Modelling Structural Break Using Fourier Approximation . 34

本小節分兩部份來探討如何利用Fourier Approximation 對結構性轉變進行建 模^,在第一部份中^, 使用單一頻率的Fourier Approximation來分別近似出四種不同 形式的平均值結構性變化^, 分別為 「 平均值結構性變化 」 、 「 兩次平均值結構性變 化 」 、 「 暫時性平均值結構性變化 」 、 「 季節平均值結構性變化 」 。 在四個圖表中每 一條實體線代表的是被近似的原始序列^,各有 ¹⁰⁰筆樣本觀察值 ^{(T = 100),}我們將 此四個原始序列以各種不同形式的急劇斷點來描繪^,為的是要判別 Fourier

Approx-imation能否以極相似的方式將結構性斷點近似出來。 在第二部份裡^,既然任何序列

皆可透過單一頻率的 Fourier Approximation 來近似^, 那麼就沒有理由說不能使用 多頻率的級數展開來近欲觀察的序列。 因此我們除了使用單一頻率之外^,還多增加一 個頻率來近似原始序列^,而原始序列的形式也分為兩種^,分別為 「 兩次不同方向結構 性變化 」 、 「 兩次不同方向結構性變化且改變趨勢 」 。 以下為圖形的詳細說明^:

參考圖 ^{(2) ,} 原始序列為一永久性平均值結構性變化^, 我們在 single frequency 下近似出 ^αt = 0.6957− 0.2865 sin(0.04907t) + 0.0004 cos(0.04907t) , 其中 ^{k =} 07813, θ = 2π∗ 0.7813/100 = 0.04907 , 雖然 single freuency 未能完整的近似出原 始序列^, 但近似值 ^αt 仍捕捉到了原始序列在樣本期間內平均值增加的特性。

參考圖^{(3) ,}原始序列為間斷的兩次平均值結構性變化^,我們使用single frequency 近似出 ^αt = 0.6419 − 0.1451 sin(0.03827t) − 0.3573 cos(0.03827t) , 其中 ^{k =} 0.6094, θ = 2π ∗ 0.6094/100 = 0.03827 , 配適得到的近似值 ^αt 也成功捕捉到了 樣本期間內平均值的上升趨勢。

參考圖^{(4) ,}原始序列為暫時性平均值結構性變化^,在single frequency下近似出 αt = 0.6379− 0.2431 sin(0.07458t) + 0.0688 cos(0.07458t) , 其中 k = 1.1875, θ = 2π∗ 1.1875/100 = 0.07458 ,

考量結構性轉變的貨幣需求模型 3.3 The Davies Test as a Fourier Approximation

參考圖 ^{(5) ,} 原始序列為季節平均值結構性變化^, 我們利用 single frequency 近 似出 ^αt = 0.525− 0.341 sin(0.1207t) − 0.0638 cos(0.1207t) , 其中 k = 1.9219, θ = 2π∗ 1.9219/100 = 0.1207 , 值得注意的是^, 在近似過程中求得的frequency: k 很接

近^{2.0 ,} 這是因為原始序列在樣本期間內有兩個規律性的結構性轉變。

參考圖 ^{(6) ,} 原始序列為兩次不同方向結構性變化^, 在 single frequency 下透 過 Davies Test 找到 ^k1 = 1.1094, θ = 2π ∗ 1.1094/100 = 0.06967 , 近似出 α_t = −1.8993 − 5.8558 sin(0.06967t) − 1.1122 cos(0.06967t) , 接下來再將原始序 列 ^yt − αt 的差值進行 Davies Test, 找到 ^k2 = 2.5625, θ = 2π ∗ 2.5625/100 = 0.16093 , 最後得到 two frequency 的 Fourier Approximation : α_t = −1.8993 − 5.8558 sin(0.06967t)−1.1122 cos(0.06967t)+0.9483 sin(0.16093t)+2.9911 cos(0.16093t)。

參考圖 ^{(7) ,} 原始序列為兩次不同方向結構性變化且改變趨勢^, 在 single fre-quency 下透過 Davies Test 找到 ^k1 = 2.0625, θ = 2π ∗ 2.0625/100 = 0.12953 ,近似出^αt = 7.6464− 3.8733 sin(0.12953t) − 0.5574 cos(0.12953t) , 接下來再將原 始序列 ^yt− αt 的差值進行 Davies Test, 找到 ^k2 = 0.8125, θ = 2π∗ 0.8125/100 = 0.05103 , 最後得到 two frequency 的 Fourier Approximation : αt = 7.6464− 3.8733 sin(0.12953t)−0.5574 cos(0.12953t)+0.9483 sin(0.05103t)+2.9911 cos(0.05103t)。 值得注意的是^, 當結構性變化後改變了既定的趨勢方向下, single frequency 下的近 似結果出現類似季節平均值結構性變化的走勢^, 而考量了 second frequency 後則出 現較符合真實走勢的近似模型。

在圖 ⁽⁶⁾ 和圖 ⁽⁷⁾ 中^, 雖然我們可以一直重覆的執行 Davies Test 直到沒有任何 增加的頻率在統計意義上具有顯著性^, 透過增加第二個頻率已經可清楚的看出在近 似表現上皆有顯著的改善^, 因此本文的論點在於將這類的近似方法加入一個具有未

考量結構性轉變的貨幣需求模型 3.3 The Davies Test as a Fourier Approximation

知結構性變化的迴歸模型中^, 可以導致在統計推論上的改進和一個較佳的模型。

從圖 ⁽²⁾ 至圖 ⁽⁷⁾ 可看出^, 所有的序到皆可透過低頻率次數來近似出來^, 其關鍵 在於正弦曲線函數能夠快速的捕獲任何確定序列的行為^, 即使這個序列的行為不具 週期性也可以透過正弦曲線函數來建模。 依照此模型^, 我們可以將截距項描述成一 個與時間相依的模型 ⁽在這裡不必先指定截距項非線性的性質⁾。 由於我們無法將所 有的頻率都放入式^{(10) ,}因此選擇適當頻率數的近似過程則是本研究方法主要的工 作。 若我們使用低頻率次數的近似來建模^,意謂著傅立葉級數無法捕捉到所有結構性 轉變的形式^, 由圖 ⁽²⁾ 至圖 ⁽⁷⁾ 可知當結構性轉變的發生是平滑的情況下^{, Fourier} Approximation 將會是一良好的建模工具。

0 20 40 60 80 100

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

Alpha Fitted

圖 2: 永久性平均值結構性變化

考量結構性轉變的貨幣需求模型 3.3 The Davies Test as a Fourier Approximation

考量結構性轉變的貨幣需求模型 3.3 The Davies Test as a Fourier Approximation

考量結構性轉變的貨幣需求模型 3.3 The Davies Test as a Fourier Approximation

0 20 40 60 80 100

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Actual Alpha 1 Frequency 2 Frequencies

圖 7: 兩次不同方向結構性變化且改變趨勢

考量結構性轉變的貨幣需求模型 3.4 使用傅立葉級數近似模型之流程

3.4 使用傅立葉級數近似模型之流程