五組參與競賽，贏了一個遊戲就能得到 十分積分，積分愈多的一組，就是優勝組。利用分組競賽的方式，可以提高 學童的競爭力與積極性，為了怕自己的組別落後，每個學童必會提高注意 力，全力以赴在每個遊戲上，如此一來，數學遊戲不只是遊戲，還是可以加 強數學知識的遊戲。(數學遊戲的活動設計目標請參見附錄四)。

第五節 資料蒐集與處理

本研究的資料蒐集來源包括紙筆測驗和教學中全程攝影的資料。其說明 如下： 一、紙筆測驗： 在研究之初，將欲施測的題目以雲林縣某國小一年級兩班共63人進行預 測，利用 SPSS12.0 的統計軟體來分析題目，以取得測驗的信度，並與國小

一年級的現職教師及台中教育大學數學教育系的教授討論，以提高測驗的效 度。預測後篩選出來的題目在某國小一年級另外兩班的學童共六十位進行研 究的前測。研究者以紙筆測驗作為一種成就評量，其目的在瞭解學童在加減 問題上的學習成效，並依此方向設計遊戲式的數學來進行融入教學，於教學 後再進行一次筆試(請參見附錄三)，來檢視數學遊戲融入教學的成效如何。 前測與後測的加減試題，並非採用同一份試卷，因為擔心學生會有記憶的情 形發生，因此是採取複本測驗。 二、教學錄影： 在每次教學中，均錄影加以存檔，在學童的部分，可由此瞭解學童在學 習歷程中的轉變與表現情況；在研究者而言，可以提供研究者在每一次教學 前的反思與改進，並在之後做研究分析的時候，才有個依歸。