Ausubel 異質商品動態拍賣機制

Ausubel 是一種動態多回合拍賣，由拍賣者宣布各種商品的價格，投標者在 一價格下提出需求數量，利用 Ausubel 拍賣機制計算投標者暫時得標量，由拍賣 者作價格調整。

首先假設拍賣者要拍賣 K 件商品，則有 K 個價格鐘，價格向量可以表示成 𝐩(𝑡) (𝑝¹(𝑡) 𝑝 (𝑡)) from [1,T] to 𝑅 。𝐒表示各種商品總供給，𝐒=(𝑆¹ 𝑆 𝑆

)。

每位投標者 i 的需求量表示成𝒙_𝒊(𝑡) ( ¹(𝑡) (𝑡)) from [1,T] to 𝑋，𝑋₋ 表示 投標者 i 以外其他投標者的需求。上標 t 表示第 t 回合。拍賣者收入𝑎(𝑇)，也就 是所有投標者 i 支付的總金額定義如下：

𝑎(𝑇) 𝐩( ) ∙ [𝐒 − 𝐱_−𝐢( )] − ∫ 𝐩(𝑡) ∙ 𝑑𝐱_−𝐢(𝑡)

𝑇 0

≡ ∑ ₁{𝑝 ( )[𝑆 − ₋ ( )] − ∫ 𝑝₀^𝑇 (𝑡)𝑑 ₋ (𝑡) }， (3.4) 其中，𝑎 (𝑇)是拍賣者的總收入，假設拍賣者欲拍賣 A、B 兩種商品，投標者 j 根據商品價格𝐏^𝐀(∙)、𝐏^𝐁(∙)及其效用函數決定投標量𝐪_𝐣(∙)，j≠i。拍賣者在 A、B 商品價格調整幅度必須相等且固定(如式 3.5)，否則可能淪為投標者逆向操作改 變價格調整路徑而從中圖利。

∫ 𝐏₀^{𝑇 𝐀}(𝑡) ∙ 𝑑𝐪_−𝐢^𝐀 (𝑡) = ∫ 𝐏₀^{𝑇 𝐁}(𝑡) ∙𝑑𝐪_−𝐢^𝐁(𝑡) (3.5) 而投標者在價格變動下對於商品需求𝐱_𝐢(∙)改變的條件會符合

𝜕𝑥_𝑖^𝑗

𝜕𝑝^𝑘

𝜕𝑥_𝑖^𝑘

𝜕𝑝^𝑗 (3.6) 在連續時間的動態拍賣下，給定 N 位投標者 N=(1，2，...，n)，每位投標者 的效用函數為 Ui (xi)。拍賣開始時，由拍賣者宣布價格𝐩(𝑡)，t∈ [ ∞)。投標者 再決定其商品組合 x_i(t)，價格隨時間調整。x_i屬於所有可能的消費集合 X_i內，且

∑^𝑛 ₁𝐱_𝐢 ≤ 𝐾。而投標者在拍賣結束後利潤是由效用減去總支出 yi，也就是說報酬 為 U_i(x_i)- y_i。

當拍賣在起始價格時有超額需求: ∑^𝑛 ₁ ⁰ ≥ 𝑆，則商品價格在下一回合會提

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升，拍賣則會持續進行到沒有超額需求，直到 t=T 時。若存在超額需求且 t<T，

則拍賣進到 t+1 回合，並且再重複前面的過程，直到沒有超額需求或投標者都棄 權了拍賣才結束。針對剩餘的商品，本研究加入「抽籤」概念。拍賣者從最後一 回合往前找到在前面回合中有需求的投標者，從該回合有需求且最後未得標的投 標者中隨機抽籤決定商品分配。

下面用簡單的例子說明 Ausubel 的拍賣模式。假設兩種異質商品各有三單位，

市場中有三位投標者，分別標記為 1、2 和 3，投標者對每種商品需求至多兩單 位。投標者評價如下表:

投標者 1 投標者 2 投標者 3

A B AB A B AB A B AB 第一單位 102 128 230 167 149 316 146 132 278 第二單位 82 102 184 134 119 253 117 106 223

現在我們假設拍賣者宣布起始商品價格為𝑃_𝐴¹ 95、𝑃_𝐵¹ 9 ，且每回合增加 10。在拍賣第一回合開始時拍賣者會宣布起始價格𝑃_𝐴¹ 95、𝑃_𝐵¹ 9 ，所以投標 者需求如下表:

投標者 1 投標者 2 投標者 3

A B A B A B

𝑃_𝐴¹ 95、𝑃_𝐵¹ 9 1 2 2 2 2 2 此時𝑞_𝐴1¹=max{0,[3-(1+2)]}=0，𝑞_𝐴 ¹=max{0,[3-(1+2)]}=0，

𝑞_𝐴3¹=max{0,[3-(1+2)]}=0，𝑞_𝐵1¹=max{0,[3-(2+2)]}=0，𝑞_𝐵 ¹=max{0,[3-(2+2)]}=0，

𝑞_𝐵3¹=max{0,[3-(2+2)]}=0，其中𝑞_𝐴1¹表示投標者 1 在拍賣第一回合對 A 的需求數量，

上標 1 表第 1 期，故在𝑃_𝐴¹ 95、𝑃_𝐵¹ 9 時沒有投標者獲得 A 商品和 B 商品。

由於商品總需求量仍大於總供給量，且沒有商品賣出，因此價格會繼續上升，

以下為各價格下的需求表:

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當前價格 投標者 1 投標者 2 投標者 3

𝑃_𝐴 1 5 0 2 2

𝑃_𝐴³ 115 0 2 2

𝑃_𝐴⁴ 125 0 2 1

在P_A 1 5 時𝑞_𝐴1=max{0,[3-(2+2)]}=0，𝑞_𝐴 =max{0,[3-(0+2)]}=1，

𝑞_𝐴3=max{0,[3-(0+2)]}=1，在P_A 1 5 時，投標者 2 和投標者 3 各得一單位 A 商 品，而𝑃_𝐴³ 115時，因為𝑞_𝐴 ³和𝑞_𝐴 相同，所以𝑃_𝐴³ 115時不再做分配的動作。直 到𝑃_𝐴⁴ 125時，投標者 3 的需求量由 2 單位下降為 1 單位，此時三位投標者的總 需求量為∑³ ₁ ^∗ 3，𝑞_𝐴1⁴ max{0,[3-(2+1)]}=0、𝑞_𝐴 ⁴ max{0,[3-(0+1)]}=2、

𝑞_𝐴3⁴ max{0,[3-(0+2)]}=1，即投標者 2 獲得兩單位 A 商品、投標者 3 獲得一單 位 A 商品。對投標者 2 而言，其中一單位在第二回合時支付𝑃_𝐴 1 5獲得，另 一單位在𝑃_𝐴⁴ 125時獲得，故投標者 2 分別支付𝑃_𝐴 1 5、𝑃_𝐴⁴ 125；投標者 3 在𝑃_𝐴 1 5時獲得，故支付𝑃_𝐴 1 5；投標者 1 因為沒有獲得任何單位，所以不 需要支付任何費用。

當前價格 投標者 1 投標者 2 投標者 3

𝑃_𝐵 1 2 2 2

𝑃_𝐵³ 11 1 2 1

𝑃_𝐵⁴ 12 1 1 1

在P_B 1 時𝑞_𝐵1=max{0,[3-(2+2)]}=0，𝑞_𝐵 =max{0,[3-(2+2)]}=0，

𝑞_𝐵3=max{0,[3-(2+2)]}=0，在P_B 1 時，𝑞_𝐵 和𝑞_𝐵 ¹結果一樣，沒有任一單位的 B 商品分配出去，在𝑃_𝐵³ 11 ，𝑞_𝐵1³ 𝑞_𝐵3³ 、𝑞_𝐵 ³ 1，投標者 2 獲得一單位 B 商品，而𝑃_𝐵⁴ 12 時，投標者 2 對 B 商品的需求量由 2 單位下降為 1 單位，

此時三位投標者的總需求量為∑³ ₁ ^∗ 3，𝑞_𝐵1⁴ max{0,[3-(1+1)]}=1、𝑞_𝐵 ⁴ max{0,[3-(1+1)]}=1、𝑞_𝐵3⁴ max{0,[3-(1+1)]}=1，即投標者 1、投標者 2、投標者 3 各獲得一單位 B 商品。對投標者 2 而言，在第三回合時支付𝑃_𝐵³ 11 獲得，而

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投標者 1 和投標者 3 皆在𝑃_𝐵⁴ 12 時獲得，故投標者 2 分別支付𝑃_𝐵³ 11 ；投標 者 1 和投標者 3 在𝑃_𝐵⁴ 12 時獲得，故支付𝑃_𝐵⁴ 12 ；三位投標者皆取得一單位 B 商品，但分別支付𝑃_𝐵⁴ 12 、𝑃_𝐵³ 11 、 𝑃_𝐵⁴ 12 。

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